2019-2020学年河南省郑州市第一中学高一上学期期中考试数学试题

2019-2020学年河南省郑州市第一中学高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.下列表述中正确的是（ ） A. {}0=∅ B. {(1,2)}{1,2}=C. {}∅=∅D. 0N ∈【答案】D 【解析】 【分析】根据∅的定义可排除A ；根据点集和数集的定义可排除B ；根据元素与集合关系排除C ，确认D 正确.【详解】∅不包含任何元素，故{}0≠∅，A 错误；(){}1,2为点集，{}1,2为数集，故(){}{}1,21,2=，B 错误；∅是集合{}∅中的一个元素，即{}∅∈∅，C 错误； N 表示自然数集，故0N ∈，D 正确.故选：D【点睛】本题考查集合的定义、元素与集合的关系、相等集合的概念等知识，属于基础题.2.设集合{}{}1,2,4,62,3,5A B ==，，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由韦恩图得到阴影部分表示的集合，含2个元素；根据元素个数可确定真子集个数为221-个. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为{}3,5∴阴影部分表示集合的真子集个数为：2213-=个故选：B【点睛】本题考查韦恩图表示集合、集合真子集个数的求解；关键是明确一个含n 个元素的集合的真子集个数为21n -个.3.已知幂函数()y f x =的图像过点3)，则2log (2)f 的值为（ ）A.12B. 12-C. 1D. -1【答案】A 【解析】 【分析】设幂函数解析式()f x x α=，代入(3求得()f x ，进而得到()2f ，由对数运算可求得结果.【详解】设幂函数()y f x =解析式为：()f x x α=()333f α∴== 12α∴=，则()12f x x = ()12222f ∴==()221log 2log 22f ∴==故选：A【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、对数运算等知识；关键是明确在已知函数类型时，通常采用待定系数法求解函数解析式. 4.方程24ln x x =-的解所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)【答案】B 【解析】 【分析】令()24ln f x x x =-+，则方程解所在区间即为函数零点所在区间；利用零点存在定理，根据区间端点处的函数值的符号可确定零点所在区间，进而得到结果. 【详解】令()24ln f x x x =-+当0x →时，()f x →-∞；()11430f =-=-<；()244ln 2ln 20f =-+=>；()394ln35ln30f =-+=+>；()4164ln 412ln 40f =-+=+> ()()120f f ⋅<Q ()f x ∴零点所在区间为()1,2∴方程24ln x x =-的解所在区间为()1,2故选：B【点睛】本题考查方程根所在区间的求解，关键是能将方程根所在区间问题转化为函数零点所在区间的求解，考查了零点存在定理的应用，属于基础题. 5.若0.311321log 2,log 3,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D.b ac <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算将,a b 化为32log 2,log 3--，由32log 21log 3->->-可得b a <；由0.3131log 202⎛⎫<< ⎪⎝⎭可得a c <，进而得到结果.【详解】0,311321log 2,log 3,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1333log 2log 2log 31=->-=-Q ，1222log 3log 3log 21=-<-=-b a ∴<又0.311331log 2log 102⎛⎫<=< ⎪⎝⎭ a c ∴<综上所述：b a c << 故选：D【点睛】本题考查根据对数函数、指数函数单调性比较函数值大小的问题；关键是能够根据函数单调性确定函数值的临界值，属于常考题型. 6.函数222xy log x-=+的图像 A. 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称【答案】A 【解析】因为函数的定义域为(-2,2),又因为2222()log log ()22x xf x f x x x+--==-=--+ 所以函数f(x)为奇函数，所以关于原点对称.7.函数()y f x =的定义域和值域都是()0-∞，，那么()y f x =-的图象一定位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由()y f x =-与()y f x =的对称关系可得()y f x =-的定义域和值域，从而确定图象所处象限.【详解】()y f x =-Q 与()y f x =图象关于y 轴对称()y f x ∴=-的定义域为()0,∞+，值域为(),0-∞()y f x ∴=-的图象一定位于第四象限故选：D【点睛】本题考查函数图象的对称，关键是明确两函数之间的对称关系： ①()y f x =-与()y f x =图象关于y 轴对称； ②()y f x =-与()y f x =图象关于x 轴对称； ③()y f x =--与()y f x =图象关于原点对称.8.设()()()()()310510x x f x f f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f 的值是( ) A. 24 B. 21C. 18D. 16【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，经多次代入求解得结果. 【详解】f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24. 选 A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值 9.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.10.若函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且满足32()()1f x g x x x -=++，则()()22f g +=（ ）A. -3B. 3C. 5D. -5【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可将已知方程化为()()321f x g x x x +=-++，代入2x =即可求得结果.【详解】()f x Q 为偶函数，()g x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=，()()g x g x -=-()()()()321f x g x f x g x x x ∴---=+=-++ ()()228413f g ∴+=-++=-故选：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够根据奇偶性将已知关系式进行转化.11.对于给定的正数k ，定义函数(),()(),()k f x f x kf x k f x k⎧=⎨>⎩…，若对于函数()f x =义域内的任意实数x ，恒有()()k f x f x =，则（ ） A. k的最大值为 B. k的最小值为C. k 的最大值为1 D. k 的最小值为1【答案】B 【解析】 【分析】先根据()()k f x f x =得到k 与()f x 最值的关系，然后利用换元法求解函数()f x 的值域，即可确定k 的取值范围，则k 的最值可确定.【详解】因为()()k f x f x =，所以由定义知max ()k f x …， 因为220x x -++≥，所以[]1,2x ∈-，则函数()f x 的定义域为[]1,2-，令 t 则 30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2[1,t ∈，所以 max ()f x =，因此 k …故选：B【点睛】指数型函数()()g x f x a=值域的求解方法：利用换元法令()t x g =，求解出()g x 的值域即为t 的取值范围，根据指数函数ty a =的单调性即可求解出()f x 的值域.12.定义在R 上的函数()f x 满足：①(0)0f =，②()(1)1f x f x +-=，③1()32x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭且1201x x ≤≤≤时，()()12f x f x ≤，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A. 1B.34C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】将0x =代入()()11f x f x +-=求得()1f ，根据()132x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭；分别令12x =和13x =求得111694f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由111986f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求得18f ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到结果. 【详解】由()()11f x f x +-=得：()()011f f +=，又()00f = ()11f ∴= 由()132x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭得：()1111322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭令12x =，则11122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，则11116224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令13x =，则11119234f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 11101986<<<<Q 111986ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111484f ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭1184f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 1111338244ff ⎛⎫⎛⎫∴+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求解函数值的问题；解决此类问题通常采用特殊值的方式，代入已知关系式中，采用构造的方式，通过自变量的关系求得具体的函数值. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数2()lg(4)f x x =++的定义域为___________. 【答案】(4,3)- 【解析】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零和对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由题意得：3040x x ->⎧⎨+>⎩，解得：43x -<<()f x ∴的定义域为：()4,3-故答案为：()4,3-【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，涉及到分式、偶次根式和对数的形式，关键是明确不同形式有意义的具体要求，属于基础题.14.已知212()log (3)f x x ax a =－＋在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(]4,4- 【解析】 【分析】令23t x ax a =-+，则由题意可得函数t 在区间[)2+∞，上为增函数且()20t >，故有()2224230at a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+>⎩，由此解得实数a 的取值范围. 【详解】令23t x ax a =-+，则由函数()()12log f x g t t ==，在区间[)2,+∞上为减函数，可得函数t 在区间[)2,+∞上为增函数且()20t >，故有()2224230a t a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+>⎩，解得44a -<≤，故答案为44a -<≤.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题；求复合函数()()y f g x =的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.=_________.【答案】【解析】 【分析】将每个被开方数化为完全平方式的形式，从而开方整理得到结果.2=====2==-2==22=+=故答案为：【点睛】本题考查根式的化简求值问题，关键是能够将被开方数化为完全平方数的形式，属于基础题.16.已知函数()1ln1xf xx+=-，则关于a的不等式()112f a f a⎛⎫+<-⎪⎝⎭的解集是________. 【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据对数真数大于零可求得函数的定义域；由复合函数单调性可知()f x在定义域内单调递增；根据单调性可将所求函数不等式化为112a a+<-且自变量在定义域范围内，由此构造出不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由11xx+>-得：11x-<<()f x∴的定义域为()1,1-()()1212ln ln ln1111xxf xx x x--++⎛⎫===-+⎪---⎝⎭211yx=-+-Q在()1,1-上单调递增()f x∴在()1,1-上单调递增由()112f a f a⎛⎫+<-⎪⎝⎭得：11211211a aaa⎧+<-⎪⎪⎪+>-⎨⎪-<⎪⎪⎩，解得：14a<<∴不等式()112f a f a⎛⎫+<-⎪⎝⎭的解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭故答案：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用复合函数单调性的判定确定函数的单调性，从而将函数大小关系转化为自变量之间的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）13231442--⎛⎛⎫++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭； （2）2721log 10log 23235log log 43)7⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【答案】（1）21；（2）14- 【解析】 【分析】（1）根据分式、根式与指数运算的关系、分母有理化运算将式子化简为指数运算的形式，根据指数运算法则求得结果；（2）根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果.【详解】（1）1323122214446212--⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-=（2）2722111log 10log 2log 1033243535log log 47log 3log 22723-⎡⎤⎛⎫--=⋅-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()55111log 1032log 5444=-⋅--=-⋅=-【点睛】本题考查根据指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题；关键是能够熟练掌握分式、偶次根式与指数幂的互化、对数运算的基本法则等知识，属于基础题. 18.已知集合{}{}222|40,|2(1)10,R A x x x B x x a x a a =+==+++-=∈. （Ⅰ）用列举法表示集合A ；（Ⅱ）若B A B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{0,4}A =-；（Ⅱ）(,1]{1}a ∈-∞-⋃ 【解析】 【分析】（Ⅰ）解方程求得方程的根，进而列举法表示出集合A ；（Ⅱ）由B A B =I 知B A ⊆；分别在B =∅、B 中只有一个元素和B 中有两个元素的情况下，构造方程和不等式求得结果.【详解】（Ⅰ）由240x x +=得：0x =或4x =- {}0,4A ∴=- （Ⅱ）B A B =Q I B A ∴⊆①当B =∅时，()()2241410a a ∆=+--<，解得：1a <-②当B 中只有一个元素时，由()()2241410a a ∆=+--=得：1a =-此时{}{}200B x x ===，满足题意③当B 中有两个元素时，{}0,4B =-则()()()()22241410210441040a a a a ⎧∆=+-->⎪⎪-+=-=-⎨⎪-=⨯-=⎪⎩，解得：1a = 综上所述：a 的取值范围为(]{},11-∞-U【点睛】本题考查列举法表示集合、根据交集运算的结果求解参数值的问题；关键是能够根据交集运算结果得到两集合之间的包含关系；易错点为忽略集合为空集的情况.19.设0a >，()x x e a f x a e=+是R 上的偶函数(1)求a 的值；⑵证明：()f x 在(0,)+∞上是增函数 【答案】⑴1a =；⑵证明见解析. 【解析】【详解】⑴()x x e af x a e =+是R 上的偶函数对于任意的x ，都有()()f x f x -=即x x x x e a e aa e a e--+=+，化简得（110x xa e a e ⎫⎛⎫-+=⎪⎪⎭⎝⎭， 10x x e e+>Q ，1a \= ⑵由⑴得()xxf x e e-=+故任取12x x >，则()()2212i ixx x x f x f x e ee e ---=+--()2122ii x x x x x x e e e ee e-=-+ ()2211i i x x x x e e e e⎛⎫=-- ⎪⎝⎭121212101,01x x x x x x e e e e >>∴>><<⋅Q()22110i i x x x x e e e e⎛⎫--> ⎪⎝⎭因此()()12f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上是增函数【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.20.（Ⅰ）对于任意的x ∈R ，都有(21)2(12)4f x f x x -+-=，求数()f x 的解析式； （Ⅱ）已知()g x 是奇函数，()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，若1,211a b a b g g ab ab +-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，求()g a 和()g b 的值. 【答案】（Ⅰ）2()23f x x =-+；（Ⅱ）31(),()22g a g b ==- 【解析】 【分析】（Ⅰ）令21t x =-，表示出12t x +=；代入已知关系式可构造出方程组，解方程组求得()f t ，进而得到()f x ；（Ⅱ）由奇偶性可知()()g x g x -=-；根据已知关系式和奇偶性可将所给函数值表示为()()()()12g a g b g a g b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解方程组求得结果. 【详解】（Ⅰ）令21t x =-，则12t x +=()()()221f t f t t ∴+-=+……①，则()()()221f t f t t -+=-……②①②联立可得：()223f t t =-+()223f x x ∴=-+ （Ⅱ）()g x Q 为奇函数 ()()g x g x ∴-=-()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭Q ()()()()()()1121a b g g a g b ab a b g g a g b g a g b ab ⎧+⎛⎫=+= ⎪⎪+⎪⎝⎭∴⎨-⎛⎫⎪=+-=-= ⎪⎪-⎝⎭⎩ ()()3212g a g b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查构造方程组法求解函数解析式、函数值的问题；关键是能够利用换元法或奇偶性，利用已知关系式构造出方程组的形式，进而求得结果. 21.已知函数||1()22xx f x =-. （Ⅰ）若()2f x =，求x 的值；（Ⅱ）若()2(2)tmf t f t ≥-对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2log (1x =；（Ⅱ）[17,)-+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）分别在0x <和0x ≥两种情况下得到()f x ，由()2f x =可构造方程求得结果； （Ⅱ）根据t 的范围和函数解析式，将恒成立的不等式化为()221tm ≥-+，根据单调性可求得()221t-+的范围，进而得到结果. 【详解】（Ⅰ）当0x <时，()1202xx f x -=-=；当0x ≥时，()12222xx x x f x -=-=- 由()2f x =得：222x x --=，即222210x x -⋅-=，解得：21x =1(2log 1x ∴=（Ⅱ）当[]2,3t ∈时，()22ttf t -=-，()22222ttf t -=-()()2222222t t t t t m --∴-≥--对[]2,3t ∈恒成立20t >Q ，220t t --> ∴不等式可化为：()221tm ≥-+当[]2,3t ∈时，()[]22165,17t-+∈-- 17m ∴≥-即m 的取值范围为[)17,-+∞【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量的值、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的关系，通过求解函数最值求得结果.22.己知实数0a <，函数()f x =（Ⅰ）设t =t 的取值范围； （Ⅱ）将()f x 表示为t 的函数()h t ；（Ⅲ）若函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的解析式. 【答案】（Ⅰ）2]t ∈；（Ⅱ）21(),2h t at t a t =+-∈；（Ⅲ）11()221202a g a a a a a a ≤⎭⎪⎛⎫⎪=--<≤- ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】 【分析】首先根据偶次根式的要求，确定()f x 的定义域； （Ⅰ）将t平方后再开方可整理得t =t 的范围；222t -=，代入可整理得到结果；（Ⅲ）将问题转化为()h t最大值的求解，即二次函数最大值的求解；分别在1a-≤12a <-<和12a-≥三种情况下，根据二次函数性质得到最大值，从而得到()g a . 【详解】由2101010x x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪-≥⎩得：11x -≤≤，即()f x 定义域为[]1,1-（Ⅰ）由t =22t =+0t ≥，则t =[]1,1x ∈-Q []210,1x ∴-∈t ⎤∴∈⎦222t -=()22222t ah t a t t t a -∴=⋅+=+-，2t ⎤∈⎦ （Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 最大值即为()h t 最大值0a <Q ()h t ∴为开口方向向下，对称轴为1x a=-的二次函数①当1a -≤2a ≤-时，()g a h a a ===12a <-<，即12a <<-时，()111122g a h a a a a a a ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭ ③当12a -≥，即102a -≤<时，()()2222g a h a a a ==+-=+ 综上所述：()2112221202a g a a a a a a ≤-⎭⎪⎛⎫⎪=---<≤- ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩【点睛】本题考查换元法表示函数、函数最值的求解问题；关键是能够将问题转化为二次函数最值的求解问题，进而通过对对称轴位置的讨论得到最大值点，求得所求最大值；易错点是在转化时，忽略自变量的取值范围，造成求解错误.。