2017物理创新设计

【规律方法】 1.平面向量的线性运算技巧
④λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则a与b共线.
其中正确的序号为
.
【解题导引】(1)利用单位向量与向量相等的概念求解.
(2)利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. 【规范解答】(1)选D.由
a 表示与a同向的单位向量, |a|
b 表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察 |b|
可知D满足题意.
【解析】选C.A,B显然正确;对于C,如图,
A,B,C,D四点满足条件,但 AB CD,所以C不正确;对于D,
由a+b=0,得b=-a,由共线向量定理知,a与b共线,所以D 正确.


考向二
平面向量的线性运算及应用
【典例2】(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC 的三边BC,CA,AB的中点,则 EB FC =(
答案:2
考向一
平面向量的概念
【典例1】(1)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使
a b 成立的充分条件是 |a| |b|
(
)
A.|a|=|b|且a∥b
B.a=-b
C.a∥b
D.a=2b
(2)已知下列结论: ①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件;
③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 AB DC；
对于④,当λ=μ=0时,a与b可为任意向量,不一定共线,
所以④不正确. 答案:②③
【母题变式】1.本例(2)①中,若b≠0,该结论是否正确?
【解析】若b≠0,又a∥b,b∥c,
所以a∥c显然成立,故该结论正确.
2.若本例(2)④中的实数λ ,μ 满足λ 2+μ 2≠0,该结论是
否正确? 【解析】由λ2+μ2≠0知实数λ,μ中至少有一个不为0.
所以| AC |=| DB |.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知, 四边形ABCD是矩形. 答案:矩形
感悟考题
试一试
3.(2016·潍坊模拟)设P是△ABC所在平面内的一点,
则 BC BA 2BP， A.PA PB 0 C.PB PC 0
第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
【知识梳理】 1.向量的有关概念
大小 又有_____ 方向 的量叫向量,常 (1)向量的定义:既有_____,
用a或 AB 表示.
(2)向量的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的
长度 _____叫做向量的模,记作|a|或| AB |.
单位向量.
(2)求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是 相等.
【规律方法】把握向量有关概念的关键点 (1)定义:方向和长度.
(2)非零共线向量:方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量:方向相同且长度相等. (4)单位向量:方向没有限制,但长度都是一个单位长度.
(5)零向量:方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何
定义
运算律 设λ ,μ 是实 数. λ ( μ a) (1)________= (λ μ )a (2)(λ +μ )a= λ a+ μ a ________ (3)λ (a+b)= λ a+ λ b ________
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使 b= λ a ______.
A.AD 1 B. AD 2 1 C. BC 2 D.BC

)
(真题溯源:本题源自A版必修4P92A组T12)
(2)(2015·北京高考)在△ABC中,点M,N满足 AM 2MC,
则x= BN NC ，若 MN xAB yAC ，
因为OA=OD, 所以∠ADO=∠DAO=30°, 由此可得∠CAD=∠ADO=30°,所以AC∥DO.
所以四边形ACDO为平行四边形,
1 1 所以 AD AO AC AB AC a b. 2 2
5.(2016·日照模拟)如图,在△ABC中,点O是BC的中点. 过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若
若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二 是反向,反向时a=-|a|·a0,故②③也是假命题.综上所
述,假命题的个数是3.
【加固训练】
1.下列命题中正确的个数为
(
)
①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量 AB与向量 CD 共线,则A,B,C,D四点共线;
2.(必修4P92习题2.2B组T5改编)在平行四边形ABCD中,
若| AB AD |=| AB AD |,则四边形ABCD的形状为
.
【解析】如图,因为 AB AD AC, AB AD DB,
④如果a=b,b=c,那么a=c.
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选A.①不正确,向量可以用有向线段表示,但
向量不是有向线段,有向线段也不是向量;②不正确,若 a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故
两向量方向不一定相同或相反;③不正确,共线向量所
在的直线可以重合,也可以平行;④正确,因为a=b,b=c, 由相等向量的概念可知a与c方向相同,大小相等,故a=c.
(3)几个特殊向量
特点
名称
长度(模)
方向
零向量
单位向量 相等向量 相反向量 平行向量
0 1 __
相等 相等 _____
任意 _____
任意 相同 _____ 相反 _____ 相同或相反 ___________
2.向量的加法、减法与数乘
定义
法则(或几何意义)
运算律 (1)交换律: b+ a a+b=____ (2)结合律:(a+ a+(b+c) b)+c=________
向量的终点.
(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则λ 可能不存在,也可能有无数个.
【小题快练】
链接教材 练一练 1.(必修4P78习题2.1A组T5改编)已知△ABC,设D是BC边
的中点,用 AB 与 AC 表示向量 AD ,则 AD =
【特别提醒】
1.三个常用的结论 (1)零向量与任何向量共线.
(2)平行向量与起点无关.
(3)若存在非零实数λ ,使得 AB AC 或 AB BC ,则A,B,C三点共线. 或 AC BC
2.两个注意点 (1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减
,y=
.
【解题导引】(1)结合图形和三角形法则求解. (2)结合图形利用向量线性运算的法则求解.
【规范解答】(1)选A.如图所示,
EB FC (EC BC) (FB BC) EC FB 1 1 1 AC AB (AC AB) AD. 2 2 2 1 1 (2)由 AM 2MC, BN NC 得 CM AC,CN BC 3 2 1 1 1 所以 MN CN CM (AC AB) AC (AC AB)， 2 2 3 1 1 1 1 所以 x ,y . AB AC. 2 6 2 6 1 1 答案: 2 6
2.(2016·南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的 是 ( )
A.向量 AB 的相反向量是 BA
B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的
C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则 AB CD
D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线
向量共线.
【变式训练】设a0为单位向量,下述命题中: ①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0; ②若a与a0平行,则a=|a|·a0; ③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0. 假命题的个数是 A.0 B.1 ( C.2 ) D.3
【解析】选D.向量是既有大小又有方向的量,a与
|a|·a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;
径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,
则 AB a， AC b， AD =
(
)
1 A. a b 2 1 C.a b 2
1 B. a b 2 1 D.a b 2
【解析】选A.连接CD,OD, 因为点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,
1 BD ,可得CD∥AB,∠CAD=∠DAB= 〓90°=30°, 所以 AC 3
(2)对于①,当b=0时,条件满足但结论不成立;
对于②,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正 确的;
时,即AB∥DC,且 对于③,四边形是大前提,当 AB DC
AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形,反之,若四边形
ABCD是平行四边形,则 AB DC ,所以③正确;
.
1 【解析】如图, AD AB BD AB BC 2 1 1 1 = AB (AC AB) AB AC. 2 2 2 1 若λ≠0,μ=0,则λa=0·b=0.
因为λ≠0,所以a=0, 又0与任何向量共线,所以结论正确. (ⅱ)同理,若λ=0,μ≠0,结论也正确;
(ⅲ)若λ≠0,μ≠0,由λa=μb得a= b,由共线向量