高等代数论文-关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
可逆矩阵的性质与应用
可逆矩阵的性质与应用矩阵是数学中的一个基础概念，可逆矩阵是其中一个重要的概念，它在矩阵运算和计算机图形处理等领域中有着广泛的应用。
本文旨在介绍可逆矩阵的性质与应用，为读者理解和掌握相关知识提供一些帮助。
一、可逆矩阵的定义和性质可逆矩阵的定义很简单，一个n阶矩阵A，如果存在另一个n 阶矩阵B，使得AB=BA=E（其中E为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
这也可以写成A×B=E或者B×A=E的形式。
可逆矩阵有一些重要的性质：1. 可逆矩阵是方阵：因为可逆矩阵的定义涉及到乘法，所以一个矩阵只有在行数等于列数（方阵）时才能有逆矩阵。
2. 可逆矩阵的逆是唯一的：因为只有一个矩阵能与原矩阵乘积结果为单位矩阵，所以A的逆矩阵B也是唯一的。
3. 可逆矩阵的转置仍是可逆矩阵：若A为可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵。
4. 可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵：若A和B都是可逆矩阵，则它们的乘积AB也是可逆矩阵，并且(AB)的逆等于B的逆乘A的逆，即(AB)的逆=B的逆×A的逆。
5. 非零行列式的矩阵都是可逆矩阵：如果一个n×n的矩阵A行列式不为零，则A一定是可逆矩阵。
6. 可逆矩阵的行列式也为非零值：如果一个n×n的矩阵A可逆，则它的行列式也不为零。
二、可逆矩阵的应用可逆矩阵在线性代数、微积分、计算机图形学等领域中有着广泛的应用，下面简单介绍几个常见的应用。
1. 线性方程组的解法解线性方程组的基本方法就是利用矩阵的逆，假设有线性方程组Ax=b，其中A是一个可逆的矩阵，b是一个n维列向量，x是一个n维未知向量。
则可以用逆矩阵求解，即x=A⁻¹b。
2. 矩阵的求逆求一个矩阵的逆矩阵是很有用的，因为它可以用来解线性方程组、求解矩阵特征值、计算行列式等。
可以使用高斯-约旦消元法来计算逆矩阵，但是这个方法很慢而且需要做很多运算。
如果使用矩阵的初等变换的话，可以快速求解。
浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用
㊀㊀㊀㊀㊀１５２㊀浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用Һ孟庆云㊀王玉雷㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ可逆矩阵是矩阵家族中最重要的一类．可逆矩阵由于其可逆的性质（可以在研究对象的一侧乘上可逆矩阵，并可以通过在同一侧继续乘上其逆矩阵而将其消去），使得可逆矩阵的作用来去自如，其应用灵活㊁有效．本文从作用的角度，以实例分析的方式解析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用，进一步解析矩阵实现线性变换的机理，从而帮助我们了解矩阵的运动变换属性．ʌ关键词ɔ可逆矩阵；线性变换；作用；反作用ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金面上项目 有限群的特征标与群结构 （１１７７１３５６）；河南工业大学高等代数一流课程项目（０１１２／２６５１０００２）．引㊀言从矩阵的定义来看，矩阵是一个数表，是信息的载体，这体现的是矩阵的静态作用．然而更多的时候，矩阵是通过运算，特别是矩阵乘法运算实现其对研究对象的动态作用．我们以 榜样 这个词作为类比：当我们说张三是我们学习的榜样，那么这里 榜样 是一个名词，但其反映更多的是张三所起到的是能对我们产生积极影响的作用．可逆矩阵由于其可逆性，使得其成为刻画和描述可逆过程的得力工具．本文中，我们以实例分析的方式探析可逆矩阵的运动变换属性，从而拓展对可逆矩阵及其逆矩阵的理解与运用．１㊀实例例１㊀加密矩阵与解密矩阵图１是保密通信系统中信息传输端的简单模型．图１通常，信息用二元域上的ｎ维向量表示．在发送端，明文信息α经过加密矩阵Ｋ（ｎ阶可逆方阵）的作用（Ｋ左乘α）得到密文信息β＝Ｋα，这是加密的过程．加密过的信息β经过传输到达信息的接收端，还需要解密还原成明文信息才能被识别．这一过程需要解密矩阵Ｘ（即加密矩阵Ｋ的逆矩阵）的作用．具体为解密矩阵Ｘ左乘作用在密文β上，即Ｘβ＝ＸＫα＝Ｋ－１Ｋα＝α，从而将明文信息α还原．由此可看出：任意ｎ阶可逆矩阵可充当加密矩阵对明文信息进行加密，而其逆矩阵则为解密矩阵，可将加密过的信息进行解密还原，两者所起到的作用是相反的．事实上，可逆矩阵在保密通信中有着深入广泛的应用．［１］例２㊀逆时针旋转矩阵与顺时针旋转矩阵记Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷，观察矩阵Ａ左乘作用在向量α上的结果Ａα，其中α＝ｘｙæèçöø÷＝ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷，α为平面上任意给定的２维向量，ｒ与φ分别表示向量α的长度与辐角．记 α＝Ａα，则 α＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷＝ｒｃｏｓ（φ＋θ）ｒｓｉｎ（φ＋θ）æèçöø÷．由此可看出：Ａ左乘α的效果是将α逆时针旋转θ角，从而得到 α，如图２所示．由此，我们称Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷（其中θ为任意给定的角度）为逆时针旋转矩阵．图２反之，注意到矩阵Ａ可逆，且Ａ－１＝ｃｏｓθｓｉｎθ－ｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷．将Ａ－１左乘 α继续作用在α上，可得Ａ－１将 α顺时针旋转θ角变回α，如图３所示．即Ａ－１为顺时针旋转矩阵，其能够将平面上过原点的向量作顺时针旋转．在此例中，我们看到旋转矩阵能使向量旋转的动态作用．图３例３㊀沿线反射矩阵记Ａ＝１００－１æèçöø÷，观察Ａ作用在２维向量α＝ｘｙæèçöø÷上的结果Ａα＝ｘ－ｙæèçöø÷．㊀㊀㊀１５３㊀㊀图４从图４可以看出：Ａ＝１００－１æèçöø÷的作用是将向量α沿ｘ轴所在的直线进行反射．一般地，设向量ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷为任意一个单位向量，θ为向量ε与ｘ轴正向的夹角．则向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线的反射：Ｔ（α）＝２（α，ε）ε－α＝２（ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ）ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷－ｘｙæèçöø÷＝ｘ（２ｃｏｓ２θ－１）＋ｙｓｉｎθｘｓｉｎ２θ＋ｙ（２ｓｉｎ２θ－１）æèçöø÷＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷ｘｙæèçöø÷其中Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷．即矩阵Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷具有将向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线反射的作用，如图５所示．图５若记α＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷，其中：γ，φ分别为向量α的长度与辐角．显然，Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷是可逆的，其逆Ａ－１＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷＝Ａ，且Ａ－１（Ａα）＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷γｃｏｓ（２θ－φ）ｓｉｎ（２θ－φ）æèçöø÷＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷＝α．即Ａ－１＝Ａ将Ａα还原为α，从图５来看，这显然是的．值得注意的是，例２中的旋转矩阵与例３中的沿线反射矩阵都是正交矩阵，这是一类特殊的可逆矩阵．这类矩阵所引起的变换称为正交变换，它们是保内积的变换，从而是保距也是保夹角的变换．因此，这类变换将一个图形变成与之全等的图形．更多的图形变换如：缩放变换㊁平移变换均可由相应的矩阵来实现，并且这些变换是可逆变换，相应的矩阵也均是可逆矩阵．我们需要注意的是投影变换也可以由相应的矩阵来实现，只是投影变换不是可逆变换，相应的矩阵不再是可逆矩阵．［２］２㊀理论基础从以上几个例子可以看出：如若说可逆矩阵Ａ提供一种作用，而Ａ的逆矩阵提供的则是与Ａ相反的一种反作用，且矩阵对向量的作用可通过矩阵左乘相应向量来实现．运用矩阵乘法结合律，对向量多个连续作用，可通过相应的多个矩阵的乘积来实现，从而使得可逆矩阵的应用灵活有效．定理㊀对矩阵做一次初等行变换，其结果等于在原矩阵的左端乘上相应的初等矩阵；对矩阵做一次初等列变换，其结果等于在原矩阵的右端乘上相应的初等矩阵．由于可逆矩阵是初等矩阵的乘积，因此对矩阵做初等变换就是通过可逆矩阵实现的．从这个理论层面，我们也可以理解矩阵的运动变换属性．更广泛地，对于给定数域Ｆ上的ｎ维线性空间Ｖ，记Ｖ上的所有线性变换构成的Ｆ上的线性空间为Ｌ（Ｖ）．在取定Ｖ的一组基下，我们知道：ＶɸＦｎ，Ｌ（Ｖ）ɸＭｎ（Ｆ），这里，Ｆｎ为数域Ｆ上的ｎ维向量空间，Ｍｎ（Ｆ）为Ｆ上所有ｎ阶方阵构成的ｎ２维线性空间．［３］我们借助以上两个线性同构，再通过矩阵作用于向量的坐标，可以实现所有线性变换对线性空间的作用．比如：例２中的２阶旋转矩阵实现的是对２维向量空间中向量的旋转变换．由此，从动态的角度来看，矩阵的本质是作用㊁是运动㊁是变换．而其中可逆矩阵提供可逆变换．特别地，将Ｍｎ（Ｆ）中的可逆矩阵拿出来，按矩阵的乘法构成一个群，称之为域Ｆ上的一般线性群，记为ＧＬｎ（Ｆ）．对于一般的抽象群Ｇ，通过建立Ｇ到群ＧＬｎ（Ｆ）的同态映射，则可以赋予抽象群Ｇ中每个元素一个作用，即其同态像也就是其所对应的矩阵的作用，从而使得Ｇ有更广泛㊁丰富的内涵，由此进一步研究抽象群Ｇ的性质与结构，这便是群的表示理论．３㊀总结本文通过几个例子从实用性和几何直观两个方面来说明和阐述可逆矩阵的动态作用以及其逆矩阵的反作用，并进一步解释可逆矩阵实现矩阵的初等变换以及矩阵实现向量的线性变换机理，从而帮助我们了解矩阵的作用㊁运动与变换的动态属性，最后，借助矩阵的动态作用，引出群表示理论的思想方法．ʌ参考文献ɔ［１］熊小兵．可逆矩阵在保密通信中的应用［Ｊ］．大学数学，２００７，２３（３）：１０８－１１２．［２］王志俊，姜咏梅，田记．矩阵在图形学几何变换中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１４（１）：８７－８８，９９．［３］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵那么是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比拟成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
数学 学年论文 毕业论文 关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。
本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。
关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。
下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。
定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。
定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1-A 。
定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的基本性质：性质1 当A 为可逆阵，则AA 11=-. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1-为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--11)( )0(1)(11≠=--k A kkA . 性质3 111)(---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11'=--A . 由性质3有 定理2若)2(,21≥n A A A n 是同阶可逆阵，则n A A A 21,是可逆阵，且21(A A下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1。
方法二 伴随矩阵法定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i =，矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫nn n n n n A A A A A A A A A212221212111称为A 的伴随矩阵，记作A*。
定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有*11A AA =-。
定理证明见[1].定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。
可逆矩阵的求法及应用论文
可逆矩阵的求法及应用论文可逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如图像处理、机器学习和密码学等。
本文将首先介绍可逆矩阵的定义和求法，然后探讨其应用领域的相关论文。
首先，我们先了解什么是可逆矩阵。
在线性代数中，如果一个n×n矩阵A满足存在另一个矩阵B使得AB=BA=I（其中I是单位矩阵），则矩阵A被称为可逆矩阵。
矩阵B被称为A的逆矩阵，记作A^-1。
那么如何求一个矩阵的逆呢？有几种常见的方法。
一种是使用伴随矩阵法。
给定一个n×n矩阵A，首先计算其伴随矩阵Adj(A)，再计算行列式det(A)。
如果det(A)≠0，则A可逆，逆矩阵为A^-1=Adj(A)/det(A)。
另一种是使用初等变换法。
我们将A写成增广矩阵[A, I]，然后利用初等行变换将矩阵A变为I，此时增广矩阵的右半部分即为A的逆矩阵。
接下来，我们将探讨可逆矩阵的一些应用及相关论文。
1. 图像处理：可逆矩阵在图像处理中有广泛应用，如图像压缩和图像加密。
在图像压缩中，矩阵变换被用于将图像从空间域转换到频域，以便执行更高效的压缩。
其中一种常用的变换是离散余弦变换（DCT），它通过可逆矩阵的乘法运算进行。
该应用的相关论文包括《基于可逆矩阵变换的图像压缩算法》(刘洁, 2017)等。
2. 机器学习：可逆矩阵在机器学习算法中也起着重要作用。
例如，在线性回归中，我们使用最小二乘法来估计回归参数，其中需要对矩阵进行求逆运算。
此外，可逆矩阵还用于主成分分析（PCA）等降维技术中。
相关的论文包括《基于可逆矩阵变换的主成分分析算法在人脸识别中的应用》(邓阳, 2016)等。
3. 密码学：可逆矩阵在密码学中用于数据加密和解密。
例如，Hill密码就是一种基于矩阵运算的密码算法。
该算法使用一个可逆矩阵作为密钥，将明文分为若干长度为矩阵维度的组，然后对每个组进行矩阵乘法加密。
只有知道密钥的人才能解密。
相关的论文包括《基于可逆矩阵的Hill密码算法研究与应用》(张琦, 2014)等。
可逆矩阵及其简单应用
它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。
因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。
本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。
【关键词】矩阵可逆矩阵通信【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that someimportant properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications目录前言 (5)一、可逆矩阵 (5)二、可逆矩阵的性质及求法 (5)（一）性质 (5)（二）逆矩阵求法 (6)三、可逆矩阵的简单应用 (10)（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)（1）加密保密通信模型 (12)（2）可逆矩阵的应用 (12)（3）加密密钥的生成 (13)（4）解密密钥的生成 (14)（5）明文矩阵的选择 (14)（6）加密矩阵的选择 (14)（7）算法优化 (14)结论 (15)参考文献 (15)致谢16前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。
学年论文(逆矩阵)
逆矩阵的求法1.引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位．所以，笔者详细归纳了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法．矩阵对角化在国内外已有一定的研究．早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵．而在且逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法．2.主要内容定义1 ：n阶方阵A是可逆的，如果有n阶方阵B,使得AB BA I==,-=这里I是n阶单位矩阵，B就称为A的逆矩阵，记为1A B关于逆矩阵的求法经归纳大致分为以下几类．2.1 利用矩阵可逆的定义求逆矩阵引理2.1.1 设F是一数域，对于n nA F⨯B F⨯∈，∈，如果存在n n-=使得AB BA=，则A可逆且1A B证明 由逆矩阵的定义可得 例1 已知n n A F ⨯∈，设280A A I --=,求2A I +的逆矩阵解 因为280AA I --=，故有262A A I I--=，即()()232A I A I I +-=,那么，所以()()11232A I A I -+=-,即2A I +的逆矩阵是()13.2A I -从此例子可看出，只要有AB I =,则有1A B -=，或者BA I =，则1.A B -=2.2 利用伴随矩阵求逆矩阵引理2.2.1 设n n A F ⨯∈，若det()0A ≠,那么()11*.det A A A -=证明 设()1n >阶矩阵111212212212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：()()11221122det ,,0,;det ,,0,.i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j =⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩=⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩若若若若这里st A 是行列式()det A 中元素st a 的代数余子式，由此容易看出，若是令1121121222*12,n n nnnn A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么()()()()**det 00det 00det .00det A A AA A A AI A ⎛⎫⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 因为det()0A ≠，由此可得()()**11.det det A A A A I A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有()1*1.det A A A -=例2 设5218A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求A 的逆矩阵． 解 因为()det 420A =≠，所以A 是可逆的，又*8215A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()1*1.det A A A -=可得1412121154242A -⎛⎫- ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 2.3 利用分块矩阵求逆矩阵引理2.3.1 如果方阵A 、D 可逆，那么分块矩阵1A O T O D ⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为1111.A O TOD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理2.3.2 如果方阵B 、C 可逆，那么分块矩阵可逆，且其逆矩阵为1121.O C T B O ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理2.3.3 如果r 方阵A 和s 阶方阵B 都是可逆，且r s n +=，那么n 阶方阵A C P O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为11111.A A CB P O B -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 证明 假定P 有逆矩阵X ，将X 按P 的分法进行分块：1234,XX X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭那么有1234.r s X X I O A C X X O I O B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是得1324,,r AX CX I AX CX O +=+=34.,s BX O BX I ==因为B 有逆矩阵，用1B -左乘第二行的两个等式得134,.X O X B -==将3XO=代入上面第一个等式得1.AX I =再以1A -左乘，得11.X A -=再把14.X B -=代入等式24AX CX O +=中得 12.AX CB O -+=将第二项移到等号右端，再以1A -左乘得112.X A CB --=-于是1111.A A CB X O B ----⎛⎫-= ⎪⎝⎭直接验证可知.PX XP I == 例3 求矩阵2 -1 31 -23-3 2 -19 14 0 0 3 -4 0 0 -2 3 A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵．解 将矩阵A 进行分块得1A B A O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中121312334,,.32191423A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()()det 10,det 10,A C =≠=≠所以矩阵1A 、C 都是可逆的，且1112134,.3223A C --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有111213123346576.321914238397A BC -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么矩阵A 可逆，且1111112 1 -65 -763 2 -83 -97. 0 0 34 0 0 2 3 A A BC A OC ----⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2.4 利用初等变换求逆矩阵引理2.4.1 在通过行（列）初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵1A -．证明 因为A 可逆，则1A -可逆，那么存在初等矩阵12,k G G G 使得112,k A G G G -=就有112,k A A G G G A -=I 即12k I G G G A=因此112.k A G G G I -=例4 设001110,101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设求1.A - 解()0 0 1|1 0 0 1 0 1|0 0 1 1 0 1|0 0 1, 1 1 0|0 1 0 1 1 0|0 1 00 1 -1|0 1 -11 0 1|0 0 10 0 1|1 0 00 0 1|1 0 0A I ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ =→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪→⎪⎪⎭ 1 0 1|0 0 1 1 0 0|-1 0 10 1 0|0 1 -10 1 0|1 1 -1.0 0 0|1 0 00 0 0|1 0 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是，1-1 0 1 1 1 -1.1 0 0A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 引理2.4.2 如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵A 化为单位矩阵I ，且设用其中的行变换将单位矩阵I 化成C ，用其中的列变换将单位矩阵化成B ，那么1.A BC -=证明 设A 是一个n 阶可逆矩阵，则12121......s k k A Q Q Q P P P P -= (1.1)其中()()1,2,...,,1,2,...,i j Q i s P j k ==都是n 阶初等矩阵，由此得：111111112112......k s kQ Q Q AP P P P I --------= (1.2)又12121.......s k k A IQ Q Q P P P PI -= (1.3)那么()111111111111212112121(......)......s s k k k k s A IQ Q Q P P P PI IP P P P Q Q Q Q I -------------== (1.4) 记11111111112121...,....s k k s B IP P P P C Q Q Q Q I ----------==比较（1.2）和（1.4）得1.A BC -=引理 2.4.3 如果用有限次第三种行、列的初等变换可以将可逆矩阵A 化为对角型矩阵B ，且设用相应的初等变换将单位矩阵I 化成Q ，那么11.A B Q --= 证明 设A 是n 阶可逆矩阵，则1212...,....s s B PPP A Q PP P I ==因为B 是对角矩阵，故1111111...,s s B A P P P ------=所以11112....s A B PP P B Q ---==2.4 求矩阵多项式的逆的方法引理 2.4.1 设A 为一个n 阶方阵，C 为复数域，()f x ，[]()g x P x ∈，且()0.f A =则()g A 可逆的充分条件为()()(),1;f x g x =此时有()()[],u x v x P x ∈使得()()()()1,u x f x v x g x +=且1())().g A v A -= 证明 设()f x 与()g x 互素，故()f x 与)g x （在C 上无公共根．因()0f A =，故()f A 的特征值均为0，但()i f λ为()f A 之特征值，故()0(1,2,).i f i n λ==由于()0,i g λ≠即()g A 无零特征值，从而()g A 可逆．当((),())1f x g x =时，必有()()[],u x v x C x ∈使得()()()()1,u x f x v x g x +=从而()(),v A g A E =即1()().g A v A -=例５已知n 阶方阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求1().A E -+ 证明 令2(),()1,f x x xg x x =-=+由于((),())1f x g x =且()0f A =，故()g A A E =+可逆，又因1*()(2)()2,f x x g x +-=故()(2)2,g A E A E -=从而11().2g A E A -=-参考文献：[1] 张禾瑞，郝炳．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1983．[2] 曹春娟．矩阵逆的另一种求法[J]．运城学院学报，2006,5(24):83-84．[3] 刘新文，王雪松．可逆分块矩阵的逆矩阵的求法[J]．衡阳师范学院学报，2008,3(29):29-31．[4] 高明．逆矩阵的求法[J]．阴山学刊．2006,2(20):14-16．[5] 苏敏．逆矩阵求法的进一步研究[J]．2004,2(16):28-30．[6] 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4(17):18-20．[7] 张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2(22):71-73．。
浅谈逆矩阵的求法及其应用论文
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（2）若 k ≠ 0，则 kA 可逆，且（kA）-1 = （3）AB 可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1； （4）AT 可逆，且（AT）-1 = （A-1）T； （5）Ak 可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k； （6）| A-1 | = | A |-1；
高等代数
课题：关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
学院 、专业： 数 学 生 姓 名： 年 级 班：
学
与
应 用
数
学
2011 级 数本（1）班
指 导 教 师：
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摘要 ·1 关键字 ·1 引言·1 第一部分·1 基础知识·1 一、定义·1 1、矩阵的定义·1 2、逆矩阵的定义·1 二、逆矩阵的性质·1 三、逆矩阵的判断条件·2 第二部分 逆矩阵的求解方法·2
第二部分 矩阵逆的求解方法
方法 1 定义法：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆 矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1. 例 1：设 A 为 n 阶矩阵，且满足 2A - 3A + 5E = 0 ，求 A-1. 【解】
随矩阵， 记作A*，于是有A-1 = 注 1 A*. |A|
A21 A22 A2 n
An1 An 2 称为矩阵A的伴 Ann
①对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求 其 逆 矩 阵 . 注 意 A* = （ Aij ） n × n 元 素 的 位 置 及 符 号 . 特 别 对 于 2 阶 方 阵
矩阵 设 mn 个数 aij (i 1,2,, m ; j 1,2,, n) 排成 m 行 n 列的数表
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
用括号将其括起来, 称为 m n 矩阵, 并用大写字母表示, 即
a11 a12 a1n a a 22 a 2 n 21 A , a m1 a m 2 a mn
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定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A11 1 A12 1 A A A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A11 A12 其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵 A1n
2、逆矩阵的定义
简记为 A (aij ) mn .
定义：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使 得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟 一确定，记为 A-1.
二、逆矩阵的基本性质： 性设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则
1 -1 A ； k
（7） 如果 A 是 m×n 矩阵， P 是 m 阶可逆矩阵， Q 是 n 阶可逆矩阵， 则r （A） =r （PA） = r（AQ）= r（PAQ）.
2、矩阵可逆的判断条件
（1）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即 r（A）= n） ； （2）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行 （列）变换）化为 n 阶单位矩阵； （3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以写成一些初等矩阵的乘积； （4）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的 n 个特征值不为零； （5）对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = E（或 BA = E） ，则 A 可逆，且 A-1 = B.
第三部分 可逆矩阵的应用·12 一、数学中的应用·13 二、生活中的应用·14 总结·17 参考文献·17
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关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时 在生活应用上， 也占有很重要的地位。本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的 种方法，以及其应用的举例。 关键词：逆矩阵 引 言 伴随矩阵 初等矩阵 逆矩阵应用的举例
a a12 a a A 11 12 ，其伴随矩阵 A* 22 ,即伴随矩阵具有“主对角元 a21 a22 a21 a11
素互换，次对角元素变号”的规律. ②对于分块矩阵
A B 不能按上述规律求伴随矩阵. C D
1 0 1 例 2：已知 A= 2 1 0 ，求 A-1. 3 2 5
方法 1 定义法·2 方法 2 伴随矩阵法·2 方法 3 初等变换法·3 方法 4 用分块矩阵求逆矩阵·5 方法 5 解方程组求逆矩阵·5 方法 6 用克莱姆法则求解·6 方法 7 用行列式·8 方法 8 恒等变形法求逆矩阵·9 方法 9 用 Hamilton-Caley 定理求逆矩阵·10 方法 10 三角矩阵求逆法·11 方法 11 拼接新矩阵·12
矩阵理论是高等代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要
工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。在矩阵乘法中单位矩
阵 E 相当于数的乘法运算中的“1” ，逆矩阵类似实数的倒数。下面通过引入方法，以及应用例子进行探讨。
第一部分 知识预备
一、定义 1、矩阵的定义
2A 2 - 3A + 5E = 0 2A 2 - 3A = - 5E 2 2 3 A A =E 5 5 2 3 2 3 A (- A E) = - A E=E 5 5 5 5 2 3 A可逆且 A -1 = - A E 5 5 2
方法 2
伴随矩阵法：A-1 =
1 A*. |A|