2012届高考物理一轮复习 13.4动量定理及其应用学案

第 4课时 动量定理及其应用

基础知识归纳

1.冲量

力和力的作用时间的乘积 叫做力的冲量.冲量是描述力对物体作用的时间累积效应的物理量.冲量的表达式是 I ＝Ft ，而t 是一个过程量，因此力的冲量是一个过程量，冲量是矢量，但方向不一定就是力F 的方向，其单位是 N·s .

2.用动量概念表示牛顿第二定律

由a ＝v ′－v t ′－t

及F ＝ma 得 F ＝mv ′－mv t ′－t ＝p ′－p t ′－t ＝Δp Δt

所以F ＝Δp Δt

意义：物体动量的 变化率 等于它所受的力，这是牛顿第二定律的另一种表达形式.

3.动量定理

物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的 冲量 ，即p ′－p ＝I 或mv v m Ft -'=.

重点难点突破

一、冲量的方向一般并不是力的方向

力F 和力的冲量Ft 都是描述力对物体作用的物理量，都是矢量.但力是瞬时作用量，有力的作用，物体的运动状态就会发生变化，即产生加速度，而力的冲量是一个与时间有关的过程作用量，要改变物体的速度必须经过一段时间的作用才能实现.

有些同学从公式I ＝Ft 出发，认为冲量的方向就是力F 的方向，这种认识在有些情况下是错误的.如果在作用时间内作用力为恒力(大小和方向都不变)时，冲量的方向与力的方向是一致的；如果在作用时间内作用力是变力时，特别是作用力的方向也变时，冲量的方向应为动量变化的方向.这一点值得特别注意.

二、冲量的计算

1.对于大小、方向都不变的恒力，它们的冲量可以用I ＝Ft 计算.冲量的方向和恒力F 的方向相同，进一步可根据恒力的冲量确定物体动量变化的大小和方向.

2.若F 是变力，但在某段时间内方向不变，大小随时间均匀变化，可用平均力F ＝F 0＋F t

2通过

I ＝Ft 求出在时间t 内的冲量.

3.若F 的大小、方向都随时间发生变化，或虽然F 的方向不变，但大小不随时间均匀变化，可根据动量定理I ＝Δp ，通过求Δp 间接求出变力的冲量.

三、对动量定理的理解

1.动量定理的表达式Ft ＝mv ′－mv 中Ft 是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量，“＝”表示合外力的冲量与研究对象动量增量的数值相等，方向一致，数值相等但不能认为合外力的冲量就是物体动量的增量，合外力的冲量是引起研究对象运动状态改变的外部因素，而动量的增量则是研究对象在合外力的冲量作用后所导致的必然结果.

2.注意各矢量的方向，在解题时一定要预先规定一个正方向，并且在解题过程中，始终注意“正”方向的一贯性，不能中途“正”、“负”对换.

3.比较p 、Δp 、Δp Δt

之间的区别：p 是物体的动量，是矢量，状态量；Δp 是物体动量的变化

量，也是矢量，是过程量；Δp Δt

是动量的变化率. 由动量定理F Δt ＝Δp 得F ＝Δp /Δt ，可见，动量的变化率等于物体所受的合外力，与物体的质量与速度无关.当动量变化较快时，物体所受合外力较大，反之则小；当动量均匀变化时，物体所受合外力为恒力，可由图所示的图线来描述，图线斜率即为物体所受合外力F ，斜率大，则F 也大.

4.动量定理的物理实质与牛顿第二定律是相同的.

5.动量定理的适用范围.

尽管动量定理是根据牛顿第二定律和运动学的有关公式在恒定合外力的情况下推导出来的.可以证明：动量定理不但适用于恒力，也适用于随时间变化的变力.对于变力情况，动量定理中的F 应理解为变力在作用时间内的平均值.

因此其应用范围比牛顿运动定律要广泛得多，在多数情况下，我们会优先考虑动量定理的使用.

典例精析 1.冲量的计算

【例1】如图所示，质量为2 kg 的物体沿倾角为30°，高为5 m 的光滑斜

面由静止从顶端下滑到低端的过程中，求：

(1)重力的冲量；

(2)支持力的冲量；

(3)合力的冲量.

【解析】由于物体下滑过程中各个力均为恒力，所以只要求出物体下滑的时间，便可以用公式I ＝F ·t 逐个求出.由牛顿第二定律：a ＝

m mg θ sin ?＝g sin θ＝5 m/s 2 由x ＝12at 2，得t ＝2x a ＝2h g sin 2θ

＝2 s 重力的冲量为

I G ＝mg ·t ＝(2×10×2) N·s＝40 N ·s ，方向竖直向下.

支持力的冲量为

I N ＝F N ·t ＝mg cos θ·t ＝20 3 N ·s

方向垂直于斜面向上.

合力的冲量为

I 合＝F 合·t ＝mg sin θ·t ＝20 N ·s

I 合方向沿斜面向下.

【思维提升】冲量的计算方法：

(1)恒力的冲量，应用公式I ＝Ft 计算.

(2)变力的冲量可用平均值法、动量定理法、图象法进行计算.

【拓展1】物体受到一随时间变化的外力作用，外力随时间变化的规律为F ＝(10＋5t )N ，则该力在2 s 内的冲量为 30 N ·s .

【解析】由题意知，外力F 随时间t 均匀变化，因此可以认为2 s 内物体所受外力的平均值为F ＝10＋202

N ＝15 N.再根据冲量的定义式，可求得外力在2 s 内的冲量为 I ＝F t ＝15×2 N·s ＝30 N ·s

【拓展2】一小球在与地面距离为H 高处由静止开始自由落下，已知小球在下落过程中所受阻力与其速度成正比，即有F ＝kv ，其中k 为已知常量，试求小球在下落过程中所受阻力的冲量.

【解析】本题阻力显然在不断变化，无法直接求解.考查物体的受力、运动情况，物体在重力和阻力作用下做加速度减小的加速运动，其速度随时间变化的v-t 图象

应为如图所示，由于小球在下落过程中所受阻力与其速度成正比，所以其阻力随时间变化的F-t 图象，也应该与v-t 图象相似，对于vt 图象而言，图线与时间轴所围的“面积”表示小球的位移，即小球下落的高度；而对于F-t 图象来说，图线与时间轴所围的“面积”表示阻力的冲量，由于F ＝kv ，因此小球在下落过程中所受阻力的冲量I ＝kH

2.重力的冲量能否忽略问题

【例2】如图所示，用0.5 kg 的铁锤把钉子钉进木头里去，打击时铁锤的速度v ＝4.0 m/s ，如果打击后铁锤的速度变为0，打击的作用时间是0.01 s ，那么：

(1)不计铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？

(2)考虑铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力又是多大？(g 取10 m/s 2)

(3)比较(1)和(2)，讨论是否要计铁锤的重力.

【解析】(1)以铁锤为研究对象，不计重力时，只受钉子的作用力，方向竖直向上，设为F 1，取竖直向上为正，由动量定理可得F 1t ＝0－mv

所以F 1＝－0.5×(－4.0)0.01

N ＝200 N ，方向竖直向上. 由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的作用力为200 N ，方向竖直向下.

(2)若考虑重力，对铁锤应用动量定理，取竖直向上为正.

(F 2＋mg )t ＝0－mv (矢量式)

F 2＝－5×(－4.0)0.01

N －0.5×(－10) N ＝205 N ，方向竖直向上. 此时铁锤钉钉子的作用力为205 N ，方向竖直向下.

(3)比较F 1与F 2其相对误差为|F 2－F 1|F 1

×100%＝2.5%，可见本题中重力的影响可忽略. 【思维提升】竖直方向应用动量定理时，不要漏掉重力，只有当计算结果表明重力可忽略不计时，才能忽略重力.

【拓展3】质量为1.0 kg 的小球从离地面5.0 m 高度处自由落下，与地面碰撞后，回弹的最大高度为3.2 m ，设球与地面碰撞时间为0.2 s ，不计空气阻力，则小球受到地面的平均冲力大小为( C )

A.90.0 N

B.80.0 N

C.100.0 N

D.30.0 N

【解析】下落阶段v 1＝2gh 1

上升阶段v 2＝2gh 2

碰撞过程取竖直向上为正方向，由动量定理得

(F －mg )t ＝mv 2－m (－v 1)(标量式)

所以F ＝mg ＋m (v 1＋v 2)t

代入数据得F ＝100.0 N ，方向竖直向上.

3.多过程问题中动量定理的应用

【例3】人做“蹦极”运动，用原长为15 m 的橡皮绳拴住身体往下跃.若此人的质量为50 kg ，从50 m 高处由静止下落到运动停止瞬间所用时间为4 s ，求橡皮绳对人的平均作用力.(g 取

10 m/s 2，保留两位有效数字)

【解析】解法一：人首先做自由落体运动，绳张紧后由于绳的张力随绳的伸长量而发生变化，题目求绳对人的平均作用力，可用动量定理求解.

由h ＝12

gt 21 得自由下落时间为t 1＝2h g ＝2×1510

s ＝1.73 s 绳的拉力作用时间为t 2＝t －t 1＝4 s －1.73 s ＝2.27 s

全程应用动量定理有Ft 2－mgt ＝0

得平均作用力为F ＝mgt t 2＝50×10×42.27

N ＝8.8×102 N 解法二：绳张紧瞬间人的速度v 1＝2gh ＝10 3 m/s

以向上的方向为正，则由绳张紧瞬间到运动停止瞬间过程，由动量定理得(F －mg )t 2＝ 0－(－mv 1)

所以F ＝mv 1t 2＋mg ＝50×1032.27

N ＋50×10 N＝8.8×102 N 【思维提升】(1)动量定理也可以表述为：外力的总冲量等于物体动量的变化量，即F 1t 1＋F 2t 2＋…＋F n t n ＝mv ′－mv .

(2)对多过程问题应用此式，往往比用其他方法更简单.

【拓展4】某人身系弹性绳自高空P 点自由下落.图中a 点是弹性绳的原长位置，c 是人所到达的最低点，b 是人静止悬吊时的平衡位置.不计空气阻力，则下列说法正确

的是( BC )

A.从P 至c 的过程中重力的冲量大于弹性绳弹力的冲量

B.从P 至c 的过程中重力所做的功等于人克服弹力所做的功

C.从P 至b 的过程中人的速度不断增大

D.从a 至c 的过程中的加速度方向保持不变

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4.冲量问题中平均作用力的计算

【例4】如图所示，质量为m ＝2 kg 的物体，在水平力F ＝8 N 的作用下

由静止开始沿水平面向右运动，已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝

0.2，若F 作用t 1＝6 s 后撤去，撤去F 后又经t 2＝2 s 物体与竖直墙相

碰，若物体与墙壁作用时间t 3＝0.1 s ，碰墙后反向弹回的速度v ′＝6 m/s ，

求墙壁对物体的平均作用力.(g 取10 m/s 2)

【错解】研究物体从开始运动到撞墙后反弹的全过程，选F 的方向为正方向，根据动量定理有： Ft 1－μmg (t 1＋t 2)－F t 3＝mv ′

所以F ＝Ft 1－μmg (t 1＋t 2)－mv ′t 3＝8×6－0.2×2×10×(6＋2)－2×60.1

N ＝40 N 【错因】没有考虑动量的方向性.

【正解】全过程应用动量定理：

Ft 1－μmg (t 1＋t 2)－F t 3＝－mv ′－0

代入数据解得F ＝280 N

【思维提升】在用动量定理解题时往往容易忽略动量的矢量性.进行矢量运算时，一定要考虑方向性.