第一章1.1-1.1.1第1课时集合的含义 答案
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义人教A版必修第一册
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取 值范围．
点、易混点)
自主预习 探新知
1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母 a，b，c，… 表示． (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁 字母 A，B，C，… 表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样 的． (4)集合中元素的特性：确定性 、互异性和无序性 ．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为
() A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确； ② 2是无理数，所以 2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误； ④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a ＝4∈A， 所以a＝2， 或者a＝4∈A,6－a＝2∈A， 所以a＝4， 综上所述，a＝2或4.故选B.]
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义
学习目标
核心素养
1.通过实例了解集合的含义．(难点) 1.通过集合概念的学习，逐步
第1章 1.1 1.1.1 第1课时 集合的含义
集合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义[新知初探]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a ∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )答案：(1)√(2)×(3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC.2∈Q D．－1∉Z答案：A3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( )A．0 B．1C．－1 D．0或1答案：A4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．答案：2集合的基本概[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案] B1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0. [答案] (1)C (2)0,1,2元素与集合的关系[活学活用]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：已知A ＝{x|x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B.解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A.令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.所以－5∉A.令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈B. 答案：∈ ∉ ∈[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．集合中元素的特性及应用[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案] －1[一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－ 2.2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A.故选B.5．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，－a ，a<0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A. 答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x<a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 解析：∵x ∈N,2<x<a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：69．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<6，3a<6，解得a<2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，ba ，b.若集合A 与集合B 相等，则b－a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a≠0，∴a ＝－b ， ∴ba＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a|a ＋|b|b ＋|ab|ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>36．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.11 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A.∵12∈A ，∴11－12＝2∈A.∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。
高中数学第一章集合与逻辑1-1集合1-1-1集合第1课时集合与元素学生用书湘教版必修第一册
第一章集合与逻辑1．1 集合1.1.1 集合第1课时集合与元素教材要点要点一集合与元素的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个________________，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个________．要点二元素与集合的关系要点三元素的基本属性(1)互异性：同一集合中的元素是________________．(2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．(3)无序性：集合中的元素________．状元随笔(1)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(2)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．要点四常用数集及表示符号要点五集合的分类(1)有限集：元素个数________的集合叫有限集(或有穷集)．(2)无限集：元素________的集合叫无限集(或无穷集)．(3)空集：没有元素的集合叫空集，记作________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( )(2)我班喜欢打篮球的同学不能组成一个集合．( )(3)空集是无限集．( )(4)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.( )2．(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC．－1∈Z D．√2∉R3．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．4．若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A，2______A．(用∈或∉填空)题型1 集合概念的理解例1 判断下列每组对象能否构成一个集合：(1)援助湖北抗击新冠疫情的医护人员；(2)我校2021级所有高个子同学；(3)不小于3的自然数；(4)√3的近似值的全体．方法归纳判断一组对象能否组成集合的策略(1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)注意集合中元素的互异性、无序性．跟踪训练1 (多选)下列对象能构成集合的是( )A．联合国常任理事国B．充分接近√2的实数的全体C．方程x2＋x－1＝0的实数根D．全国著名的高等院校题型2 元素与集合的关系例2 (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝√2+√3，则( )A．a∈A B．a2∈A∈A D．a＋1∈AC．1a(2)给出下列关系：①1∈R；②|－3|∉N；③|－√3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( )2A．1B．2C．3D．4方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2 (1)给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q.其中正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3(2)设集合M是由不小于2√3的数组成的集合，a＝√11，则下列关系中正确的是( )A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M题型3 集合特性的应用例3 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则1∈A(a≠1).1−a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．(2)集合A不可能是单元素集．变式探究本例前提条件不变，求证以下两个问题：(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．(2)若a∈A，则1－1∈A.a方法归纳根据集合中元素的特性求值的三个步骤跟踪训练3 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈A，求实数x.易错辨析忽略集合元素的互异性例4 设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，b，a b，且A＝B，则a2021＋b2021＝________．＝1.若b＝1，解析：易知a≠0，a≠1，则根据两个集合相等可知a＋b＝0，且b＝1或ba＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；若ba不符合题意．综上可知a＝－1，b＝1.故a2021＋b2021＝(－1)2021＋12021＝0.答案：0易错警示课堂十分钟1．下列各组对象可以组成集合的是( )A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数2．设M是所有偶数组成的集合，则( )A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．0∉M3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )A．P是由元素1，√3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－√3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．5．已知集合A是由所有形如3a＋√2b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋2√2是不是集合A中的元素．第一章集合与逻辑1．1 集合1．1.1 集合第1课时集合与元素新知初探·课前预习要点一集合或集元素要点二a是集合S的元素a∈S a不是集合S中的元素a∉S要点三互不相同的没有顺序要点四N N*或N＋Z Q R要点五有限无限多∅[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：显然AC正确；π是无理数，B不正确；√2是实数，D不正确．故选AC.答案：AC3．解析：由元素的互异性可知x－2≠0且x－2≠1，即x≠2且x≠3.答案：2，34．解析：由4x－5<3得x<2，则1∈A，2∉A.答案：∈∉题型探究·课堂解透例1 解析：(1)能构成集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(3)对于任意一个自然数能判断是不是不小于3，所以能构成集合．(4)“√3的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．跟踪训练1 解析：B 、D 中的元素不能确定，不能构成集合，故选AC. 答案：AC例2 解析：(1)a ＝√2+√3<√4+√4＝4<5， 所以a ∈A ，a ＋1<√4+√4＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(√2)2＋2√2×√3＋(√3)2＝5＋2√6>5，所以a 2∉A ，1a＝√2+√3＝√3−√2(√2+√3)(√3−√2)√3−√2<5，所以1a ∈A .故选ACD. (2)①正确；②③④不正确．故选A. 答案：(1)ACD (2)A跟踪训练2 解析：(1)实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确．(2)判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵√11<2√3，∴a ∉M .答案：(1)B (2)B例3 证明：(1)若a ∈A ，则11−a ∈A . 又因为2∈A ，所以11−2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11−(−1)＝12∈A . 因为12∈A ，所以11−12＝2∈A .根据集合中元素的互异性可知，A 中另外两个元素为－1，12，结论得证． (2)若A 为单元素集，则a ＝11−a ， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11−a ，所以集合A 不可能是单元素集． 变式探究 证明：(1)因为3∈A ， 所以11−3＝－12∈A ， 所以11−(−12)＝23∈A ，所以11−23＝3∈A ，根据集合中元素的互异性可知，A 中另外两个元素为－12，23，结论得证． (2)因为a ∈A ，所以11−a ∈A ， 所以11−11−a＝1−a −a ＝1－1a ∈A .跟踪训练3 解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.[课堂十分钟]1．解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B.答案：B2．解析：∵0和2是偶数，∴2∈M，0∈M，故选C.答案：C3．解析：由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.答案：A4．解析：∵x≥2，且a∉A，∴a<2.答案：a<25．解析：因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2√2＝3×(－2)＋√2×2是形如3a＋√2b(a ∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2√2是集合A中的元素．。
第一章 §1 1.1 第1课时 集合的概念
§1集合1．1集合的概念与表示第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”与“不属于”关系.4.记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的、顺序任意的．思考某班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系关系说法记法属于a属于集合A a∈A不属于a不属于集合A a∉A思考符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？答案不能，符号“∈”和“∉”具有方向性，必须左边是元素，右边是集合．知识点三常见的数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋1．组成集合的元素一定是数．(×)2．接近于0的数可以组成集合．(×)3．元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相同的．(×)4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)一、对集合的理解例1(多选)考察下列每组对象，能构成集合的是()A．2 020年全国高考数学试卷中的所有难题B．中国各地美丽的乡村C．参加我市新冠防治的志愿者D．不小于3的自然数答案CD解析A中“难题”，B中“美丽的”标准不明确，不符合确定性；CD中的元素标准明确，均可构成集合，故选CD.反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列说法中，正确的是()A．“不超过20的非负数”构成一个集合B．用实数2,0,2,0组成的集合有4个元素C．“3的近似值的全体”构成一个集合D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同答案 A二、元素与集合的关系例2(1)下列关系式中正确的个数为()①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z；⑤0∈N.A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确；⑤0是自然数，故⑤正确．(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为__________．答案2,1,0解析由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0，因此A中元素有2,1,0.反思感悟判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．三、集合中元素特性的简单应用例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.(学生)反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练3已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.1．现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点．其中能构成集合的是()A．①③B．②③C．③④D．③④⑤答案 D解析①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合．2．(多选)下列结论正确的是()A．0∈N＋ B.2－7∉QC．0∉Q D．8∈Z答案BD3．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案 D解析因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案10解析由集合元素的互异性知，集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．5．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．答案②④解析因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．(2)常用数集的表示．(3)集合中元素的特性及应用．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．1．下列各组对象能构成集合的有( ) ①接近于1的所有正整数； ②小于0的实数； ③(2 020,1)与(1,2 020)． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．0组答案 B解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合． 2．(多选)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B. 5 C.34 D ．－7 答案 BD解析 由题意知a 应为无理数．3．给出下列关系：①13∈R ；②7∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 13是实数，①正确；7是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.4．已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A 且－3∉A B ．－3∈A 且3∈A C ．3∉A 且－3∉A D ．3∉A 且－3∈A 答案 D解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A ， 又－3－1＝－4<3，∴－3∈A . 5．已知集合M 是由满足y ＝12x ⎝⎛⎭⎫其中x ∈N ＋，12x ∈Z 的实数y 组成的，则M 中含有的元素个数为( ) A ．4B ．6C．8 D．12答案 B解析由题意，可知y可取的值为1,2,3,4,6,12，共6个，故选B.6．用符号“∈”或“∉”填空：设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.答案∈∉解析矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.7．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．答案－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合中元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案 6解析∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6.9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．解(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2符合题意．故x＝－2.10．若集合A中含有a－2，a2＋4a,10三个元素，若－3∈A，求实数a的值．解由－3∈A得，a－2＝－3或a2＋4a＝－3.若a－2＝－3，解得a＝－1，此时a2＋4a＝1－4＝－3，集合A中的元素为－3，－3,10，不满足元素的互异性，所以a＝－1，舍去．若a2＋4a＝－3，解得a＝－3或a＝－1(舍去)．当a ＝－3时，a －2＝－5，此时集合A 中的元素为－5，－3,10，符合条件． 综上，a ＝－3.11．集合A 中只含有三个元素2,4,8，若a ∈A ，且8－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．0答案 B解析 若a ＝2，则8－a ＝8－2＝6∉A ；若a ＝4，则8－a ＝8－4＝4∈A ；若a ＝8，则8－a ＝8－8＝0∉A ，故选B.12．(多选)已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．－1∈MB ．1∈MC ．2∈MD ．3∈M 答案 AD解析 ①当x ，y 均为正数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为3；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y |y |＋xy |xy |的值为－1；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为－1，所以集合M 的元素有－1,3.13．由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 答案 C解析 由题意知a 2≠4,2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，结合选项知C 正确，故选C.14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________． 答案 1,2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A 中元素为0,1,2，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是1,2.15．已知集合M 有2个元素x ,2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3. 答案 ②解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，2－x ≠－1，x ≠2－x .解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0,2，故①可能正确；当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 16．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，根据上述条件求出实数a 的值． 解 ∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，a ＝－3.。
人教版A数学必修一第1章 1.1.1 集合的含义
人教版A数学必修一第1章 1.1.1 集合的含义解答题若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A＝{－1，1，2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.【答案】（1）不是（2）A＝{1，2，}或{－1，2，}或{1，3，}【解析】试题分析:（1）根据定义，由于2的倒数为不在集合A 中，故集合A不是可倒数集．（2）若两个倒数互不相等，则“可倒数集”元素个数为偶数，因此必有一个元素的倒数等于其本身，即必有1或-1，再取其它两个互为倒数的数即得含3个元素的可倒数集．试题解析:(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，}或{－1,2，}或{1,3，}等．填空题已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是__________.【答案】【解析】x只能取3,4,5，故5＜k≤6.选择题下列集合中，不同于另外三个集合的是()A. {x|x＝1}B. {x|x2＝1}C. {1}D. {y|(y－1)2＝0}【答案】B【解析】{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.填空题设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝_________.【答案】【解析】显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.解答题．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负质数的集合；(2)大于10的所有自然数的集合．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)可用列举法写出所求集合；(2)可用描述法表示所求集合.试题解析：(1)不超过10的非负质数有2,3,5,7，用列举法表示为{2,3,5,7}，是有限集．(2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为{x|x>10，x∈N}，是无限集．选择题设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．故选B.选择题已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A. 0∉MB. 2∈MC. －4∉MD. 4∈M【答案】D【解析】当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.填空题用列举法写出集合＝___________.【答案】【解析】∵∈Z，x∈Z，①∴3－x为3的因数．∴3－x＝±1，或3－x＝±3.∴＝±3，或＝±1.∴－3，－1,1,3满足题意．选择题在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是()A. ②B. ③C. ②③D. ①②③【答案】C【解析】①高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合；②而正三角形标准明确，能构成集合；③方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C．选择题用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A. {1,1}B. {1}C. {x＝1}D. {x2－2x＋1＝0}【答案】B【解析】试题分析：集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.解答题已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．【答案】（1）当时，，当时，；（2）【解析】试题分析:将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．试题解析:(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A＝{}，符合题意；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.选择题已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()A. 2B. 3C. 0或3D. 0或2或3【解析】因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m ＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.选择题方程组的解集是()A. B. {x，y|x＝3且y＝－7}C. {3，－7}D. {(x，y)|x＝3且y＝－7}【答案】D【解析】解方程组得，用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D选择题已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【解析】由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.选择题下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．能表示方程组的解集的是()A. ①②③④⑤⑥B. ②③④⑤C. ②⑤D. ②⑤⑥【答案】C【解析】方程组的解是故选C.选择题已知集合A＝{x|x≤10}，a＝，则a与集合A的关系是()A. a∈AB. a∉AC. a＝AD. {a}∈A【答案】A【解析】由于＋＜10，所以a∈A.故选A.。
第一章 1.1 1.1.1 第一课时 集合的含义
第一课时
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集合的概念
[提出问题] 观察下列实例： (1)山东天成书业集团的所有员工； (2)平面内到定点 O 的距离等于定长 d 的所有的点；
x＋1≥3 (3)不等式组 2 x ≤9
的整数解；
(4)方程 x2－5x＋6＝0 的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．
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问题1：上述实例中的研究对象各是什么？
[例3] 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数
a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素， ∴a≠1. 当a＝－1时， 集合A含有两个元素1，－1，符合互异性． ∴a＝－1.
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[类题通法] 关注元素的互异性 根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取 值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解 题后要注意进行检验．
不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“ 2的 近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数， 比如 2 是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能 构成集合．
[答案] A
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(2)[解]
①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对
象不具有确定性，所以不能组成集合． 3 6 1 1 ②不正确． 由于 ＝ ， －2＝ ， 由集合中元素的互异性知， 2 4 2 3 1 这个集合是由 1， ， 这三个元素组成的． 2 2 ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，所以它们仍 表示同一个集合．
x2，若A＝B，求实数x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0. (1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异 性，故舍去． (2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册
1．1 集合1．1。
1集合及其表示方法内容标准学科素养1。
通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。
授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。
2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。
3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。
北师大版必修第一册--第1章-1.1-第1课时集合的概念--课件(35张)
分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性
解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1,当a=1时,a=a2,集合A中
只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,
符合互异性,所以a=-1.
1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范
围是什么?
解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且
A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,
∴a属于集合A,即a∈A.
答案:C
)
3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可
以是(
)
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
解析:验证法:若x=0,x2=0,x3=0,不合题意;
若x=1,x2=1,x3=1,不合题意;
(1)1
N+;(2)-3
(3)
(5)-
Q;(4)
N;
Q;
R.
答案:(1)∈ (2)∉ (3)∈ (4)∉ (5)∈
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错
误的画“×”.
(1)如果小明的身高是1.78 m,那么他应该是由高个子学生组
成的集合中的一个元素.( × )
么是,要么不是,两者必居其一,且仅居其一,故“等边三角形的
全体”能组成集合;同理可得,(2)能组成集合;(3)能组成集合;
(4)“聪明的人”没有明确的判断标准,对于某个人算不算聪明
无法客观判断,因此“聪明的人”不能组成集合;同理可得,(5)不能 Nhomakorabea成集合.
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1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
A 级 基础巩固
一、选择题
1．解析：－5≤x ≤5，且x ∈N *，
所以x ＝1，2，所以1∈A .
答案：D
2．解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A ，C ，D 选项没有一个明确的判定标准，只有B 选项判断标准明确，可以构成集合．
答案：B
3．解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a 的取值可以是8.
答案：C
4．解析：因为a ∈M ，且2a ∈M ，又－1∈M ，
所以－1×2＝－2∈M .
答案：C
5．解析：因A 中含有3个元素，即a 2，2－a ，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C.
答案：C
二、填空题
6．解析：①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合．
答案：①④
7. 解析：因为方程x 2－2x －3＝0的解是x 1＝－1，x 2＝3，方程x 2－x －2＝0的解是x 3＝－1，x 4＝2，所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素．
答案：3
8．解析：因为－2∈M ，所以a －3＝－2或2a ＋1＝－2.若a －3＝－2，则a ＝1，
此时集合M 中含有两个元素－2，3，符合题意；若2a ＋1＝－2，则a ＝－32，此
时集合M 中含有两个元素－2、－92，符合题意；所以实数a 的值是1、－32.
答案：1、－32
三、解答题
9．解：因为A ＝B ，所以－1，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解．
则⎩⎨⎧－1＋3＝－a ，－1×3＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3.
10．解：因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，
所以a ＝－1或a ＝－32.
当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3，集合A 不满足元素的互异性，所以a ＝－1舍去．
当a ＝－32时，经检验，符合题意．所以a ＝－32.
B 级 能力提升
1．解析：若a ＝2，则6－2＝4∈A ；
若a ＝4，则6－4＝2∈A ；
若a ＝6，则6－6＝0∉A .故选B. 答案：B
2．解析：当x ，y ，z 都是正数时，a ＝4，当x ，y ，z 都是负数时a ＝－4，当x ，y ，z 中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时，a ＝0.所以以a 的值为元素的集合中有3个元素．
答案：3
3．证明：(1)若a ∈A ，则
11－a ∈A . 又因为2∈A ，所以
11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－（－1）
＝12∈A . 因为12∈A ，所以11－12
＝2∈A .
所以A 中另外两个元素为－1，12.
(2)若A为单元素集，则a＝1
1－a
，即a2－a＋1＝0，方程无解．
所以a≠
1
1－a
，所以A不可能为单元素集．。