分类数据的检验

第三讲分类数据的检验
一、引例
十九世纪伟大的英国生物学家孟德尔（Men del）按颜色与形状把豌豆分为四类：黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的。

按照遗传学理论，孟德尔指出这四类豌豆的个数之比为9：3:3：1，也即豌豆为黄而圆的，青而圆的，黄而有角的，青而有角的概率分别为
9/16，3/16，3/16，1/16。

他通过观察n = 556个豌豆发现，这四类豌豆的个数分别为315，108，101，32。

如何根据这些观察数据对孟德尔的遗传学理论进行检验？
分析：
（0总体为所有的豌豆，豌豆按颜色和形状分为四类：几一黄而圆的，A—青而圆的，A3 —黄而有角的，A—青而有角；
（2）每种豌豆的比率（概率）分别为：p1 =P（A1），p2=P（A），P3 二P（A3），P4 = P（A4），但未知;
（3）根据理论或经验提出假设：
P1 = 9/16，P2 二3/16，p3 = 3/16，p4 = 116 ；
（4）做试验获得观察数据
（5）根据观察数据检验如下假设：
H o: pi = 9/16 , p2=3』16 , 0=3』6 , p4=1?6
若接受H o，说明观察数据符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论正确；
若拒绝H o，说明观察数据不符合孟德尔的遗传学理论，也即说明孟德尔的遗传学理论不正确。

二、分类数据检验问题的统计模型
（一）问题的一般提法
4、总体分布
设总体根据某项指标分为n类，记为A I,A2,L ,A r，各类所占的比
例记为p i, P2, L , P r，其中P i 0，' P i =1，但P i未知。

也即总体分布
i=1
为:
总体类别A i A2 L A 比例P i P2 L P r
2、假设检验
根据理论，或从经验出发提出一个原假设：
H o: p i = P o，i =1,2,L ,r （*）
其中P io，i =1,2,L ,r 已知，且"P io =1。

i d
3、研究内容
对该总体独立重复观察n个个体，记n个个体中，属于A：的观察
个数为n , i =1,2,L ,r，其中有二n^n，基于观察值n , i =1,2,L ,r对id 原假设（*）进行检验。

（二）检验方法
1、2检验
（1）检验统计量
2 2
（口-npo）
i 4 np iO
（2）统计量的渐进分布
2
若Ho成立，当n—；时，2八（n -nP i0）F ,务“）
i 吕np iO
（3）拒绝域（给定检验水平「，一般取〉=0.1,0.05,0.01）
W 二｛2一2_：.（r -1）｝
若2• W，则在检验水平:.下拒绝H0 ；
若2 'W，则在检验水平：•下接受H0 ；
（4）检验p值（给定检验水平：•，一般取--0.1,0.05,0.01）
2 2
p 二P （r -1）一
若p l•，则在检验水平:下拒绝H0 ；
若p ,则在检验水平下接受H0 ；
（5）注：2检验采用近似分布进行检验，要求样本容量大，一般n _50，n卩0 丄5，i = 1,2,L ,r。

2、似然比检验
随机向量（m,n2,L ,m）~M（n, p1,p2,L , p r），即（n 1,n2,L ,n r）的联合分
3
布列为:
p(n i,n2,L ,n r； p i, p2,L ，P
r)
n!
n i! n2! L
n；!p i
2 |
P2 L n r
p
样本(n i,n2,L ,n r)的似然函数为:
L(p i, P2,L , p r； n i,n2,L , n r)
n!
n i! n2 !L
n n
i 2 |
p i p2 L
n r
p
检验问题(*)的似然比L(p i0,p2°丄「gm门讥，nJ
Sup L(p i, p2,L , p r;n i,n2,L ,n r)
p i,p2 ,L ,P r
n! n i ri2 n r
P iO P20 L p r 0
n i!门2丄nJ
n! n i n2 n r
SUP P i P2 L P r
p i,P2,L ,p r
n i! n2!L n r!
n n 「
_ p iO p20L n pf1O
I122r
P i,P2 ,L ,P r
注：参数pi, p2,L , p r满足''r p i = 1，似然比可以写为：
i=1
L(p io,p2o,L ,p ro；n i,n2,L ,n r)
Sup L(p i, p2,L , p r；n i,n,L , n r)
P l,P2 ,L ,P r
n n r
n n p io P20 L p 0 Sup p i i p22L p n』d—p i—p2—L P i,P2,L ,P r 1
n P r」
求解Sup P i n P2n L (1— P i — P2 —L P r4)n: P i, P2 ,L , P rJ.
记Q(P i, P2,L , P r」)二P i" p2 L p] (1-p i - P2 -L PrJ
r 4
In Q(p i, p2,L , p r" =、n i l n p i n r
In (1—p P L p^)
(0检验统计量
r
/ 、
-21 n(A) = -2送 n i ln 「P
i0
◎
5/n 丿
(2)统计量的渐进分布
若H o 成立，当n —； *：时，
-21 n(A) = -2三 n i ln f 旦 I —L 2(r -1)
y 5/n 丿
创n
Q o
令：*
肌=0 印 2
M 创
nQ =0
'n 1 =
n r
P 1 一 p — p —L p~
1
1 2
r
」
n 2
n r
可得 P 2 1- P l - P 2亠P r 」
M n r J n r
P r J
1 - P^ - P
2 _ L P r A
P l P 2 Pr J
也即参数P i , P 2,L , P r 的最大似然估计为:
n n
「
P 10 P 20 L 0
i
=1,2,L i'np
(3)拒绝域(给定检验水平「，一般取〉=0.1,0.05,0.01)
W 二{—21 n(_ J— i2.-.(r-1)}
若-2ln(_ J W，则在检验水平:.下拒绝H o ；
若-2ln(_ J - W，则在检验水平:.下接受H o ；
(4)检验p值(给定检验水平：•，一般取〉=0.1,0.05,0.01)
2
p=P (r-1)_-2l n(上)
若p 1 •，则在检验水平:下拒绝H0 ；
若p * ,则在检验水平下接受H0 ；
三、引例分析
(1)记号
A1 :黄而圆的，A2 :青而圆的，A3:黄而有角的，A4 :青而有角；
P1 = P(A1)，P2 = P( A2) ，p3 = P(A3)，P4 = P( A4)；
m :黄而圆的豌豆个数，n2:青而圆的豌豆个数，n3 :黄
而有角的豌豆个数，n4 :青而有角的豌豆个数；
(2)观察数据
n1 = 315，n2 =108，n3 = 101，n4 = 32，n 二n1 n2 n3 n4 = 556 ；
(3)原假设：
H°: p1 =9*6，0=3,16，p3=316，P4 =1 16
(4) 卩检验
检验p值为0.925425895,表明不能拒绝H。

，即认为孟德尔的遗传
学理论是正确的。

（5）似然比检验
检验p值为0.924251904,表明不能拒绝H o，即认为孟德尔的遗传学理论是正确的。