数列应用题专题训练
1-2-3等差数列应用题.题库版
【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550⨯⨯（）（方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ⨯-（）， 所以，第102项321021205=+⨯=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+-⨯5(281)1=+-⨯32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32例题精讲等差数列应用题【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
数列应用题
数列应用题
1、某林场计划第一年造林80亩，
（1）若以后每年比上一年多造林20亩，求第五年造林多少亩？五年共造林多少亩？
（2）若以后每年比上一年多造林20％，求第五年造林多少亩？五年共造林多少亩？
2、在一次人才招聘会上，有甲乙两家公司开出工资标准分别是：
甲：第一年月工资1500元，以后每年月工资比上一年增加230元；
乙：第一年月工资2000元，以后每年月工资比上一年增加5％。
如某人想从中选择一家公司连续工作10年，他从哪家公司得到的报酬较多？
3、有一个消息，若每人在1小时内传递给两个人，假设没有一人被重复传递，问一天（以16小时计）能有多少人得到这个消息？
4、某市去年年底有待业人员10万人，据测算，今后几年还将每年新增待业人员8千人，由于市政府采取积极措施，估计今年可提供新增就业岗位5千个，且以后新增岗位平均每年递增10％，问从今年起，经过多少年可使待业人员总量少于5万人?
5、某人用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，
（1）若以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％，若交付150元以后的第一个月开始分期付款，问分期付款的第10个月应该付多少钱？
（2）若剩余部分在二十个月内按每月底等额还款的方式付款，欠款月利率为1％。
问每月还款额为多少元？（精确到0.01元）？。
(完整版)数列应用题专题训练
数列应用题专题训练高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
一、储蓄问题对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。
设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。
复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。
设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)；(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。
解：若不计复利，5年的零存整取本利是2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950；若计复利，则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。
所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。
购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。
若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。
奥数：1-2-3等差数列应用题
等差数列应用题目tM 怔 例题精讲【例1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人？ 【考点】等差数列应用题 【难度】2星【题型】解答【解析】首项=17，末项=150，公差=7,项数=（150-17） £+1=20【答案】20【例2】 一个队列按照每排 2, 4, 6, 8人的顺序可以一直排到某一排有 100人，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例 1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数——配对，可配成 25对. 所以 2 4 696 98 100 = （ 2+100） 25=103 25= 2550（方法二）根据 1・2・3 . 98 99 10^5050，从这个和中减去 13 5 7 ... 99的和，就可得出此题的结果，这样从反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫.【答案】2550【例3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的•第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有 5只蝴蝶，第三个雕塑有 7只蝴蝶，第四个雕塑有 9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方， 学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、……，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式 一一第门项=首项+公差（n-1）,所以，第102项=3+2（102-1） = 205；由 项数=（末项-首项尸公差十1”，999所处的项数是：（999—3）2+1 =996 斗 2 +1 =498+1 =499【答案】499【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层.问最下面一层有多少根 ？【考点】等差数列应用题【难度】2星【题型】解答【解析】将每层圆木根数写出来，依次是：5, 6, 7, 8, 9, 10 ,…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1,项数是28•求的是第28项•我们可以用通项公式直接计算.解：a n =印（n — 1） d=5 （28 -1） 132（根）故最下面的一层有 32根.【答案】32【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多 4块砖，已知最下层 2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少 块？【解析】项数=（2106-2）韶+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）吃=1054，数列和=中间项X项数=1054 >527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
数列应用题
数列应用题1.一列火车自A 城驶入B 城，沿途有n 个车站（包括起点A 和终点B ），车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设从第k ()123k n = 、、、、站出发时，邮政车厢内共有邮袋k a 个()123k n = 、、、、，试求： （1）数列{}k a 的通项公式；（2）k 为何值时k a 最大？并求出k a 的最大值2.某商店积压了100件某种商品，为让这批货竟快脱手，该商店采取如下销售方案，将价格提高到原价的2.5倍,再做三次降价处理：第一次降低30％，标出“亏本价”第二次再降低30％，标出“破产价”第三次又降低30％，标出“跳楼价”结果：第一次降价处理仅售出5件，第二次降价处理售出40件，第三次降价处理剩下的商品被一抢而空问：（1）“跳楼价”与原价之比为多少？（2）该商店按新销售方案，相比按原价全部销售，哪一种方按更盈利？3.某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款十万元，第一年便可获利1万元，以后每一年比前一年增加30％的利润；乙方案：每年贷款一万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元；两种方案使用期限都是10年，到期一次性归还本息，若银行 贷款利息按10％的复利计算，比较两个方案哪个获利更多？（计算数据精确到千元）4.近日国内某大报纸有如下报道：加薪的学问学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1000元，二是每半年结束时加300元，请选择一种，一般不擅数学的，很容易选择前者，因为一年加一千元比两个半年加600元要多，其实加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利。
例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元,而第二种方案在第一年加得300+600=900元,第二年加得900+1200=2100元,总数也是3000元,但到第三年,第一方案可得1000+2000+3000=6000元, 第二方案则为300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元,第四年、第五年会更多，因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二方案。
数列应用题(典型例题)
1、(2004年福建高考)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少20万元。
今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+12n）万元（n为正整数）①设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（需扣除技术改造资金）,求A n、B n的表达式;②依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润2、(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14。
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元. 写出a n，b n的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?3、（2007年安徽卷）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n – 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n – 2，…，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出T n与T n– 1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：T n = A n + B n，其中{A n}是一个等比数列，{B n}是一个等差数列.4、某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为na元，（1）求{}na的通项公式；（2）当827ab=时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？（3）当38ab≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？5、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。
数列专项练习(附答案)
数列专项练习（附答案）1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n +2S n S n-1=0(n ≥2). (1)求证:数列{1Sn}是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.2．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .3．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.4．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .5．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.7．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和. 8.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝lg a n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n .9.在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．10．数列{}n b 满足：1b =2 b +2n n +，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .1(1)证明:∵n≥2时,a n=S n-S n-1,又a n+2S n S n-1=0,∴S n-S n-1+2S n S n-1=0.∵S n≠0,两边同除以S n S n-1,得1 S n-1−1S n+2=0,即1S n−1S n-1=2(n≥2),∴数列{1S n}是等差数列.(2)解:∵a1=1,1S1=1a1=1,∴1S n =1+(n-1)×2=2n-1,∴S n=12n-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12n-1−12(n-1)-1=-2(2n-1)(2n-3).而-2(2×1-1)(2×1-3)=2≠1,故{a n}的通项公式a n={1,n=1,-2(2n-1)(2n-3),n≥2.2[解析](1)设等差数列{a n}的首项为a，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.∴a n＝2n＋1，S n＝n(n＋2)．(2)∵a n＝2n＋1，∴a2n－1＝4n(n＋1)，∴b n＝14n n＋1＝14(1n－1n＋1)．故T n＝b1＋b2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝n4(n+1)，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n+1)3[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.4[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1. 两式相减得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6＝(7－2n )·2n ＋1－14.5解 (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1－1a n －1＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.6解 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，a 1＋6d2＝a 1＋d a 1＋21d ，解得a 1＝6，d ＝4， ∴a n ＝6＋(n －1)×4＝4n ＋2. (2)证明：∵a 1＝6，d ＝4， ∴S n ＝6n ＋n n －12×4＝2n 2＋4n ， 即1S n ＝12n n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－2n ＋34n ＋1n ＋2<38，∵T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3>0，∴数列{T n }是递增数列，即(T n )min ＝T 1＝38－2n ＋34n ＋1n ＋2＝16.故16≤T n <38.7答案：(1)21n a n =-；(2)2132-+=n n n T .【解析】（1）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211bb q==，4327b b q ==，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =， 所以21n a n =- ……………………………(6分) （2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=，因此1213n n n c a b n -=+=-+，从而数列{}n c 的前n 项和()()1221133113211332132n n n n n n S n n ----=+++-++++=+=+-8解 (1)由题意得1a n ＋1－1a n ＝1，又因为a 1＝1，所以1a 1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n . (2)由(1)得b n ＝lg n －lg (n ＋2)，所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n －2)－lg n ＋lg (n －1)－lg (n ＋1)＋lg n －lg (n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n ＋1)－lg (n ＋2) ＝lg2(n ＋1)(n ＋2).9【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.10【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++．【解析】（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵1222n n b b ++=+， 又121224b a a +=-+=，∴数列{}2n b +是首项为4，公比为2的等比数列， ∴112422n n n b -++=⋅=，∴122n n b +=-．（2）由（1）知，1-122(2)n n n n a a b n --==-≥，∴122(2)nn n a a n --=-≥．令2,,(1)n n =-，赋值累加得：232(222)2(1)n n a n -=+++--，∴2312(21)(2222)22222221n nn n a n n n +-=++++-+=-+=--．∴224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-．。
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数列应用题专题训练高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
一、储蓄问题对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2) 存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。
设本金为P元，每期利率为r,经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr) 。
复利是一种计算利率的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起做本金, 再计算下一期的利息。
设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
例1、(储蓄问题) 某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30 日在银行中存入2000 元, 连续 5 年，有以下两种存款的方式：(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n 6.5%)计本利(n为年数);⑵如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n a计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月 1 日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。
解：若不计复利， 5 年的零存整取本利是2000(1+5 X 0.065)+2000(1+4 X 0.065)+ …+2000(1+0.065)=11950若计复利，则2000(1+5%) 5+2000(1+5%) 4+ …+2000(1+5%)〜1186元。
所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、(分期付款问题) 用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。
购买当天先付150 元，以后每月这一天都交付50 元，并加付欠款的利息，月利率为1%。
若交付150 元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。
设每次所付欠款顺次构成数列｛a n｝，则a i=50+1000 >0.01=60 元,a2=50+(1000-50) 0>仁59.5 元，^=50+(1000-50 2) >.01=59 ,a n=60-(n-1) 0.5所以｛a n｝是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，故a10=60-9 >.5=55.5 元20次分期付款总和「60 50.5 一S20= X20=1105 兀，2实际付款1105+150=1255(元)答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。
例3、(疾病控制问题) 流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。
某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。
由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。
这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列a n, a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数a n=50n—30;从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n,b1=50n-60,d2= —30, b n=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11 月30 日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.n 2-61 n+588=0,解得n=12或n=49（舍），即11月12日这一天感染者人数最多，为例4 （住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为 6 m 2,如果该城市每年人口 平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为 30万m 2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m 2?（精确到0.01）解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成a 1 = 6 爲00 = 3000 万 m 2, d = 30 万 m 2, a 10 = 3000 + 9 3（0= 32701990年、1991年、……2000年人口数成b 1 = 500 , q = 1% , bg 500 1.019500 1.0937 546.8 ••• 2000年底该城市人均住房面积为:3270 546.825.98 m点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。
例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为 20%的盐水2 kg 的容器中倒出1 kg 盐水，然后加入1 kg 水，问：以后每次都倒出1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水， 1.第5次倒出的的1 kg 盐水中含盐多少g ？2经6次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多 少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为1a 1= 0.2 kg ,a 2= X0.2 kg ,2 1 由此可见：an= （ —）n 1X ）.2 kg ,22•由1•得｛a n ｝是等比数列{a n }，则:1 2 a 3= ( )2X).2 kg1 1a5= ( )5 1X0.2= (— )4>0.2=0.0125 kg221 a 1 =0.2 ,q=—2S印(1q 6)0.2(10.39375 kg1 2 0.4 0.39375 0.006250.00625 2 0.003125 点评：掌握浓度问题中的数列知识。
例6.（减员增效问题） 某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第 2 一年可以到原单位领取工资的100 %，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的 领取工 3 资，该厂根据分流人员的技术特长， 计划创办新的经济实体， 该经济实体预计第一年属投资阶段， 第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增 50%，如果某 人分流前工资的收入每年 a 元，分流后进入新经济实体，第 n 年的收入为a n 元， （1 ）求｛a n ｝的通项公式；故共感染者人数为：(20 50n 30)n [50n 60 ( 20n 570)](30 n)=8670，化简得:2 2APGP570 人。
8a（2） 当b时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？273a （3） 当b 时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 8 解：（1 ）由题意得，当n 1时,a i a ，当 n 2 时，a n (n 1) …a n 1 n (2) 由已知b2时，a n 2 当且仅当a （2）n b(3\n 8a 27， 2 n 1a(3)8a/3、n27(2)(n 2) 8a -() 27 2 2，即(j)2n 2 n 1 8a 3 n 2[a(—) (—)3 27 2(2)4，解得 n 3, 3 8a要使得上式等号成立,9因此这个人第三年收入最少为8a 9元. (3)当n 2时, a n述等号成立，须b 2、n 1 叫)且 n 1 83、n 2b(=)2log 2： 32/2、na（3） 1 log 233a 3 n 2詐)"J 1 ?(2)n22因此等号不能取到,3a当b 时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入. 8 例7.（等差等比综合问题） 银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即 将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案：一次性贷款 乙方案：每年贷款1 两种方案的期限都是 试比较两个方案 10 _________ . -10 10万元，第一年便可获得利润 1万元，以后每年比上年增加 万元，第一年可获得利润 1万元，以后每年比前一年多获利 10年，到期一次行归还本息.若银行贷款利息均以年息 哪个获得存利润更多？ 1•仁 2.594,1.3~ 13.796） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 1.3 1 (1 30%) (1 30%)2 L 到期时银行的本息和为 10 （1 • ••甲方案扣除本息后的净获利为： 乙方案：逐年获利成等差数列，前 1 (1 0.5) (1 2 0.5) L ，上30%的利润； 5000 元. 10%的复利计算， （计算精确到千元，参考数据：10项的和: 1 一 42.62 (万兀) 1.3 1 10 2.594 25.94 (万元) 42.62 25.94 16.7 (万元) (1 30%)9 1010%) 10年共获利： (1 9 0.5)迥8 2 32.50 (万元) 1 110 17.53 （万元） 1.1 1•乙方案扣除本息后的净获利为： 32.50 17.53 15.0 （万元） 所以，甲方案的获利较多.贷款的本利和为：1.1[1 (1 10%) L (1 10%)9] 1.1三、a n - a n-i =f （n ）,f （n ） 为等差或等比数列有的应用题中的数列递推关系， a n 与a n-i 的差（或商）不是一个常数，但是所得的差 f （n ）本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广 告宣传且每件获利 a 元的前提下，可卖出b 件。
若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1） 千元时多卖出B 件，（n € N *）。
2n（1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大?分析：对于（1）中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为S n ,则S n-1表示广告费为（n-1）元时的 K销量，由题意，Sn — S n-1=--，可知数列｛S n ｝不成等差也不成等比数列，但是两者的差2n数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：欲使T n 最大，则：T nT n 1，得门5，故n=5,此时S=7875。
T n Tn 1n 5即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。
四、a n = C • a n-i +B,其中B 、C 为非零常数且12构成等比2n解法一、直接列式：由题， s=b+b + 2+2+…+2 22 23（广告费为1千元时，s=b+b ；2千元时，s=b+bb1寸b (r )2 2b 2 22 ;••• n 千元时 s=b+b +— 2 2b b 、 2 + 2?十 +2*解法二、（累差叠加法）s o 表示广告费为0千元时的销售量,由题:S i S 2 S n S o S iS nb 2n相加得 b b b bS n -S 0=T 尹尹…肯b=b(2-2n 21(2) b=4000 时，S =4000(2-F ，设获利为 t,则有 t=S • 10-1000n=40000(2-2 即 S=b+ b + 2b+ +…+22 23!)。