数学建模讲座之四——利用Matlab求解线性规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数值计算和科学计算软件，可以用于求解各种数学问题，包括线性规划和整数规划问题。
本文将详细介绍如何使用Matlab来求解线性规划和整数规划问题。
一、线性规划问题的求解线性规划是一种优化问题，旨在找到一组变量的最佳值，以使线性目标函数在一组线性约束条件下最大或者最小化。
下面以一个简单的线性规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。
假设有以下线性规划问题：最大化目标函数：Z = 3x + 5y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x, y ≥ 01. 创建线性规划模型在Matlab中，可以使用linprog函数来创建线性规划模型。
首先，定义目标函数的系数向量c和不等式约束条件的系数矩阵A以及不等式约束条件的右侧常数向量b。
c = [-3; -5];A = [2, 1; 1, 3];b = [10; 15];2. 求解线性规划问题然后，使用linprog函数求解线性规划问题。
该函数的输入参数为目标函数的系数向量c、不等式约束条件的系数矩阵A、不等式约束条件的右侧常数向量b以及变量的下界和上界。
lb = [0; 0];ub = [];[x, fval, exitflag] = linprog(c, A, b, [], [], lb, ub);其中，x是最优解向量，fval是最优解对应的目标函数值，exitflag是求解器的退出标志。
3. 结果分析最后，打印出最优解向量x和最优解对应的目标函数值fval。
disp('最优解向量x：');disp(x);disp('最优解对应的目标函数值fval：');disp(fval);二、整数规划问题的求解整数规划是一种优化问题，与线性规划类似，但是变量的取值限制为整数。
Matlab提供了intlinprog函数来求解整数规划问题。
下面以一个简单的整数规划问题为例来说明如何使用Matlab求解。
利用Matlab求解线性规划问题
§ 15.利用Matlab求解线性规划问题线性规划是一种优化方法，Mat lab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解：% min f' x% s・t・(约束条件)：Ax<=b% (等式约束条件)：Aeqx=beq% lb<=x<=ub1 inprog函数的调用格式如下：x=l inprog (f, A, b)x=l inprog (f, A, b, Aeq, beq)x=l inprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)x=l inprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, xO)x=l inprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, xO, opt io ns)[x, fval]=linprog(--)[x, fval, exitflag]=linprog(…)[x, fval, exitf lag, out put ]=1 inprog (…)[x, fvalj exitflag, output, lambda] =1 inprog (…)其中：x=linprog (f, A, b)返回值x为最优解向量。
x=linprog (f, A, b, Aeq, beq)作有等式约束的问题。
若没有不等式约束，则A=[ ]、b=[ ] ox=linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, xO, options)中]b , ub 为变量x 的下界和上界，xO为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
Options的参数描述：Display显示水平。
选择'off'不显示输出；选择'Iter'显示每一步迭代过程的输出；选择'final'显示最终结果。
MaxFunEvals函数评价的最大允许次数Max it er最大允许迭代次数TolX x处的终止容限[x, fval]=linprog(•••)左端fval返回解x处的目标函数值。
用Matlab解法求解线性规划问题
实验目的：用Matlab解法求解线性规划问题
实验一：
题目:求解线性规划问题：
方法一：Matlab解法
算法设计：
1、先求Z的最小值，再取相反数即为所求的最大值。
2、将第一个约束条件改为 。以便与另外两个约束条件保持不等号方向的一致。
3、根据所给的约束条件，利用x=linprog(c,a,b)求解
求值程序：
c=[-3,-1];
a=[-1,1;1,-2;3,2];
b=[2;2;14];
[x,fval]=linprog(c,a,b)
运行结果：
x =
4.0000
1.0000
fval=-13.0000
结果处理及分析：当x1=4 , x2=1时，（-Z）取最小值-13，Z取最大值13.
方法二：图像法
程序代码：
b=[180;200];
aeq=[];
beq=[];
vlb=[0;0;0];
vub=[];
[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub)
maxz=-fval
运行结果：
x =
34.0000
0.0000
44.0000
fval =
-584.0000
maxz =
584.0000
x=-4:1:4;
y1=x-2;
y2=2*x+2;
y3=1/3*(14-2*x);
y4=1/3*(13-x);
plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4,’:’)
经过对直线的适度调整后，得到图像为：
结果处理及分析：根据约束条件，星型图案所在的闭合三角形为可行域，易知，蓝色虚线代表的目标函数过A（1，4）时，Z取最大值13。
用Matlab软件求线性规划
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Optimization terminated successfully. x= 30.0000 50.0000 40.0000 fval = 490.0000 即最优解为x=(30，50，40),最优值为z=490.
Matlab软件
例3【任务分配问题】
某机加小组有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件. 假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种 工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不 同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费 用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足 加工工件的要求，又使加工费用最低？
解 用Matlab求解过程如下: >>clear >> c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; >> A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0; 0 0.02 0 0 0.05 0 ;0 0 0.03 0 0 0.08]; >> b=[850;700;100;900]; >> Aeq=[ ]; beq=[ ]; >> vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[ ]; >> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
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Optimization terminated successfully. x= 1.0e+004 * 3.5000 0.5000 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 fval = -2.5000e+004
即：最优解为x=104(3.5,0.5,3,0,0,0),最优值为z=2.5×104
用matlab求解线性规划问题
用m a t l a b求解线性规划问题Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】实验四 用M A T L A B 求解线性规划问题一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。
二、实验内容：线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为：目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m in约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++221111212111这里nn x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 称为等式约束矩阵，列向量T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。
一个向量Tn x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。
我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。
在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下：X=linprog(f,A,b)[X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options)这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。
《matlab4线性规划》课件
MATLAB线性规划的高级算法
内点法
分枝定界法
整数线性规划
结语
总结
展望未来
《matlab4线性规划》PPT 课件
这个PPT课件将介绍MATLAB 4线性规划的基础知识，包括线性规划的简介、 模型、求解方法以及MATLAB线性规划求解器的使用。同时，还会涉及到线 性规划求解过程中的松弛法、对偶问题和隐藏约束条件的技巧。接着，会通 过实例分析来解决供应链问题、制定广告策略和控制成本的挑战。最后，将 探讨MATLAB线性规划的高级算法，包括内点法、分枝定界法和整数线性规 划。通过本课件的学习，您将加深对MATLAB线性规划的理解。
线性规划基础
线性规划简介
了解线性规划的背景和应用领域。
线性规划问题的求解方法介绍
探索各种线性规划求解方法的优缺点。
线性规划问题的模型
学习如何将实际问题转化为线性规划模型。
MATLAB线性规划求解器的使用
了解如何使用MATLAB的线性规划求解器解 决问题。
线性规划求解过程
1
对偶问题
2
了解对偶问题在线性规划中的重要性
及应用。
3松弛法求解ຫໍສະໝຸດ 性规划掌握松弛法作为线性规划解法的基本 原理。
隐藏约束条件的线性规划
学习如何处理隐藏约束条件的线性规 划问题。
实例分析
解决供应链问题
制定广告策略问题
以实际案例展示如何利用线性 规划解决供应链管理中的问题。
运用线性规划来制定有效的广 告策略，提高广告投资回报。
合理控制成本问题
利用线性规划技术来实现成本 控制和资源优化。
用Matlab软件求线性规划
Matlab软件
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结果输出如下： Optimization terminated successfully. x= 0.0000 50.0000 0.0000 f = -100.0000 当A、B、C产品的日产量分别为0件，50件，0件时， 总收益为100元/件
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例1
3 4
2
6 5
3
150h 200kg
每天供应原材料200kg,每天可供使用的劳动力为150h, 求各种产品的日产量为多少时,总收益最大?
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问题的求解:
产品A 劳动力(h/件) 7 原材料(kg/件) 4 利润 (元/kg) 4 产品B 3 4 2 产品C 资源限量 6 150h 5 200kg 3
目标函数：max(min)z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn 约束条件：a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn ≤(= ≥)b1 a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn ≤(=≥)b2 … … … … am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn ≤(= ≥)bn 非负性约束：x1 ≥0,x2 ≥0,…,xn ≥0
车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时 数 可用台 时数 800 900 单位工件的加工费用
工件1
0.4 0.5
工件2
1.1 1.2
工件3
1.0 1.3
工件1
13 11
工件2
9 12
工件3
10 8
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解
设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为
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Matlab求解线性规划和整数规划问题Matlab是一种强大的数值计算软件，可以用于求解线性规划和整数规划问题。
在本文中，我将详细介绍如何使用Matlab来解决这两类问题。
1. 线性规划问题的求解步骤：(1) 定义决策变量：根据实际问题，定义需要求解的决策变量，并给出变量的取值范围。
(2) 建立目标函数：根据问题的要求，建立线性规划的目标函数，并确定是最大化还是最小化。
(3) 设置约束条件：根据问题的约束条件，建立线性规划的约束条件，并将其转化为线性等式或者不等式。
(4) 求解线性规划问题：使用Matlab中的线性规划求解函数linprog来求解线性规划问题。
该函数的基本用法为：[x, fval, exitflag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中，f为目标函数的系数向量，A和b分别为不等式约束条件的系数矩阵和右侧向量，Aeq和beq分别为等式约束条件的系数矩阵和右侧向量，lb和ub分别为决策变量的下界和上界。
(5) 分析结果：根据求解结果，分析最优解的取值以及对应的目标函数值，判断是否满足问题的要求。
2. 整数规划问题的求解步骤：(1) 定义决策变量：根据实际问题，定义需要求解的整数决策变量，并给出变量的取值范围。
(2) 建立目标函数：根据问题的要求，建立整数规划的目标函数，并确定是最大化还是最小化。
(3) 设置约束条件：根据问题的约束条件，建立整数规划的约束条件，并将其转化为线性等式或者不等式。
(4) 求解整数规划问题：使用Matlab中的整数规划求解函数intlinprog来求解整数规划问题。
该函数的基本用法为：[x, fval, exitflag, output] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub)其中，f为目标函数的系数向量，intcon为整数决策变量的索引向量，A和b分别为不等式约束条件的系数矩阵和右侧向量，Aeq和beq分别为等式约束条件的系数矩阵和右侧向量，lb和ub分别为决策变量的下界和上界。
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(2)追求总产值最大，目标函数为： maxZ=1.20(1000x119500x129000x13 ) 1.50(8000x216800x226000x23 ) 0.80( 1400x0311200x0321000x033) 1320x0111140x012 1080x013 1200x0211020x022 9000x23 1120x0319600x32 8000x33
f=[-11000 –9500 –9000 –8000 –6800 –6000 –14000 –12000 -10000];
A=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000;
III等耕地 x13 x23 x33 河北科技大学
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约束方程如下： 耕地面积约束：
x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 300 x13 x23 x33 200
最低收获量约束：
110x0110950x102900x103190000 800x201680x202600x203130000 140x0310120x0320100x0330350000
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其中：
x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若 没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为 变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定 优化参数进行最小化。
A=[1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000;
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000;
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非负约束： x ij 0 ( i1 ,2 ,3 ; j1 ,2 ,3 )
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(1)追求总产量最大，目标函数为： m Zi = 1 n1 x 10 1 905 x 1 0 2 0 90 0 x 13 0 80 0 x 2 1 0 60 8 x 2
代入求解函数 解结果。
，即可得到求
xo fx p lo t in ( p f,A ,b p t ,[[ ] r l] ,[ , b o ,]) g
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线性规划，还有其他的几种调用函数形式， 可在Matlab帮助中查找LP或者LINPROG的 帮助说明。
Help LINPROG
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output 返回优化信息：output.iterations表示迭代次数； output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示 函数评价次数。
lambda 返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性： lambda.lower-lambda的下界； lambda.upper-lambda的上界； lambda.ineqlin-lambda的线性不等式； lambda.eqlin-lambda的线性等式。
0.0000 0.0000 -14000.0000 0.0000 0.0000 -12000.0000 0.0000 0.0000 10000.0000];
b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];
lb=[0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ];
-11000.0000 0.0000 0.0000 -9500.0000 0.0000 0.0000 -9000.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 -8000.0000 0.0000 0.0000 -6800.0000 0.0000 0.0000 -6000.0000 0.0000;
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首先根据题意建立线性规划模型（决策变量设置 如表2所示，表中xij 表示第种作物在第j等级的耕 地上的种植面积。）：
表2 作物计划种植面积（单位:hm2)
水稻 大豆 玉米
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I等耕地 x11 x22 x31
II等耕地 x12 x21 x32
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Options的参数描述： Display显示水平。 选择’off’ 不显示输出； 选择’Iter’显示每一 步迭代过程的输出； 选择’final’ 显示最终结果。
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根据求解函数linprog中的参数含义，列出 系数矩阵，目标函数系数矩阵，以及约束 条件等。
这些参数中没有的设为空。譬如，
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（1）当追求总产量最大时，只要将参数
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表1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg / hm2)
水稻 大豆 玉米
I等耕地 11 000 8 000 14 000
II等耕地 III等耕地
9 500 6 800 12 000
9 000 6 000 10 000
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[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的 目标函数值。
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[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：
exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标 函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若 为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
0.0000 0.0000 -14000.0000 0.0000 0.0000 -12000.0000 0.0000 0.0000 10000.0000];
b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];
lb=[0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ];
lb<=x<=ub
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linprog函数的调用格式如下： x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval]=linprog(…) [x, fval, exitflag]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output]=linprog(…) [x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)
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线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中 有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解：
min f(x) s.t .(约束条件)： Ax<=b (等式约束条件)： Aeqx=beq
0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000;
-11000.0000 0.0000 0.0000 -9500.0000 0.0000 0.0000 -9000.0000 0.0000 0.0000;
0.0000 -8000.0000 0.0000 0.0000 -6800.0000 0.0000 0.0000 -6000.0000 0.0000;
代入求解函数
，
即可求得结果。xo fx p lo t in ( p f,A ,b p t ,[[ ] r l] ,[ , b o ,]) g
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（2）当追求总产值最大时，将参数
f=[-13200 –11400 –10800 –12000 –10200 –9000 –11200 –9600 8000];