关于图的特征值的几个问题的研究
几个关联图的特征多项式和特征值
｝基金项 目 ：九江学 院科研项 目 【 编号 ２ ０ １ ２ Ｋ Ｊ ０ ８ ）成果 。 收稿 日期 ：２ ０ １ ４—１ １ — ２
通 讯 作 者 ：简 芳 洪 ，ｊ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｏ ｂ ａ ｌ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ。
第１ 期
伍亚魁 ， 等： 几个关 联图的特征多项式和特征值
・ ５ １・
通 过 恰 当 晶 顶 点 排 序 ， 可 知 Ａ ＝ ［ ｛ 主 ≥ 主 ］ ， ＝ ［ 三 主 ［ ｛ ： ； ： 三 ］ ， Ａ ＝ ［ ｛ ： ： 三 ］ ．
Ｄ Ｇ， 邻 接矩 阵为 Ａ（ Ｄ Ｇ ） ， 记为 Ａ 。 ．
定义 ２ 给定 图 Ｇ和图 Ｇ的 ｍ个复制（ 顶点集为 ） ， 连接图 Ｇ的顶点 与 ｕ （ ＝ｌ ， ２ ， …， ｎ ； ｊ ｝ ＝１ ， ２ ， …， Ｉ Ｔ ｔ ） 生成的关联图为图 Ｄ ： Ｇ ， 邻接矩阵为 Ａ （ Ｄ ： Ｇ ） ， 记为 Ａ ２ ．
了关联 图为整 图的充分条件 ．
关 键 词 ：邻接 矩 阵 ，特 征 多项 式 ，特征 值 ，块 对称 矩 阵 ，整 图 中 图分类 号 ：０ １ ５ ７ ． ５ 文 献标 识码 ：Ａ 文 章编 号 ：１ ６ ７ ４ — ９ ５ ４ ５（ ２ ０ １ ５ ） ０ １ — ０ ０ ５ ０ 一（ ｏ ４ ）
；１
Ｉ — ｌ ， ２ ， … ， 凡 ） ．
（ ２ ） （ ） ｎ（ 一 一 Ａ ｉ ） （ 一 一 Ａ ｉ ） （ 一 Ａ ） 一 ， Ａ （ Ｄ ： Ｇ ）＝｛ （ Ａ ） 一 ， Ａ ＋ ， Ａ 一 ｌ ｉ
＝１ ， ２ ， …， ， ｌ ｝ ．
只有三个不同特征值的图
只有三个不同特征值的图
设图G是一个简单连通无向图、其邻接矩阵A的特征值称为G的特征值.图G的谱是指由G的所有特征值和它们对应的重数组成的集合.本文主要围绕图谱理论中的两个问题展开研究工作.第一个问题是除去完全二部图和强正则图,寻找只有三个不同的特征值的连通图.第二个问题是研究刻画第二大特征值不超过1的图.本文按照以下几个部分展开：本文的第一章介绍图论与图谱理论中的基本概念以及问题的研究背景.本文的第二章我们仅考虑非正则连通图.首先我们刻画了只有三个不同的特征值且其补图不连通的图,给出了只有三个不同特征值的图的阶,顶点度,特征值以及Perron-Frobenius特征向量的估计.我们证明了如果一个图和它的补图都恰好有三个不同的特征值,则此图只有两个不同的顶点度.其次我们重点研究了只有三个不同的特征值且恰有两个不同的顶点度的连通图,即所谓的强双正则图.主要的结果包括强双正则图的一些结构定理,构造出了一些新的强双正则图,刻画了已知的一类特殊的强双正则图以及给出了两类有无穷多个可行的强双正则图.最后,在已知的仅有有限个恰好有三个不同特征值和三个不同顶点度的图的基础上,我们又构造出了一个新的图.而且证明了一些具有特定的谱和顶点度的图是不存在的.本文的第三章我们证明了一个关于强双正则图的拟Neumaier定理,即证明了对于给定的正整数m,只有有限多个最小特征值不小于-m或者第二大特征值不超过m的非二部的强双正则图.本文的第四章我们确定出了只有三个不同特征值且第二大特征值不超过1的连通图,并且也确定出了只有三个不同的特征值且最小顶点度不大于6或者最大特征值不超过7的连通图.。
四叶图距离矩阵2个最大特征值和的变化
四叶图距离矩阵2个最大特征值和的变化四叶图距离矩阵是图论中的一个重要概念，它能够帮助我们理解图的结构和关系。
在四叶图中，我们经常会研究它的距离矩阵，并且对其特征值进行分析。
在这篇文章中，我们将研究四叶图距离矩阵2个最大特征值和的变化，探讨其在图论中的意义和应用。
让我们回顾一下四叶图的定义。
四叶图是一个特殊的图，它由4个节点和6条边组成，且任意两个节点之间都存在一条边。
四叶图通常用来研究图的性质和特征，因为它具有简单的结构和易于研究的特点。
接下来，让我们看看四叶图的距离矩阵。
距离矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j的距离。
在四叶图中，距离矩阵的元素通常为1或2，因为任意两个节点之间的距离最多为2。
通过研究四叶图的距离矩阵，我们可以了解节点之间的关系和路径的长度，从而更深入地理解图的结构和特性。
在四叶图中，距离矩阵的最大特征值和通常是我们研究的重点之一。
特征值是由距离矩阵的特征方程得到的，它描述了矩阵的性质和特性。
在四叶图中，我们可以通过计算距离矩阵的最大特征值和来研究图的连通性、直径和其他重要的性质。
研究四叶图距离矩阵2个最大特征值和的变化对于理解图的结构和关系具有重要的意义。
现在让我们来具体分析四叶图距离矩阵2个最大特征值和的变化。
我们可以通过数学模型和计算方法来研究这个问题，从而得到一些有意义的结论和结果。
通过计算不同规模的四叶图的距离矩阵，我们可以观察到2个最大特征值和的变化规律，进而得到一些有用的结论和结论。
通过研究四叶图距离矩阵2个最大特征值和的变化，我们可以对图论中的一些重要问题和结论进行更深入的理解和分析。
我们还可以进一步探讨四叶图的结构和特性，从而为解决一些实际问题和应用提供有益的指导和借鉴。
图的特征值的开题报告
图的特征值的开题报告
一、研究背景
图论是研究图形的形式和结构的数学分支，具有广泛的实际应用价值。
图的特征值是图论中一个基本的研究对象，通过分析图的特征值可以揭示图的一些重要的结构
特征。
二、研究目的
本次研究的目的是深入探究图的特征值及其在图论中的应用。
通过研究图的特征值，可以更好地理解图的基本属性，进而对一些实际问题进行建模和求解。
三、研究内容
1. 图的表示方法
2. 图的特征值概念
3. 图的特征值与图的性质的关系
4. 图的特征值在图的应用中的具体应用
四、研究方法
本次研究采用了文献调研和数学分析两种方法。
文献调研是通过查阅图论相关的文献，收集和整理有关图的特征值的研究成果；数学分析则是运用数学方法，对图的
特征值进行深入分析。
五、研究意义
图的特征值是图论研究中的一个基本问题，通过研究图的特征值可以揭示图的一些重要的结构特征，对于一些实际问题的建模和求解具有重要的意义。
本次研究具有
一定的理论和应用价值。
在理论方面，本研究可增进人们对图的理解和认识；在应用
方面，本研究可以为实际问题的建模和求解提供参考和支持。
六、研究进展
目前，已经通过文献调研初步了解了图的特征值的相关概念和研究现状，并对一些基本的性质进行了初步的分析和推导。
下一步，将进一步深入研究图的特征值，探
讨其在图的应用中的具体作用，以及如何运用图的特征值对实际问题进行建模和求解。
关于图的几类能量的若干研究
关于图的几类能量的若干研究关于图的几类能量的若干研究摘要：图论作为数学的一个分支，研究了图的各种特性与性质。
在过去的几十年里，人们对于图的能量的研究引起了广泛的兴趣。
本文就图的几类能量进行了深入的探讨，包括度能量、谱能量、切能量以及Randić能量。
通过对每一类能量的定义、性质和应用的讨论，揭示了图的能量在计算机网络、分子构建、电子结构和社会网络等方面的重要作用。
一、引言图是一种数学抽象模型，由边和顶点组成，可以用于模拟各种实际问题。
随着图论的发展，人们开始研究图的各种特性和性质，其中图的能量成为一个研究的热点。
图的能量与图的结构和拓扑性质有关，可以从不同的角度揭示图的内在信息。
二、度能量度能量是指图中所有顶点度的幂之和。
度能量的计算可以用来表示图的信息传递能力，即图中信息传递的开销。
研究表明，度能量与图的连通性和结构紧密相关，可以作为评估网络的重要指标。
在计算机网络中，度能量可以用来优化通信效率和减少能源消耗，在社交网络中可以用来评估信息传播的影响力。
三、谱能量谱能量是指图的特征值的幂之和。
图的特征值可以通过矩阵计算得到，对图的结构进行了抽象化处理。
研究发现，谱能量与图的连通性、色数和拓扑性质等有关。
谱能量的计算可以用来进行图聚类、图分割、图比较等任务，在计算机视觉和模式识别领域有广泛的应用。
四、切能量切能量是指图的割集中边权重的和。
割集是指将图分割成两个子图的边集合，切能量可以度量两个子图之间的连接程度。
研究发现，切能量与图的最小割以及割点的个数有关。
切能量在图像分割、社区发现和生物信息学等领域有应用。
五、Randić能量Randić能量是指图中每条边的权重的幂之和。
Randić能量可以用于描述图中顶点之间的相似性和相异性。
研究表明，Randić能量与图中的距离、联系和图的稳定性有关。
Randić能量在化学分子的描述、药物研发和材料科学等领域有广泛的应用。
六、应用与展望图的能量在计算机网络、分子构建、电子结构和社会网络等方面有着重要的应用。
关于图的Laplace特征值
（ｃｏｎｒＩｅｃｔｉｖ时）矩阵…等等。对连通图Ｇ而言，其度对角矩阵Ｄ（Ｇ）是正的。可逆的，故
１
１
转移Ｌａｐｌａｃｅ矩阵ｃ（Ｇ）＝Ｄ（Ｇ）１三（Ｇ）Ｄ（Ｇ）１是主对角元全为１的矩阵，它可视为
Ｌａｐｌａｃｅ特征值上界估计的结果，并给出了自己的一些结果； ３．关于对图的次大Ｌａｐｌａｃｅ特征值估计的结果： ４．用图的Ｌａｐｌａｃｅ特征值来对图的不变量进行估计；
关键词：图；邻接矩阵；Ｌａｐｌａｃｅ矩阵；谱ｉ Ｌａｐｌａｃｅ谱；特征值
关于图的Ｌａｐｌａｃｅ特征值
Ｏｎ Ｌａｐｌａｃｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｇｒａｐｈ
Ｒｉｅｍａｒｍ流形上Ｌａｐｌａｃｅ算子的离散情形Ｍ“】。看来使用Ｌａｐｌａｃｅ矩阵一词是恰当的。 Ｌａｐｌａｃｅ矩阵研究对图论之所以重要，是因为可以用其特征值来估计图的诸多不变
量，如连通度，直径，带宽，二部宽，等周数，最大割，扩充子，边前向指数等等。有 些图不变量的计算是ＮＰ—ｈａｒｄ的，而Ｌａｐｌａｃｅ特征值则可用多项式理论中渐近求根方法 加以计算。研究Ｌａｐｌａｃｅ特征值与图的不变量间的联系的早期经典工作是在１９７３年 Ｆｉｅｄｌｅｒ的文章［５］中提出的。１９８５年，Ａｎｄｅｒｓｏｎ和Ｍｏｒｌｅｙ【６１第一次对Ｌａｐｌａｃｅ矩阵的最 大特征值进行了估计。此后，Ｍｅｒｒｉｓ［”，Ｍｏｈａｒｔ８Ｈ”１等人做出了新的估计，并提出新问 题和猜想。而Ｆ．Ｒ．Ｋ．Ｃｈｕｎｇ在１９９４年数学家大会（瑞士，苏黎士）上的４５分钟报告【Ｉ” 及其专著【“１的问世更将Ｌａｐｌａｃｅ矩阵的研究推向推向～个新的层面。
ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ａｎｄ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ｒｅｓｕｋｓ ｏｎ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ
图的结构矩阵的迹和特征值
图的结构矩阵的迹和特征值
王镇西
【期刊名称】《湘潭师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(024)001
【摘要】讨论图的度序列的结构矩阵的代数性质,得到了图的度序列的结构矩阵的迹和特征值的一些有趣性质.%Let D=(d1,d2, ..., dn) be a degree sequence of a graph. The structure matrix S=S(D) of. D is a matrix of order n+1, whose entries are sij=ij min {I,j}|∑k＞idk,∑k idk where I,j=0,1,...,n. In this paper, we give some interesting properties on the trace and eigenvalues of the structure matrices.
【总页数】5页(P5-9)
【作者】王镇西
【作者单位】江麓职工大学,湖南,湘潭,411100
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.利用矩阵的迹与行列式估计特征值的界 [J], 李树栋;李臣顺
2.第二特征值为(√5-1)/2 的图的结构 [J], 谭尚旺;郭继明;亓健
3.图的主特征值与图的结构 [J], 孙德荣
4.图的两类重复点集与图的几类矩阵的特征值重数 [J], 杜志斌
5.关于用矩阵的迹表示的特征值的界 [J], 杨忠鹏;陈智雄
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
特征值与特征向量在图像处理与数据分析中的应用研究
特征值与特征向量在图像处理与数据分析中的应用研究特征值与特征向量在图像处理与数据分析中的应用研究特征值与特征向量是矩阵运算中的重要内容，不仅在数学领域中具有广泛的应用，同时也被广泛地应用于图像处理与数据分析领域。
在图像处理中，通过计算图像的特征值与特征向量，可以对图像进行分析，提取出图像中的特征信息，从而得到更为精准的结果。
而在数据分析中，通过对数据进行特征值与特征向量的计算，可以得到数据的主要特征，从而更好地预测数据的发展趋势。
特征值与特征向量的概念在矩阵运算中，特征值与特征向量是矩阵中最重要的概念之一。
特征值是在矩阵A与其对应的向量x中满足下列条件的λ的解：Ax = λx特征向量则是指在矩阵A中与特征值对应的列向量x：Ax = λx其中，λ代表特征值，x代表特征向量。
在矩阵运算中，特征值与特征向量是中心概念。
我们可以用特征值与特征向量的计算来获得矩阵A的一些基本属性。
例如，我们可以通过特征向量和特征值来求解线性方程组。
而在图像处理与数据分析中，我们主要利用特征值与特征向量来描述数据的特征，进行数据的描述和预测。
特征值与特征向量在图像处理中的应用图像处理是利用计算机来处理图像的科学和技术。
在图像处理中，通常涉及到一些重要的工作，例如：图像增强、图像变形、图像分割和图像识别。
在这些工作中，特征值与特征向量是一个关键的计算方法。
图像特征描述对于一幅图像，我们可以把它看成是一个矩阵。
在这个矩阵中存储着像素的灰度值，它们可以被看成是一组数据。
我们可以对这些数据进行特征值与特征向量的计算，从而得到一些关于图像的特征信息。
例如，在一个图像中，我们可以通过特征值与特征向量计算其主要颜色或纹理信息，从而更好地对其进行描述和分割。
图像识别在图像识别中，我们需要识别出一幅图像所代表的物体。
而对于一个物体来说，它是有一些特定的形态或者特征的。
我们可以对这些特定的形态或者特征进行提取，从而更好地对物体进行识别和分类。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于图的特征值的几个问题的研究
【摘要】：图谱理论是图论研究的一个非常活跃而又重要的研究领域,它在量子化学、统计力学、计算机科学、通信网络以及信息科学中均有着广泛的应用.图谱的研究主要是利用线性代数、矩阵论等成熟的理论和技巧,巧妙地把图的一些基本结构性质和它的参数联系在一起,并找出它们之间的内在关系.在图谱理论中,为了研究图的性质,人们引入了各种各样的矩阵.常见的有图G的邻接矩阵A(G)、拉普拉斯矩阵L(G)、关联矩阵M(G)、距离矩阵D*(G)以及无符号拉普拉斯矩阵Q(G)等等.这些矩阵都与图的结构都有着密切的联系.图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质(主要是指矩阵的特征值性质)反映出来.尽管这些定义不同的矩阵有着各种丰富的形式,但是他们的特征多项式(或者说谱)之间却很可能是互相关联的.在[20]中,Dragos列举说明了在二部图中,无符号拉普拉斯谱和拉普拉斯谱相同.同时我们知道,图的拉普拉斯矩阵的非零特征值和它的线图的邻接特征值也有着密切的关系.这样,通过二部图就可以把它们紧密地联系在一起.又例如,令那么,邻接矩阵的特征多项式可以表示为FG(x,0),拉普拉斯矩阵的特征多项式可以表示为(—1)nFG(—x,1),无符号拉普拉斯矩阵的特征多项式可以表示为FG(x,—1)等等.尽管如此,由于它们都有自己独特的应用背景和实际价值,我们还是很有必要对这些不同的矩阵和谱展开针对性的研究的.在上面所提及的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和拉普拉斯
矩阵.本文研究的主要问题在三个方面：(1)简单连通无向图的拉普拉斯谱及其极限点；(2)有向图的邻接谱半径；(3)无符号拉普拉斯特征值的极限点和谱半径.我们试图建立它们与图的结构参数之间的一些关系.具体内容如下：(一)在第一章中,我们首先回顾了图论的整个发展过程,接着介绍了-些常见的谱理论研究中相关的问题的代数图论背景和研究技巧.在第二小节中,我们给出了一般的图论中的一些基本概念和记号.文章中一些特殊的定义未在此节中出现的,我们将在后面的相关章节中具体介绍.在第三小节中,我们简单介绍了和本文相关极限点以及谱半径等问题的一一些进展及最新结果.(二)在第二章中的第一小节中,我们首先通过找到一个图序列{Gn},证明它的第三大拉普拉斯特征值极限点存在,并且满足而后,我们证明1和上式中1.5550分别是第三大拉普拉斯特征值的第一小和第二小极限点.在第二小节中,对同定的b,假设l3(b)和l’3(b)分别是方程bμ(μ—2)—(μ—1)2(μ—3)=0和bμ(μ—2)—(μ—1)2(μ—3)—(μ—1)(μ—2)=0的第二大根.我们证明了l3(b)和l’3(b)(b=0,1,…)都是第三大拉普拉斯特征值极限点.接着,我们确定了l3(b)和l’3(b)以及2是第三大拉普拉斯特征值在区间(0,2]内的所有极限点,并且证明了l’3(b)l3(b)l’3(b+1),从而对(0,2]中的极限点按照大小进行排序.最后,在第三小节中,我们通过构造图类,证明任何一个正整数k都是第三大拉普拉斯特征值的极限点.(三)在第三章中,我们首先在第一节里刻画了所有满足其第二大拉普拉斯特征值μ2(G)≤l 的连通图G,其中l=3.2470是三次方程μ3—5μ2+6μ—1=0的第一大根.在此基础上,我们通过对图的拉普拉斯特征多项式和特征值的讨论,在
第二小节里求出所有小于等于l=3.2470的第二大拉普拉斯特征值的极限点.(四)在第四章中,我们首先在第一小节中考虑在有向图的一些移接变形后谱半径的变化情况,然后给出团数和围长等固定的有向图中谱半径取到最小时的极图以及强连通图的最小和第二小谱半径.最后,我们求出了点连通度给定的强连通有向图的最大谱半径.(五)在第五章中,我们首先主要以顶点度di和图的边数m为参数,通过矩阵相似变换,讨论了弱并接(weakjoin)图的谱半径的上界,并刻画了达到这个上界的极图.谱半径的上界的准确估计,对于考虑图的最大特征值的极限点的存在性有至关重要的作用.接着,我们根据第二章和第三章的内容,给出了无符号拉普拉斯特征值的一些极限点的存在情况.【关键词】：邻接矩阵拉普拉斯矩阵特征多项式极限点禁用子图有向图邻接谱半径无符号拉普拉斯谱半径直径周长
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2011
【分类号】：O157.5
【目录】：摘要6-9Abstract9-13第一章绪论13-271.1研究背景与发展13-171.2基本概念与记号17-211.3本文的主要问题及其进展21-27第二章第三大拉普拉斯特征值的极限点27-482.1第三大拉普拉斯特征
值的第一及第二小极限点27-372.2第三大拉普拉斯特征值的第κ小极限点37-462.3第三大拉普拉斯特征值的整数极限点46-48第三章第二大拉普拉斯特征值的极限点48-633.1刻画μ_2(G)≤l的连通图48-603.2μ_2(G)小于等于l的极限点60-63第四章有向图的谱半径63-764.1关于有向图的一些移接变形63-664.2有向图的最小及第二小谱半径66-724.3点连通度给定的强连通有向图的最大谱半径72-76第五章无符号拉普拉斯谱76-845.1弱并接图的无符号拉普拉斯谱半径76-805.2无符号拉普拉斯矩阵特征值的极限点80-84参考文献84-93个人简历博士学位期间发表及完成的论文93-94致谢94 本论文购买请联系页眉网站。