命题及其关系练习题

1.1 命题及其关系校本作业一、选择题：1.（基础题）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A. 100B. 99C. 98D. 972.（基础题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=√5，c=2，cos A=23，则b=（）A. √2B. √3C. 2D. 33.（中档题）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A. a c<b cB. ab c<ba cC. alog b c<blog a cD. log a c<log b c4.（中档题）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π5.（提高题）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（13）的x取值范围是（）A. (13,23) B. [13,23) C. (12,23) D. [12,23)6.（提高题）已知f(x)是奇函数，当x>0时f(x)=−x(1+x)，当x<0时，f(x)等于()A. −x(1−x)B. x(1−x)C. −x(1+x)D. x(1+x)二、填空题：7.（基础题）若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．8.（中档题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=______．9.（提高题）已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x-15，则f（x）的解析式为______ ．三、解答题：10.（基础题）设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．11.（中档题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（Ⅰ）求C；，求△ABC的周长．（Ⅱ）若c=√7，△ABC的面积为3√3212.（提高题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质和等差数列的求和.利用等差数列的求和得a5=3，再利用等差数列的性质得公差，最后利用等差数列的性质计算得结论.【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选C.2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b 的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2-8b-3=0，∴解得：b=3或-（舍去）．故选D．3.【答案】C【解析】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c-1在（0，+∞）上为减函数，故a c-1＜b c-1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜-log a c＜-log b c，故-blog a c＜-alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．4.【答案】C【解析】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．5.【答案】A【解析】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x-1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选A．根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．当x＜0时，-x＞0，由已知表达式可求得f（-x），由奇函数的性质可得f（x）与f（-x）的关系，从而可求出f（x）．【解答】解：当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=x（1-x）．又f（x）是R上的奇函数，所以当x＜0时f（x）=-f（-x）=-x（1-x）．故选A．7.【答案】（-∞，-1]【解析】【分析】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题，可得△≤0．【解答】解：命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题，∴△=4+4a≤0，解得a≤-1．∴实数a的取值范围是（-∞，-1]．故答案为（-∞，-1]．8.【答案】12【解析】【分析】由已知中当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（-2），进而根据奇函数的性质，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．【解答】解：∵当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2，∴f（-2）=-12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=12，故答案为12.9.【答案】f（x）=4x-3或f（x）=-4x+5【解析】【分析】由题意设f（x）=ax+b，代入f（f（x））=16x-15，化简后列出方程组，解出a，b的值即可．本题考查了求函数的解析式方法：待定系数法，以及方程思想，属于基础题．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，∴，则，解得或，∴f （x ）=4x-3或f （x ）=-4x+5， 故答案为：f （x ）=4x-3或f （x ）=-4x+5． 10.【答案】解：因为p ：-3a ＜x ＜a ，q ：-4＜x ＜2，因为¬p 是¬q 的必要不充分条件， 所以p 能推出q ，q 不能推出p ， 所以{x |-3a ＜x ＜a }⊊{x |-4＜x ＜2}， 故满足{−3a ≥−4a ≤2a ＞0，解得0＜a ≤43． 【解析】本题考查了充分条件、必要条件与集合关系之间的转化，考查了解不等式组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解两个不等式，将p 和q 表示为x 的集合，然后由p 是q 的必要不充分条件得两个集合之间的包含关系，结合数轴构造关于a 的不等式，求解即可．11.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C ＜π，∴sin C ≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）=sin C ， 整理得：2cos C sin （A +B ）=sin C ， 即2cos C sin （π-（A +B ））=sin C 2cos C sinC=sin C ∴cos C =12， ∴C =π3；（Ⅱ）由余弦定理得7=a 2+b 2-2ab •12， ∴（a +b ）2-3ab =7，∵S =12ab sin C =√34ab =3√32，∴ab =6，∴（a +b ）2-18=7， ∴a +b =5，∴△ABC 的周长为5+√7． 【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12.【答案】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF ⊥EF ．∵∠AFD =90°，∴AF ⊥DF ， ∵DF ∩EF =F ，∴AF ⊥平面EFDC ， ∵AF ⊂平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）解：由AF ⊥DF ，AF ⊥EF ，可得∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角； 由ABEF 为正方形，AF ⊥平面EFDC ， ∵BE ⊥EF ，∴BE ⊥平面EFDC 即有CE ⊥BE ，可得∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角． 可得∠DFE =∠CEF =60°．∵AB ∥EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ， ∴AB ∥平面EFDC ，∵平面EFDC ∩平面ABCD =CD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ∥CD ，∴CD ∥EF ，∴四边形EFDC 为等腰梯形．以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD =a ，则E （0，0，0），B （0，2a ，0），C （a2，0，√32a ），A （2a ，2a ，0），∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2a ，0），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（a2，-2a ，√32a ），AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2a ，0，0） 设平面BEC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =（x 1，y 1，z 1），则{m ⇀·EB ⇀=0m ⇀·BC ⇀， 则{2ay 1=0a 2x 1−2ay 1+√32az 1=0，取m ⃗⃗⃗ =（√3，0，-1）． 设平面ABC 的法向量为n ⃗ =（x 2，y 2，z 2），则{n ⇀·BC ⇀=0n ⇀·AB ⇀=0，则{a2x 2−2ay 2+√32az 2=02ax 2=0，取n⃗ =（0，√3，4）． 设二面角E -BC -A 的大小为θ，则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ | =√3+1⋅√3+16=-2√1919， 则二面角E -BC -A 的余弦值为-2√1919．【解析】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．（Ⅰ）证明AF ⊥平面EFDC ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC 、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E-BC-A 的余弦值．。