1.3古典概型

解: 易知本题的试验为古典概型，记 A={两件都是次品},B={第一件是次品，第二件是正品}
C={第二件是次品},D={至少有一件是正品}，
G={恰有一件是正品}. (a) 有放回情形： 302 (1) P ( A) 2 0.09 100
30 70 ( 2) P ( B ) =0.21. 2 100
1 k C bC a 1 P( B) （与k有关） k Ca b
注：分组问题的公式 把n个物品分成k组，使第一组有n1个, 第二组有n2个,„,第k 组有nk个，且 n1+ n2+„+nk=n， 则不同的分组方法数为
n! n1 ! n2 ! nk !
例5:(学生分组问题)将15名新生随机地平均分配 到3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。问： (1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？ (2)3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ (类似的题：P8 例1.7) 解： 15名新生平均分配到3个班级中去的分法总数 为：
说明：
（1）当样本空间元素很多时，不需将中的元素一 一列出，只须分别计算出试验E的基本事件总数和A 包含的基本事件总数；
（2）若各基本事件不具备等可能性，不能用古典概 率公式计算事件A的概率。
例2: 设有批量为100的同型号产品，其中次品有30 件.现按以下两种方式随机抽取2件产品：(a)有放回 抽取，即先任抽取一件，观察后放回批中，再从中 任取一件；(b)不放回抽取，即先任抽取一件，抽后 不放回，从剩下的产品中再任取一件.试分别按这两 种抽取方式求： （1）两件都是次品的概率； A （2）第一件是次品，第二件是正品的概率； B （3）第二件是次品的概率； C （4）取得的两件产品中至少有一件正品的概率；D （5）恰有一件是次品的概率。 G
例3：某城市电话号码是为6位数，且第一位为6或8.求 （1）随机抽取的一个电话号码为不重复的6位数的概 率； （2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率. 解 分别记问题（1）、（2）的事件为A，B.
2 98 7 6 5 (1) P( A) 5 2 10 4 2 10 (2) P( B) 5 =0.1. 2 10
许多问题和上例有相同的数学模型。
如(生日问题)： 某人群有n个人，他们中至少有两 人生日相同的概率有多大？ 设每个人在一年(按365天计)内每天出生的可 能性都相同，现随机地选取n(n≤365)个人，则他 们生日各不相同的概率为 A365n / 365n。 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率为 1-A365n / 365n。 例如，n=40，可计算概率为0.89。
即：在40人左右的人群里,十有八九会发生{两人或 两人以上生日相同}这一事件。 课后练习： 掷5次骰子，求（1）恰好有3次点数相同的概率； （2）至少有两次出现6点的概率.
3 6 C 5 52 (1) p1 0.193 5 6 1 5 C 5 54 5 ( 2) p2 1 ( 5 ) 0.196 5 6 6 本节重点：会计算较简单的古典概率。
15 ! , 5 !5 !5 !
(1) 将3名优秀生分配到3个班级，使每个班级都 有一名优秀生的分法共有3!种。其余12名新生平 均分配到3个班级中的分法共有
12!/ (4! 4! 4!) 种，
每个班各分配到一名优秀生的分法总数为：
3[12! /( 4! 4! 4!)] !
于是所求的概率为：
3 !12 ! 15 ! 3 !12 ! 4! 4! 4! 25 p1 / 0.2747 . 4! 4! 4! 5! 5! 5! 15 ! 5! 5! 5! 91
70 30 30 70 (5) P (G ) 0.42 2 2 100 100 (b) 不放回情形： 30 29 (1) P ( A) 0.088 100 99
30 70 7 ( 2) P ( B ) 100 99 33 30 29 70 30 3 (3) P (C ) 100 99 100 99 10
=0.1512;
例4：袋中有a只白球，b只黑球．从中任意取出k 只球，试求：第k次取出的球是黑球的概率及仅 有一次取黑球的概率。(类似P10例1.10） 解 设 A=“第 k次取出的球是黑球”
B=“仅有一次取出的球是黑球”
k Aa b种， 从a＋b个球中依次取出k个球，有取法 k－ Aa b1 1种， 第k次取出黑球有取法b种，前k－1次有取法 －
A {i1 } {i2 }{ir },
则
r P( A) P(ik ) n k 1
r
III. 古典概率模型举例 例1：掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为 “四点或五点”，B表示所掷结果为“偶数 点”，求P(A)和P(B)。
解：由 n=6，rA=2,得 P(A)=2/6=1/3； 再由rB=3，得 P(B)=3/6=1/2。
则
k 1 b Aa b 1)(a b 2)(a b 3)(a b 1 k 2) (a b )(a b 1)(a b 2)(a b k 1)
b ab
（与k无关）－抓阄问题的公平性
(3)C=A{第一件是正品，第二件是次品}
二者互斥，因此 302 30 70 3 P (C ) 或 2 2 10 100 100
100 30 3 P (C ) （=第一次取到次品的概率） 2 10 100
( 4) D A,
P ( D) 1 P ( A) 0.91
(2)3名优秀生分配到同一个班级的概率为：
12 ! 15 ! 3 12 ! 5! 6 p23 / 0.0659 . 2! 5! 5! 5! 5! 5! 2! 15 ! 91
其余12名新生，一个班级分2名, 另外两班各分5名 三名优秀生分配 在同一班级内
例6 (分球入盒问题):把n个大小相同的球随机放到 N ( n N ) 个盒子中去.试求下列各事件的概率.
{i}是基本事件，且各自发生的概率相等。 于是，有 1=P(Ω )=P({1}∪{2 }∪„∪{n}) =P({1})+P({2 })+„+P({n}) =n P({i}), i=1,2,„,n。 从而， P({i})= 1/n，i=1,2,„,n.
因此，若事件A 包含 r 个基本事件，即
§1.3 古典概率模型 I. 古典概率模型 如果试验 E 满足 (1).试验结果只有有限种； (2).各种结果出现的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古 典概率模型，简称等可能概型或古典概型。
II. 古典概率模型中事件概率求法 因试验E的结果只有有限种，即样本点是 有限个: 1,2 ,„,n 。 Ω ={1}∪{2 }∪„∪{n}，
或
30 99 3 P (C ) （=第一次取到次品的概率？） 100 99 10 (4)P ( D) 1 P ( A) ...
1 1 C30 C 70 70 30 30 70 14 (5) P (G ) 或 2 C100 100 99 100 99 33
预习：§1.4条件概率
练习: 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中 球的最多个数分别为1，2，3的概率. 解
Ai {杯子中最多有i个球}( i 1, 2, 3),
3 A4 3 P ( A1 ) 3 ; 8 4 2 2 C3 A4 9 P ( A2 ) ; 3 16 4
则
4 1 P ( A3 ) 3 . 4 16
(1)A=“某指定的n个盒子各有一球”;
(2)B=“恰有n个盒子,其中各有一球”; (3)C=“某指定的盒子恰有 m( m n) 个球”。 n! (P9 例1.9的拓广) (1) P ( A) n 解 N n n C N n ! AN 如何求某指定的 ( 2) P ( B ) n N Nn 盒子不空的概率？ m C n ( N 1)n m (3) P (C ) Nn