新人教版高中数学《平面向量的坐标运算》基础练习题
高一向量同步练习（平面向量的坐标运算）
一、选择题
1、已知MA =(-2，4)，MB =(2，6)，则21
AB = ( )
A ．(0，5)
B ．(0，1)
C ．(2，5)
D ．(2，1)
2、已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）
A ．(53，-54)
B ．(-53，54)
C ．(-54，53
) D ．(54，-53
)
3、若向量a = (1，1)， b = (1，－1)， c =(－1，2)，则c 等于 （ ）
A ．－21a +23b
B ．21a － 23b
C ．23a － 21b
D ．－ 23
a + 21
b
4、已知向量AB =（1，2），OB =（0，1），则下列各点中在直线AB 上的点是 （ ）
A ．(0，3)
B ．(1，1)
C ．(2，4)
D ．(2，5)
5、已知向量a =(-2，4)，b =(1，-2)，则a 与b 的关系是 （ ）
A ．不共线
B ．相等
C ．同向
D ．反向
6、设k ∈R ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是 （ ）
A ．(k ，k)
B ．(-k ，-k)
C ．(k 2+1，k 2+1)
D ．(k 2-1，k 2-1)
二、填空题
1、已知：()4,2M 、()3,2-N ，那么=MN ；=NM ．
2、已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标是 ．
3、已知向量a =(3，-2)，b =(-2，1)，c =(7，-4)，且c =λa +μb ， 则λ= ，μ= ．
4、已知a =(2，4)， b =(－1，－3)，c =(－3，2)． 则|3a +2b |=________． 若一个单位向量u 与a －c 的方向相同，则u 的坐标为________________．
5、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为 ．
6、已知AB =(5，-3)，C(-1，3)，CD =2AB ，则点D 坐标是 ．
三、解答题
1、已知向量a =（1，x ），b =（y ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e =22e ，求x 、y 的值．
2、已知平行四边形ABCD 的顶点()2,1--A 、()1,3-B 、()6,5C ，求顶点D 的坐标．
3、已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)， AE =31AC ，BF =31
BC
（1）求点E 、F 及向量EF 的坐标；
（2）求证：EF ∥AB ．
参考答案
一、选择题
DAB DDC
二、填空题
1、()1,4--=MN ，()1,4=NM 。
2、()4,5B 。
3、2,1-==μλ。
4、132|23|=+b a ；⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=29292,29295u 。
5、()16,2D
6、()3,9-D
三、解答题
1、34=x ；43
=y 。
2、∵()5,1=+=+=BA OC CD OC OD ，∴ ()5,1D 。
3、⎪⎭⎫
⎝⎛
-=+=32,31
AE OA OE ；⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0,37
BF OB OF ；⎪⎭⎫
⎝⎛-=-=32,38OE OF EF ；
∵ ()EF AB 23
32,38
231,4=⎪⎭⎫
⎝⎛
-=-=，∴ EF ∥AB ．。
高一数学平面向量基础练习题
平面向量基础练习题一、选择题1．设点P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ）。
A 、-9B 、-6C 、9D 、62、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 21-b D 、23-a + 21b 3、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（ ） A 、)1010,10103(-=e B 、)1010,10103()1010,10103(--=或e C 、)2,6(-=e D 、)2,6()2,6(或-=e 4、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、205、若向量)1,2(),2,1(-==n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ）A 、 －1 ，2B 、 －2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，16、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α,sin β)，则a 与b 一定满足 （ ）A 、a 与b 的夹角等于α－βB 、(a ＋b )⊥(a －b )C 、a ∥bD 、a ⊥b7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=，i OQ -=∈),2,0(πθ。
若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ）A 、θB 、θπ+2 C 、θπ-2 D 、θπ-8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A 、2B 、3C 、23D 、 二、填空题9、有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．2.设向量，，若向量与向量共线，则= ．【答案】-3【解析】由题知=（，），由向量与向量共线得，()(-3)-( )(-1)=0,解得，=-3.考点:向量的坐标运算；向量共线的充要条件3.已知点，，向量，若，则实数的值为．【答案】4【解析】由题知，=（2,3），由向量共线的充要条件及得，，解得=4考点:点坐标与向量坐标关系；向量平行的条件4.已知平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】∵=（2，-1），=（1，1），∴＝(2，−1)+k(1，1)＝(2+k，k−1)，又=（-5，1），且∥，，∴1×（2+k）-（-5）×（k-1）=0，解得：k=．故选：B．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．5.已知向量，若向量则( ).A．B．2C．8D．【答案】B【解析】.【考点】平面向量平行的坐标表示.6.已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由向量的坐标运算及向量模的定义易表示出，，再由求得的值；（2）首先由同角的三角函数关系求出，再由得的值，最后合理的拆分角及和角公式得即可求得结果.试题解析：(1)(2)【考点】向量的坐标运算及向量模的定义；同角的三角函数关系；三角函数的和、差角公式.7.已知向量，且，则．【答案】.【解析】∵，∴，，又∵，∴.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量共线的坐标表示.8.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】【解析】根据∥有,可知,得．【考点】向量共线．9.已知向量，,,且、、三点共线，则=_________．【答案】【解析】∵A,B,C三点共线，∴，又∵，，∴，解得．【考点】向量共线的坐标表示．10.已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则等于（）A．-2B．-6C．2D．3【答案】A【解析】解：∵A（1，1）、B（-1，0）、C（3，-1），∴=（-2，-1），=（2，-2）∴=（-2）•2+（-1）•（-2）=-2，故选A.【考点】数量积的坐标表达式．11.若，点的坐标为，则点的坐标为.【答案】【解析】设，则有，所以，解得，所以.【考点】平面向量的坐标运算.12.已知,,则．【答案】【解析】根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到.向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.【考点】向量的减法运算13.已知向量（）A．（8，1）B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算点评：若，14.设向量满足及，（Ⅰ）求夹角的大小；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)设与夹角为，，而，∴，即又，∴所成与夹角为.(Ⅱ)∵所以.【考点】向量的夹角向量的模点评：本题是一个考查数量积的应用问题，在解题时注意启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，把握向量的几何表示，注意数量积性质的相关问题15.设，向量且，则( )A．B．C．2D．10【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算及向量位置关系点评：若则，16.已知点和向量,若,则点的坐标为________.【答案】【解析】设【考点】向量的坐标运算点评：若则，两向量相等，则其横纵坐标对应相等17.已知＝(1,2)，＝(-2,k)，若∥(+)，则实数的值为．【答案】-4【解析】因为＝(1,2)，＝(-2,k)，所以+=（-1,2+k），因为∥(+)，所以1×（2+k）+2=0，解得，k=-4.【考点】平面向量的加法运算；平面向量平行的条件。
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知向量=（8，x），=（x，1），x＞0，若﹣2与2+共线，则x的值为（）A．4B．8C．0D．2【答案】A【解析】由题意得，﹣2=（8，x） 2（x，1）="(8" 2x , x 2) ,2+=2（8，x）+ （x，1）=(16+x,x+1),又﹣2与2+共线，∴（8 2x）（x+1）（x 2）（16+x）=0,解得．故选A.【考点】平面向量的坐标运算.2.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．3.已知，，且，则点的坐标为．【答案】(4,-3)【解析】设C,所以=，=，由=-2，所以，解得=4，=-3，故C（4,-3）．【考点】点坐标与向量坐标关系；向量相等的充要条件4.已知为锐角的三个内角，向量与共线．（1）求角的大小；（2）求角的取值范围（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）（，2]【解析】（1）由向量平行的坐标形式及可列出关于角Ａ的正弦的方程，求出,结合A为锐角，求出Ａ角；（2）由（1）知Ａ的值，从而求出B+C的值，将C用B表示出来，结合Ｂ、Ｃ都是锐角，列出关于B的不等式组，从而求出B的范围；（3）将函数式中C用B表示出来，化为B的函数，用降幂公式及辅助角公式化为一个角的三角函数，按照复合函数求值域的方法，结合（2）中B角的范围，求出内函数的值域，作为中间函数的定义域，利用三角函数图像求出中间函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的性质求出外函数的值域即为所求函数的值域．试题解析：（1）由题设知：得即由△ABC是锐角三角形知： 4分（2）由（1）及题设知：即得∴ 8分（3）由（1）及题设知：， 10分由（2）知：∴ 12分∴因此函数y=2sin2B+cos的值域为（，2] 14分（其他写法参照给分）【考点】向量平行的充要条件；已知函数值求角；不等式性质；三角变换；三角函数在某个区间上的值域5.设的夹角为钝角，则的取值范围是 .【答案】或。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：2.3.3平面向量的坐标运算.docx
2.3.3 平面向量的坐标运算班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7) <p2．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，已知AB →=(3,−2)，AC →=(−5,−1)，则AD →的坐标为 A.(−8，1)B. (−1,−32)C. (1,32)D.(8，−1)3．已知平行四边形ABCD 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,8),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4),对角线AC 与BD 相交于点M,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 A.(-12,-6)B.(-12,6)C.(12,-6)D.(12,6)4．已知A (2，1)，B (−3，−2)，AM →=23AB →，则点M 的坐标是 A. (−12,−12)B.(−43,−1)C. (−13,0)D.(0,−15)5．设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=( )A.(6,3)B.(7,3)C.(2,1)D.(7,2)6．已知点M (5,－6)和向量a →＝(1,－2)，若MN →＝－3a →，则点N 的坐标为____．7．在平面直角坐标系中,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5),则向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 . 8．已知P={a |a =(-1,1)+m (1,2),m ∈R},Q={b |b =(1,-2)+n (2,3),n ∈R }是两个向量集合,则P∩Q= .能力提升设两个向量a =(λ+2,λ2−cos 2α)和b =(m,m 2+sinα)，其中λ，m ，α为实数，若a =2b ，则λm 的取值范围是A.[−6，1]B.[4，8]C.(−6，1]D.[−1，6]2.3.3 平面向量的坐标运算详细答案【基础过关】 1．B【解析】由题意得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)-(2,4)=(-1,-1),选B.2．B【解析】∵在△ABC 中，点D 是BC 的中点，∴由向量加法的平行四边形法则，得()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∵()3,2AB =-u u u r ，()5,1AC =--u u u r ，∴31,2AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r . 故选B. 3．B【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算和线性运算等基础知识,意在考查考生的计算能力.由题意可知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(-12,6),故选B.4．B【解析】设点(),M x y ，则()2,1AM x y =--u u u u r ，()5,3AB =--u u u r.23AM AB =u u u u r u u u r Q ,102,312,x y ⎧-=-⎪∴⎨⎪-=-⎩解得4,31.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴点M 的坐标是4,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选B.5．B【解析】a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3),选B. 6．(2,0)桑水【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得MN →=(−3,6)；而M (5,－6)，所以点N 的坐标为(2,0).【备注】N(x 1,y 1), M(x 2,y 2)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 2，y 1−y 2). 7．(1,4)【解析】BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)-(2,1)=(1,4). 8．{(-13,-23)}【解析】集合P 中,向量a =(-1+m ,1+2m ),集合Q 中,向量b =(1+2n ,-2+3n ), 令{−1+m =1+2n 1+2m =−2+3n ,解得{m =−12n =−7,此时a =b =(-13,-23),所以集合P∩Q={(-13,-23)}.【能力提升】A。
人教A版高一必修第二册第六章《平面向量的加、减、数乘、数量积的坐标表示》练习题
平面向量加、减、数乘及数量积的坐标表示1、若过点P 1（2,3），P 2（6，-1）的直线上一点P 使1:3||:||21=−→−−→−PP PP ,则点P 的坐标为 。
2、已知向量a =（1,2），b =（2,3），若向量c 满足（c +a ）//b ，c ⊥（a +b ）,则c 的坐标为 。
3、已知向量a =（2,1），b =（1,-2），若m a +n b =（9，-8）（m 、n ∈R ），则m-n 的值为 。
4、已知向量a =（1,2），b =（2,-2），c =（1，λ），若c //(2a +b )，则λ= 。
5、设向量a =（1,-1），b =（m+1,2m-4），a ⊥b ，则m= 。
6、已知向量a =（-1,2），b =（m,1），若向量a +b 与a 垂直，则m= 。
7、已知向量a =（m,4），b =（3,-2），且a //b ，则m= 。
8、设向量a =（1,0），b =（-1,m ），若a ⊥（m a -b )，则m= 。
9、已知向量a =（2,2），b =（-8,6），则cos<a ,b >= 。
10、设向量a =（m,1），b =（1,2），且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m= 。
11、已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°，则实数λ的值为 。
12、已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=−→−−→−−→−AC AB AP 21,则||−→−PD = ；−→−−→−•PD PB = .13、已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则−→−−→−•BD AE = . 14、在矩形ABCD 中，AB=2，BC=2,点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若−→−−→−•AF AB =2，则−→−−→−•BF AE = .15、设R y x ∈、，向量a =（x ，1），b =（1，y ），c =（2，-4），且a ⊥c ，b //c ，则|a +b |=（ ） A 、5 B 、10 C 、25 D 、10 16、已知−→−AB =（2,3），−→−AC =（3，t ），|−→−BC |=1，则−→−−→−•BC AB =（ ） A 、-3 B 、-2 C 、2 D 、317、已知点A （0,1），B （3,2），向量−→−AC =（-4，-3），则向量−→−BC =（ ） A 、（-7，-4） B 、（7,4） C 、（-1,4） D 、（1,4） 18、向量a =（1,-1），b =（-1,2），则（2a +b ）·a =（ ） A 、-1， B 、0 C 、1 D 、219、已知−→−OA =（2,3），−→−OB =（-3，y ）,若−→−OA ⊥−→−OB ，则|−→−OB |等于（ ）A 、2B 、26C 、52D 、2155 20、已知向量a =（2,3），b =（3,2），则|a -b |=（ ）A 、2B 、2C 、52D 、5021、已知向量−→−BA =（21，23），−→−BC =（23，21），则∠ABC=（ ）A 、45°B 、30°C 、60°D 、120°22、已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•−→−−→−−→−PC PB PA 的最小值是（ ）A 、-2B 、-23C 、-34D 、-123、设ABC ∆，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B=41AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有−→−−→−−→−−→−•≥•C P B P PC PB 00,则（ ）A 、∠ABC=90°B 、∠BAC=90°C 、AB=ACD 、AC=BC 24、已知实数x 、y 满足x+y-4=0，求x 2+y 2的最小值。
新人教版高中数学平面向量的坐标运算随堂练习必修四
向量的坐标运算1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(ka ＋b )∥c ，则k ＝2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC ＝2AD ，则顶点D 的坐标为3．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝4．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于 5．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan θ＝________.6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.7．已知点A (－1，－1)、B (1,3)、C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC ＝λOA ＋(1－λ) OB ，λ∈R ，则x ＝______.8．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________________．9．已知A 、B 、C 三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .答案：1.解析：ka ＋b ＝(k －1，k ＋1)，由(ka ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3.答案：-32.解析：令D (x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －＝3－－，y －＝1－－解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝72.∴顶点D 的坐标为(2，72)．答案：(2，72)．3.解析：AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.答案：-94.解析：由a ∥b 得－2×(－14)＝1－cos 2θ＝sin 2θ，∵θ为锐角，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.答案：45°5.解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ.即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. 答案：146.解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1.答案：－17.解析：取点O (0,0)，由OC ＝ λOA ＋(1－λ) OB ，得(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－λ＋－λ，5＝－λ＋－λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2. 答案：28.解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设点B 坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.①又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，∴λ＝12或λ＝－23，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73，0)．答案：(0，72)或(73，0) 9.证明：设E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为(－13，23)．同理点F 的坐标为(73，0)，EF ＝(83，－23)．又83×(－1)－4×(－23)＝0，∴EF ∥AB .10.解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.仅此学习交流之用谢谢。
人教A数必修4基础达标训练：2.3.3 平面向量的坐标运算(含答案解析)[ 高考]
1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)答案：D2．已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，则向量12a －32b 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，－52 B.⎝⎛⎭⎫12，72 C.⎝⎛⎭⎫－12，52 D.⎝⎛⎭⎫－12，72 解析：选D. 12a －32b ＝12(2,1)－32(1，－2) ＝⎝⎛⎭⎫1，12－⎝⎛⎭⎫32，－3＝⎝⎛⎭⎫1－32，12＋3＝⎝⎛⎭⎫－12，72. 3．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b ＝(10,0)，(m ，n ∈R )，则( )A ． m ＝2，n ＝4B ．m ＝3，n ＝－2C ．m ＝4，n ＝2D ．m ＝－4，n ＝－2解析：选C.∵m a ＋n b ＝m (3，－1)＋n (－1,2)＝(3m －n ，－m ＋2n )＝(10,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －n ＝10，－m ＋2n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2.4．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，则DA →等于( )A ．(x ＋4,2－y )B ．(x －4,2－y )C ．(x －4，y －2)D ．(－4－x ，－y ＋2)解析：选D.∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6＋x －2,1＋y －3)，∴ DA →＝－AD →＝(－x －4，－y ＋2)．5．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎫－1，－32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 解析：选B.设P 的坐标为(x ，y )，∴(x ，y )－(3，－2)＝12[(－5，－1)－(3，－2)]， ∴(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫－1，－32. 6．若a ＋b ＝(－3，－4)，a －b ＝(5,2)，则向量a ＝________，向量b ＝________. 解析：a ＋b ＝(－3，－4)，①a －b ＝(5,2)．②①＋②，得a ＝12×[(－3，－4)＋(5,2)]＝(1，－1)； ①－②，得b ＝12×[(－3，－4)－(5,2)]＝(－4，－3)．答案：(1，－1) (－4，－3)7．已知向量a ＝(1,2)， b ＝(－2,3)，c ＝(4,1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________.解析：设c ＝x a ＋y b ，则(x,2x )＋(－2y,3y )＝(x －2y,2x ＋3y )＝(4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝42x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，所以c ＝2a －b . 答案：2a －b8．(2013·苏州高一检测)已知A (－1,5)和向量a ＝(2, 3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________．解析：设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ，y )－(－1,5)＝(x ＋1，y －5)．又3a ＝3(2,3)＝ (6,9)，且AB →＝3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14，故点B 的坐标为(5,14)．答案：(5,14)9．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，求BD →的坐标．解：BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，AD →＝BC →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．10．已知点B (1,0)是向量a 的终点，向量b ，c 均以原点O 为起点，且b ＝(－3，－4)，c ＝(1,1)与向量a 的关系为a ＝3b －2c ，求向量a 的起点坐标．解：设a 的起点坐标为A (x ，y )，则AB →＝(1－x ，－y )．∵b ＝(－3，－4)，c ＝(1,1)，∴a ＝3b －2c ＝(－11，－14)，∴AB →＝(1－x ，－y )＝(－11，－14)，∴x ＝12，y ＝14，∴A (12,14)．。
吉林省吉林市第一中学校高中数学 2.3.3平面向量的坐标运算练习 新人教A版必修4
2.3.3平面向量的坐标运算一．选择题1.已知a =(3,-1), b =(-1,2)，则-3a -2b 的坐标是( ) A.(7，1) B.(-7，-1) C.(-7，1) D.(7，-1)2.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则CO 的坐标是( )A.(- 21，5) B.(- 21， -5) C.( 21，-5) D.( 21，5)3.若向量a =(x-2,3)与向量b =(1,y+2)相等，则：( )A.x=1,y=3B.x=3,y=1C.x=1,y=-5D.x=5,y=-14.若向量)1,0(,)2,3(-==b a ，则向量a b -2的坐标是（ ）A.（3，-4）B. （-3，4）C. （3，4）D. （-3，-4）5.已知向量AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,3),则DA =( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)6.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB =（2，4），AC =（1，3），则BD 等于（ ）A.（-2，-4）B. （-3，-5）C. （3，5）D. （2， 4）7. 已知MA =(-2，4), MB =(2，6)，则AB21等于（ ）A.（0，5）B. （0，1）C. （2，5）D. （2， 1）二．填空题 8. 若)2,1(-=a ，则=-a 29．若向量a =(x+3,x2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x=10．若点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为11．若A 、B 、C 三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，则AB +2BC ，BC -21AC 的坐标分别为 、 .12. 已知平面上三个点A （4，6），B （7，5），C （1，8），求AB 、AC 、AB +AC 、AB -AC 、2AB +21。
6.2.3平面向量的坐标及其运算练习题2021-2022学年高中数学人教版B版(2019)必修第二册
平面向量的坐标及其运算一、选择题1．(多选题)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．|a |＝|b |B ．向量a 的终点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)4．以下命题错误的是( )A ．若i ，j 分别是与平面直角坐标系中x 轴，y 轴同向的单位向量，则|i ＋j|＝|i －j|B ．若a ∥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则必有x 1y 1＝x 2y 2C ．零向量的坐标表示为(0,0)D ．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 5．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC ，BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5二、填空题6．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．7．已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________． 8．设a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且满足a ∥b 的实数x 存在，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．已知点A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b ；(2)当向量3a ＋b 与b ＋k c 平行时，求k 的值．10．在平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(2)若向量d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求向量d 的坐标．素养达标11．在△ABC 中，已知A (2,3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)12．(多选题)下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b ＝λa B ．e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝±|a|eC ．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 D ．已知λ1＞0，λ2＞0，{e 1，e 2}是一个基底，a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1不共线，a 与e 2也不共线13．已知A (1,2)，B (2,4)，点P 在x 轴上．(1)当P 的坐标为________时，P A ＋PB 取得最小值，为________； (2)当P 的坐标为________时，PB －P A 取得最大值，为________． 14．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为________．15．在平面直角坐标系中，给定△ABC ，点M 为BC 的中点，点N 满足AN →＝2NC →，点P 满足AP →＝λAM →，BP →＝μBN →.(1)求λ与μ的值；(2)若A ，B ，C 三点坐标分别为(2，－2)，(5,2)，(－3,0)，求P 点坐标．一、选择题1．(多选题)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．|a |＝|b |B ．向量a 的终点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称AC [|a |＝(－2)2＋32＝13，|b |＝22＋(－3)2＝13，所以A 正确；向量可以平移，故B 错误；a ＝－b ，则a 与b 互为相反向量，a 与b 的坐标关于原点对称，故C 正确，D 错误．]2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)，故选B ．]3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)D [因为4a,3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接， 所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2,4) ＝(4，－6)．]4．以下命题错误的是( )A ．若i ，j 分别是与平面直角坐标系中x 轴，y 轴同向的单位向量，则|i ＋j|＝|i －j|B ．若a ∥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则必有x 1y 1＝x 2y 2C ．零向量的坐标表示为(0,0)D ．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 B [设i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则i ＋j ＝(1,1)，i －j ＝(1，－1)．|i ＋j |＝|i －j |＝2，故A 项正确；∵零向量与任何向量平行，若a ＝(0,0)，则00＝x 2y 2无意义，故B 项错误；根据向量的坐标表示可知C ，D 项正确．]5．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC ，BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5B [由向量加法的平行四边形法则可得AC →＝AD →＋AB →＝(3,7)＋(－2,3)＝(1,10)，∴CO →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.]二、填空题6．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 [由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎨⎧ －2λ＝x －1，3λ＝y －2，⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2， 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.]7．已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，113 [因AC →＝13AB →，即OC →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OC →＝23OA →＋13OB →＝23(2,3)＋13(－1,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，113.] 8．设a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且满足a ∥b 的实数x 存在，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [∵a ＝(6,3a )，b ＝(2，x 2－2x )，且满足a ∥b ， ∴6(x 2－2x )－6a ＝0，即x 2－2x －a ＝0. 因为存在实数x ，则方程有解， 所以Δ＝4＋4a ≥0，∴a ≥－1， 即a 的取值范围是[－1，＋∞)．] 三、解答题9．已知点A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b ；(2)当向量3a ＋b 与b ＋k c 平行时，求k 的值．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b ＝3(5，－5)＋(－6，－3)＝(9，－18)． (2)b ＋k c ＝(－6＋k ，－3＋8k )， ∵3a ＋b 与b ＋k c 平行，∴9×(－3＋8k )－(－18)×(－6＋k )＝0， ∴k ＝32.10．在平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(2)若向量d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求向量d 的坐标． [解] (1)由已知条件以及a ＝m b ＋n c ，可得(3,2)＝ m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89. (2)设向量d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)． ∵(d －c )∥(a ＋b )，|d －c |＝5， ∴⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5， 解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3，∴向量d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．素养达标11．在△ABC 中，已知A (2,3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)C [由题意知，G 是△ABC 的重心， 设C (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2＋6＋x 3＝4，3－4＋y3＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.故C (4，－2)．]12．(多选题)下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b ＝λa B ．e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝±|a|eC ．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22D ．已知λ1＞0，λ2＞0，{e 1，e 2}是一个基底，a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1不共线，a 与e 2也不共线BD [若a 为零向量，则A 中结论不成立；由共线向量定理及向量数乘运算知B 成立；对于C ，12AB →＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 12，y 2－y 12，故C 不成立；根据平面向量基本定理知D 成立．]13．已知A (1,2)，B (2,4)，点P 在x 轴上．(1)当P 的坐标为________时，P A ＋PB 取得最小值，为________； (2)当P 的坐标为________时，PB －P A 取得最大值，为________． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0 37 (2)(0,0)5 [(1)点A (1,2)关于x 轴的对称点为A ′(1，－2)，连接A ′B 交x 轴于一点P ′(x 1,0)，则(P A ＋PB )min ＝ P ′A ＋P ′B ＝A ′B ＝(2－1)2＋(4＋2)2＝37， 此时A ′P ′→＝(x 1－1,2)，A ′B →＝(1,6)． ∵A ′P ′→∥A ′B →，∴6(x 1－1)＝1×2， ∴x 1＝43.即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0时，P A ＋PB 取得最小值，为37.(2)连接BA 延长交x 轴于点P ″(x,0)，则(PB －P A )max ＝P ″B －P ″A ＝AB ＝(2－1)2＋(4－2)2＝5，此时，P ″A →＝(1－x,2)，AB →＝(1,2)． ∵P ″A →∥AB →，∴2×(1－x )＝2×1， ∴x ＝0.即点P 的坐标为(0,0)时，PB －P A 取得最大值，为 5.]14．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为________．25 [如图所示，∵∠AOC ＝45°，∴设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )． 又∵A (－3,0)，B (0,2)，∴λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)，又OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴⎩⎨⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ，⇒λ＝25.] 15．在平面直角坐标系中，给定△ABC ，点M 为BC 的中点，点N 满足AN →＝2NC →，点P 满足AP →＝λAM →，BP →＝μBN →.(1)求λ与μ的值；(2)若A ，B ，C 三点坐标分别为(2，－2)，(5,2)，(－3,0)，求P 点坐标． [解] (1)设BM →＝a ，CN →＝b ，则AM →＝AC →＋CM →＝－a －3b ，BN →＝2a ＋b ， AP →＝λAM →＝－λa －3λb ，BP →＝μBN →＝2μa ＋μb ， 故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)a ＋(3λ＋μ)b ， 而BA →＝BC →＋CA →＝2a ＋3b ， 由平面向量基本定理得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.(2)因为A (2，－2)，B (5,2)，C (－3,0)，由于M 为BC 的中点，所以M (1,1)．设P (x ，y )，又由(1)知AP →＝4PM →，所以(x －2，y ＋2)＝4(1－x,1－y )，可得⎩⎨⎧x －2＝4(1－x )，y ＋2＝4(1－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝25，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，25.。
人教A版高中数学必修四平面向量的坐标运算同步练习(1)
高一向量同步练习6（平面向量坐标运算2）一、选择题1、若A(x ，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x 的值为A ． －3B ． －1C ． 1D ． 32、向量(x 1，y 1)∥(x 2，y 2)的充要条件是A ．2121y y x x =B ．2211y x y x = C ．x 1y 2 = x 2y 1 D ．以上答案都正确 3、已知AB =(5，－3)，C(－1，3)， CD =2AB ，则点D 坐标A ．(11，9)B ．(4，0)C ．(9，3)D ．(9，-3)4、设=(23，sin α)，=(cos α，31)，且∥，则锐角α为 A ． 30０ B ． 600 C ． 450 D ． 7505、若向量=(1，－2) ， | | = 4 ||，且，共线，则可能是A ．(4，8)B ．(－4，8)C ．(－4，－8)D ．(8，4)6、平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是A ．（2，1）B ．（2，2）C ． （1，2）D ．（2，3）二、填空题1、设=(4，－3)，=(x ，5)，=(－1，y)，若+=，则（x ，y ）= ．2、若a =(-1，x)与b =(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．3、若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．4、已知=(3，2)，=(－2，1)，若λ+与+λ（λ∈R ）平行，则λ= ．5、已知|a |=10，b =（4，－3），且a ∥b ，则向量a 的坐标是 ．6、若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．7、已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，的坐标为 ．8、已知=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，则的坐标为 ．三、解答题1、已知向量=（1，2），=（x ，1），1e =+2，2e =2-且1e ∥2e ，求x ．2、已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，且m =4137， 求向量m 的坐标．3、已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)， (1)求方向与→AB 一致的单位向量；（2）过点C 作向量→CD 与→AB 共线，且4=→CD ，求D 点坐标；（3）若A 、B 、C 都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D 的坐标．参考答案一、选择题BCD CBB二、填空题1、()2,5-。