线性规划模型
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线性规划模型
gin 3
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
线性规划模型
线性规划模型● 知道线性规划模型的一般形式● 知道什么是可行解、可行域、最优解、最优值 ● 会用图解法求解二个变量的线性规划问题● 会利用软件WINQSB 求线性规划问题的最优解、最优值 ● 会建立简单的线性规划问题● 知道什么是缩减成本、影子价格，会利用软件WINQSB 进行灵敏度分析一、基本概念1. 线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数 max (或min )=c l x 1+c 2x 2+ … + c n x n 。
约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ),(),(),(22112222212111212111或或或 非负条件： x 1≥0, x 2≥0, …, x n ≥0可简写为 max(或min)=∑=n j j j x c 1 约束条件： ∑=n j j ij x a1≤(或=，≥) b i ，i=1，2，…，m非负条件： x j ≥0，j=1，2，…，n目标函数中的系数c i , i=1,2, …，n , 常称为价值系数，它反映某种价值（如利润、收益或效益）；约束条件中的右端项bj ，j=1,2, …，m ，右端系数，它反映某种资源的限制（如劳动力、原材料等）；约束条件中的a ij 常称为技术系数。
一般，它们都是已知的常数。
2.一个线性规划问题有解，是指能找出一组x j（j=1，2，…，n），使其满足所有的约束条件和非负条件。
称任何一组这样的x j（j=1，2，…，n）是线性规划问题的一个可行解。
通常，线性规划问题含有多个可行解。
称全部可行解的集合为该线性规划问题的可行域。
使目标函数值达到最优的可行解称为该线性规划问题的最优解，最优目标函数值称为该线性规划问题的最优值。
对不存在可行解的线性规划问题，称该线性规划问题无解。
二、两个变量的线性规划问题的图解法图解法的步骤为：第1步：在平面上建立直角坐标系；第2步：图示约束条件和非负条件，找出可行域；第3步：图示目标函数，并寻找最优解。
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划模型
j 1
i 1
将目标函数和约束条件放在一起，即得指派问题的数学模型.
第i人花费在第j项工作的时间用cijxij表示，在所有的工作中，第i人干仅干一项工作，
若第i人被分配去干第j0项工作，则当j0≠j时，cijxij=0，所以花费的总时间为T
nn
cij xij
.
i1 j 1
n
n
对于第i人，应有 xij 1 ；对于第j项工作，应有 xij 1 .
cT x
Ax b
A
eq
x beq
l b x u b
Matlab中求解线性规划的命令为：
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beg，lb，ub)
其中，x返回的决策变量x的取值，fvla返回的是目标函数的最优值.
注：若没有某种约束，则相应的系数矩阵赋值为空矩阵，如没有等式约束，则令Aeq=[]， beq=[].
（7）模型的分析与评价
在建立线性模型是，总是假定aij，bi，cj都是常数，但实际上这些系数往往是估计值 和预测值，如市场条件一变，aij值就会变化；bi往往因工艺条件的改变而改变；cj是根据 资源投入后的经济效果决定的一种决策选择.因此，这些参数在什么范围内变化时，线 性规划问题的最优解不变.
2.整数规划模型
3. 0-1整数模型
在部分规划问题中，每个需要做的决策只有两种时，可以使用0-1整数规划建模，它的 变量xi仅取值0或1.此类模型可用Lingo和Matlab求解.Matlab中规定0-1整数规划模型中的标准形 式为：
min cT x Ax b
s.t. Aeq x beq
Matlab中求解0-1规划的命令为： [x，fval]=bintprog(c，A，b，Aeq，beq)
线性规划基本模型
单纯形法是一种求解线性规划问题的经 典算法，其基本思想是通过不断迭代来 寻找最优解。
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划模型
第一节 线性规划模型
（一）制定生产计划
例1：某炊具生产企业生产四种产品，生产过程中要经过5 个车间，每个车间所能提供的工时数量、每种产品的工时定额、 各种产品的单位成本、销售价格、市场需求量预测等如下表。 下月生产产品B和D的金属板供应量紧缺，最大供应量为2000 平方米，若产品B每件需要2平方米，产品D每件需要1平方米。 希望实现最大利润，制定下月的生产计划。
X 11 X 21 X 31 5000 X 12 X 22 X 32 7500 X 13 X 23 X 33 7500 X 14 X 24 X 34 2000 （三）物资调运问题
产品 车间
单位产品的工时定额 （时）
ABCD
可用
工时 （时/ 月）
冲压 0.03 0.15 0.05 0.1 400
钻孔 0.06 0.12
0.1 400
装配 0.05 0.10 0.05 0.12 500
喷漆 0.04 0.20 0.03 0.12 450
包装 0.02 0.06 0.02 0.05 400
求总费用最小，运费= 单件运费× 运送量，因此目标函数为
Z min 8X11 6 X12 7 X13 4 X 21 3X 22
5X 23 7 X 31 4X 32 8X 33
即供应量的约束为：
X11 X12 X13 6000
X 21 X 22 X 23 4000
X 31 X 32 X 33 10000
约束条件为满足三种规格钢筋的最低需求，所以线性 规划模型为
Zmin 4X1 12X 2 2X 3 5X 5 10X 6
2 X1 X 2 XHale Waihona Puke 3 30s.t.X
2
3X 4
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重油 （30kg/t） 电力 （20kwh/t） 电力 重油 （10kg/t） （40kwh/t）
方 法 Ⅰ
原料
工序Ⅰ
80%
产品总量 中间产品
工序Ⅱ
50%
最终产品
X2
（600元/t） 最：这是一道简化的产品结构优化问题，即在生产利润指标一定且设 备、工艺和原燃料条件的情况下，求整个车间能耗最小的生产方案。 该方案的优劣决定于产品的种类和数量。 ① 设工序Ⅰ的最终产品量为x1104t，工序Ⅱ的最终产品量为x2104t ② 工序Ⅰ和Ⅱ的工序能耗（取重油和电力的折标煤系数分别为1.4 kgce/kg， 0.4 kgce/kwh，） 30×1.4+20×0.4=50（kgce/t） （Ⅰ） 10×1.4+40×0.4=30 （kgce/t） （Ⅱ） 车间的总能耗S=50（x1+1/0.5x2）+30x2 =50x1+130x2 （104kgce）
③ 列出全部约束条件 约束条件的性质和多少，在很大程度上决定着模型计算的难度。
2、线性规划模型的建立
例2：能源消耗最小问题
某轧钢车间有两道连续的生产工序。工序Ⅰ的产品可以作为工序Ⅱ的原料 进一步深加工为企业的最终产品，也可以直接作为企业的最终产品。这两道工 序生产单位产品所消耗的重油和电力的数量，每道工序的成材率，以及两种最 终产品的单位利润如图所示 。已知在计划期内供给该车间原料坯的能力为 17.5×104t，供电能力为300×104kwh，利润指标24×106元，试问应如何组织生 产才能使整个车间的能源消耗最小。试写出问题的数学模型。
1、线性规划问题及其数学描述
③ 生产配料问题
——在保证产品质量的条件下，确定各种原料的配比，使单 位产品的生产费用最低，如：高炉配料（喷煤），转炉炼钢 （生铁、铁水和废钢）、炼焦配煤。 ④ 上下工序的协调问题
——如何确定前道工序的产品质量、理化指标、加工深度及 产品的数量等，使生产过程的总能耗最小。 ⑤ 燃料和动力资源的分配问题 ——燃料、动力资源一定，合理分配各种资源，使能源的经 济效益最大。
1、线性规划问题及其数学描述
首先，用待求的未知量表示A、B产品的产量 设A产品的产量为x1个单位；B产品的产量为x2个单位。 其次，用等式或不等式来描述对该车间生产活动的各种限制 生产能力（总工时）的限制 4x1+2x2≤120 （小时） A 、 B 产品占用设备的总工时不能超过设备的生产能力 ； 电力供应能力的限制 2x1+3x2≤100 （kwh） A 、 B 产品消耗的总电力不能超过电力的供应能力 对产品产量的限制 ； x 1≥ 0 ， x 2≥ 0 每种产品的产量都应该非负的，必须大于或等于零。
4x1+2x2≤120 2x1+3x2≤100 x1 ≥0 x2≥0
1、线性规划问题及其数学描述
（2）线性规划问题的基本特征
① 每个问题有一组待求的未知量， x1 ， x2 ….xn称为线性 规划模型中的决策变量（Decision Variables）,是决策者可以 控制的量。 ② 用一组等式或不等式描述资源（广义的）与决策变量之 间的数量关系。 这种限制变量取值范围的条件，称为约束条件（ Constraints）；或者说各种变量的取值应满足于（Subject to ）若干约束条件，用s.t.表示。 ③有一个追求的目标 S ，它是变量 X 的函数，称为目标函数 （Subjective function）。依线性规划问题的不同，目标函数可 以是求最大值（Maximize），用max.表示，也可以是求最小值 （minimize），用min.表示。
线性规划模型法
1、线性规划问题及其数学描述
线 性 规 划 （ Linear Program ） 是 运 筹 学 （ Operations Research）的一个重要分支，是优化技术中最成熟和最有用的 方法之一。线性规划研究的是一些系统在静态下如何保持最优 化工作状态的问题。
例如：
① 生产计划的安排问题 ——资源、设备条件一定，确定产品结构，使能源的经济 效益最大，或万元产值能耗最低。 ② 工艺流程的选择问题 ——产品质量、产量一定，选择最佳工艺和工艺参数，使 生产那这种产品的能耗最少，或利润最大。
1、线性规划问题及其数学描述
线性规划问题数学描述：
已知目标函数f（ x ），求一组x（x1, x2, … xn） 的取值，在满足等式约束 gi(x)=0 （i=1, 2, ….p） 和不等式约束 hj(x)≤0 （j=1，2，…q） 的条件下，使f (x)取极大（或极小）值。
在这些问题中，f (x)、gi(x)、hi(x) 均为线性函数。
1、线性规划问题及其数学描述
最后，用函数来描述车间追求的目标 设车间总利润为S，它是A、B产品产量的函数， 即 S=6x1+4x2 （元） 追求利润最大，故用maximize来标记，其缩写为max.。 max.S=6x1+4x2 最大 因此，上述问题可以用一个函数式和一组不等式来描述，即 max.S=6x1+4x2 满足（Subject to—缩写为S.t.） S.t.
这类问题线性规划问题。
2、线性规划模型的建立
一般地说，编制线性规划问题的数学模型有三个基本步骤：
① 选择合适的模型变量
处理得好，可以减少模型中约束条件的个数，或者将貌似非线性问 题变换为线性问题； ② 确定目标函数
一旦决策变量确定之后，就可以确定极小化或极大化的目标函数 。目标函数用来衡量工作的成效（效果），它与决策变量的取值是分 不开的。 此外，可能会出现多目标问题，甚至是相互矛盾的目标，如利润和 能耗。
1、线性规划问题及其数学描述
（1）例1 生产利润最大问题
某车间计划生产 A，B 两种产品。生产单位产品A需占用设备 机时 4h ，耗电 2kwh ；生产单位产品 B 需占用设备机时 2h ，耗电 3kwh。已知在计划期内，设备的总生产能力（机时）为120h，电 力供应能力为100kwh，产品A的单位利润为6元，B为4元。问如何 安排生产才能使车间获得的生产利润最大，试列出该问题的数学 模型。 这是一个如何安排最优生产计划问题，可以用数学语言来描 述。 如何安排生产——意味着A、B两种产品在计划期各应生产多 少？试列出该问题的数学模型。
方 法 Ⅰ
原料
工序Ⅰ
80%
产品总量 中间产品
工序Ⅱ
50%
最终产品
X2
（600元/t） 最：这是一道简化的产品结构优化问题，即在生产利润指标一定且设 备、工艺和原燃料条件的情况下，求整个车间能耗最小的生产方案。 该方案的优劣决定于产品的种类和数量。 ① 设工序Ⅰ的最终产品量为x1104t，工序Ⅱ的最终产品量为x2104t ② 工序Ⅰ和Ⅱ的工序能耗（取重油和电力的折标煤系数分别为1.4 kgce/kg， 0.4 kgce/kwh，） 30×1.4+20×0.4=50（kgce/t） （Ⅰ） 10×1.4+40×0.4=30 （kgce/t） （Ⅱ） 车间的总能耗S=50（x1+1/0.5x2）+30x2 =50x1+130x2 （104kgce）
③ 列出全部约束条件 约束条件的性质和多少，在很大程度上决定着模型计算的难度。
2、线性规划模型的建立
例2：能源消耗最小问题
某轧钢车间有两道连续的生产工序。工序Ⅰ的产品可以作为工序Ⅱ的原料 进一步深加工为企业的最终产品，也可以直接作为企业的最终产品。这两道工 序生产单位产品所消耗的重油和电力的数量，每道工序的成材率，以及两种最 终产品的单位利润如图所示 。已知在计划期内供给该车间原料坯的能力为 17.5×104t，供电能力为300×104kwh，利润指标24×106元，试问应如何组织生 产才能使整个车间的能源消耗最小。试写出问题的数学模型。
1、线性规划问题及其数学描述
③ 生产配料问题
——在保证产品质量的条件下，确定各种原料的配比，使单 位产品的生产费用最低，如：高炉配料（喷煤），转炉炼钢 （生铁、铁水和废钢）、炼焦配煤。 ④ 上下工序的协调问题
——如何确定前道工序的产品质量、理化指标、加工深度及 产品的数量等，使生产过程的总能耗最小。 ⑤ 燃料和动力资源的分配问题 ——燃料、动力资源一定，合理分配各种资源，使能源的经 济效益最大。
1、线性规划问题及其数学描述
首先，用待求的未知量表示A、B产品的产量 设A产品的产量为x1个单位；B产品的产量为x2个单位。 其次，用等式或不等式来描述对该车间生产活动的各种限制 生产能力（总工时）的限制 4x1+2x2≤120 （小时） A 、 B 产品占用设备的总工时不能超过设备的生产能力 ； 电力供应能力的限制 2x1+3x2≤100 （kwh） A 、 B 产品消耗的总电力不能超过电力的供应能力 对产品产量的限制 ； x 1≥ 0 ， x 2≥ 0 每种产品的产量都应该非负的，必须大于或等于零。
4x1+2x2≤120 2x1+3x2≤100 x1 ≥0 x2≥0
1、线性规划问题及其数学描述
（2）线性规划问题的基本特征
① 每个问题有一组待求的未知量， x1 ， x2 ….xn称为线性 规划模型中的决策变量（Decision Variables）,是决策者可以 控制的量。 ② 用一组等式或不等式描述资源（广义的）与决策变量之 间的数量关系。 这种限制变量取值范围的条件，称为约束条件（ Constraints）；或者说各种变量的取值应满足于（Subject to ）若干约束条件，用s.t.表示。 ③有一个追求的目标 S ，它是变量 X 的函数，称为目标函数 （Subjective function）。依线性规划问题的不同，目标函数可 以是求最大值（Maximize），用max.表示，也可以是求最小值 （minimize），用min.表示。
线性规划模型法
1、线性规划问题及其数学描述
线 性 规 划 （ Linear Program ） 是 运 筹 学 （ Operations Research）的一个重要分支，是优化技术中最成熟和最有用的 方法之一。线性规划研究的是一些系统在静态下如何保持最优 化工作状态的问题。
例如：
① 生产计划的安排问题 ——资源、设备条件一定，确定产品结构，使能源的经济 效益最大，或万元产值能耗最低。 ② 工艺流程的选择问题 ——产品质量、产量一定，选择最佳工艺和工艺参数，使 生产那这种产品的能耗最少，或利润最大。
1、线性规划问题及其数学描述
线性规划问题数学描述：
已知目标函数f（ x ），求一组x（x1, x2, … xn） 的取值，在满足等式约束 gi(x)=0 （i=1, 2, ….p） 和不等式约束 hj(x)≤0 （j=1，2，…q） 的条件下，使f (x)取极大（或极小）值。
在这些问题中，f (x)、gi(x)、hi(x) 均为线性函数。
1、线性规划问题及其数学描述
最后，用函数来描述车间追求的目标 设车间总利润为S，它是A、B产品产量的函数， 即 S=6x1+4x2 （元） 追求利润最大，故用maximize来标记，其缩写为max.。 max.S=6x1+4x2 最大 因此，上述问题可以用一个函数式和一组不等式来描述，即 max.S=6x1+4x2 满足（Subject to—缩写为S.t.） S.t.
这类问题线性规划问题。
2、线性规划模型的建立
一般地说，编制线性规划问题的数学模型有三个基本步骤：
① 选择合适的模型变量
处理得好，可以减少模型中约束条件的个数，或者将貌似非线性问 题变换为线性问题； ② 确定目标函数
一旦决策变量确定之后，就可以确定极小化或极大化的目标函数 。目标函数用来衡量工作的成效（效果），它与决策变量的取值是分 不开的。 此外，可能会出现多目标问题，甚至是相互矛盾的目标，如利润和 能耗。
1、线性规划问题及其数学描述
（1）例1 生产利润最大问题
某车间计划生产 A，B 两种产品。生产单位产品A需占用设备 机时 4h ，耗电 2kwh ；生产单位产品 B 需占用设备机时 2h ，耗电 3kwh。已知在计划期内，设备的总生产能力（机时）为120h，电 力供应能力为100kwh，产品A的单位利润为6元，B为4元。问如何 安排生产才能使车间获得的生产利润最大，试列出该问题的数学 模型。 这是一个如何安排最优生产计划问题，可以用数学语言来描 述。 如何安排生产——意味着A、B两种产品在计划期各应生产多 少？试列出该问题的数学模型。