大连东软信息学院-概率论与数理统计题库2(2012年)
东北大学概率论与数理统计期末试题
2010-2011(1)概率统计试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共30分.）1. 随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为{ } .2. 设随机变量X 的密度函数为f(x)2(1)2()x x ---∞<<+∞，则P {–1< X <1}= .（Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.）3. 设D (X )≠0,D (Y )≠0，那么由D (X + Y ) = D (X – Y )一定有X , Y ．（独立、不独立、相关、不相关）4. 若随机变量X 1,X 2,X 3相互独立，且X 1～P (2), X 2～E (1), X 3～B (4,0.25)，则E (X 1 – 4X 2X 3)= ， D (2X 1 – 3X 2 + X 3)= .5. 已知E (X )=12, D (X )=1，那么利用切比雪夫不等式估计P {9 < X < 15} .6. 设X 1,X 2,…, X n 相互独立，均服从χ2(8)，则算术平均11ni i X n =∑依概率收敛于 . 7. 当样本容量一定时，显著性水平α越小，即犯第 类错误的概率就越 ，而犯第 类错误的概率就越 .8. 设X 1,X 2,…, X n 是来自均匀总体U (1,7)的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则E (X )= ，E (2S ) = .9. 设X 1,X 2,…, X 10是来自正态总体N (0, 0.5)的一个样本，则(X 1 – X 2)2 + (X 3 – X 4)2 + … + (X 9 – X 10)2 ～分布，2221392222410X X X X X X ++++++～ 分布. 10. 已知来自总体N (μ, 0.92)，容量为9的样本的样本均值x =5，则μ的置信度为0.95的置信区间为 . (z 0.05=1.645, z 0.025=1.96, t 0.05(8)=1.8595, t 0.025(8)=2.306.) 二、（共10 分）1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.4，有1, 2, 3件次品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）2.（6分）已知随机变量X 取四个值–1,0,2,3，相应的概率分别为1357,,,24816c c c c ，（1）求常数c ；（2）计算P { X < 3 | X > –1}.三、（12分）已知随机变量(X , Y )的分布律为\10110.30.20100.40.1X Y--，（1）求D (2X – Y )；（2）判断X , Y 的独立性与相关性；（3）求Z = max{ X,Y }的分布律. 四、（共22 分）1.（6分）设随机变量X 的密度函数为22,0,()0,0,x xe x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩ 求Y =X 2的密度函数.2.（16分）设随机变量(X , Y ) 的密度函数为,0,(,)0, ,x e y x f x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）求P { X <1}；（2）求()X f x 和()Y f y ，并判断X , Y 的独立性；（3）求()Y X f y x ；（4）求Z = X + Y 的分布.五、（6分）设各零件的重量是相互独立的随机变量，它们均服从相同的分布，期望、均方差分别为0.5kg 和0.1kg ，求2500只零件的总重量超过1240kg 的概率.（(1)0.8413,Φ=(2)0.9772Φ=.） 六、（8分）设X 1,X 2,…, X n 是来自总体X 的简单随机样本，X 的密度函数为),,()0,,x a e x a f x x a --⎧≥=⎨<⎩（ 其中a (a > 0)未知，求a 的矩估计和最大似然估计.七、（6分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为0.05mg/L .今从某企业排放的污水中抽取了9个水样，测得汞含量的样本均值为0.051mg/L ，样本均方差为0.003mg/L .假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设H 0: μ ≤ 0.05, H 1: μ > 0.05. t 0.10(9)=1.3830, t 0.10(8)=1.3968, t 0.05(9)=1.8331, t 0.05(8)=1.8595.）八、（6分）下面是A 班和B 班各10位学生的某科考试成绩（10分制）：A 班成绩：6 5 8 8 7 6 10 4 9 7B 班成绩：8 7 7 10 5 8 10 6 8 6平均成绩分别为A x =7,B x =7.5，成绩均方差分别为A s ≈1.83,B s ≈1.65.又定义极差=11max{}min{}i i i ni nx x ≤≤≤≤-(其中12,,,n x x x 为样本数据).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；（2）试根据平均成绩、成绩均方差与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.一、1. {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}; 2. 0.4772; 3. 不相关; 4. –2, 3174; 5. ≥8/9; 6. 8; 7. 一，小，二，大; 8. 4, 3; 9. χ2(5), F (5,5); 10. (4.412, 5.588).二、1. 解 1919191392383371010104040400.30.20.1=⨯+⨯+⨯C C C C C C p C C C 2. 解 (1) 由1357124816+++=c c c c ， 得c =16/37 .(2) P { X < 3 | X > –1} =35{13}22480.75862357{1}294816+-<<==≈>-++P X P X三、 解 (1) D (2X – Y )=4 D (X )+D(Y ) –4cov(X ,Y )= 4D (X )+D(Y ) –4(E (X ,Y ) –E (X )E (Y )) E (X )=0, E (X 2)=1,D (X )=1; E (Y )=–0.2, E (Y 2)=0.4, D (Y )=0.36; E (X ,Y )=0.4 D (2X – Y )=4×1 + 0.36 – 4×0.4 = 2.76 (2) ∵ cov(X ,Y )=0.4∴ X ,Y 相关 ∵ P {X =1,Y =–1}=0≠P {X =1} P { Y =–1}=0.5×0.3=0.15 ∴ X ,Y 不独立(3) Z-1 0 1p 0.3 0.2 0.5五、解设X i表示第i个零件的重量，则E(X i)=0.5, D(X i)=0.12，i=1,2,..,2500. 根据中心极限定理可知，2500只零件的总重量X = X1+X2+…+ X2500近似地服从N(2500×0.5, 2500×0.01)= N(1250, 25)，于是所求事件的概率{}1240125012401(2)0.97725P X-⎛⎫>≈-Φ=Φ=⎪⎝⎭.四、1. 解方法一∵2()20(0)''==>>y x x x∴,0,()0,0'⎧⎛⎫⎪>⎪=⎨⎝⎪⎪≤⎩XYf yf yy,0,0, 0.-⎧>=⎨≤⎩ye yy方法二2(){}{}=≤=≤YF y P Y y P X y当0,()0,()0;≤==Y Yy F y f y{(0,()>=≤=-YX Xy F y P XF F()()--=-=-=Y X Xy yf y f fe因此,0,()0, 0.-⎧>=⎨≤⎩yYe yf yy2. 解(1) P{ X <1}11100012---===-⎰⎰⎰x x xdx e dy xe dx e(2) 0,0,,0,()(,)0, 0.0,0--+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰x xxXe dy x xe xf x f x y dyxx,0,,0,()(,)0, 0.0,0+∞--+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰x yyYe dx y e yf y f x y dxyy(,)()()≠X Yf x y f x f y，故X,Y 不独立.(3) 当x > 0时，()0-=>xXf x xe，这时有1,0,(,)()()0,⎧<<⎪==⎨⎪⎩Y XXy xf x yf y x xf x其他.(4) ⎰+∞∞--=dxxzxfzfZ),()(，其中, 2,(,)0, .-⎧<<-=⎨⎩其他x e x z x f x z x当z ≤0时，(,)0-=f x z x ，此时0)(=z f Z ； 当z > 0时，(,)--=xf x z x e ，此时22()---==-⎰zzxz z Z f z e dx ee ，所以Z 的概率密度为 2, 0,()0, 0.--⎧⎪->=⎨⎪≤⎩z z Z e e z f z z六、 解 E (X )=()()()=-+∞+∞+∞----∞==+⎰⎰⎰t x ax a t axf x dx xedx t a e dt1+∞+∞--=+=+⎰⎰t t te dt a e dt a令1+a =X ，得a 的矩估计ˆ1=-aX . 当x 1,x 2,…, x n ≥a 时，似然函数为1212()()()()()---++++----==n n x a x x x nax a x a L a e e e e ， x 1,x 2,…, x n ≥0，取对数并求导数，有12(ln ())(())0''=-++++=>n L a x x x na n ，故L (a )是a 的增函数，即a 越大，L (a )的值就越大. 但由x 1,x 2,…, x n ≥a 可知，a ≤min{x 1,x 2,…, x n }. 因此a 的最大似然估计量为a =min{X 1,X 2,…, X n }.七、解 提出假设 H 0: μ ≤ 0.05, H 1: μ > 0.05， 检验统计量(8)=X T t ，拒绝域为 0.1(8) 1.3968≥=T t0.0011 1.39680.001===<x ，故接受假设H 0，即认为在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量不超标. 八、解 (1) A 班众数6,7,8 B 班众数8 A 班中位数7 B 班中位数7.5 A 班极差6 B 班极差5(2) B 班学生的成绩好于A 班的.一、因为B 班学生的平均成绩B x =7.5高于A 班的平均成绩A x =7，说明B 班学生的成绩整体上好于A 班学生的成绩；二、B 班的成绩均方差B s ≈1.65小于A 班的成绩均方差A s ≈1.83，以及B 班的极差小于A 班的极差，都说明A 班学生的成绩分布相对比较分散；三、A 班的众数多小于B 班的众数，又说明A 班学生的成绩在低分段的相对比较多.2011-2012(1)概率统计试题及参考答案一、 选择题（每小题3分，共15分） 1. 随机事件ABAB AB 发生，意味着[ ].(A),A B 都发生； (B),A B 至多有一个发生； (C),A B 恰好有一个发生； (D),A B 至少有一个发生.2. 设随机变量230.40.6X-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则X 的分布函数为[ ]. (A)0,2,()0.4,23,0.6, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩ (B)0.4,2,()0.6,23,1, 3.x F x x x ≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩(C)0,2,()0.4,23,1, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩ (D)0,2,()0.4,23,1, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩3. 已知221122(,),(,)XN Y N μσμσ，且12{1}{1}P X P Y μμ-<≥-<，正确的是[ ].(A)12σσ≤； (B)12σσ<； (C)12σσ≥； (D)12σσ>. 4. 设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值和样本方差，不正确的是[ ].(0,1)X N ; (B)222(1)(1)n S n χσ--;()X t n ; (D)X 与2S 相互独立.5. 对原假设H 0和备择假设H 1，[ ]为犯第一类错误.(A) H 1真，拒绝H 1； (B) H 1不真，拒绝H 1； (C) H 1真，接受H 1； (D) H 1不真，接受H 1. 二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设事件A 1, A 2, A 3相互独立，且P (A i )=1/3( i =1,2,3)，则A 1, A 2, A 3至少发生一个的概率为 .2. 设随机变量X ,Y ,Z 相互独立，概率密度函数分别为21(1)2211,13,,0,()()(),220,,0,0,y z X Y Z x e y f x f y f z z y ---⎧⎧<<≥⎪⎪===-∞<<+∞⎨⎨⎪⎪<⎩⎩其他，则E (3X – YZ 2)= . 3. 二维正态变量(,)(2,1,8,15,0)X Y N -，则Y ，X 与Y （独立，不独立，相关）.4. 设X ,2S 是二项总体B (10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E (X –2S )= .5. 设某次考试的成绩服从正态分布2(,)N μσ，其中2,μσ均未知. 随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是66.5，标准差为15. 为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为 .三、（12分）设随机变量(X ,Y )的分布律为\1020.20.30100.40.1X Y，（1）求Z = 2X – Y 的分布律；（2）求Cov (X , Y )；（3）判断X , Y 的独立性与相关性. 四、（共11分） 1.（6分）设随机变量,02,()0,ax x Xf x <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数a ；（2）求分布函数F (x ). 2.（5分）设随机变量22,0,(1)()0, 0,x x Xf x x π⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩求ln Y X =的概率密度函数.五、（12分）设二维随机变量(X ,Y )在由直线x =2, y = x /2及x 轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）(),()X Y X f x f y x ；（2）Z =X +Y 的概率分布. 六、（10分）某系统装有三个电子元件. 假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间T i (i =1,2,3)均服从参数为(0)λλ>的指数分布；只要有一个元件在工作，系统就能正常工作（正常工作的时间记为T ）.（1）求参数为λ的指数分布的分布函数；（2）给出T 与T 1、T 2、T 3的函数关系；（3）求T 的概率密度函数. 七、（共12分） 1.（6分）设随机变量1,01,()0,,a ax x X f x -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他其中(0)a a >未知，X 1,X 2,…, X n 是来自总体X 的简单随机样本，求a 的矩估计.2.（6分）已知总体X 的分布律为20231(1)X P θθθθ--，其中(01)θθ<<未知；总体X 的一组样本值中有3个为0、4个为2、2个为3，求θ的最大似然估计.八、（8分）基于人一年内的死亡率为0.1%，并经过市场调研，某保险公司设计了一种年险：参加保险的人，只须在一年的第一天交付保险费10元，一旦死亡，家属可从保险公司领取2000元. 试问：（1）至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为0？（提示：首先设参保人数，再设随机变量，表示出保险公司“不亏本”事件，然后利用中心极限定理计算概率）（2）若一年内有n 人投保，则保险公司一年内所获利润、平均利润各是多少？（3）结合（1）、（2）的结果，简单．．谈谈你对保险及保险公司的看法.（本．题约定．．．：0()1,4;()1,4x x x x ≤Φ<<Φ=≥）一、B D A C D二、1. 19/27; 2. 2; 3. N(1, 15) 或2(1)30y --；独立； 4. 1.6； 5. H 0 :μ=70，H 0: μ≠70；X T =.三、（1）2101200.20.400.4Z P --（2）Cov (X , Y )= E (XY ) – E (X )E (Y )=1*2*0.1–0.5*0.4=0（3）P {X =1, Y =1}=0≠0.1=P {X =1}·P {Y =1}，所以X , Y 不独立.因为Cov (X ,Y )=00≠≠，所以ρ(X ,Y )=0，故X , Y 不相关. 四、1.（1）∵()1f x dx +∞-∞=⎰∴211,2axdx a ==⎰（2）20,0,1()(),02,41, 2.xx F x f x dx x x x -∞≤⎧⎪⎪==<<⎨⎪≥⎪⎩⎰2. ∵ 1(ln )0(0)y x x x''==>> ∴ 22()()()(1)yyyY X y e f y f e e e π'==+六、（1）,0,1,0()(){}0,0.0,0.x x e x e x f x F x P X x x x λλλ--⎧⎧>->==≤=⎨⎨≤≤⎩⎩ （2）T =max{T 1,T 2,T 3}（3）123123(){}{max{,,}}{,,}T F t P T t P T T T t P T t T t T t =≤=≤=≤≤≤33(1),0,()0,0.t Te t F t t λ-⎧->==⎨≤⎩23(1),0,()0,0.t t T e e t f t t λλ--⎧->=⎨≤⎩五、1,02,0/2,(,)0,.x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他（1）2()(,)1(02)2x X xf x f x y dy dy x +∞-∞===<<⎰⎰，当02x <<时，2,0,(,)()2()0,.Y X x y f x y f y x x f x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他 （2）232231,02,,02,32()(,),23,2,23,30,0,.z z Z z z z dz z f z f x z x dx dz z z z +∞-∞⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-=<<=-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰其他其他七、1. 1()1a aE X ax dx a ==+⎰， 令 111ni i a X a n ==+∑，得a 的矩估计ˆ1X a X =-. 2. 似然函数为L (θ)=( θ2)3(1-θ)4θ2 (1-θ)2=θ8 (1-θ)6令 d L (θ) /d θ=2θ7 (1-θ)5(4(1-θ) - 3θ)=0，0得θ的最大似然估计4ˆ7θ=.八、设有n 人参加保险，其中有X 人在一年内死亡，则(,0.001)X B n . 根据中心极限定理可知，(0.001,0.0010.999)X N n n ⨯.（1）不亏本：10n >= 2000X ，不亏本的概率为0，即P{10n >= 2000X }= P{X <= n /200}≈1Φ=，4,999n ≥≥.所以至少得有999人参加该保险. （2）利润：10n –2000X平均利润：10n –2000E (X )= 10n –2n =8n（3）。
概率论考核作业（综合测试题）完整版
概率论考核作业（综合测试题）完整版综合测试题概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 ( B ).A. A B A B +=+B.()A B B A B +-=-C. (A -B )+B =AD. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是( D ).A.P (A -B )=P (A )-P (B )B.P (AB )=P (A )P (B )C. P (A +B )=P (A )+P (B )D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ).A.18 B. 16 C. 14 D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).A.1120 B. 160C. 15D. 125.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ).A.()()()P A B P A P B -=-B. ()()P A B P B +=C.(|)()P B A P B =D.()()P AB P A =6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ).A. 0()1f x ≤≤B. f (x )连续C.()1f x dx +∞-∞=?D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2kbP X k k ===，且0b >，则参数b的值为( D ).A.12 B. 13 C. 15D. 1 8.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ). A.1 B.2 C.1.5 D.09.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值101110ii X X ==∑~( D ).A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ 是来自X 的样本，又12311?42X aX X μ=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ).A. 1B.14 C. 12 D. 13二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
《概率论与数理统计(经管类)》综合测验题库
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.α=0.01，请根据下表推断显著性（ ）(已知F 0.05（1,8）=5.32)A.无法判断B.显著C.不显著D.不显著，但在α=0.01显著2.某批产品中有20%的次品，现取5件进行重复抽样检查，那么所取5件中有3件正品的概率为( )3.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为，那么概率=（ ）A.1/18B.4/18C.5/18D.7/184.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为那么=（）A.1/24B.2/24C.3/24D.5/245.已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为那么=（）A.1/8B.2/8C.3/8D.4/86.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（）A.3/5B.2/5C.4/5D.17.随机变量（X,Y）的概率密度为那么=（）A.0.65B.0.75C.0.85D.0.958.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（X,Y）的分布函数为（）9.在线性回归模型，则对固定的x，随机变量y的方差D（y）＝（）10.某种金属的抗拉程度y与硬度x之间存在相关关系，现观测得20对数据（x i，y i）（i=1，2，…，20），算得求y对x的回归直线（）11.设正态总体（）12.设总体X的分布中含有未知参数，由样本确定的两个统计量，如对给定的，能满足，则称区间（）为的置信区间13.设是来自总体X样本，则是（）.A.二阶原点矩B.二阶中心矩C.总体方差D.总体方差的无偏估计量14.下类结论中正确的是（）A.假设检验是以小概率原理为依据B.由一组样本值就能得出零假设是否真正正确C.假设检验的结构总是正确的D.对同一总体，用不同的样本，对同一统计假设进行检验，其结构是完全相同的15.统计推断的内容是（）A.用样本指标推断总体指标B.检验统计上的“假设”C.A、B均不是D.A、B均是16.关于假设检验，下列那一项说法是正确的（）A.单侧检验优于双侧检验B.采用配对t检验还是成组t检验是由实验设计方法决定的C.检验结果若P值大于0.05，则接受H0犯错误的可能性很小D.用u检验进行两样本总体均数比较时，要求方差相等17.以下关于参数估计的说法正确的是（）A.区间估计优于点估计B.样本含量越大，参数估计准确的可能性越大C.样本含量越大，参数估计越精确D.对于一个参数只能有一个估计值18.设总体,x1,x2,x3是来自X的样本，则当常数a=（）时候，=1/3x1+ax2+1/6x3是未知参数的无偏估计A.-1/2B.1/2C.0D.119.矩估计具有（）A.矩估计有唯一性B.矩估计具有“不变性”C.矩估计不具有“不变性”D.矩估计具有“稳定性”20.区间的含义是（）A.99%的总体均数在此范围内B.样本均数的99%可信区间C.99%的样本均数在此范围内D.总体均数的99%可信区间21.当样本含量增大时，以下说法正确的是（）A.标准差会变小B.样本均数标准差会变小C.均数标准差会变大D.标准差会变大22.设X1,X2独立，且X1～N（2,3）,X2～N（3,6）,那么服从（）分布A.B.C.正态分布D.t（2）23.如果X～F（3,5）,那么1/ F（3,5）服从（）分布A.F（5,2）B.F（2,5）C.F（5,3）D.无法知道24.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为（20时产品合格，试求产品合格的概率（）A.0.2714B.0.3714C.0.4714D.0.571425.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是（）A.0.0052B.0.0062C.0.0072D.0.008226.设各零件的重量是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是（）A.0.0593B.0.0693C.0.0793D.0.089327.计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。
概率论与数理统计综合试题
Ⅱ、综合测试题 s388概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 ( B ).A. A B A B +=+B.()A B B A B +-=-C. (A -B )+B =AD. AB AB =2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B )C. P (A +B )=P (A )+P (B )D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A.18 B. 16 C. 14 D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).A.1120 B. 160C. 15D. 125.设随机事件A ，B 满足B A ⊂，则下列选项正确的是 ( A ).A.()()()P A B P A P B -=-B. ()()P A B P B +=C.(|)()P B A P B =D.()()P AB P A =6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续C.()1f x dx +∞-∞=⎰D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2kbP X k k ===，且0b >，则参数b的值为( D ).A.12B. 13C. 15D. 18.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += (A ). A.1 B.2 C.1.5 D.09.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值101110ii X X ==∑~( D ).A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ:是来自X 的样本，又12311ˆ42X aX X μ=++ 是参数μ的无偏估计，则a = (B ). A. 1 B.14 C. 12D. 13二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2012―2013学年第二学期概率论与数理统计试卷(本科及专升本)
第 1 页 共 3 页一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．对于事件B A ,，若∅=B A ，则下列说法中正确的是 （ ） A 、B A ,为对立事件B 、0)(=A P 或0)(=B PC 、B A ,互不相容D 、B A ,独立2．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法中错误的是 （ ） A 、)(x F 是不减函数B 、)(x F 必为),(+∞-∞上的连续函数C 、0)(=-∞FD 、1)(≤x F3．设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为),(y x f ，则必有 （ ）A 、1),(0≤≤y x fB 、),(y x f 为xOy 平面上的连续函数C 、1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f D 、1),(=+∞+∞f4．设Y X ,是两个随机变量，则下式中一定成立的是 （ ）A 、)()()(Y E X E Y X E +=+B 、)()()(Y E X E XY E =C 、)()()(YD X D Y X D +=+ D 、)()()(Y D X D XY D =5．随机变量 n X X X ,,,21 相互独立，服从同一分布，且具有期望和方差，0)(,)(2>==σμk k X D X E ，当n 充分大时，近似服从)1,0(N 的是 （ ）A 、σμn n Xnk k∑=-1B 、21σμn n Xnk k∑=-C 、σμn n Xnk k∑=-1D 、21σμn n Xnk k∑=-6．设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布的样本，其中θ未知， 以下估计量中哪个不是θ的无偏估计量？ （ ） A 、443211X X X X T +++=B 、722343211X X X X T +++=C 、3643211X X X X T +++=D 、5243211X X X X T +++= 7．对于一个原假设为0H 的假设检验问题，有可能犯的第一类错误是指（ ）A 、0H 成立时，检验结果接受0HB 、0H 成立时，检验结果拒绝0HC 、0H 不成立时，检验结果接受0HD 、0H 不成立时，检验结果拒绝0H二、填空题（每小题3分，共24分）1．设C B A ,,为三个事件，则事件“C B A ,,都不发生” 可以用C B A ,,的运算关系表示为 ．2．10片药片中有5片是安慰剂，从中任取2片，其中至少有1片是安慰剂的概率为 ．3．三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为3.0,2.0,1.0， 三人中至少有一人能将此密码译出的概率为 ．第 2 页 共 3 页4．一射击运动员每次射击命中的概率为7.0，以X 表示他首次命中时 累计已射击的次数，则{}3=X P 为 ．5．随机变量X 在4,3,2,1中等可能地取一个值，随机变量Y 在X ~1中 等可能地取一个整数值，则{}4=Y P 为 ． 6．随机变量)2,0(~U X ，则=)(X D ． 7．总体)6(~2χX ，1021,,,X X X 是来自X 的样本，则=)(X D．8．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值， 则~X ．三、解答题（第1题8分，第2题9分，共17分）1．对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为80%，而当机器发生某种故障时，产品的合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为90%．（1）求每天早上第一件产品是合格品的概率；（2）若某天早上第一件产品是合格品，求此时机器调整良好的概率．2．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=其它,031,10,1)(x kxx xx f（1）确定常数k ； （2）求()20<<X P ．四、解答题（第1题10分，第2题10分，共20分）1．设随机变量X 与Y 的联合分布律为 求：（1）常数a 值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？(3) 设Y X Z +=，求Z 的分布律．第 3 页 共 3 页X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎪≤>-0,00,313x x e x．1000800元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．五、解答题（第1题8分，第2题10分，共18分）X 具有分布律 )1<<θ为未知参数．,2,1,3321===x x x 求θ的矩估计值．2．某批铁矿石的9个样品中的含铁量，经测定为（%）35 36 36 38 38 39 39 40 41设测定值总体服从正态分布，但参数均未知， （1）求样本均值和样本标准差；（2）在01.0=α下能否接受假设：这批铁矿石的含铁量的均值为39%？ （3554.3)8(005.0=t ）。
大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答
大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答一、概率论部分1. 概率的基本概念（1）概率的定义：在随机试验中，某个事件发生的可能性大小，用0到1之间的实数表示。
（2）概率的加法原理：若A和B是两个互斥事件，则P(A或B) = P(A) + P(B)。
（3）概率的乘法原理：若A和B是两个独立事件，则P(A且B) = P(A) P(B)。
2. 概率分布（1）离散型随机变量：取值为有限个或可数无限个的随机变量。
（2）连续型随机变量：取值范围为实数集的随机变量。
3. 常见概率分布（1）二项分布：描述在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。
（2）泊松分布：描述在固定时间内，发生k次事件的概率分布。
（3）正态分布：描述随机变量在某一均值附近呈钟形分布的概率分布。
二、数理统计部分1. 统计量（1）样本均值：样本数据的平均值。
（2）样本方差：描述样本数据离散程度的度量。
（3）样本标准差：样本方差的平方根。
2. 参数估计（1）点估计：用样本统计量来估计总体参数的值。
（2）区间估计：用样本统计量来估计总体参数的取值范围。
3. 假设检验（1）原假设：关于总体参数的某种假设。
（2）备择假设：与原假设相对立的假设。
（3）显著性水平：用于判断假设检验结果是否显著的阈值。
（4）P值：在原假设成立的情况下，观察到样本统计量等于或大于实际观察值的概率。
（5）拒绝域：在假设检验中，当样本统计量落入该区域时，拒绝原假设。
大连理工大学软件学院概率论与数理统计精简版习题解答三、概率论部分4. 条件概率与独立性（1）条件概率：在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
（2）独立性：若两个事件A和B满足P(A|B) = P(A)，则称A和B相互独立。
5. 随机变量的数字特征（1）期望值：随机变量的平均值，表示随机变量的中心位置。
（2）方差：描述随机变量取值波动程度的度量。
（3）标准差：方差的平方根。
四、数理统计部分4. 抽样方法（1）简单随机抽样：从总体中随机抽取样本，每个个体被抽中的概率相等。
11-12(2)概率统计D(答案)
东莞理工学院（本科）试卷（D 卷）2011 --2012 学年第二学期《概率论与数理统计》试卷（答案）开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场一、选择填空题（共70分 每空21、设A 、B 为两个事件，P(A)=0.5，P(A-B)=0.2，则P(B A )为( C ) （A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.7 （D ）0.82、A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则P （B A ）等于（ D ） (A) 0 (B) 42.0 (C) 88.0 (D)13、已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,且A 与B 相互独立,则)(B A P 等于（ C ） （A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.94、事件A 、B 相互独立，)(A P =0.3，)(A B P =0.6，则)(A P +)(B P 等于（ C ） （A ）0.5 （B ）0.3 （C ）0.9 （D ）15、设A 、B 为两个事件，则B A -表示( D ) （A ）“A发生且B 不发生” （B ）“A、B 都不发生” （C ）“A、B 都发生”（D ）“A不发生或者B 发生”6、 某事件发生的概率为10，如果试验10次，则该事件（D ）（A ）一定会发生1次 （ B ） 一定会发生10次 （C ） 至少会发生1次 （D ）发生的次数是不确定的 7、已知离散型随机变量X 概率函数为1)(+==i pi X P ，1 ,0=i ，则p 的值为( A )（A ）(-1+5)／2 （ B ）(1+5)／2 （ C ）(-l ±5)／2 （ D ） 1／2 8、某大学统计系06级3班共有60名同学。
至少有2名同学生日相同的概率为（ D ） （一年按365天计算）（A ） 6060!365（B ） 6036560365P （ C ）!36560365P （ D ） 60365601365P -9、 红星游乐园入口处的每辆汽车的载客人数服从2λ=的泊松分布，今任意观察一辆到达公园门口的汽车，车中无乘客的概率为（A ）（A ） 2e- （B ） 2 （C ） 2e （ D ）!22-e10、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。
《概率论与数理统计》(韩旭里 谢永钦版)习题二及答案
习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P0.1 0.3 0.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； （3）133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P （X =0）=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P （X =0）+P （X =1）=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3）1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=−=−=≤≤==+<≤=<<=−−==−−=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为X 0 1 2 3 P0.008 0.096 0.384 0.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!kak λ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑i故 ea λ−=（2） 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b （3,0.7）（1） ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ 0.32076=（2） ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b （200,0.02），设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k k k N −=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==×=41e 4()0.01!kk N P X N k −∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=−=−=0.10.11e0.1e −−=−−×8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p −=−故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X −=≥==∑（2） 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y −=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X −== （2） 52(1)1(0)1e P X P X −≥=−==−11.设P {X =k }=kkkp p −−22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p −−44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===− 故得 24(1),9p −=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=−==−−=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b （2000,0.001）.利用泊松近似计算,20000.0012np λ==×=得 25e 2(5)0.00185!P X −=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k −==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+ 321131313()()444444k −=++++i 213141451()4==−14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b （2500,0.002），则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=−≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k −=>≈−≈∑（2） P （保险公司获利不少于10000） (30000200010000)(10)P X P X =−≥=≤510e 50.986305!kk k −=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =−≥=≤55e 50.615961!kk k −=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X 的密度函数为f （x ）=A e −|x |, −∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; （3） F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞−∞=∫得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞−−−∞===∫∫故 12A =. （2） 11011(01)e d (1e )22x p X x −−<<==−∫（3） 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x −∞==∫当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x −−−∞−∞==+∫∫∫11e 2x−=−故 1e ,02()11e 02xx x F x x −⎧<⎪⎪=⎨⎪−≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==∫ 33128[(150)]()327p P X =>==（2） 1223124C ()339p ==（3） 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t −∞=∫100100()d ()d x f t t f t t −∞=+∫∫2100100100d 1xt t x==−∫ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧−≥⎪=⎨⎪<⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a−∞====∫∫∫当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==∫故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x −⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x −∞−>==∫2~(5,e )Y b −,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y −−−−==−=≥=−==−−=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则 406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则 404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ−−⎛⎞<=<=−⎜⎟⎝⎠1(1.25)0.1056Φ=−= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22）， （1） 求P {2<X ≤5}，P {−4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P −−−⎛⎞<≤=<≤⎜⎟⎝⎠11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎞⎛⎞=−−=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=−+=433103(410)222X P X P −−−−⎛⎞−<≤=<≤⎜⎟⎝⎠770.999622ΦΦ⎛⎞⎛⎞=−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<−323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ−−−−−⎛⎞⎛⎞=>+<⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−+−=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=+−=333(3)(1(0)0.522X P X P Φ−>=>=−=- （2） c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛−⎞−>=>⎜⎟⎝⎠1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=−+−=−=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ−−−⎛⎞<≤=<≤⎜⎟⎝⎠ 404040210.8ΦΦΦσσσ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−=−≥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ−⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→−=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=−⎩ （2） 2(2)(2)1eP X F λ−≤==−33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ−−>=−=−−=（3） e ,0()()0,0x x f x F x x λλ−⎧≥′==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t −∞−∞==+∫∫∫20d 2xx t t ==∫当1≤x<2时()()d xF x f t t −∞=∫1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x −∞==+=+−=+−−=−+−∫∫∫∫∫当x ≥2时()()d 1xF x f t t −∞==∫故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪−+−≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f （x ）=a e − |x |,λ>0;（2） f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）.【解】（1） 由()d 1f x x ∞−∞=∫知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞−−−∞===∫∫故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ−⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx xF x f x x x λλλ−∞−∞===∫∫当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ−−∞−∞==+∫∫∫11e 2x λ−=−故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ−⎧−>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩ （2） 由1221111()d d d 22b f x x bx x x x ∞−∞==+=+∫∫∫得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x −∞−∞==+∫∫∫2d 2xx x x ==∫当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x −∞−∞==++∫∫∫∫312x=− 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪−≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ−= 即 ()0.09z αΦ=故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ−=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α−Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量X 的分布律为 X −2 −1 0 1 3 P k1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======−+==+====−=====故Y 的分布律为Y 0 1 4 9 P k1/5 7/30 1/5 11/3029.设P {X =k }=（12）k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨−⎩当取偶数时当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()(222111()/(1)443k =++++=−=2(1)1(1)3P Y P Y =−=−==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x −∞=∫故2/2ln (),0y Y f y y −=> （2）2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤2P X X ⎛=≤≤≤⎜⎝()d X f x x =故()Y XX f y f f ⎤⎛=+⎥⎜⎜⎥⎝⎦(1)/4,1y y −−=>（3） (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=−≤≤()d yX yf x x −=∫故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+−2/2,0y y −=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =−2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==∫当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=−≤/2(ln )(e )2z z P X P X −=≤−=≥/21/2ed 1e z z x −−==−∫即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z −⎧>⎪=⎨⎪≤⎩0 32.设随机变量X 的密度函数为f （x ）=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+−≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x −=+∫∫222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上（1）,（2）,（3）项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
大学概率论与数理统计习题及参考答案
P A P AB1 AB2 P AB1 P AB2 P B1 P A B1 P B2 P A B2
2 1 0.97 0.98 有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用， 比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是 新球的概率。 解: 设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”i, =0,1,2,3.
从而P( A B) 1 P( AB) 1 0.012 0.988.
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三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有
效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 （1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率； （2） B失灵的条件下, A有效的概率.
解
设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85,
则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 , 故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间： （1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中 任意取一球，观察其颜色； （2） 从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色； （3） 从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数； （4） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 （１）设
i
表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i＝1,2,3,4,5,6. 则样本空间
历年自学考试01297概率论与数理统计(二)试题答案
全国2012年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 设A ，B 为随机事件，且A ⊂B ，则AB 等于（ ）A. A BB. BC. AD. A2. 设A ，B 为随机事件，则P （A-B ）=（ ） A. P （A ）-P （B ）B. P （A ）-P （AB ）C. P （A ）-P （B ）+ P （AB ）D. P （A ）+P （B ）- P （AB ） 3. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）= ⎪⎩⎪⎨⎧<<其他，，，0,6331x 则P ｛3<X ≤4｝=（ ）A. P ｛1<X ≤2｝B. P ｛4<X ≤5｝C. P ｛3<X ≤5｝D. P ｛2<X ≤7｝4. 已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布， 则X 的分布函数为 （ ）A. F （x ）=⎩⎨⎧≤>-.0,00,e x x λx ，λB. F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.0,00,e 1x x λx ，λC. F （x ）=⎩⎨⎧≤>--.0,00,e 1x x λx ，D. F （x ）=⎩⎨⎧≤>+-.0,00,e 1x x λx ，5. 已知随机变量X~N （2，2σ）， P ｛X ≤4｝=0.84， 则P ｛X ≤0｝= （ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则2X -Y +1~ （ ）A. N （0，1）B. N （1，1）C. N （0，5）D. N （1，5）7. 设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为f X （x ）， f Y （y ）， 则（X ，Y ） 的概率密度为（ ）A. 21[ f X （x ）+f Y （y ）] B. f X （x ）+f Y （y ） C.21f X （x ） f Y （y ） D. f X （x ） f Y （y ）8. 设随机变量X ~B （n ，p ）， 且E （X ）=2.4， D （X ）=1.44， 则参数n ，p 的值分别为（ ） A. 4和0.6 B. 6和0.4 C. 8和0.3 D.3和0.8 9. 设随机变量X 的方差D （X ）存在，且D （X ）>0，令Y =-X ，则ρXY =（ ）A. -1B.0C. 1D.210. 设总体X ~N （2，32），x 1，x 2，…，x n 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计 量中服从标准正态分布的是（ ）A.32-x B.92-x C. nx /32-D.nx /92-二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。
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概率论与数理统计试题(2012.12.16)
一、填空题
1、设A.B.C 为随机事件，则“A.B.C 至少有一个发生”可表示为_______
2、设A.B 为随机事件，P(A)=0.7,P(A-B)=0.3，则P(AB)=________
3、设随机事件X 的分布律为右图,则P(1≤X
≤4)=_______
4、设随机变量X 的概率密度为201
()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它
,
则D(X)=_______5、设随机变量X 的分布律为右图,则E(X)=________6、已知二维随机变量（X、Y）的联合分布律为下图,则（X、Y）关于X 的边缘分布律为______________7、设离散型随机变量X 的分布律为下图,则E(2X+1)=_______________8、设随机变量X 的分布律为P(X=K)=C/15(K=1.2.3.4.5)，则C=_______二、选择题
1、事件A 与B 互斥的含义是（）（A）A 与B 至少有一个发生（B）A 与B 同时发生（C）A 与B 不能同时发生（D）A 与B 一个都不发生
2、袋中有7个白球3个黑球，从中任取4球，则恰有两个球是黑球的概率为（）（A）3/10（B）3/5(C)2/3(D)3/7
3、一批产品中，一二三等品率分别为0.8,0.16,0.04.若规定一二等品为合格品，则产品合格率为（）（A）0.8（B）0.96(C)0.84(D)0.2
4、设随机变量X、Y 的联合分布律为
则C =()
(A)0.1(B)0.2
(C)0.3(D)0.4
5、下列关于随机变量X、Y 的数学期望与方差的结论正确的是（）（A）E(XY)=E(X)E(Y)(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y)(C)设C 为常数E （CX）=CE(X)(D)设C 为常数D(CX)=CD(X)
6、设X 为随机变量，下列说法正确的是（）
（A）若X ∼U(a,b)则E(X)=(b-a)/2(B)若X ∼N(u,σ2
)则D(X)=σ(C)若X ∼U(a,b)则D(X)=(a+b)2
/12
(D)若X ∼N(u,σ2
)则E(X)=u
X 0123
P K 0.250.350.20.2
X -101P K
0.20.30.5
X
Y
01200.10.30.11
0.2
0.1
0.2
X -2012P K
0.25
0.25
0.25
0.25
X Y 123
10.20.10.3
20.2C 0.1
7、对目标进行100次重复独立射击，每次脱靶的概率为0.2，X 表示击中目标的次数，则下列说法正确的是（）（A）E(X)=20(B)D(X)=16(C)E(X)=80(D)(x)=208、设二维随机变量X、Y 相互独立，其联合分布律为右图,则a、b 的值为（）
（A）a=3/16b=2/16
(B)a=2/16b=3/16(C)a=1/16b=3/16(D)a=3/16b=1/16
三、解答题
1、有射手20名，其中优、上、中等射手分别为3、5、12名，优等、上等、中等射手中靶的概率分别为0.9、0.8、0.7。
今从中任抽一名射手射击，求该射手中靶的概率。
2、一盒中有10个乒乓球，其中6个是新球，4个是旧球。
现从盒中不放回的任意抽取3次，每次只取一球，求:
（1）在第一次、第二次取到新球的情况下，第三次取到旧球的概率。
（2）第三次才取到旧球的概率。
（3）第三次取到旧球的概率。
四、计算题
1、设随机变量X 的分布律为求：（1）常数a ；（2）E(X)；(3)D(X)；(4)Y=X 2
的分布律。
2、设随机变量X 的分布密度为0()0
x ae x f x x -⎧≥=⎨
<⎩，求：（1）常数a ；（2）
分布函数f(x)；(3)P(X≤2)。
五、解答题
1、设随机变量X 的分布律为求：（1）X 的分布函数；（2）P(1/2≤X≤5/2)。
2、甲乙两人随机的射击一号、二号靶位。
用X 表示甲射击靶位的号码，用Y 表示乙射击靶位的号码。
求：（1）x、y 的联合分布律。
（2）P(X≤Y)
答案
一、1、AUBUC
2、0.4
3、0.75
4、11/36
5、0.1
6、
7、1.58、3二、1、C 2、A 3、B
4、B
5、C
6、D
7、B
8、D
X Y 12303/163/8a
1b 1/81/16
X -2-1013
P K 1/51/6a 1/1511/30
X -113P K 0.40.40.2
X
12P K
0.5
0.5
三、1、P=3/20*0.9+5/20*0.8+12/20*0.7=0.755
2、（1）P=4/8=0.5
(2)p=6*5*4/10*9*8=1/6
(3)p=C 14*A 2
9/10*9*8=2/5
四、1、（1）a=1/5（2）E（X）=3/5（3）D（X）=298/75
（4）
2、（1）a=1
（2）F（X）=1-e
-X
X≥0
0X<0
（3）P（X≤2）=1-e
-2
五、1、（1）F（X）=0X<-1
0.4-1≤X<10.81≤X<31X≥3
（2）P(1/2≤X≤5/2)=0.42、（1）
（2）P(X≤Y)=0.75
Y 0149P K 1/57/301/511/30X Y
121
0.250.2520.250.25。