不定方程及不定方程组.doc
不定方程组
所谓不定方程中变两的个数多余方程的个数其解受一定限制的一类方程或方程组。
一，一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a 通常称之为二元一次不定方程。
定理1：二元一次不定方程,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 有整数解的充分必要条件是 .|),(c b a 定理2：二元一次不定方程,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 若 1),(=b a 且 ),(00y x 为其一组解，则其全部解为,0bt x x += at y y -=0 （t 为整数）。
例1：解下列不定方程（1） ;982515=+y x （2） .1002515-=+-y x 解（1）由于98|`5)25,15(= 故该方程没有整数解。
（2）该方程化为 2053=-y x 可以先解方程2053=+z x由观察得 201553=⨯+⨯，所以得通解 ,550t bt x x +=+= t at z z 310-=-= （t 为整数），故原方程的通解 ,550t bt x x +=+= t z y 31+-=-=（t 为整数） （求2053=+z x 可以利用,1)5,3(=找出 ),(00z x 适合15300=+z x 然后求出2053=+z x 的特解）例2： 求不定方程 471325=++z y x 的全部解。
解 先解 u y x =+1325 及 47=+z u 这两个二元一次不定方程的通解分别为tu y t u x 25213{-=+-= t 为整数 及 vz v u -=+-=173{v 为整数。
将v u 73+-= 代入y x ,的表达式中就得原方程的通解。
例3. 方程12102......3x x x +++=有多少个非负整数解（每个量都为非负整数）？ 分析：由题中条件知左边变量中至多有3个为1，特别是由于1x 的系数为2可知1x 只能取0，1两种情况，从而得到相应的解决方法。
不定方程
求助编辑百科名片所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
目录定义历史概述常见类型一次不定方程多元一次不定方程二次不定方程高次不定方程多元高次不定方程特殊求解方法简单例题不定方程与代数几何进展与学科联系不定方程——相关趣闻定义历史概述常见类型一次不定方程多元一次不定方程二次不定方程高次不定方程多元高次不定方程特殊求解方法简单例题不定方程与代数几何进展与学科联系不定方程——相关趣闻展开编辑本段定义不定方程浅说indeterminate equation不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
编辑本段历史概述丢番图不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组(变量的个数大于方程的个数)或不定方程式(两个变数以上)。
丢番图只考虑正有理数解，而数书九章——大衍类不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
不定方程及方程组
不定方程（组）及应用【知识点拨】不定方程式数论中的一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，“百鸡问题”、“中国剩余定理”等一直流传至今。
当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）为不定方程（或不定方程组）。
为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方程，是因为他们的解不确定（不唯一）。
一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。
【典型例题】例1、求不定方程5x + 9y=104的整数解【巩固训练】1、在不定方程89 —7a=4b中，a、b均为自然数，求此不定方程的解。
{ 5 %+6y - z=20例2、求三元一次不定方程组 3 % - y+4 z=12的正整数解。
【巩固训练】{ 7 x+9 j+11 z = 681、求不定方程组 2 x + j=10 的正整数解。
例3、甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？【巩固训练】装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需要大小盒子各多少个？例4、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年七月，甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数按整数算）【巩固训练】1、某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度电9角收费; 如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9 元6角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算）例5、把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数并且要使这个数尽可能大，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？【巩固训练】1、把1000拆成两个自然数的和，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是9 的倍数，并且使这个数尽可能小。
(完整word版)不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程——-研究其解法方程,这个词对于同学们来说,再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了. 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解,他的解法相对较多较难,以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程,其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？ 解：当x = 1时y ﹢z = 99,这时共有98个解：（y ，z ）为(1，98) （2，97）……（98，1)。
当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为（1，97） （2，96)……(97，1）。
……当 x = 98时,y ﹢z = 2，这时有一个解。
∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998⨯= 4851∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。
解:∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如： 求7x ﹢2 y =38的整数解解: y =2738X -=19—3x-21x令 t=21xx=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019—7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时, x=2×1=2 x=2y=19—7×1=12 y=12第四十周 不定方程专题简析:当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
小学数学不定方程与不定方程组的解法
不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
不定方程与不定方程组
不定方程与不定方程组【知识要点】如果一个方程（组）中的方程的个数少于未知数的个数，我们称之为不定方程（组）。
不定方程（组）的解是不确定的，一般情况下，不定方程（组）总有无穷多个（组）解。
但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有三种可能：（1）有无穷多个解；（2）有限组解；（3）无解。
对整系数的不定方程（组），我们主要求它的整数解。
常用到的有关定理如下：定理1 一次不定方程c by ax =+（0,0>>b a ），若（a ，b ）=1>d ，且d |c ，则该方程无整数解。
定理 2 一次不定方程()0,0>>=+b a c by ax ，若（a 、b ）=1≥d ，且d c ，则该方程有整数解。
其通解为： ()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧-=+=︒︒︒x 、︒y 为方程的一个特解。
定理3 若（︒x 、︒y ）是方程1=+by ax ，（a 、b ）=1的特解，则（︒cx 、︒cy ）是方程c by ax =+的一个特解，其中（a ，b ）=d ，d |c 。
我国对不定方程（组）的研究有几千年的历史，“鸡兔同笼”、“百鸡问题”流传至今。
可见不定方程（组）的研究是数论中长盛不衰的课题。
三星级题：1．求方程31611=+y x 的整数解。
2．（1998年“希望杯”培训题）求方程863=+y x 的整数解。
3．3x+y=24的非负整数解有 组。
4．方程17x-24y=6的正整数解中最小的一个y 是 。
5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中共用 根钢管。
6．用3元5角买了10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮 票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了 枚。
7．方程x+y=5的非负整数解有（ ）。
（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个四星级题：1．设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+yx，试求y x +的值。
(完整word版)不定方程的解法与应用
摘要不定方程是初等数论的一个重要内容,在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法;最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程;二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life。
This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution， secondly is further discussed。
For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics， civil servants for test and other subjects， and illustrated with examples。
初二：第12课二元不定方程
第12课 不定方程一、基本知识不定方程(组)是指未知数的个数大于方程个数的方程(组)，这样的方程一般有无穷多组解，但我们一般仅研究其整数解或有理数解，对于实际问题，甚至只要求出正整数解。
不定方程的理论与整除理论紧密相连，是数论中内容极其丰富的一个分支。
最简单的不定方程是二元一次不定方程，形如ax+by=c ①,其中a,b,c 都是已知的整数，且a,b 不为0。
一般地，不定方程问题关心以下三个方面：(1)判断方程是否有整数解，如果有，求出一个解；(2)判断方程是否有无穷多个解；(3)求出方程的全部整数解。
对方程①可以完全解决以上三个问题。
次数高于一次的不定方程，可以借助因式分解求解。
以下通过实例来说明其中的一些方法和技巧。
二、典型例题1、求出方程5x +7y =23的全部整数解。
说明：(1)一般地，如果(x 0,y 0)是①的一个整数解，那么①的全部整数解可以表示为⎩⎨⎧-=+=aky y bk x x 00，其中k 是整数。
本题的解答过程事实上给出了该公式的一个证明，请大家自己推导一下。
2、方程3x -15y =20有没有整数解？为什么？说明:(2)对方程①，当(a,b)|c 时，①有整数解，否则，方程没有整数解。
3、求出方程3x+5y=101的全部非负整数解。
4、（百钱买百鸡）：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？——《张丘建算经》5、有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内。
把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙一人。
每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23。
请问这三张牌的数字是什么？6、若一个等腰三角形的三边长都是整数，且周长为10，求底边长。
7、某旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中，三人间的每人每天30元，单人间的每天50元。
如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？8、一篮鸡蛋不超过200个，若3个3个地数多1个；若4个4个地数多1个；若6个6个地数还是多1个，若11个11个地数正好数完。
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第二十七讲不定方程、方程组不定方程 (组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组 )，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程 (组 )常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设 a、b、 c、 d 为整数，则不定方程ax by c 有如下两个重要命题：(1)若 (a， b)=d，且 d 卜 c，则不定方程ax by c 没有整数解；(2)若x0，y0是方程ax by c且(a， b)=1 x x0 bt 是方程的全的一组整数解 (称特解 )，则y0 at (t为整数）y部整数解 (称通解 )．解不定方程 (组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．举例【例 1】正整数m、n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值为．(新加坡数学竞赛题)思路点拔把 m 用含 n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出 m 的最大值．注：求整系数不定方程ax by c 的整数解。
通常有以下几个步骤：（ 1）判断有无整数解；(2)求一个特解； (3)写出通解； (4)由整数 t 同时要满足的条件(不等式组 )，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．【例 2】如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔 4 千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在19 千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()．A． 32 千米B． 37 千米C． 55 千米D．90 千米(河南省竞赛题)思路点拨设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x、10 十 9y(x，y 为自然数 )，问题转化为求不定方程 3+4x=0+9y 的正整数解．【例 3】 (1)求方程 15x+52y=6 的所有整数解．(2)求方程 x+y＝ x2一 xy+y2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程111 5的正整数解．x y z 6(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于 (1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于 (2)易知 x 、 y 、z 都大于 1，不妨设l<x ≤ y ≤z ，则111，将复杂的三元不定方程转化为一元不等xy z式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．【例 4】 一个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒， 3 粒， 4 粒或 6 粒地取出，最终粒盒内都剩 1 粒棋子；如果每次 11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子（ 2002 年重庆市竞赛题）思路点拨无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例 5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)x 、y 、z ，则有x y z 100 思路点拨设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为5x 3yz1003通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．【例 6】 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学每人有31 个核桃，三组的核桃总数是 365 个，问三个小组共有多少名同学(2001 年海峡两岸友谊赛试题 )思路点拨 设甲组学生 a 人，乙组学生 b 人，丙组学生c 人，由题意得 28a+30b+31c=365 ，怎样解三元一次不定方程运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手．注： 解不定方程组基本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示； (2)通过消元，将问题转化为不定方程求解； (3)运用整体思想方法求解． 【例 7】 不定方程 4x+7y=2001 有组正整数解．49 十 7y=3× 667x 667 x 667 7t z ，思路点拨易知是其一组特解，∴其通解为y667 ， ty6674t667 7t 1∵4t，解之得 96≤ t ≤ 166667 1∴ t 可取整数值共 71 个．∴ 4x+7y=2001 有 71 组正整数解．学力训练1．已知 x 、 y 、 z 满足 x+y=5 及 z 2=xy+y — 9，则 x+2y+3z=．(2002 年山东省竞赛题 )2x 2 3y 2 6z 2．2．已知 4x 一 3y 一 6z=0， x+2y 一 7c=0(xyz ≠ 0)，那么5y 2 的值为x 27z 23．用一元钱买面值 4 分、8 分、1 角的 3 种邮票共 18 张，每种邮票至少买一张， 共有 种不同的买法．4．购买 5 种数学用品 A 1、 A 2、 A 3、 A 4、A 5 的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数件数第一次购件数l34561992( 元)第二次购件数1579 11 2984(元)则 5 种数学用品各买一件共需元．(北京市竞赛题 )5．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20 个，其总价值为330 元，这三种球的价格分别是足球每个 60 元，篮球每个30 元，排球每个 10 元，那么其中排球有个．(温州市中考题 )6．方程 (x+1)2+(y-2)2＝ 1 的整数解有 ( )．A．1 组B．2组C．4 组D．无数组7．二元方程x+y+z=1999 的非负整数解的个数有 ( )．A．个B．个C． 2001000 个D． 2001999 个( “希望杯”邀请赛试题 )8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定相同 )，则 a+b+c+d+e+f=()．A．27B．24C． 30D．无法确定(“五羊杯”邀请赛试题)9．求下列方程的整数解：(1)1lx+5y=7； (2)4x+y=3xy．10．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需 30 分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需 10 分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在 5 分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口(广州市中考题)11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9 分，“锤子”赢“剪子”得 5 分，“剪子”赢“布”得2分．(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21 次，得 108 分，其中“剪子”赢“布”7 次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次(2)如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表．赢法一：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数．．赢法二：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数．．“布”赢“锤子”赢法三：“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数．．12．满足1998 2十m2＝ 19972+n2(0<rn<n<1998) 的整数对(m， n)共有对．13 x 6 3y．有理数 x， y， z 满足2 xy ，则 22y+z的值为．x 3 y 2z 2 014 ．1998 年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是岁．15 ．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用 2 台抽水机抽水，40 分钟可抽完；如果用 4 台抽水机抽水，16 分钟可抽完．如果要在 10 分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机台．16 ．有甲、乙、丙 3 种商品，某人若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元，若购甲 4 件、乙 l0 件、丙 l 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各 1 件共需元．17 ．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出 10 个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个．18 ．(1)求满足 y4 +2x4+1=4x2y 的所有整数对 (x，y)；(2)求出所有满足 5(xy+yz+zx)＝ 4xyz 的正整数解．(新加坡奥林匹克试题 )19 ．兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱 (以元为单位 )的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取l0 元，弟弟再取10 元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10 元，弟弟再取不足 10 元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱(北京市竞赛题 )20．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码．(武汉市选拔赛试题)21．某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示：月日摘要数量(米 ) 单价(元／米) 金额 (元)113 全毛花呢XX所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面 3 个数码7． 28，但前面的 3 个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题)22．一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60 天，考察队行进了24km 后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天(四川省竞赛题 )参考答案。