两个变量之间的相关关系
描述两列变量之间的相关关系,可以采用的统计量
描述两列变量之间的相关关系,可以采用的统计量在统计学中，用来描述两列变量之间相关关系的常见统计量有以下几种：
1. 相关系数：反映两个变量之间线性相关程度的大小。
常见的相关系数包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数、切比雪夫相关系数等。
2. 回归分析：通过对自变量和因变量之间的线性关系进行建模，来预测因变量的值。
其中，最简单的回归模型是一元线性回归，也可以使用多元线性回归等。
3. 方差分析：用于比较不同组别或条件下的平均值是否存在显著差异，从而推断两个变量之间是否存在关联。
常见的方差分析方法包括单因素方差分析、双因素方差分析等。
4. 卡方检验：用于检验两个分类变量是否独立。
它适用于定类数据的分析，可以确定一个分布是否与期望分布有显著的偏离。
5. t检验：用于比较两个样本的平均值是否存在显著差异，可根据样本特征选择不同的t检验方法，如独立样本t检验、配对样本t检验等。
两个连续变量之间的相关关系
两个连续变量之间的相关关系两个连续变量之间的相关关系，即指两个随机变量之间的相关性。
它是衡量两个连续变量之间相互依赖程度的重要指标。
在数据分析、统计学以及机器学习等领域，相关性分析是一项基础而重要的任务。
一、计算相关性系数在统计学中，通常通过相关系数来衡量两个连续变量之间的相关关系。
相关系数通常是在-1到1之间取值，其中-1表示完全的负相关关系，即两个变量之间有完全相反的关系；1则表示完全的正相关关系，即两个变量之间具有完全相同的变化趋势；而0则表示两个变量之间没有线性关系。
计算相关系数的方法有多种，其中比较常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续型变量，并且假设变量服从正态分布。
斯皮尔曼等级相关系数则适用于序数型数据以及不满足正态分布的变量。
在这里以皮尔逊相关系数为例进行说明。
二、使用Python计算相关性系数在Python中，统计分析库numpy和pandas都提供了计算相关性系数的函数。
numpy提供的pearsonr函数可以计算两个变量之间的皮尔逊相关系数以及相关性显著性；而pandas提供的corr函数可以计算两个DataFrame对象中所有列的相关系数矩阵。
下面通过一个例子来说明如何使用Python计算相关系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 构造样本数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 计算皮尔逊相关系数correlation, p_value = np.corrcoef(x, y)[0][1],scipy.stats.pearsonr(x, y)[0]print(f"皮尔逊相关系数: {correlation:.4f} (p-value:{p_value:.4f})")# 构造DataFrame对象df = pd.DataFrame({'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 4, 6, 8, 10]})# 计算相关系数矩阵corr_matrix = df.corr()print(f"相关系数矩阵: \n{corr_matrix}")```以上代码首先构造了两个变量x和y，分别表示1到5的整数和2到10的偶数。
两个变量的相关关系知识点和典例
两个变量的相关关系知识点和典例1.两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.（回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y )，其它点不一定过直线只是在直线附近，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据.）(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i =1nx i y i －n xy∑i =1nx 2i －n x2＝∑i =1n)(x i －x )(y i －y )∑i =1n)(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .(3)相关系数：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.（r 的符号表明两个变量是正相关还是负相关；|r |的大小表示线性相关性的强弱.）例一．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与月利润y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经计算，微信推广费用x 与月利润y 满足线性回归方程 6.517.5y x ∧=+.求p 的值．[解] ()()11245685,3040607040555p x y p =++++==++++=+， 因为样本中心(),x y 在回归直线 6.517.5y x ∧=+上， 所以40 6.5517.55p+=⨯+，解得50p = [变式练习]已知变量x ，y 之间的线性回归方程y ^=－0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( )x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ，y 之间呈负相关关系))))B.可以预测，当x ＝20时，b ^＝－3.7 C.m ＝4))))))))))))))))))))))))D.该回归直线必过点(9，4)[解]由－0.7<0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x －＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y －＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y －＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9，4)，故D 正确.故选C.例二．下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：∑i =17y i ＝9.32，∑i =17t i y i ＝40.17,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n )(t i －t )2∑i =1n )(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i =1n)(t i －t )(y i －y )∑i =1n)(t i －t )2，a ^＝y －b ^)t .[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i =17)(t i －t)2＝28,)∑i =17)(y i －y )2＝0.55，∑i =17)(t i －t )(y i －y )＝∑i =17t i y i －t ∑i =17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i =17)(t i －t )(y i －y )∑i =17)(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^)t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.[变式练习]1.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X (单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的对应数据为如图所示的折线图.(1)依据折线图计算相关系数r (精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3)000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1)000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值.参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i ＝15)(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i ＝15)(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，所以相关系数r ＝∑i ＝15)(x i －x )(y i －y )∑i ＝15)(x i －x)2)∑i ＝15)(y i －y )2＝625×2＝)910≈0.95. 因为|r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. (2)由条件可得在过去50周里，当X ＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3)000－2×1)000＝1)000(元).当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3)000－1×1)000＝5)000(元).当30＜X ＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为3×3)000＝9)000(元).所以过去50周的周总利润的平均值为1)000×10＋5)000×35＋9)000×550＝4)600(元)，所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4)600元.例三．某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.x y u∑i＝18)(x i－x)2∑i＝18)(x i－x)(y i－y)∑i＝18)(u i－u)2∑i＝18)(u i－u)(y i－y) 15.25 3.630.2692)085.5－230.30.7877.049表中u i＝1x i，u＝18∑i＝18u i.(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01).(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78)840元？(假设能够全部售出.结果精确到1)附：对于一组数据(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其回归直线υ^＝α^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i＝1n)(ωi－ω)(υi－υ)∑i＝1n)(ωi－ω)2，α^＝υ－β^ω.解：(1)由散点图判断，y＝c＋dx更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程.(2)令u＝1x，先建立y关于u的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18)(u i －u )(y i －y )∑i ＝18)(u i －u )2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x .(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96x x ≥78.840， 解得x ≥10，∴至少印刷10)000册才能使销售利润不低于78)840元.[变式练习](2015课标Ⅰ,19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i )和年销售量y i ))(i =1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(x i -x )2∑i=18(w i -w )2 ∑i=18(x i -x )(y i -y ) ∑i=18(w i -w )(y i -y )46.6 563 6.8 289.81.61 469108.8表中w i =√x ,w =18∑i=18w i.(1)根据散点图判断,y =a +bx 与y =c +d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x,y 的关系为z =0.2y −x .根据(2)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ))),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n (u i -u )(v i -v )∑i=1n(u i -u )2,α^=v -β^)u .解析 (1)由散点图可以判断,y =c +d √x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2分)(2)令w =√x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于 d ^=∑i=18(w i -w )(y i -y )∑i=18(w i -w )2=108.81.6=68,c ^=y -d ^)w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68√x .(6分) (3)(i)由(2)知,当x =49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68√49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32.(9分) (ii)根据(2)的结果知,年利润z 的预报值 z ^=0.2(100.6+68√x )-x =-x +13.6√x +20.12. 所以当√x =13.62=6.8,即x =46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.。
两个变量之间的相关关系称为
两个变量之间的相关关系称为
统计学中，两个变量之间的相关关系被称为相关性。
它是一种检测和研究变量间关系的方法，它可以帮助研究人员探索实验结果的数据。
相关性测量两个变量的关联程度，帮助我们更多地了解被调查者中变量之间的因果关系，以及几种变量之间的结构关系。
相关性可以使企业在未来进行数据分析时，更好地推断某些事件发生的可能性。
它可以帮助研究者更深入地了解被调查者中变量之间的潜在相关性，因此可以有效地预测变量未来变化的趋势。
相关性分析也可以检查多个变量之间的关系，因此有助于确定定义变量和被调查者之间的关系，进而确定这些变量的分类组合。
另外，相关性分析还可以帮助企业识别出重要的变量，从而有效地预测业务结果。
总之，相关性可以说是统计学中一种重要的概念。
它能够有效地识别和解释变量之间的关系，并为企业在未来数据分析中应用提供重要的参考。
因此，我们可以看出，相关性对学习统计学和收集数据分析有着重要意义。
两个变量之间的相关关系
i
12 3
4
5
xi
24 6
8
10
yi
64 134 205 285 360
xiyi
128 536 1 230 2 280 3 600
x ＝6， y ＝209.6，
5
5
x2i ＝220，xiyi＝7 774
i＝1
i＝1
∴b^ ＝7 7742－205－×56××62209.6＝1 44086＝37.15. ∴a^＝209.6－37.15×6＝－13.3. 于是所求的回归直线的方程为y^ ＝37.15x－13.3.
3．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万 元)有如下的统计资料：
使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系．试求： (1)线性回归方程y^ ＝bx＋a 的回归系数 a，b； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
≈1.27，
10
xi2－10 x 2
i＝1
a^＝ y －b^ x ≈－30.95， 即所求的回归直线方程为y^ ＝1.27x－30.95. (3)当 x＝160 时，y^ ＝1.27×160－30.95≈172，即大约冶炼
172 min.
方法点评：回归直线可以模拟两个变量之间的相关关系．我 们可以利用回归直线方程进行运算，如求函数值、研究增减性 等，通过这些运算结果进行合理的预测．这也正是回归分析的 意义所在．
典例剖析 题型一 相关关系 【例 1】 下列关系中，带有随机性相关关系的是_②__④_____． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 思路点拨：根据线性相关的概念逐个判断．
变量之间的相关关系
变量间的相互关系是指两个或两个以上变量之间相联系的性质,主要有两种类型。
(1)因果关系:是指在两个有关系的变量中,因为一个变量的变化而引起另一个变量的变化。
应注意三点:第一,在两个变量中,只能一个是因,另一个是果,而不能互为因果。
第二,原因变量一定出现在结果变量之前。
第三,两者之间的变化关系是必然的,否则就不是因果关系。
社会现象的因果关系十分复杂,有一因一果、一果多因、一因多果以及多因多果等。
在社会调查研究中,调查者应注意区别事物之间因果关系的类型,对一果多因、一因多果以及多因多果等复杂的因果关系要仔细分析,逐一明确,这样才能清楚地认识社会现象和事物发展变化的规律。
(2)相关关系:是指变量的变化之间存在着非因果关系的一定联系和一定关系。
社会调查研究运用相关这一概念,其目的是了解社会现象和事物之间关系的密切程度,从中探寻其规律性。
变量之间的相关关系从变化的方向来看,可以分为正相关与负相关;从变化的表现形式来看,可以分为直线相关和曲线相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生同方向的变化,这种相关关系是正相关,也叫直接相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生反方向的变化,这种相关关系是负相关,也叫逆相关。
在社会调查研究中,掌握变量关系的正相关与负相关的概念,有利于了解社会现象和事物的发展方向和趋势。
当一个变量的数值发生变动(增加或减少),另一个变量的数值随着发生大致均等的变动时,这种关系称为直线相关;当一个变量的数值发生变动,另一个变量的数值随之发生不均等的变动时,这种关系称为曲线相关。
两个变量的相关关系
散点图有助于发现异常值和离群点，这些值可能会对相关关系的度量产生 影响。
线性回归分析
01
线性回归分析是一种数学方法，用于量化两个或多个变量之间 的线性关系。
02
通过最小二乘法等统计技术，线性回归分析可以估计出一条最
佳拟合线，该线能够描述自变量和因变量之间的关系。
销售预测
通过分析历史销售数据与市场趋 势，了解产品销量与市场活动、 季节性等因素的相关关系，预测 未来的销售情况。
竞争分析
研究竞争对手的市场表现、产品 策略等，分析其与市场占有率、 品牌知名度等变量的相关关系， 为制定竞争策略提供依据。
消费者行为研究
通过分析消费者购买决策与个人 特征、环境因素等变量的相关关 系，了解消费者偏好和行为模式， 优化产品定位和营销策略。
线性回归分析不仅可以确定变量的关系强度，还可以预测因变
03
量的取值。
相关系数
相关系数是一种量化指标，用于描述 两个变量之间相关关系的强度和方向 。
相关系数的绝对值越大，表示两个变 量之间的相关关系越强。
最常用的相关系数是皮尔逊相关系数 （Pearson correlation coefficient）， 其值介于-1和1之间。
由于数据获取的限制，本研究 只使用了小样本数据进行研究， 可能影响结果的准确性和普适
性。
变量选择主观性
在选择研究变量时，可能存在 主观偏见，导致所选变量不够
客观全面。
研究方法局限性
本研究主要采用线性回归分析 方法，对于非线性相关关系可
能无法准确描述。
未来研究方向
未来研究可以尝试使用更复杂的方法和模型，如机器学习、神经网络等，以更准确地描述和分析两个变量的 相关关系。同时，扩大样本量和增加变量类型也是重要的研究方向。
两个变量的相关关系
两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势.对相关关系的理解可以从下面三个角度把握：相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”.【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.。