上海交通大学2006年1月概率论与数理统计试卷答案
上海交通大学试卷(答案)
上海交通大学试卷(答案)（2018至2019学年第2学期）课程名称概率论(MS107)第1题：[10分]以下两题任选一题解答：(1)箱子中有20个白球和30个黑球。
球被一个个取出直到箱子中只剩下同样颜色的球为止。
试计算剩下的球全为白球的概率。
(2)一个罐子中有10个黑球和12个白球。
每次从罐子中等概率挑出一个球，再放回两个与之同色的球。
试说明前七次挑球看到颜色序列为(白白黑白白黑白)的概率与看到(黑黑白白白白白)的概率一致。
第2题：[10分]以下两题任选一题解答：(i)设Y1,...,Y n为一列独立同分布存在期望的随机变量。
令X1=Y1+···+Y nn ,X2=Y1+···+Y n−1n−1,...,X n−1=Y1+Y22,X n=Y1。
试说明X1,X2,...,X n是一个鞅序列。
(ii)一个罐子中有10个黑球和12个白球。
每次从罐子中等概率挑出一个球，再放回九个与之同色的球。
令X n表示第n次取放球操作后罐子中黑球所占比例。
试说明(X n)是一个鞅序列。
第3题：[10分]设A 为自然数集合的一个子集，且lim n →∞|A ∩{1,...,n }|n=δ。
对s >1,令P s (A )=∑n ∈A n −s∑∞n =1n−s 。
求证：lim s →1+P s (A )=δ。
第4题：[15分]设(Ω,F ,P )为一个概率空间，G 为F 的子σ-代数，X ∈L 1(Ω,F ,P ),Y ∈L 1(Ω,G ,P )。
试说明Y ≤E (X |G )几乎必然成立当且仅当∫G (Y −X )dP ≤0对所有G ∈G 成立。
如果条件Y ∈L 1(Ω,G ,P )被替换为Y ∈L 1(Ω,F ,P )，请判断前述结论是否仍成立。
第5题：[15分](a)假定X,Y∈L1(Ω,F,P)且E(X|Y)≤Y与E(Y|X)≤X都几乎必然成立。
试说明P(X=Y)=1。
上海交大概率试题--复习资料
概率论与数理统计试卷姓名： 班级： 学号： 得分：一.选择题（18分，每题3分）1．设B A ,为随机事件，且1)|(=A B P ，则必有)(A A 是必然事件；)(B 0)|(=A B P ；)(C B A ⊂； )(D B A ⊃.2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。
共进行4次，记X 为红球出现的次数，则X 的数学期望=)(X E)(A 1016； )(B 1024； )(C 104； )(D 10642⨯. 3．设随机变量X 的分布密度函数和分布函数为)(x f 和)(x F , 且)(x f 为偶函数, 则对任意实数a ,有)(A ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( )(B ⎰-=-a dx x f a F 0)(1)( )(C )()(a F a F =- )(D 1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从均匀分布的随机变量是)(A Y X Z += )(B Y X Z -= )(C ),(Y X )(D ),(2Y X5．已知随机变量X 和Y 都服从正态分布:)3,(~,)4,(~22μμN Y N X , 设)4(1+≥=μX p ,)3(2-≤=μY P p , 则)(A 只对μ的某些值,有21p p = )(B 对任意实数μ,有21p p <)(C 对任意实数μ,有21p p > )(D 对任意实数μ,有21p p =6．设22,),(~σσμN X 未知，则μ的置信度为%95的置信区间为)(A )(025.0t n X σ± )(B )(025.0t n S X ±)(C )(05.0t nX σ± )(D )(05.0t n SX ±二. 填空题（21分，每题3分）1． 已知随机事件A ，B 有概率7.0)(=A P ，8.0)(=B P ，条件概率6.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K=),(y x f ⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它。
2008-2009-1概率论与数理统计(A)卷答案
2008-2009-1概率论与数理统计（A ）参考答案一．填空题（每空3分，共30分）1．0.58； 2．0.8； 3．310，12； 4．510.9-； 5．0.2； 6．201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它； 7．2λ＝； 8．13， 2二．（本题10分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求 （1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。
解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+……………………………(2分) 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= ………………… …………(3分)（2） ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯=== ……………………(5分) 三．（本题15分）已知连续型随机变量X 的概率密度 20()0xae x f x x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩,求：（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）{12}P X <≤；（4）2Y X =的概率密度。
解：（1）由2()1xf x dx ae dx +∞+∞--∞==⎰⎰，得12a =………… … …………(4分) （2）2201010()()20000x x x xe dx x e x F xf x dx x x ---∞⎧⎧≥⎪⎪-≥===⎨⎨⎪⎪<⎩<⎩⎰⎰…………(4分)（以上两步只写结论也给分）（3）111122{12}(2)(1)1(1)P X F F e e e e ----<≤=-=---=- …………(3分)（4）2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤ i 〉0y ≤时，()0Y F y =ii 〉0y >时，2(){12x Y F y P X e dx e e-=≤≤==-=-所以()()00Y Yyf y F yy⎧>'==≤⎩……………………(4分) 四．（本题15分）已知(,)X Y为二维离散型随机变量，分布律如下：（1）求常数C；（2）求{}P X Y=的值；（3）求()E X及()D X；（4）求()E XY及(,)Cov X Y。
【免费下载】上交概率论A卷03上试卷及答案
方差 D(Y ) .
（ａ） A ；
（ｂ） 0.1A ；
（ｃ） 0.2A ；
（4）设 ( X 1, X 2 ,, X n ) 为总体 X ~ N (0 , 1) 的一个样本， X 为样本均值， S 2 为样本方差，则有 。
（ａ） X ~ N (0, 1) ；
A卷共6页第 页
（ｂ） n X ~ N (0, 1) ；
（ａ） P( AB) 1 P( A) ；
（ｃ） P(B | A) P(B) ；
学号：
（ｂ） P(B A) P(B) P( A) ；
（ｄ） P( A | B) P( A)
（2）离散型随机变量 X 的概率分布为 P( X k) Ak ( k 1, 2 , )的充要条件是 。 X 2 的概率密度函数 为 fY (y)
.
（3）设随机变量 ( X , Y ) ~ N (0, 22 ; 1,32 ; 0) ，则概率 P( 2X Y 1) ＝
（4）设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为
为无偏估计量的是 。
2 1
（ａ）
2 3
（ｃ）
1 n
1 n
n
(Xi
i 1
n
(Xi
i 1
三、填空题（18 分，每题 3 分）
X )2
)2
；
；
2 2
（ｂ）
2 4
（ｄ）
（1）设随机事件 A , B 互不相容，且 P( A) 0.3， P(B ) 0.6 ，则 P(B A) .
i 1
6
i4
当 c ＝ 时， cY 服从 2 分布， E( 2 ) ＝ .
上海交通大学概率论与数理统计习题全解
(2) 因 为 P ABC P ABC P AB ， 故 所 求 P ABC P AB P ABC
0.1 0.03 7% 。
(3)类似(1)计算可得， P ABC 0.23, P ABC 0.2 ，故所求 P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC
解：(1) ABC 表示非平装的中文数学书； (2)若 C B ，则说明非平装图书都是中文图书； (3) A B A B ，即所有数学书都不是中文版的。
证：(1) A B AB, A A B A A B A A B AA AB AB AB ，
所以 A B A A B 。
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
习题 1
解：(1) 1,2,3 ； (2) 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12；
(3) n n为自然数； (4) 1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5；
(5) 合格,合格,合格,不合格,不合格,不合格； (6) t1,t2 t1 9, t2 19 ；
2
概率。 解：
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
设两艘船的到达时刻为 x, y ，则 0 x, y 24 ，两船相会的条件为 0 x y 1，
0 y x 2 。如图，由几何概率知，所求概率为
1 232 1 222
22 242
0.879 。
3. 两人约好在某地相会，两人随机地在下午 1 点与 2 点之间到达相会地点，求
PBi 0.51,0.49, P A Bi 0.05, 0.025 。
2
交通大学概率论与数理统计第二学期期末考试试卷5及答案
交 通 大 学2014~2015学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）一．（本题满分8分）一间宿舍住有6位同学，求这6位同学中至少有2位同学的生日在同一月份的概率． 解：设=A “6位同学的生日至少有两位在同一月份”，则 =A “6位同学的生日都在不同的月份”，所以()()7771990741.02985984665280112116612=-=-=-=P A P A P ． 二．（本题满分8分）验收一批共有60件的产品．按照验收规则，随机抽取3件，只要3件中有一件是不合格品，就拒收整批产品．设验收时不合格品被误判为合格品的概率为0.03；而合格品被误判为不合格品的概率为0.01．如果这60件产品中有3件为不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？ 解：设：{}这批产品被接收=A{}件是不合格品件产品中有抽取的i B i 3= ()3210，，，=i 则由全概率公式，得 ()()()i i i B A P B P A P ∑==3()()()()()3360573323601572333602571333603570303.001.0103.001.0103.001.01⋅+-⨯⋅+-⨯⋅+-⋅=C C C C C C C C C C C C 8338.0=三．（本题满分8分）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是3小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲船于X 时到达码头，乙船于Y 时到达码头．则240,240≤≤≤≤Y X ．并且X 与Y 相互独立．甲、乙两船的到达时刻()y x ,与平面中区域(){}240,240,≤≤≤≤=y x y x D ：中的点一一对应．设=A “甲乙两船中任何一艘都不需要等候码头空出．” 则随机事件A 发生当且仅当3≥-X Y 或者2≥-Y X ． 因此随机事件A 与平面区域(){}2,3,-≤-≥-=x y x y y x D A 或者：中的点一一对应．所以，()()802951388.024222121222=+⨯==的面积的面积A D D A P ． 四．（本题满分8分） 设随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，并且()3=X E ，()34=X D ，试求常数a 与b ． 解：因为随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，所以()2ba X E +=，()()122a b X D -=． 由题设条件()3=X E ，()34=X D ，得方程组 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+3412322a b ba ，解此方程组，得1=a ，5=b ． 五．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0002222x x ex x f x σσ ，其中0>σ为常数，求()nX E ，（n 为正整数）（结果用Γ函数表示）．解：()()⎰⎰⎰+∞-++∞-+∞∞-=⋅==2122222221dx e x dx e xxdx x f x X E x n x nn n σσσσ．作变量替换222σx u =，则u x 222σ=，u x ⋅=σ2，dx x xdx du 2222σσ==．当0=x 时，0=u ；当+∞→x 时，+∞→u ．代入上式，得 ()()⎰+∞-=022du eu XE un nσ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ===⎰⎰+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞-12222220112220222n du e udu eu nu n n unn σσσ． 六．（本题满分9分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它010,2x y y cx y x f ， ⑴ 求常数c （3分）；⑴ 求随机变量X 的边缘密度函数()x f X （4分）；⑶ 求随机变量Y 关于X 条件密度函数()x y f XY（2分）． 解：⑴ 由联合密度函数的性质，有()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，因此()102,11040210cdx x c ydy cx dx dxdy y x f x====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-，所以，10=c ． ⑵ 当10<<x 时， ()()402510,x ydy x dy y x f x f xX ===⎰⎰+∞∞-所以随机变量X 的边缘密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它1054x x x f X ．⑶ 当10<<x 时，()054>=x x f X ，因此当10<<x 时，()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它02,2x y x yx f y x f x y f X X Y七．（本题满分9分）设二维随机变量()Y X ，服从矩形(){}1020,≤≤≤≤=y x y x D ，：上的均匀分布．记：⎩⎨⎧>≤=YX YX U 10 ⎩⎨⎧>≤=Y X Y X V 2120 试求U 与V 的相关系数V U ,ρ；（7分）并判断U 与V 是否相互独立？（2分） 解：由题意可得 {}41=≤Y X P ， {}212=>Y X P ， {}412=<<Y X Y P ，所以，{}{}{}41200=≤=≤≤===Y X P Y X Y X P V U P ，，，{}{}()0210=∅=>≤===P Y X Y X P V U P ，，， {}{}{}41201=≤<=≤>===Y X Y P Y X Y X P V U P ，，， {}214141111=--===V U P ，， ()V U ，的联合分布律及各自的边缘分布律为所以，()43=U E ，()163=U D ，()21=V E ，()41=V D ．又 ()21=UV E ， 所以，()()()()()()81214321cov =⨯-=-=V E U E UV E V U ， ()314116381cov ,=⨯==DVDU V U V U ，ρ 由于0≠ρ，所以U 与V 相关，从而U 与V 不独立．八．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，分别服从参数为1λ与2λ的Poisson 分布．试求随机变量Y X Z +=的分布律； 解：X 的分布律为 ()1!1λλ-==e k k X P k() ，，，210=kY 的分布律为 ()2!2λλ-==e k k Y P k () ，，，210=k所以，Y X Z +=的取值为 ，，，210，并且 ()(){}∑=-====+==nk k n Y k X P n Y X P n Z P 0，{}{}∑=-===nk k n Y P k X P 0()∑=----=nk k n ke k n ek 02121!!λλλλ()()∑=-+--=n k kn k k n k n n e 021!!!!21λλλλ()()21!21λλλλ+-+=en n 即Y X Z +=的分布律为{}()()21!21λλλλ+-+==en n Z P n () ，，，210=n九．（本题满分8分）一报刊亭出售4种报纸，它们的价格分别为8.1,5.1,0.1,6.0（元），而且每份报纸售出的概率分别为1.0,35.0,3.0,25.0．若某天售出报纸400份，试用中心极限定理计算该天收入至少450元的概率．标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的值：解：设k X ：该天售出第k 份报纸的收入．()400.,2,1 =k 则k X 的分布律为()155.11.08.135.05.13.00.125.06.0=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ， ()5015.11.08.135.05.13.00.125.06.022222=⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]167475.0155.15015.1222=-=-=k k k X E X E X D令X 表示该天的总收入，则有 ∑==4001k k X X ．由独立同分布场合下的大数定律，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-≥⨯⨯-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=≥∑∑==167475.0400155.1400450167475.0400155.140045045040014001k k k k X P X P X P()9292.0466.11466.1167475.0400155.140014001=-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<⨯⨯--=∑=k k X P ．十．（本题满分9分）设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2σ=X D ．()n X X X ,,,21 是取自该总体的一个样本，2S 是样本方差．计算()2SE ．解：()()()⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==n i in i i X X E n X X n E SE 121221111 ()()()⎪⎭⎫⎝⎛----=∑=n i i X X E n 1211μμ()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=∑=n i i i X X X X E n 122211μμμμ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=∑∑==n i n i i i X X X n X E n 1122211μμμμ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i X n X E n 12211μμ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i X nE X E n 12211μμ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∑=n i i i X E X nE X E X E n 12211()()⎪⎭⎫⎝⎛--=∑=n i i X nD X D n 111()2221221111σσσσσ=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=∑=n n n n n n i 十一．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()()1;+-=θθθθx c x f ， ()c x >．其中0>c 是已知参数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，求未知参数θ的矩估计量． 解：()()()11111-=-⋅==⋅==-+∞-+∞+-+∞∞-⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθcc c dx x c dx xc x dx x xf X E cc，解方程 ()1-=θθcX E ，得 ()()c X E X E -=θ．将()X E 用样本均值X 替换，得参数θ的矩估计量为cX X-=θˆ． 十二．（本题满分9分）设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？（5分）⑵ 求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计（4分）．解：① 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t f x F x xθ ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnxxn xn enee n xf x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ．即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．② 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布，所以()()()n X E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤n a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．。
上海交通大学经济学考研试题之概率论与数理统计
20XX年上海交通大学经济学考研试题之概率论与数理统计
1、证明如下结论：
（1）若P（A）=1/4，P（B^C）=1/5，问A与B可能不相交吗？为什么？（5分）（2）若P（B）=1，证明对任意事件A，有P（A∩B）=P（A）（5分）
（3）若二维随机变量f（x，y）=8xy，0≤x≤y≤1；0其他求f（x），f（X|Y）（5分）（4）根据（3）中的结论，求E（x），E（X|Y）（5分）
2、某电视机生产商想要调查居民中使用其品牌电视机的用户数量，在抽查的200人中，有25%的人使用了此品牌电视机，
（1）求总体比例的95%的置信区间（5分）
（2）若要在显著性水平α=0.05下，将估计误差控制在三个百分点以内，应去取多大的样本容量（5分）
（3）显著性水平α=0.05与犯第一类错误的概率有何关系（5分）
（4）那些因素可以影响犯第二类错误的概率，应如何控制其水平（5分）
3、某厂商开发出新产品之后想要研究新产品的销售量与销售价格的关系，使用的线性回归关系为：y=β0+β1x1+β2x2，其中y代表销售量，x1代表销售价格，x2代表广告费用。
（1）为什么在回归的时候还有考虑广告费用的因素x2，这样会不会是问题变得更加复杂（5分）
（2）表中显示的销售量与销售价格的关系是什么，理由是什么，影响效果显著吗？是检验在显著性水平α=0.05下的影响效果显著与否（5分）
（3）表中R^2代表什么？是不是在回归模型中R^2越大就代表回归模型越好（5分）（4）下面又给了当研究x1与x2相互关系的时候的三张表，问这样的模型是不是更好，与上面相比应该采用哪种模型（5分）。
2006—数一真题、标准答案及解析
∞
( A) ∑ an 收敛
n =1 ∞
∞
( B) ∑ (−1) n an收敛
n =1 ∞
∞
(C ) ∑ an an +1收敛
n =1
( D) ∑
an + an +1 收敛 2 n =1
(Q ∑ an +1也收敛)
n =1
∞
(10)设f ( x, y )与ϕ ( x, y )均为可微函数,且ϕ ′ y ( x, y ) ≠ 0,已知(x0 ,y0 )是f ( x, y ) 在约束条件ϕ ( x, y ) = 0下的一个极值点,下列选项正确的是[D] (A)若f x′ (x0 ,y0 )=0,则f y′(x0 ,y0 )=0 (B)若f x′ (x0 ,y0 )=0,则f y′(x0 ,y0 ) ≠ 0 (C)若f x′ (x0 ,y0 ) ≠ 0,则f y′(x0 ,y0 )=0
x →∞
(Ⅱ)计算 lim ⎜
x →∞
⎛ xn +1 ⎞ ⎟ ⎝ xn ⎠
1
xn 2
.
17 将函数 f ( x ) =
x 展开成 x 的幂级数. 2 + x − x2
18 设函数 f ( u ) 在 ( 0, +∞ )内具有二阶导数, 且 z = f
(
x 2 + y 2 满足等式
)
∂2 z ∂2 z + =0. ∂x 2 ∂y 2
T T
的两个解, (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量
(Ⅱ)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 Q AQ = A .
T
⎧1 ⎪ 2 , −1 < x < 0 ⎪ ⎪1 2 22 随机变量 x 的概率密度为 f x ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 2 令y = x , F ( x, y ) 为二维随机变量(X,Y)的分布函数. ⎪4 ⎪0, 其他 ⎪ ⎩
上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评分细则
P( X Y 1, Z 0) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 0) ；
P( X Y 1, Z 1) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 1) ；
P( X Y 2, Z 0) pq 2 P( X Y 2)P(Z 0) ；
P( X Y 2 , Z 1) p3 P( X Y 2)P(Z 1) .
E( X ) 未必存在( )
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少 ( )
二．选择题（15 分，每题 3 分） 1. 设每次试验成功的概率为 p (0 p 1) ，重复进行试验直到第 n 次才取
得 r (1 r n) 次成功的概率为
上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评 分细则
2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………2 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………8 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………17 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………32 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………41 2011-2012年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………50
故拒绝原假设 H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .
五、证明题 (7 分) 由题设知
X0 1 P qp
X Y 0 1 2
P
q 2 2 pq p 2
P( X Y 0, Z 0) q3 P( X Y 0)P(Z 0) ；
P( X Y 0 , Z 1) pq 2 P( X Y 0)P(Z 1) ；
概率论与数理统计习题全解(1) 2
习题22 解：X 的取值为8,11,21,23,27，对应的概率为23232367574737,27,C C C C == 2337635,C C = 分布函数为()3781157112131212334352327127x x F x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩。
4解：X 的分布律为(){}113,1,2,,13P X k k === 。
(1){}15513P X ≤≤=。
(2)()616{}613k F P X k ====∑。
5 解：(1){}2111412,4,6,21143kk P X +∞=====-∑ 。
(2) {}31181321124k k P X +∞=≥===-∑。
8 解：(1) 设X 表示4人中血型为A 的人数，则()~4,0.4X B ，所求为{}222420.40.60.3456P X C ==⋅=。
(2) 设X 表示4人中血型为B 的人数，则()~4,0.2X B ，所求为{}400.80.4096P X ===。
9 解：设X 为击中次数，则(1) ()~3,0.3X B ，{}22320.30.70.3^30.216P X C ≥=+=。
(2) ()~5,0.3X B ，{}22333255230.30.70.30.70.441P X C C ≤≤=+=。
10 解：设,X Y 为甲、乙投中次数，则()()~2,0.6,~2,0.5X B Y B 。
(1) {}{}{}{}0,01,12,2P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==221122220.40.5C 0.60.4C 0.50.50.60.50.37=+⨯⨯⨯+⨯=。
(2) {}{}{}{}1,02,02,1P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==12212222C 0.60.40.50.6C 0.50.50.60.50.39=⨯⨯+⨯⨯+⨯=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率统计试卷A 答案 2006.1.4
一. 选择题（15分，每题3分）
C D C D B
二. 填空题（15分，每题3分）
1. 6
2.0 [0.74]； 2. ),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+；
3. 4/,2/m m ；
4. 22,1-n ；F ；
5. X 2.
五. 是非题（10分，每题2分）
非 非 是 是 非.
三.
计算题（54分，每题9分）
1. 解：设 i A ={第i 次交换后黑球出现在甲袋中}，1,2,3.i = (1) 21211219911()()(|)()(|)0.8210101010P A P A P A A P A P A A =+=
⨯+⨯=
(2) 323223291()()(|)()(|)0.820.180.75610
10
P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=
2. 解： （1）
⎰
⎰
+∞+∞
∞
-==
1000
2
1)(dx x
c dx x f 1000=⇒c ,
（2）设事件A 表示一个电子管的寿命小于1500小时，则
⎰==<≤=1500
10002
3
1
1000)1500
0()(dx x X P A P ， 设Y 表示在使用的最初1500小时内电子管损坏的个数，则)3/1,3(~B Y ，于是 943231)1()1(2
133=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C P Y P
3．解：（1）
1,
01
()1,
100,Y y y f y y y otherw ise
-≤<⎧⎪
=+-<<⎨⎪⎩
110
210
1
()(,0)
132(|0)2
(0)
4
(1)x
dy dx P X Y P X Y P Y y dy
>
>>
>=
=
=
>-⎰⎰⎰
（2） ⎩
⎨
⎧∉∈-=-=
⎰
∞
-∞
-)
2,0(,0)2,0(,
2/1),()(z z z dx x z x f z f Z
4．解：（1）似然函数 (1)(
)1
,0()0,n n
x x L otherw ise θ
θθ⎧<≤≤<⎪
=⎨⎪⎩
l n ()
L θ单调减， 得θ的极大似然估计量为 ()1ˆm ax{}n i i n
X X θ≤≤==。
（2）ˆθ的密度 1
1
,(0,)
()()()0,(0,
)
n n n
nx x f x nF x f x x θθθ--⎧∈⎪
==⎨⎪∉⎩
ˆ()1
n
n
nx
E dx θ
θθθθ
θ=
=
≠+⎰
，故ˆθ不是θ的无偏估计量。
5．解：设)~1(n i X i =为第i 箱重量，1,,n X X 相互独立，n 箱总重量1
n
n i i T X ==
∑
.
由已知得 ()50,()25,()
50,()i i
n n E X D X E T n D T n ===
=
由中心极限定理
(5000)1000100.977
n P T P n
≤=≤
-≈Φ>
有
21010000
n >⇒+
<
2
9.9005(9.9005)98.0199
n <⇒<= 故最多可以装98箱 。
6．解： 2
87.1
,0.08x s ==，
（1） 01:87.4;
:87.4H H μμ=≠，
)1(~/
0--=
n t n
S X T μ
拒绝域(, 4.0322][4.0322,)W =-∞-⋃+∞
0.1
2.375
T W =
=∉，
接受0H 。
（2） 2
2
01:0.04;
:0.04H H σσ
=>
)1(~)1(2
2
2
2
--=
n S
n χσχ
拒绝域
[15.086,)
W =+∞
2
050.08
100.04
W χ⨯=
=∉， 接受0H 。
四. 证明题（6分）
证： )()()()(C B P C P B P BC P ⋃-+=
)(5C B P x ⋃-=x A P AB P =≤=)()( 1)(4≤⋃≤⇒C B P x
4/1≤⇒x 。