线面角的三种求法

线面角的三种求法

河北 王学会

1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M

H

S

C

A 图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，

∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,

∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC

∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂

线，则得面的垂线。）

2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,

∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1

·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 A 1C 1D 1

H 4

C

B 12

3B A D

图2

∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5

3. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2

（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的

一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， B

αO A

C 图3

θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）

例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成

的角的余弦值。

解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知

∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC

∴cos60°=cos∠A OD·cos30°

∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。

O

α

D

A

C

B

图4