高考数学复习真题演练十二
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(解三角形及其应用)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（解三角形及其应用）练习一、 基础小题练透篇1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2．[2023ꞏ江西省赣州市五校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π4 ，B ＝2π3 ，则b ＝( )A ．23B ．25C ．26D ．63．[2023ꞏ宁夏银川市第六中学考试]已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3 a ＝2b sin ()B ＋C ，则B ＝( )A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 4．[2023ꞏ陕西省宝鸡市质检]已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3 ，B ＝30°，S △ABC ＝3 ，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．3B ．23C ．27D ．7 5．[2023ꞏ安徽省亳州市第一中学月考]花戏楼，原为关帝庙，始建于清顺治十三年，1988年1月13日被国务院批准为第三批全国重点文物保护单位．某同学想利用镜面反射法测量花戏楼主体的高度，建立如图所示模型．测量并记录人眼距离地面h m ，将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到楼顶的位置，测量人与镜子的距离a 1 m ，将镜子后移a m ，重复前面中的操作，测量人与镜子的距离a 2 m.此时可求出楼的高度为( )A ．aha 2＋a 1B ．ah a 2－a 1C ．aa 2＋a 1＋h D ．a a 2－a 1 ＋h 6．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ＝( )A ．表高×表距表目距的差 ＋表高 B ．表高×表距表目距的差 －表高C ．表高×表距表目距的差 ＋表距D ．表高×表距表目距的差－表距7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.8．在△ABC 中，若tan A tan B ＝1，AB ＝3 ，则△ABC 面积的最大值为________．二、 能力小题提升篇1.[2023ꞏ安徽黄山一模]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .△ABC 的面积为3 ，且2b cos A ＝2c －a ，a ＋c ＝4，则△ABC 的周长为( )A ．4＋3B ．6C ．4＋23D ．82．[2023ꞏ陕西省西安市期中]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2c ＝aba cos B ＋b cos A，若a ＋b ＝2，则c 的最小值为( ) A ．1 B ．32 C ．54 D ．34 3.[2023ꞏ山东省潍坊市高三上学期期中]小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘(如图阴影部分)，为了测量该池塘两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点P 1，P 2，且P 1P 2＝a ，已经测得两个角∠P 1P 2D ＝α，∠P 2P 1D ＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的是( )①∠DP 1C 和∠DCP 1；②∠P 1P 2C 和∠P 1CP 2；③∠P 1DC 和∠DCP 1. A ．①和② B ．①和③ C ．②和③ D ．①和②和③4．[2023ꞏ湖南怀化月考]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝3c ，角A 的平分线交BC 于点D ，且BD ＝7 ，则cos ∠ADB 的值为( )A ．－217B ．217 C ．277 D ．±2775．[2023ꞏ广东佛山模考]已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足b ＝2，B ＝60°的三角形有两个，则边长a 的取值范围是________．6．[2023ꞏ山西省三晋名校联盟考试]在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝2，AD ＝3，则四边形ABCD 面积的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ全国卷Ⅲ]在△ABC 中，cos C ＝23 ，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A ．19 B ．13 C ．12 D ．232．[全国卷Ⅱ]在△ABC 中，cos C 2 ＝5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42B ．30C ．29D ．253．[2019ꞏ全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B＝4c sin C ，cos A ＝－14 ，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．34．[全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65．[2021ꞏ全国乙卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3 ，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________．6．[2022ꞏ全国甲卷]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB 取得最小值时，BD ＝________．四. 经典大题强化篇 1.如图，在四边形ABCD 中，CD ＝33 ，BC ＝7 ，cos ∠CBD ＝－7. (1)求∠BDC ；(2)若∠A ＝π3 ，求△ABD 周长的最大值． 2.[2023ꞏ湖北省部分省级示范校联考]如图，在平面凹四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ADC ＝120°，角B 满足：(1＋sin B ＋cos B )⎝⎛⎭⎫cos B 2－sin B 2 ＝cos B 2 . (1)求角B 的大小；(2)求凹四边形ABCD 面积的最小值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：B答案解析：由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin 2A，∴sin （B＋C）＝sin2A，即sin（π－A）＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈（0，π），∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．2．答案：C答案解析：因为a＝4，A＝π4，B＝2π3，由正弦定理，得b＝a sin Bsin A＝26.故选C.3．答案：C答案解析：因为3 a＝2b sin ()B＋C，由正弦定理可得，3sin A＝2sin B sin ()B＋C，3sin A＝2sin B sin A，sin B＝32，且B∈（0，π），△ABC为锐角三角形，则B＝π3.故选C.4．答案：C答案解析：因为a＝3，B＝30°，S△ABC＝3，所以S△ABC＝12 ac sin B＝12×3×c×12＝3，解得c＝4.由余弦定理得：b＝a2＋c2－2ac cos B＝（3）2＋42－2×3×4×32＝7.由正弦定理得：2R＝bsin B ＝712＝27.故选C.5．答案：B答案解析：设所求楼高为x，由三角形相似可得ha2＝xa＋a1xh，整理可得x＝aha2－a1.故选B.6．答案：A答案解析：如图所示：由平面相似可知，DEAB＝EHAH，FGAB＝CGAC，而DE＝FG，所以DEAB＝EHAH＝CGAC＝CG－EHAC－AH＝CG－EHCH，而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，即AB ＝CG －EH ＋EG CG －EH ×DE ＝EG ×DE CG －EH ＋DE ＝表高×表距表目距的差＋表高．7．答案：1006答案解析：设此山高h （m ），则BC ＝3 h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝600（m ）.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin A ＝ABsin C，即3h sin 30° ＝600sin 45° ，解得h ＝1006 （m ）. 8．答案：34答案解析：因为tan A tan B ＝sin A sin Bcos A cos B＝1，所以cos A cos B －sin A sin B ＝cos （A ＋B ）＝－cos C ＝0，即cos C ＝0.又因为0<C <π，所以C ＝π2 .因为AB ＝3 ，所以asin A ＝b sin B＝3 ， 即a ＝3 sin A ，b ＝3 sin B ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3 cos A ，所以S △ABC ＝12 ab ＝32 sin A cos A ＝34 sin 2A ，当A ＝π4 时，S △ABC 取得最大值为34.二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由题意，得2bc cos A ＝2c 2－ac ，于是b 2＋c 2－a 2＝2c 2－ac ，即c 2＋a 2－b2＝ac .从而由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12 .又B ∈（0，π），所以B ＝60°.因为S △ABC＝12ac sin B ＝34 ac ＝3 ，即ac ＝4.又a ＋c ＝4，所以a ＝c ＝2，即△ABC 为等边三角形，所以△ABC 的周长为6.2．答案：A答案解析：因为a 2＋b 2－c 2c ＝ab a cos B ＋b cos A，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以2ab cos C c ＝ab a cos B ＋b cos A，且a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2cos C sin C ＝1sin A cos B ＋sin B cos A ＝1sin （A ＋B ），又因为sin （A ＋B ）＝sin C ≠0，所以cos C ＝12，又因为C ∈（0，π），所以C ＝π3，又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝（a ＋b ）2－3ab ≥（a ＋b ）2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2＝1，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故c 的最小值为1. 故选A. 3．答案：D答案解析：根据题意，△P 1P 2D 的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，△CDP 1中已知DP 1，而△CDP 2中已知DP 2，若选条件①，则△CDP 1中已知两角一边，CD 可以求；若选条件②，由正弦定理可以求出CP 2及∠CP 2P 1，所以∠CP 2D 可以求出，则在△CDP 2中已知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD .若选条件③，则在△CDP 1中已知两角及一边，用正弦定理即可求出CD .故选D. 4．答案：B答案解析：因为A ＝60°，角A 的平分线交BC 于点D ，所以∠CAD ＝∠BAD ＝30°.又b ＝3c ，所以CD BD ＝S △CAD S △DAB ＝12b ·AD ·sin 30°12AD ·c ·sin 30° ＝bc＝3.因为BD ＝7 ，所以CD ＝37 ，所以a ＝CB ＝47 .因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16×7＝9c 2＋c 2－2×3c ·c ·12 ，解得c ＝4.方法一 在△ABD 中，由正弦定理可知BDsin ∠BAD＝csin ∠ADB，即712＝4sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝27 . 因为b ＝3c >c ，所以B >C .因为∠ADB ＝30°＋C ，∠ADC ＝30°＋B ， 所以∠ADB <∠ADC ，所以∠ADB 为锐角，所以cos ∠ADB ＝37＝217 . 方法二 由余弦定理可得cos ∠BAD ＝AD 2＋c 2－BD 22AD ·c ，即32 ＝AD 2＋16－78AD，所以AD 2－43 AD ＋9＝0，所以（AD －3 ）（AD －33 ）＝0， 所以AD ＝33 或AD ＝3 .因为b ＝3c >c ，所以B >C . 又B ＋C ＝120°，所以B >60°>∠BAD ， 所以AD >BD ＝7 ，所以AD ＝33 .所以cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－c 22AD ·BD ＝27＋7－162×33×7＝217 . 5．答案：2<a <433答案解析：满足题意的三角形要有两个，则需⎩⎪⎨⎪⎧a sin B <b ，a >b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a sin 60°<2，a >2， 解得2<a <433.6．答案：5154答案解析：在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝4＋4－2×2×2cos B ＝8－8cos B ，在△ACD 中，由余弦定理知AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝4＋9－2×2×3cos D ＝13－12cos D ，所以8－8cos B ＝13－12cos D ，即3cos D －2cos B ＝54.可得S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12 AB ·BC sin B ＋12 AD ·CD sin D ＝2sin B ＋3sin D ，令M ＝3cos D －2cos B ＝54，N ＝3sin D ＋2sin B ，则M 2＋N 2＝9＋4－2×3×2（cos B cos D －sin B sin D ）＝13－12cos （B ＋D ）≤25，等号成立时B ＋D ＝π，所以N 2≤25－2516 ＝25×1516，所以四边形ABCD 面积的最大值为5154. 三 高考小题重现篇1．答案：A答案解析：由cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC 得23＝16＋9－AB 22×4×3 ，∴AB ＝3，∴cos B ＝BA 2＋BC 2－AC 22BA ·BC ＝9＋9－162×3×3 ＝19.2．答案：A答案解析：∵cos C 2 ＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭55 2－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝32，∴AB ＝32 ＝42 . 3．答案：A答案解析：由正弦定理及a sin A －b sin B ＝4c sin C 得a 2－b 2＝4c 2，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14 .所以bc＝6.4．答案：C答案解析：∵ S ＝12 ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24 ＝2ab cos C 4 ＝12ab cos C ，∴ sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.∵ C ∈（0，π），∴ C ＝π4.5．答案：22答案解析：由题意得S △ABC ＝12 ac sin B ＝34ac ＝3 ，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22 .6．答案：3 －1答案解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（图略），易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A （1，3 ）.因为CD ＝2BD ，所以设B （－x ，0），x ＞0，则C （2x ，0）.所以AC ＝（2x －1）2＋（0－3）2 ＝4x 2－4x ＋4 ，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2 ＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AB 2 ＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4 .令f （x ）＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′（x ）＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2 ＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 （舍去）或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（0，3 －1）上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（3 －1，＋∞）上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f （x ）取得最小值，即ACAB取得最小值，此时BD ＝3 －1.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）在△BCD 中，∵cos ∠CBD ＝－714，∴sin ∠CBD ＝1－（－714）2 ＝32114， 利用正弦定理得：CDsin ∠CBD＝BCsin ∠BDC，∴sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBDCD＝7×3211433＝12，又∵∠CBD 为钝角，∴∠BDC 为锐角，∴∠BDC ＝π6.（2）在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠CBD ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝7＋BD 2－2727BD＝－714 ， 解得：BD ＝4或BD ＝－5（舍去）， 在△ABD 中，∠A ＝π3，设AB ＝x ，AD ＝y ， 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝x 2＋y 2－162xy ＝12，即x 2＋y 2－16＝xy ，整理得：（x ＋y ）2－16＝3xy ，又x >0，y >0，利用基本不等式得：（x ＋y ）2－16＝3xy ≤3（x ＋y ）24 ，即（x ＋y ）24≤16，即（x ＋y ）2≤64，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，即（x ＋y ）max ＝8， 所以（AB ＋AD ＋BD ）max ＝8＋4＝12. 所以△ABD 周长的最大值为12. 2．答案解析：（1）因为（1＋sin B ＋cos B ）⎝⎛⎭⎪⎫cos B2－sin B 2 ＝cos B2 ，所以⎝⎛⎭⎪⎫2sin B 2cos B 2＋2cos 2B2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2－sin B 2 ＝2cos B 2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2＋cos B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2－sin B 2 ＝cos B 2 ，即2cos B 2 cos B ＝cos B2，因为B ∈（0，π），则cos B2≠0，所以cos B ＝12 ，即B ＝π3.（2）连接AC ，设AD ＝x ，CD ＝y ， 因为AB ＝2，BC ＝3，∠ADC ＝120°，所以在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7，即AC ＝7 ，在△ACD 中由余弦定理得x 2＋y 2－2xy cos ∠ADC ＝7，即x 2＋y 2＋xy ＝7，故7－xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，不等式取等号，从而xy ≤73 ，故凹四边形ABCD 的面积S ＝S △ABC －S △ADC ＝12 ×2×3×sin 60°－12 xy sin120°＝332 －34 xy ≥11312， 从而四边形ABCD 面积的最小值是11312.。
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)
【提分秘籍】
基本规律
极坐标一线两点（一般直线或射线过极点）：
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
【变式演练】
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
（
为参数），以
O
为极点，x
，求
AB
.
【题型二】参数方程难点 1：万能代换型消参
【典例分析】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，x
轴的
y
1
4t t
2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
三、极坐标体系弦长公式
(1)一线两点（一般直线（射线）过极点
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
（2）两线两点：余弦定理 | AB |2 =22 +12 -221 co（s 2 -1)
【变式演练】
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1 的参数方程为
l
的极坐标方程为
sin
3
2
.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明： PA PB 为定值.
2018年高考理科数学通用版三维二轮复习训练12解析及答案
寒假作业(十二) 空间几何体(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．下列命题中，错误的是( )A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形解析：选B 根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故B错误．2．一条线段长为52，其侧视图长为5，俯视图长为34，则其正视图长为( ) A．5 B.34C．6 D.41解析：选D 把这条线段想象成长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线AC1，AC1的侧视图为DC1＝5，AC1的俯视图为AC＝34，AC1的正视图为AD1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a2＋c2＝25，a2＋b2＝34，又a2＋b2＋c2＝50，则b2＝25，c2＝16，AD1＝b2＋c2＝41.3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥PA1B1A的侧视图是( )解析：选D 在长方体ABCDA1B1C1D1中，从左侧看三棱锥PA1B1A，B1，A1，A 的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D.4．(2017·湖北省七市(州)联考)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，底边长为4，腰长为3，则该几何体的表面积为( )A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π解析：选C 根据三视图，可以看出该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径r 为2，侧棱长l 为3，故该圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )＝π×2×(2＋3)＝10π.5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B.6.在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为( )A ．(7＋2)πB ．(8＋2)πC.22π7D ．(1＋2)π＋6解析：选A 由题意得，挖去的圆锥的底面半径r ＝1，母线l ＝2，∴该机械部件的表面积S ＝π×12＋2π×1×3＋π×1×2＝(7＋2)π，故选A.7.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由多面体的三视图还原直观图如图．该几何体由上方的三棱锥A BCE 和下方的三棱柱BCE B 1C 1A 1构成，其中平面CC 1A 1A 和平面BB 1A 1A 是梯形，则梯形的面积之和为2×2＋4×22＝12.8．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为( )A.2∶2B.3∶2C.5∶2D ．3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则球的半径R ＝r2，由条件知，13πr 2h ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 23，所以h ＝r2.所以圆锥的侧面积S 1＝πr ·h 2＋r 2＝πrr 24＋r 2＝52πr 2，球面面积S 2＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝πr 2，所以S 1∶S 2＝5∶2. 9.(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选A 由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面面积S ＝12×(1＋2)×2＝3，高为2，所以该几何体的体积V ＝13×3×2＝2.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．18＋2πB ．20＋πC ．20＋π2D ．16＋π解析：选B 由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的14圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个14圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S ＝4×5＋2×2π×1×1×14＝20＋π.11．三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3 B ．4π C ．8πD ．20π解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C.12．设点A ，B ，C 为球O 的球面上三点，O 为球心．球O 的表面积为100π，且△ABC 是边长为43的正三角形，则三棱锥O ABC 的体积为( )A ．12B ．12 3C ．243D ．363解析：选B ∵球O 的表面积为100π＝4πr 2，∴球O 的半径为5.如图，取△ABC 的中心H ，连接OH ，连接AH 并延长交BC 于点M ，则AM ＝432－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4322＝6，AH ＝23AM ＝4，∴OH ＝OA 2－AH 2＝52－42＝3，∴三棱锥O ABC 的体积为V ＝13×34×(43)2×3＝12 3.13．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 答案：3214．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，故该几何体的表面积为S ＝π×12＋2π×1×3＋4π×12×14＋12π×12＋12π×12＝9π.答案：9π15.(2017·南昌一模)如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．解析：根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为π·1·12＋12＋2π·12＋π·12＝(2＋3)π.答案：(2＋3)π16．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知四棱锥P ABCD 的所有顶点都在体积为500π81的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P ABCD 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4π3R 3＝500π81，R ＝53.因为正方形ABCD 的外接圆半径r ＝1，所以球心到平面ABCD 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532－12＝43，因此点P 到平面ABCD 的距离的最大值为h ＋R ＝43＋53＝3，因此四棱锥P ABCD 体积的最大值为13×(2)2×3＝2. 答案：2二、能力拔高练1．(2017·洛阳统考)已知某组合体的三视图如图所示，则此组合体的体积为( )A.103π B ．14π C.163π－8 D.163π－4 解析：选D 依题意知，该组合体是从一个圆锥(底面半径为2、高为4)中截去一个正四棱柱(底面正方形边长为2、高为2)后剩余的部分，因此该组合体的体积为13π×22×4－(2)2×2＝16π3－4. 2．已知球O 1和球O 2的半径分别为1和2，且球心距为5，若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为( )A.π2B.4π5 C ．πD ．2π解析：选B 作出两球面相交的一个截面图，如图所示，AB 为相交圆的直径，由条件知O 1A ＝1，O 2A ＝2，O 1O 2＝5，所以△AO 1O 2为直角三角形．由三角形面积公式，得AC ＝O 1A ·O 2A O 1O 2＝25，所以所求圆的面积为π·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252＝4π5，故选B.3．一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.15B.16C.17D.18解析：选A 如图，依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC A 1B 1C 1(其底面边长是2)中截去三棱锥E A 1B 1C 1(其中E 是侧棱BB 1的中点)，因此三棱锥E A 1B 1C 1的体积为VE A 1B 1C 1＝13×34×22×1＝33，剩余部分的体积为V ＝VABC A 1B 1C 1－VE A 1B 1C 1＝34×22×2－33＝533，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.4．(2017·郑州第一次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．80B ．160C ．240D ．480解析：选B 依题意，如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABC A ′B ′C ′中截去一个三棱锥A A ′B ′C ′后所剩余的部分，其中底面△ABC 是直角三角形，AC ⊥AB ，AC ＝6，AB ＝8，BB ′＝10，因此几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×10－13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×10＝160，选B. 5．(2017·天水一模)四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，且四棱锥P ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为________．解析：法一：将三视图还原为直观图如图中四棱锥P ABCD ，可得四棱锥P ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 的中点为G ，连接OG ，OA ，AG .因为直线EF 被球面所截得的线段长为22，即正方体面对角线长也是22，所以AG ＝2＝22a ，得a ＝2.在Rt △OGA 中，OG ＝12a ＝1，AG ＝2，则AO ＝3，即外接球半径R ＝3，所以所求外接球的表面积为4πR 2＝12π.法二：将三视图还原为直观图如图中四棱锥P ABCD ，其中底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ＝AD ＝a ，连接AC ，由题意得BC ⊥PB ，DC ⊥PD ，PA ⊥AC ，取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，OD ，可得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OP ＝12PC ，所以O 为球心．由直线EF 被球面所截得的线段长为22得，AC ＝2a＝22，a ＝2，即4R 2＝PC 2＝PA 2＋AC 2＝a 2＋2a 2＝3a 2＝12，所以所求外接球的表面积为4πR 2＝12π.答案：12π6.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一个动点P ，Q ，且满足A 1P ＝BQ ，M 是棱CA 上的动点，则V M ABQPVABC A 1B 1C 1－V M ABQP的最大值是________．解析：设三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V .∵侧棱AA 1和BB 1上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，∴四边形PQBA 与四边形PQB 1A 1的面积相等．∵M 是棱CA 上的动点， ∴点M 在点C 处时，V M ABQPVABC A 1B 1C 1－V M ABQP的值最大．又四棱锥M PQBA 的体积等于三棱锥C ABA 1的体积，即等于13V ，∴V M ABQP VABC A 1B 1C 1－V M ABQP 的最大值是13VV －13V＝12. 答案：12。
高考数学考前演练试卷文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等全国统一考前演练数学试卷〔文科〕〔4〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕1．i为虚部单位，假设〔1﹣i〕z=2i，那么z的虚部为〔〕A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i2．全集U=R，集合A={x|〔x﹣1〕〔x+3〕≥0}，集合B={x|〔〕x＜9}，那么〔∁U A〕∪B=〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣3，+∞〕C．〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣2，+∞〕D．〔1，+∞〕3．在四边形ABCD中，=〔2，3〕，=〔6，﹣4〕，那么该四边形的面积为〔〕A．2B．13 C．D．264．执行如下列图的程序，那么输出的结果为〔〕A．B．C．D．5．从某校随机选取5名高三学生，其身高与体重的数据如下表所示：身高x/cm 165 168 170 172 175体重y/kg 49 51 55 61 69根据上表可得回归直线=2x﹣a．那么预测身高为180cm的学生的体重为〔〕A．73kg B．75kg C．77kg D．79kg6．向量=〔a n，1〕，=〔a n+1，2〕，且a1=1．假设数列{a n}的前n项的和为S n，且∥，那么S n=〔〕A．2n﹣1 B．1﹣2n C．2﹣〔〕n﹣1D．〔〕n﹣27．实数x、y满足，目的函数z=x+y，那么z的最大值为〔〕A．3 B．2 C．D．8．某几何体的三视图如下列图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的外表积为〔〕A．B．C．D．9．可以把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两局部的函数称为该圆的“和谐函数〞，以下函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数〞的是〔〕A．f〔x〕=2x+B．f〔x〕=tan C．f〔x〕=x3+x D．f〔x〕=ln10．函数f〔x〕=〔m2﹣m﹣1〕是幂函数，对任意的x1、x2∈〔0，+∞〕，且x1≠x2，满足＜0，假设a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，那么f〔a〕+f〔b〕的值〔〕A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．无法判断11．将函数f〔x〕=sin〔4x+〕图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g〔x〕的图象，那么下面对函数y=g〔x﹣〕+g〔x〕的表达正确的选项是〔〕A．函数的最大值为2，最小值为﹣2B．x=是函数的一条对称轴C．函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈ZD．将y=g〔x﹣〕+g〔x〕图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象12．直线l与双曲线﹣=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y2=4x上，M到抛物线焦点的间隔为2，那么直线l的斜率为〔〕A．1 B．2 C．D．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上〕13．x∈[0，π]，使sinx≥的概率为_______．14．A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，那么E的离心率为_______．15．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n〔n∈N*〕，假设b3=﹣2，b10=12．那么a10=_______．16．设过曲线f〔x〕=e x+x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=2cosx ﹣ax上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为_______．三、解答题〔解容许写出文字说明、演算步骤或者证明过程．〕17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos2B=1．〔Ⅰ〕求角B的大小；〔Ⅱ〕假设b=2，求y=a+c的取值范围．18．某媒体对“推延退休〞这一公众关注的问题进展了民意调查，下面是在某两单位得到的数据〔人数〕．赞同反对合计企业职工10 20 30事业职工20 5 25合计30 25 55〔1〕是否有9%的把握认为赞同“推延退休〞与职业有关？〔2〕用分层抽样的方法从赞同“推延退休〞的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这6人作为一个样本，从中任选2人，求恰有1名为企业职工和1名事业职工的概率．P〔K2≥k0〕k0附：K2=．19．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE将△CDE折起成四棱锥C′﹣ABED，点O为ED的中点．〔1〕在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；〔2〕假设AB=2，求四棱锥C′﹣ABED的体积的最大值．20．圆C过定点A〔0，p〕，圆心C在抛物线x2=2py〔p＞0〕上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕当圆心C在抛物线上运动时．①|MN|是否为定值？假设是，求出该定值；假设不是，请说明理由．②记|AM|=m，|AN|=n．求+的最大值，并求出此时圆C的方程．21．设函数f〔x〕=alnx﹣bx2，a，b∈R．〔1〕假设函数f〔x〕在x=1处与直线y=﹣相切；①务实数a，b的值；②求函数f〔x〕在[，e]上的最大值；③当b=0时，假设不等式f〔x〕≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈〔1，e2]都成立，务实数m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．〔Ⅰ〕求证：AC•BC=AD•AE；〔Ⅱ〕假设AF=2，CF=2，求AE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1：〔α为参数〕，曲线C2：〔θ为参数〕．〔1〕化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；〔2〕假设C2上的点P对应的参数为θ=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ〔cosβ﹣sinβ〕=6间隔的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣2|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≤4的解集；〔Ⅱ〕使f〔x〕≥m恒成立的实数m的最大值为t，假设a、b均为正实数，且满足a+b=2t．求a2+b2的最小值．2021年普通高等全国统一考前演练数学试卷〔文科〕〔4〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕1．i为虚部单位，假设〔1﹣i〕z=2i，那么z的虚部为〔〕A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由〔1﹣i〕z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，那么答案可求．【解答】解：由〔1﹣i〕z=2i，得=．那么z的虚部为：1．应选：C．2．全集U=R，集合A={x|〔x﹣1〕〔x+3〕≥0}，集合B={x|〔〕x＜9}，那么〔∁U A〕∪B=〔〕A．〔﹣2，1〕B．〔﹣3，+∞〕C．〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣2，+∞〕D．〔1，+∞〕【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的根本运算进展求解即可．【解答】解：A={x|〔x﹣1〕〔x+3〕≥0}={x|x≥1或者x≤﹣3}，那么∁U A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|〔〕x＜9}={x|x＞﹣2}那么〔∁U A〕∪B={x|x＞﹣3}，应选：B3．在四边形ABCD中，=〔2，3〕，=〔6，﹣4〕，那么该四边形的面积为〔〕A．2B．13 C．D．26【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，求得向量的模，由四边形的面积公式||•||，计算即可得到所求．【解答】解：由=〔2，3〕，=〔6，﹣4〕，可得•=2×6+3×〔﹣4〕=0，即AC⊥BD，又||==，||==2，那么该四边形的面积为||•||=××2=13．应选：B．4．执行如下列图的程序，那么输出的结果为〔〕A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值，利用裂项法即可计算得解．【解答】解：由程序框图知，本程序的功能是计算S=1++++…+的值．由于：S=1+〔1﹣〕+〔〕+〔〕+…+〔〕=1+1﹣==．应选：D．5．从某校随机选取5名高三学生，其身高与体重的数据如下表所示：身高x/cm 165 168 170 172 175体重y/kg 49 51 55 61 69根据上表可得回归直线=2x﹣a．那么预测身高为180cm的学生的体重为〔〕A．73kg B．75kg C．77kg D．79kg【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，如今方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为180cm 的高三男生的体重【解答】解：∵=170，=57，=2x﹣a，∴57=2×170﹣a，∴a=283，当x=180时，y=2×180﹣283=77，应选C．6．向量=〔a n，1〕，=〔a n+1，2〕，且a1=1．假设数列{a n}的前n项的和为S n，且∥，那么S n=〔〕A．2n﹣1 B．1﹣2n C．2﹣〔〕n﹣1D．〔〕n﹣2【考点】等比数列的前n项和；平面向量一共线〔平行〕的坐标表示．【分析】由∥，可得2a n=a n+1，再利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．【解答】解：由∥，那么2a n=a n+1，∴{a n}是以1为首项的等比数列，公比q=2，∴S n==2n﹣1．应选：A．7．实数x、y满足，目的函数z=x+y，那么z的最大值为〔〕A．3 B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义进展求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣2x+2z，平移直线y=﹣2x+2z，由图象知当直线y=﹣2x+2z经过点A时，直线y=﹣2x+2z的截距最大，此时z最大，由得，即A〔2，2〕，此时z=2+1=3，应选：A．8．某几何体的三视图如下列图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的外表积为〔〕A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一局部，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的外表积公式计算．【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥的一局部，底面为扇形，圆心角为120°，半径为2，锥体的高为4．其外表积为：++=．应选D．9．可以把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两局部的函数称为该圆的“和谐函数〞，以下函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数〞的是〔〕A．f〔x〕=2x+B．f〔x〕=tan C．f〔x〕=x3+x D．f〔x〕=ln【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而A不能，即可得出结论．【解答】解：因为B、C、D三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而圆2+y2=4是中心对称图形并关于原点对称，所以B、C、D三个函数的图象均能平分该圆的面积与周长，而A不能，应选A．10．函数f〔x〕=〔m2﹣m﹣1〕是幂函数，对任意的x1、x2∈〔0，+∞〕，且x1≠x2，满足＜0，假设a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，那么f〔a〕+f〔b〕的值〔〕A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．无法判断【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可．【解答】解：由函数f〔x〕=〔m2﹣m﹣1〕是幂函数，可得m2﹣m﹣1=1，解得m=2或者m=﹣1，当m=2时，f〔x〕=x3；当m=﹣1时，f〔x〕=x﹣3．对任意的x1、x2∈〔0，+∞〕，且x1≠x2，满足＜0，函数是单调减函数，∴m=﹣1，f〔x〕=x﹣3．a+b＞0，ab＜0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，那么f〔a〕+f〔b〕恒小于0．应选：A．11．将函数f〔x〕=sin〔4x+〕图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g〔x〕的图象，那么下面对函数y=g〔x﹣〕+g〔x〕的表达正确的选项是〔〕A．函数的最大值为2，最小值为﹣2B．x=是函数的一条对称轴C．函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈ZD．将y=g〔x﹣〕+g〔x〕图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f〔x〕=sin〔4x+〕图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin〔2x+〕的图象，再向右平移个单位长度，得到函数y=g〔x〕=sin[2〔x﹣〕+]=sin〔2x﹣〕的图象，所给的函数y=g〔x﹣〕+g〔x〕=sin[2〔x﹣〕﹣]+sin〔2x﹣〕=﹣cos2x+〔sin2x﹣cos2x〕=sin〔2x﹣〕，所以y的最大值为，最小值为﹣，故A错误；但x=时，y=0，故x=不是对称轴，故B错误；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+．故C正确；将函数向左平移个单位得到y=sin〔2x+〕，故D错误，应选：C．12．直线l与双曲线﹣=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y2=4x上，M到抛物线焦点的间隔为2，那么直线l的斜率为〔〕A．1 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据点与抛物线的关系求出中点M的坐标，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式．【解答】解：由设M〔a，b〕，抛物线y2=4x的焦点坐标为〔1，0〕，准线方程为x=﹣1∵M到抛物线焦点〔1，0〕的间隔为2，∴a+1=2，即a=1，此时b2=4，那么b=2，即M〔1，2〕．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，可得﹣=1，﹣=1，两式相减可得，〔x1﹣x2〕〔x1+x2〕﹣〔y1﹣y2〕〔y1+y2〕=0，M为AB的中点，即有x1+x2=2，y1+y2=4，可得直线AB的斜率为k====．应选：C二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上〕13．x∈[0，π]，使sinx≥的概率为．【考点】几何概型．【分析】求出满足sinx≥的区间宽度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：由x∈[0，π]，sinx≥，可得≤x≤，∴所求概率为P==，故答案为：．14．A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，那么E的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合a，b，c的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1〔a＞0，b＞0〕，如下列图，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，那么∠MBN=60°，在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=a，故点M的坐标为M〔2a，a〕，代入双曲线方程得﹣=1，即为a2=b2，即c2=2a2，那么e==．故答案为：．15．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n〔n∈N*〕，假设b3=﹣2，b10=12．那么a10=21．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数的通项公式可得b n，再利用“累加求和〞方法与等差数列的求和公式即可得出a n．【解答】解：设等差数列{b n}的公差为d，∵b3=﹣2，b10=12．∴b1+2d=﹣2，b1+9d=12，解得b1=﹣6，d=2．∴b n=﹣6+2〔n﹣1〕=2n﹣8．∵b n=a n+1﹣a n〔n∈N*〕，∴a n=〔a n﹣a n﹣1〕+〔a n﹣1﹣a n﹣2〕+…+〔a2﹣a1〕+a1=〔2n﹣10〕+〔2n﹣12〕+…+〔﹣6〕+3=+3=n2﹣9n+11．当n=10时，a10=102﹣9×10+11=21．故答案为：21．16．设过曲线f〔x〕=e x+x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=2cosx ﹣ax上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为[﹣1，2]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f〔x〕的导数，设〔x1，y1〕为f〔x〕上的任一点，可得切线的斜率k1，求得g〔x〕的导数，设g〔x〕图象上一点〔x2，y2〕可得切线l2的斜率为k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，分别求y1=a+2sinx2的值域A，y2=的值域B，由题意可得B⊆A，可得a的不等式，可得a的范围．【解答】解：f〔x〕=e x+x的导数为f′〔x〕=e x+1，设〔x1，y1〕为f〔x〕上的任一点，那么过〔x1，y1〕处的切线l1的斜率为k1=e x1+1，g〔x〕=2cosx﹣ax的导数为g′〔x〕=﹣2sinx﹣a，过g〔x〕图象上一点〔x2，y2〕处的切线l2的斜率为k2=﹣a﹣2sinx2．由l1⊥l2，可得〔e x1+1〕•〔﹣a﹣2sinx2〕=﹣1，即a+2sinx2=，任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立．那么有y1=a+2sinx2的值域为A=[a﹣2，a+2]．y2=的值域为B=〔0，1〕，有B⊆A，即〔0，1〕⊆[a﹣2，a+2]，即，解得﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．三、解答题〔解容许写出文字说明、演算步骤或者证明过程．〕17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos2B=1．〔Ⅰ〕求角B的大小；〔Ⅱ〕假设b=2，求y=a+c的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】〔Ⅰ〕利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得cosB+2cos2B﹣1=0，进而解得cosB的值，结合范围B∈〔0，π〕，即可得解B的值．〔Ⅱ〕由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得y=a+c=4sin〔A+〕，求得范围，利用正弦函数的性质可得sin〔A+〕∈〔，1]，进而可求y=a+c的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由2sin2+cos2B=1，有1﹣cos〔A+C〕+cos2B=1．∴cosB+2cos2B﹣1=0，∴cosB=或者cosB=﹣1，又B∈〔0，π〕，∴B=．…〔Ⅱ〕由正弦定理，∴y=a+c=2RsinA+2RsinC=〔sinA+sinC〕…=[sinA+sin〔﹣A〕]=[sin〔A+〕]=4sin〔A+〕．…而c=﹣A，∴，∴sin〔A+〕∈〔，1]，∴y=4sin〔A+〕∈〔2，4]．…18．某媒体对“推延退休〞这一公众关注的问题进展了民意调查，下面是在某两单位得到的数据〔人数〕．赞同反对合计企业职工10 20 30事业职工20 5 25合计30 25 55〔1〕是否有9%的把握认为赞同“推延退休〞与职业有关？〔2〕用分层抽样的方法从赞同“推延退休〞的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将这6人作为一个样本，从中任选2人，求恰有1名为企业职工和1名事业职工的概率．P〔K2≥k0〕k0附：K2=．【考点】HY性检验的应用．【分析】〔1〕由题设知K2==≈＞10.828，由此得到结果；〔2〕所抽样本中男士有，女士有4人，根本领件总数为15个，满足恰有1名为企业职工和1名事业职工的根本领件有2×4=8个，由此能求出事件“恰有1名为企业职工和1名事业职工〞的概率．【解答】解：〔1〕K2==≈＞10.828．∴有9%的把握认为赞同“推延退休〞与职业有关．…〔2〕由分层抽样是按比例抽取，所以，．…∴企业抽取2人记为a、b，事业抽取4人记为1、2、3、4．总的事件：一共15个根本领件，符合条件的事件为：8个，…∴所求概率为P=．…19．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE将△CDE折起成四棱锥C′﹣ABED，点O为ED的中点．〔1〕在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；〔2〕假设AB=2，求四棱锥C′﹣ABED的体积的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的断定．【分析】〔1〕根据线面垂直的断定定理进展证明即可．〔2〕底面ABED的面积不变为2．当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大，根据棱锥的体积公式进展求解即可．【解答】解：〔1〕存在，当M为AC的中点时，OM⊥平面C′BE．取BC'的中点F，连结MF，FE．∵MF为△ABC'的中位线．∴MP∥AB，MP=AB，又AB∥ED，AB=ED，O为ED中点，∴MF∥EO，MF=EO．∴四边形EFMO为平行四边形．∴MO⊥EF．而EF⊂平面BEC'，OM⊄平面BEC'，∴OM⊥平面BEC'．〔2〕∵底面ABED的面积不变为2．∴当平面C'ED⊥平面ABED时，锥体的高最大．即C'O⊥平面ABED时，体积最大，此时OC'=，∴最大体积为=2．20．圆C过定点A〔0，p〕，圆心C在抛物线x2=2py〔p＞0〕上，圆C与x轴交于M、N两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕当圆心C在抛物线上运动时．①|MN|是否为定值？假设是，求出该定值；假设不是，请说明理由．②记|AM|=m，|AN|=n．求+的最大值，并求出此时圆C的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】〔1〕根据抛物线的定义，结合圆的弦长公式建立方程进展求解即可．〔2〕①根据直线和圆相交的弦长公式进展计算即可．②求出相应的长度，结合根本不等式进展求解．【解答】解：〔1〕抛物线的准线为y=﹣，当C在抛物线顶点时，圆C的半径为p，圆C的方程为x2+y2=p2．∴弦长l=2=2=p=2．∴p=2，∴抛物线的方程为x2=4y．〔2〕①记C〔a，〕，圆C的半径r=．由垂径定理知|MN|=2=2=2×2=4．∴|MN|为定值4．②由①知，M〔a﹣2，0〕，N〔a+2，0〕，∴|AM|==，|AN|==．∴+====2•=2，当a=0时，+=2．当a≠0时，+=2•=2≤2=2．当且仅当a=±2时，+有最大值为2，此时圆C的方程为〔x±2〕2+〔y﹣2〕2=8．21．设函数f〔x〕=alnx﹣bx2，a，b∈R．〔1〕假设函数f〔x〕在x=1处与直线y=﹣相切；①务实数a，b的值；②求函数f〔x〕在[，e]上的最大值；③当b=0时，假设不等式f〔x〕≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈〔1，e2]都成立，务实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】①求出函数的导数，根据切线方程，得到切线的斜率和切点，进而得到a，b；②求出导数，求出极值和端点的函数值，比较即可得到最大值；③当b=0时，即有alnx≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈〔1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈〔1，e2]都成立，令h〔a〕=alnx﹣x，求出最小值，再求﹣x的最小值即可．【解答】解：①函数f〔x〕=alnx﹣bx2，的导数f′〔x〕=﹣2bx，由于函数f〔x〕在x=1处与直线y=﹣相切，那么a﹣2b=0，﹣b=﹣，解得a=1，b=；②f〔x〕=lnx﹣x2，f′〔x〕=x，f′〔x〕=0，解得x=1，1∈[，e]，且f〔1〕=﹣，f〔〕=﹣1﹣，f〔e〕=1﹣e2，那么函数f〔x〕在[，e]上的最大值为：f〔1〕=﹣；③当b=0时，不等式f〔x〕≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈〔1，e2]都成立，那么alnx≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈〔1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈〔1，e2]都成立，令h〔a〕=alnx﹣x，那么h〔a〕为一次函数，由于x∈〔1，e2]，那么lnx＞0，在a∈[0，]上单调递增，那么h〔a〕min=h〔0〕=﹣x，即有m≤﹣x对所有的x∈〔1，e2]都成立．那么m≤〔﹣x〕min=﹣e2．即有实数m的取值范围是〔﹣∞，﹣e2]．请考生在第22、23、24题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．〔Ⅰ〕求证：AC•BC=AD•AE；〔Ⅱ〕假设AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】〔I〕如下列图，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．〔II〕利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：〔I〕如下列图，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：〔II〕∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴〔2〕2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1：〔α为参数〕，曲线C2：〔θ为参数〕．〔1〕化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；〔2〕假设C2上的点P对应的参数为θ=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ〔cosβ﹣sinβ〕=6间隔的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕曲线C1：〔α为参数〕，利用平方关系可得普通方程．曲线C2：〔θ为参数〕，利用平方关系可得普通方程．〔2〕由P〔3，4〕，Q，M，直线C3：ρ〔cosβ﹣sinβ〕=6，利用互化公式可得直角坐标方程．再利用点到直线的间隔公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：〔1〕曲线C1：〔α为参数〕，利用平方关系可得：=1，是焦点在y轴上的椭圆．曲线C2：〔θ为参数〕，利用平方关系可得：〔x﹣3〕2+〔y﹣4〕2=1，是以〔3，4〕为圆心，1为半径的圆．〔2〕由P〔3，4〕，Q，M，直线C3：ρ〔cosβ﹣sinβ〕=6，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．d==≤．当sin=1时取等号．∴PQ中点M到直线C3：ρ〔cosβ﹣sinβ〕=6间隔的最大值是．【选修4-5：不等式选讲】24．函数f〔x〕=|x﹣1|+|x﹣2|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≤4的解集；〔Ⅱ〕使f〔x〕≥m恒成立的实数m的最大值为t，假设a、b均为正实数，且满足a+b=2t．求a2+b2的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】〔Ⅰ〕去掉绝对值，分类讨论，求出不等式f〔x〕≤4的解集；〔Ⅱ〕利用根本不等式，即可求a2+b2的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕x≤1时，﹣x+1﹣x+2≤4，∴x≥﹣0.5，∴≤x≤1；1＜x＜2时，x﹣1﹣x+2≤4，恒成立；x≥2时，x﹣1+x﹣2≤4，∴x≤，∴2≤x≤，综上所述，不等式f〔x〕≤4的解集为{x|≤x≤}．…〔Ⅱ〕由f〔x〕≥m知m≤1，∴t=1．即a+b=2，那么a2+b2=〔a+b〕2﹣2ab=4﹣2ab≥4﹣2•=4﹣2•1=2当且仅当a=b=1时取最小值2．…。
高考数学仿真押题试卷十二含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校专题12高考数学仿真押题试卷〔十二〕本卷须知：2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．集合{0A =，1}，{0B =，1，2}，那么满足A C B =的集合C 的个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】解：集合{0A =，1}，{0B =，1，2}，∴满足A C B =的集合C 有：{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，一共4个．【答案】A ．2．i 为虚数单位，复数，那么||(z =)A ．235+B ．2022C ．5D ．25【解析】解：i 为虚数单位，复数，，【答案】C ．3．平面向量a ，b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =，那么2a b +与b 的夹角是()A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 【解析】解：向量a ，b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴，，，设2a b +与b 的夹角是θ，那么，0θπ<，∴6πθ=．【答案】D ．4．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如表所示：AQI0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300以上 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城2021年12月全月的AQI 指数变化统计图： 根据统计图判断，以下结论正确的选项是() A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【解析】解：从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确；从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 【答案】C ． 5．622()x x -的展开式中，常数项为() A ．60-B ．15-C ．15D ．60【解析】解：622()x x-的展开式的通项公式为，令630r -=，求得2r =，可得常数项26460C =， 【答案】D ．6．假设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，22a =，，那么(n S =)A ．(1)2n n + B ．12n +C ．21n- D ．121n ++【解析】解：由题意，可知：根据，可知：数列{1}n S +为等比数列． 又111S a ==，．112S ∴+=， 214S +=．∴21n n S =-．【答案】C ． 7．2a =，55b =，77c =，那么()A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【解析】解：2a =，55b =，77c =，那么，， ，b ac ∴>>，【答案】C ．8．某商场通过转动如下列图的质地均匀的6等分的圆盘进展抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖．规定每位顾客有3次抽奖时机，但中奖1次就停顿抽奖．假设每次抽奖互相HY ，那么顾客中奖的概率是() A ．427B ．13C ．59D ．1927【解析】解：由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率13， 第一次就中奖的概率13， 第二次中奖概率为212339⨯=， 第三次中奖概率为，所以顾客中奖的概率问哦．【答案】D ．9．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．假设△12PF F 为直角三角形，那么E 的离心率为() A ．21-B ．512- C ．22D ．21+【解析】解：如下列图， △12PF F 为直角三角形，，1||2PF c ∴=，2|22PF c =，那么，解得．【答案】A ．10．如图，AB 是圆锥SO 的底面O 的直径，D 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，以AO 为直径的圆与AD 的另一个交点为C ，P 为SD 的中点．现给出以下结论： ①SAC ∆为直角三角形； ②平面SAD ⊥平面SBD ；③平面PAB 必与圆锥SO 的某条母线平行． 其中正确结论的个数是() A ．0 B ．1C ．2D ．3【解析】解：①SO ⊥底面圆O ，SO AC ∴⊥，C 在以AO 为直径的圆上， AC OC ∴⊥，，AC ∴⊥平面SOC ，AC SC ⊥，即①SAC ∆为直角三角形正确，故①正确， ②BD AD ⊥，∴假设平面SAD ⊥平面SBD ，那么BD ⊥平面SAD ，AC OC ⊥， OC SC ∴⊥，在SOC ∆中，SO OC ⊥，在一个三角形内不可能有两个直角，故平面SAD ⊥平面SBD 不成立，故②错误， ③连接DO 并延长交圆于E ，连接PO ，SE ，P 为SD 的中点，O 为ED 的中点，OP ∴是SDE ∆的中位线， //PO SE ∴，即//SE 平面APB ，即平面PAB 必与圆锥SO 的母线SE 平行．故③正确， 故正确是①③， 【答案】C ．11．函数，且f 〔a 〕(1)2f a ++>，那么a 的取值范围是()A ．1(2-，)+∞ B ．1(1,)2--C ．1(2-，0) D ．1(2-，1) 【解析】解：根据题意，函数，有101xx+>-，解可得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(1,1)-，设，那么，那么函数()g x 为奇函数；分析易得：在(1,1)-上为增函数，f 〔a 〕〔a 〕〔a 〕〔a 〕，解可得：102a -<<，即a 的取值范围为1(2-，0)；【答案】C ．12．在ABC ∆中，30B =︒，3BC =，23AB =，点D 在边BC 上，点B ，C 关于直线AD 的对称点分别为B '，C '，那么△BB C ''的面积的最大值为() A ．9332- B ．637C ．937D ．332【解析】解：由余弦定理可得，3AC ∴=，且，AC BC ∴⊥，以C 为原点，以CB ，CA 为坐标轴建立平面直角坐标系，如下列图： 设直线AD 的方程为3y kx =+当D 与线段AB 的端点重合时，B ，B '，C '在同一条直线上，不符合题意，∴那么3k <，设(,)B m n '，显然0n <，那么，解得26231k n k +=+，//CC BB ''，，令，那么，令()0f k '=可得3k =-或者33k =〔舍)， ∴当3k <-时，()0f k '>，当时，()0f k '<，∴当3k =-时，()f k 获得最大值．【答案】D ．第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分． 13．平面向量a ，b 夹角为30︒，||3a =，||2b =，|2|a b +=31；【解析】解：由题意，可知：．．【答案】31．14．设随机变量~(2,)X B p ，假设5(1)9P X =，那么()D X =49； 【解析】解：随机变量~(2,)X B p ，5(1)9P X =， ．13p ∴=，．【答案】49． 15．过平行六面体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11BCC B 平行的直线有6条；【解析】解：设AB 、11A B 、11C D 、CD 的中点分别为E 、F 、G 、H ，连接EF 、FG 、GH 、HE 、EG 、FH ，平面//EFGH 平面11BCC B ，EF 、FG 、GH 、HE 、EG 、FH 都是平面EFGH 内的直线EF ∴、FG 、GH 、HE 、EG 、FH 都与平面11BCC B 平行，一共6条直线，因此，满足条件：“与平面11BCC B 平行的直线平行〞的直线一一共有6条． 【答案】6．16．假设存在正实数m ，使得关于x 方程有两个不同的实根，其中e 为自然对数的底数，那么实数k 的取值范围是1(,)e-∞-【解析】解：，，假设方程存在两个不同解，那么0k ≠，∴，令x mt x+=， 0m >，1t ∴>，设，那么在(1,)+∞上单调递增，且g '〔e 〕0=，()g t ∴在(1,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减， ()min g x g ∴=〔e 〕e =-，g 〔1〕(2)0g e ==，()0g t ∴<在(1,2)e 上恒成立，∴假设方程存在两个不同解，1(,0)e k∈-， 即1(,)k e∈-∞-．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17．ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且23a c =． 〔Ⅰ〕假设，求B ；〔Ⅱ〕假设ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【解析】〔此题总分值是为12分〕解：〔Ⅰ〕23a c =，由正弦定理可得：，可得：，1⋯分由，可得：，两边同时加sin cos C B ，可得：，可得：，3⋯分由(0,)C π∈，可得：sin 0C ≠，可求1cos 2B =，4⋯分 由(0,)B π∈，可得：53B π=⋯分〔Ⅱ〕由tan 33A =，可得：7cos 14A =，321sin 14A =， 可得，解得：47bc =，9⋯分又由23a c =，，可得：，联立47bc =，解得：，10⋯分化简整理可得：，解得：22c =，14b =，32a =，11⋯分可得ABC ∆的周长为．12⋯分18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD BC λ=，//AD BC ，90BCD ∠=︒，M 为线段PB 上一点．〔Ⅰ〕假设13λ=，那么在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？假设存在，请确定M 点的位置；假设不存在，请说明理由；〔Ⅱ〕己知2PA =，1AD =，假设异面直线PA 与CD 成90︒角，二而角B PC D --的余弦值为1010-，求CD 的长． 【解析】解：〔Ⅰ〕13λ=时，那么在线段PB 上是存在点M ，且13PM PB =，使得//AM 平面PCD ． 理由如下：如图取13CN CB =，连接AN ，MN ． 可得//AD CN ，AD CN =，∴四边形ADCN 为平行四边形，//AN CD ∴，M ，N 分别为PB ，CN 的三等分点，//MN PC ∴．∴面//AMN 面PCD ，//AM ∴平面PCD ．〔Ⅱ〕如图，过A 作//AN DC 交BC 与N ，设CD a =．那么(0A ，0，0)，(N a ，0，0)，(0P ，0，2)，(0D ，1，0)．(C a ，1，0)，(,0,0)DC a =，设面PDC 的法向量为(,,)m x y z =．∴⇒(0,2,1)m =．，．设面PNC 的法向量为111(,,)n x y z =．⇒(2,0,)n a =．．的长为2．CD19．随着经济的开展，个人收入的进步．自2021年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．按照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：〔1〕假设小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；〔2〕某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收人在[3000，5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量||Z a b =-，求Z 的分布列与数学期望；②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收人比调整前增加了多少？【解析】解：〔1〕调整前y关于x的解析式为；调整后y关于x的解析式为；〔2〕①由频率分布表可知，从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中抽取7人，其中在[3000，5000)元的人数为3人，在[5000，7000)元的人数为4人，再从这7人中选4人，所以Z的取值可能为0，2，4；那么，，，，，，，所以Z的分布列为，Z0 2 4P18351635135数学期望为；②由于小李的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为〔元)；按调整后起征点应纳个税为〔元)，比较两个纳税方案可知，按照调整后起征点应纳个税少交〔元)，即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收人比调整前增加了220元．20．椭圆的左、右焦点分别为1(1,0)F ，2(1,0)F且椭圆上存在一点M，满足．〔Ⅰ〕求椭圆C 的HY 方程； 〔Ⅱ〕A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过2F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，是否存在一条定直线l ，使点T 恒在直线l 上？【解析】解：〔Ⅰ〕设1||F M x =，那么△12MF F 中，由余弦定理得，化简得，解得65x =． 故，2a ∴=，得，因此，椭圆C 的HY 方程为22143x y +=；〔Ⅱ〕如以下列图所示，(2,0)A -、(2,0)B ，设(,)T x y 、1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y ，由TA PA k k =，可得，①由TB QB k k =，可得，②上述两式相除得，又，所以，，故，③设直线PQ 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程并整理得，△0>恒成立，由韦达定理得，，代入③得，得4x =，故点T 在定直线4x =上．21．设函数．〔Ⅰ〕求函数()f x 的极值点个数；〔Ⅱ〕假设．【解析】解：〔Ⅰ〕()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故只需考虑(0,)x ∈+∞上的极值点的个数，，令，，故3(0,)3x ∈时，()0h x '<，()h x 递减， 3(3x ∈，)+∞时，()0h x '>，()h x 递增， 故，取6x =，，故在3(3，)+∞上存在唯一的0x 使得0()0h x =， 故()f x 在0(0,)x 递减，在0(x ，)+∞递增， 又()f x 是奇函数，故()f x 在0(,)x -∞-递增，在0(x -，0)x 递减，在0(x ，)+∞递增， 故()f x 的极值点一共2个； 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知()f x 在区间3(0,)3递减，且()0f x <恒成立， 故3(0,)3x ∈时，，即得，又令，得，．〔二〕选考题：一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题．假设多做，那么按所做的第一题计分．〔本小题总分值是10分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线1C 的参数方程为，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取一样的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．〔Ⅰ〕求1C 极坐标方程，2C 直角坐标方程；〔Ⅱ〕将2C 向左平移4个单位长度，按照32x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换得到3C ；3C 与两坐标轴交于A 、B 两点，P 为3C 上任一点，求ABP ∆的面积的最大值．【解析】解：〔Ⅰ〕1C 的参数方程为，消去参数t 得，4x y -=，又由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入4x y -=，，即所以1C 极坐标方程是曲线所以，即，即∴圆心坐标是(,0)a ，半径是a ，又曲线关于1C 对称所以圆心在曲线1C 上，所以4a =，故〔Ⅱ〕将2C 向左平移4个单位长度，得到新曲线的方程是222x y a +=，再按照32x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换得到3C ；，整理得2211612x y +=，即，又3C 与两坐标轴交于A 、B 两点，不妨令(4,0)A ，(0B ，23)，||7AB =P 为3C 上任一点，设(4cos P θ，23sin )θ，可得，那么P 到直线AB 的间隔，即54πθ=时，d 取到最大值43(21)7+．ABP ∴∆的面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲] 23．．〔Ⅰ〕解关于x 的不等式()4f x >；〔Ⅱ〕对任意正数a 、b ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：〔Ⅰ〕()4f x >即为，当12x时，214x x +->，解得53x >； 当102x <<时，124x x +->，解得x ∈∅； 当0x时，，解得1x <-，综上可得，()4f x >的解集为{|1x x <-或者5}3x >；〔Ⅱ〕对任意正数a 、b ，不等式恒成立，可得()f x 小于的最小值，由，当2a b ==时获得等号，即有()3f x <，即为，当12x时，213x x +-<，解得1423x <；当102x <<时，123x x +-<，解得102x <<； 当0x 时，，解得203x -<． 综上可得，．。
北京市第十二中2024学年高考仿真模拟数学试题试卷
北京市第十二中2024学年高考仿真模拟数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ） A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种2．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A1BC1D3．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤5．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．26．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -9．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ）A ．4B ．23C ．8D ．1710．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．911．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π312．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)解析版
2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2} 2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B．升C．升D．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g （x）＝a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A．B．C．D．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F﹣ECD的外接球体积为（）A．B．C．D．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a＝，a b＝b a，则＝（）A．B．C．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+2 11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C＝C．若边BC上的高为a，则当+取得最大值时，A＝D．若边BC上的高为a，则当+取得最大值时，A＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x （sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g （）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝0.1500.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH 为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c＝a，b＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a 的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b 的值．【解答】解：令t＝log a b，则t+＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t＝或t＝2，∴log a b＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C≠0，可得cos C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A+），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，可得A正确，B错误．∵边BC上的高为a，∴bc sin A＝•a•，∴a2＝2bc sin A，∵cos A＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A+）≤4，当A+＝时等号成立，此时A＝，故C正确，D 错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd+＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x＝﹣1，y＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g（）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x﹣），∵g（）＝，∴，∴，∴，故C＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DCAB，∴CDGF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q （x4，y4），联立直线l与抛物线C的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 5P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2024年高考数学第二轮复习：高考数学模拟试题精编(十二)
高考数学模拟试题精编(十二)(考试用时：120分钟分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝2＋i1－3i，则z在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合P＝{x∈Z|x2－2x－8＜0}，Q＝{x|y＝ln (3x－x2)}，则P∩Q＝() A．{0，3} B．{1，2}C．(0，3) D．(1，2)3．已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且a⊥(a－2b)，则|a＋b||a－b|＝()A．13B．33C． 3 D．34．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，按此规律得到的数列记为{a n}，则a15＝() A．98 B．112C．128 D．1325．“tan α＝3”是“cos 2α＝－45”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ＝14，b ＝log 83，c ＝12ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c7．酒后驾驶是严重危害交通安全的行为．某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙、丁)的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”．根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是( )A ．甲地：均值为4，中位数为5B ．乙地：众数为3，中位数为2C ．丙地：均值为7，方差为2D ．丁地：极差为3，75%分位数为88．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若双曲线不存在以点(2a ，a )为中点的弦，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，233 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，233 C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫233，＋∞D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：x ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，则( ) A ．直线l 与圆C 相离 B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个10．一个质地均匀的正四面体4个面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为3或4”，事件N 为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是( )A ．事件M 发生的概率为12B ．事件M 与事件N 互斥C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M ＋N 发生的概率为12 11．已知a ＞0，b ＞0，直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝e x -1－2b ＋1相切，则下列不等式成立的是( )A ．ab ≤18 B ．2a ＋1b ≤8 C ．a ＋b ≤62D ．3a ＋b ≤ 312.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝P A ＝2，记四棱锥P -ABCD 的外接球为球O ，平面P AD 与平面PBC 的交线为l ，BC 的中点为E ，则( )A ．l ∥BCB ．AB ⊥PCC ．平面PDE ⊥平面P AD D ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙等5名田径运动员在某次训练中分别位于1～5跑道的同一起跑线上，若甲、乙不相邻，则这5名运动员不同的站法有________种．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0是奇函数，则g (－2)＝________．15．若对任意的x ∈[1，4]，都有x |x －a |＞x 2－3x ＋4，则实数a 的取值范围为________．16．已知函数f (x )＝e x －8x m －x ＋2x 2e x (m ≠0)有三个零点x 1，x 2，x 3，且有x 1＜x 2＜x 3，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e x 1x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e x 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e x 3x 3的值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在①b sin A ＋3a cos B ＝3c ，②函数f (x )＝2cos 2x －23sin x cos x －1的最小值为f (A )，③cos B (tan A ＋tan B )＝2sin C 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，________． (1)求A ；(2)若AB ＝3AC ，且∠BAC 的平分线上的点D 满足BD ＝CD ，求∠BDC . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3(n ∈N *)．若数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝4，b 2n ＋1 ＝b n b n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1S n(n ＝2k －1，k ∈N *)b n (n ＝2k ，k ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n .19．(本小题满分12分)如图1，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝2，将△ACD 沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2.设经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面α∩平面P AC ＝m ，平面α∩平面ABC ＝n .(1)证明：m ∥n ；(2)若PB ＝6，求二面角A -BP -C 的余弦值．图1 图220．(本小题满分12分)某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了100位业内人士，根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下： 经济前景等级 悲观 尚可 乐观 问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数23510192417974意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性．(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下(正数表示赢利，负数表示亏损)：统计学知识给出投资建议．21．(本小题满分12分)已知圆心在x 轴上移动的圆经过点A (－4，0)，且与x 轴、y 轴分别交于点B (x ，0)(异于A 点)，C (0，y )两个动点，记点(x ，y )的轨迹曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(1)过点F (1，0)的直线l 与曲线Γ交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ (其中O 为坐标原点)与圆F ：(x －1)2＋y 2＝1的另一交点分别为M ，N ，求△OMN 与△OPQ 面积的比值的最大值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－1＋2e x 2e 2x ＋xa ，其中e 为自然对数的底数．(1)当a ＝－12时，求f (x )的单调区间；(2)当a >0时，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)>k ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a 2恒成立，求k 的最大值．。
高考数学(理)三年真题专题演练—导数及其应用(解答题)
高考数学三年真题专题演练—导数及其应用（解答题）1．【2021·天津高考真题】已知0a >，函数()x f x ax xe =-． （I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞ 【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)xa x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值. 【详解】（I ）()(1)xf x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)xa x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)xg x x e =+'，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增， 当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,ma m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-， 令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-， 所以实数b 的取值范围[),e -+∞. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.2．【2021·全国高考真题】已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2xf x x e a =-，当0a ≤时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增； 当102a <<时，若()(),ln 2x a ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增， 若()()ln 2,0x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时，()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增； 当12a >时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()0,ln 2x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()()ln 2,x a ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增； (2)若选择条件①：由于2122e a <，故212a e <≤，则()21,010b af b >>=->，而()()210b f b b e ab b --=----<，而函数在区间(),0-∞上单调递增，故函数在区间(),0-∞上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 21ln 22a a a a a >--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦ ()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于2122e a <，212a e <≤，故()()ln 22ln 20a a a -≥⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间()0,∞+上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于102a <<，故21a <，则()01210f b a =-≤-<，当0b ≥时，24,42ea ><，()2240f e ab =-+>，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点. 当0b <时，构造函数()1xH x e x =--，则()1xH x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()()0,H x H x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ≥恒成立，从而有：1x e x ≥+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---≥-+-+()()211a x b =-+-，当x >()()2110a x b -+->，取01x =，则()00f x >，即：()00,10f f ⎫<>⎪⎪⎭，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 21ln 22a a a a a ≤--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦ ()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于102a <<，021a <<，故()()ln 22ln 20a a a -<⎡⎤⎣⎦， 结合函数的单调性可知函数在区间(),0-∞上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 3．【2021·北京高考真题】已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值． 【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-. 【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-， 此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=； （2）因为()232xf x x a-=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x xa xa -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-. 当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <. 所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-. 4．【2021·全国高考真题】已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<， 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立， 综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >， 结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->， 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=， 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.5．【2021·浙江高考真题】设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()xf x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围； （3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，满足2212ln 2b b e x x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)【答案】(1)0b ≤时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为log ,ln a b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)(21,e ⎤⎦；(3)证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a 的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【解析】(1)2(),()ln x xf x b f a x e a x a b '==+--，①若0b ≤，则()ln 0xf x a a b '=-≥，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b >， 当,log ln ab x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减， 当log ,ln ab x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增. 综上可得，0b ≤时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln ab a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为log ,ln a b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)()f x 有2个不同零点20x a bx e ⇔-+=有2个不同解ln 20x a e bx e ⇔-+=有2个不同的解，令ln t x a =，则220,0ln ln t tb b e e e e t a a tt +-+=⇒=>，记()22222(1)(),()t t t t e t e e e e e t e g t g t t t t'⋅-++--===， 记2()(1),()(1)10t t tt h t e t e h t e t e e t '=--=-+⋅=⋅>， 又(2)0h =，所以(0,2)t ∈时，()0,(2,)h t t <∈+∞时，()0h t >，则()g t 在(0,2)单调递减，(2,)+∞单调递增，22(2),ln ln b bg e a a e∴>=∴<， 22222,ln ,21bb e a a e e>∴>∴≤⇒<≤. 即实数a 的取值范围是(21,e ⎤⎦.(3)2,()x a e f x e bx e ==-+有2个不同零点，则2x e e bx +=，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为2x ，较小者为1x ，1222412x x e e e e b e x x ++==>，注意到函数2x e e y x +=在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增，故122x x <<，又由5245e e e +<知25x >，122211122x e e e e b x x x b+=<⇒<，要证2212ln 2b b e x x e b >+，只需22ln e x b b>+， 222222x x e e e b x x +=<且关于b 的函数()2ln e g b b b =+在4b e >上单调递增，所以只需证()22222222ln 52x x e x e x x x e >+>， 只需证2222222ln ln 02x x x e x e e x e-->，只需证2ln ln 202x e xx e-->，242e <，只需证4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，由于()11()44410x x x h x xe e e x x x '---+-+-==>，故函数()h x 单调递增， 又54520(5)ln 5l 20n 2ln 02h e e =--=->，故4()ln ln 2x xh x x e=--在5x >时为正，从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．6．【2021·全国高考真题（理）】已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞. 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x '--===,令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增； 在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,e e ⋃+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.7．【2021·全国高考真题（理）】设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】1；证明见详解【分析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ； （2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【解析】（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-， 又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =； （2）由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠， 当()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-<，()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->； 同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <->，()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->； 令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞，1x t =-，令()1ln g t t t t =-+，()'1ln 1ln g t t t =-++=，当()0,1t ∈时，()'0g x <，()g x 单减，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=；当()1,t ∈+∞时，()'0g x >，()g x 单增，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=；综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞恒成立【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数a ，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 【解析】（1）当a =1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则()f x '=e x +2x –1．故当x ∈（–∞，0）时，()f x '<0；当x ∈（0，+∞）时，()f x '>0．所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2）31()12f x x ≥+等价于321(1)e 12x x ax x --++≤. 设函数321()(1)e (0)2xg x x ax x x -=-++≥，则32213()(121)e 22x g x x ax x x ax -'=--++-+-21[(23)42]e 2x x x a x a -=--+++1(21)(2)e 2x x x a x -=----.（i ）若2a +1≤0，即12a ≤-，则当x ∈（0，2）时，()g x '>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.（ii ）若0<2a +1<2，即1122a -<<，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0.所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增.由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥27e 4-. 所以当27e 142a -≤<时，g (x )≤1. （iii ）若2a +1≥2，即12a ≥，则g (x )≤31(1)e 2xx x -++.由于27e 10[,)42-∈，故由（ii ）可得31(1)e 2x x x -++≤1. 故当12a ≥时，g (x )≤1.综上，a 的取值范围是27e [,)4-+∞. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数2() sin sin2f x x x =．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()f x ≤；（3）设*n ∈N ，证明：2222sin sin 2sin 4sin 234nn nx x xx ≤．【解析】（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+ 22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3f π=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx x x333|sin sin 2sin 2|n x x x =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以222233sin sin 2sin 2)4n nnn x xx ≤=．10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求B ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【解析】（1）2()3f x x b '=+． 依题意得1()02f '=，即304b +=.故34b =-．（2）由（1）知3(3)4f x x x c -=+，2()334f x x '=-. 令)0(f x '=，解得12x =-或12x =.()f x '与()f x 的情况为：x 1()2-∞-，12- 11()22-， 12 1()2∞，+ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x14c +14c -因为11(1)()24f f c =-=+，所以当14c <-时，()f x 只有大于1的零点.因为11(1)()24f f c -==-，所以当14c >时，f （x ）只有小于–1的零点．由题设可知1144c -≤≤，当1=4c -时，()f x 只有两个零点12-和1.当1=4c 时，()f x 只有两个零点–1和12.当1144c -<<时，()f x 有三个等点x 1，x 2，x 3，且11(1,)2x ∈--，211(,)22x ∈-，31(,1)2x ∈．综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1.11．【2020年高考天津】已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 【解析】（Ⅰ）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x=-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭． ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 12．【2020年高考北京】已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅱ）显然0t ≠， 因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t +=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.13．【2020年高考浙江】已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：（ⅰ0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．【解析】（Ⅰ）因为(0)10f a =-<，22(2)e 2e 40f a =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点．因为()e 1x f x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以函数以()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点．（Ⅱ）（ⅰ）令21()e 1(0)2xg x x x x =---≥，()e 1()1x g'x x f x a =--=+-，由（Ⅰ）知函数()g'x 在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g'x g'>=， 所以函数()g x 在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥=．由0g ≥得00()f a f x =≥=，因为()f x 在[0,)+∞0x ．令2()e 1(01)x h x x x x =---≤≤，()e 21x h'x x =--，令1()e 21(01)x h x x x =--≤≤，1()e 2xh'x =-，所以故当01x <<时，1()0h x <，即()0h'x <，所以()h x 在[0,1]单调递减， 因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=．由0h ≤得00()f a f x =≤=，因为()f x 在[0,)+∞0x ．0x ≤≤（ⅱ）令()e (e 1)1x u x x =---，()e (e 1)x u'x =--，所以当1x >时，()0u'x >， 故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=．由00e x x a =+可得022000000(e )()(e 1)(e 2)(e 1)x a a x f x f x a x a x ax =+=-+-≥-，由0x ≥得00(e )(e 1)(1)xx f a a ≥--．14．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E'为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【解析】（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时， 31140640160,800BB =-⨯+⨯= 则1160AA =. 由21160,40O'A =得80.O'A = 所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）. 设2(,),(0,40),F x y x ∈则3216,800y x x =-+ 3211601606800EF y x x =-=+-. 因为80,CE =所以80O'C x =-.设1(80,),D x y -则211(80),40y x =- 所以22111160160(80)4.4040CD y x x x =-=--=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ，则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f x k x x k x x k x x x +-+-+=-+<<2333()=(160)(20)80040800k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '， 得20.x =所以当20x =时，()f x 取得最小值.答：（1）桥AB 的长度为120米；（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 15．【2020年高考江苏】已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围； （3）若()422342() 2() (48 () 4 3 0)2 2f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[] , 2,2D m n =⊆-⎡⎤⎣⎦，求证：7n m -≤．【解析】（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立， 所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞.令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x=-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立，所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102kx +=>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤． 因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤（3）①当1t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤． 所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=≤ ②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432 = 342(41)t t t t v t +---，322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t ．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -≤<③当0t <时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -≤综上所述，n m -≤【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.16．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当e a =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，11()e x f x a x-'=-． （1）当e a =时，()e ln 1x f x x =-+，(1)e 1f '=-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． 直线(e 1)2y x =-+在x 轴，y 轴上的截距分别为2e 1--，2． 因此所求三角形的面积为2e 1-． （2）当01a <<时，(1)ln 1f a a =+<．当1a =时，1()e ln x f x x -=-，11()e x f x x-'=-． 当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>．所以当1x =时，()f x 取得最小值，最小值为(1)1f =，从而()1f x ≥． 当1a >时，11()e ln ln e ln 1x x f x a x a x --=-+≥-≥． 综上，a 的取值范围是[1,)+∞．【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.17．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫<⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦π没有零点.（iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 18．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.19．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； 若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 20．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =， 所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-. （Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：x 2-(2,0)-8(0,)3 838(,4)34()g'x+-+()g x6-6427-所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )xf 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )xg x x x =-，从而()2e sin xg'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0()g'x <，故 ()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n xn x =．记2n n y x n =-π，则。
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高考小题标准练(十二)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={2，3，4}，如图阴影部分所表示的集合为( )
A.{2}
B.{0，1}
C.{3，4}
D.{0，1，2，3，4}
ðB)，所以求得的结果为，故选【解析】选B.根据题意，可知，阴影部分为A∩(
U
B.
2.若复数z=(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则复数3-z的共轭复数是( )
A.3+i
B.3-i
C.3+2i
D.2-i
【解析】选B.z===是纯虚数，所以a=1，所以z=-i，则3-z=3+i，其共轭复数为3-i.
3.已知m∈R，“方程e x+m-1=0有解”是“函数y=log m x在区间(0，+∞)为减函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因方程e x+m-1=0有解，即1-m=e x有解，所以m-1<0，即m<1，由函数y=log m x 在区间(0，+∞)为减函数可得0<m<1，所以“函数y=e x+m-1有零点”是“函数y=log m x在区间(0，+∞)为减函数”的必要不充分条件.
4.已知向量a，b满足a+b=(2，4)，a-b=(-6，8)，则a，b夹角的余弦值为( )
A.-
B.-
C. D.
【解析】选B.因为a==(-2，6).
b==(4，-2).
则a，b的夹角余弦值为cos<a，b>===-.
5.已知各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，a2a4=64，S3=14，若{b n}是以a2为首项、q为公差的等差数列，则b2016=( )
A.4032
B.4034
C.2015
D.2016
【解析】选 B.因为在等比数列{a n}中，a2a4=64，S3=14，依题意q≠1，所以
解得所以a2=4，所以数列{b n}的通项公式为b n=4+2(n-1)=2n+2，所以b2016=2×2016+2=4034.
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.3
【解析】选 A.根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示.
则该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2，则的值为
( ) A. B. C. D.
【解析】选 C.因为a2=b2+c2，所以由余弦定理，得
=·=
==.
8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )
A.-
B.0
C. D.336
【解析】选C.由框图知输出的结果s=sin+sin+…+sin，因为函数y=sin x
的周期是6，所以s=336+sin=336×0+sin=sin=.
9.已知实数x，y满足约束条件则z=的最小值为( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，要使z=取得最小值，则z′=3x+y取得最大值，结合图形可知当直线z′=3x+y
过点B(3，2)时，z′取得最大值，即z′max=3×3+2=11，故z=的最小值为
=.
10.已知抛物线y 2
=2px(p>0)，过其焦点且倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为6，则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1
B.x=2
C.x=-1
D.x=-2
【解析】选D.因为直线倾斜角为135°，故它的斜率为-1，又因为焦点为，所以设
直线为y=-，因为直线交抛物线于A ，B 两点，所以整理得
4x 2
-12px+p 2
=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以x 1+x 2=3p ，因为线段AB 的中点的横坐标为6，
所以=6，所以p=4，所以抛物线的准线方程为x=-2.
11.已知圆C ：(x-a)2+(y-a)2=2a 2
(a>0)及其外一点A(0，2)，若圆C 上存在点T 满足∠CAT=，则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞，1) B.[-1，1) C.[
-1，1]
D.[
-1，+∞)
【解析】选 B.圆的方程(x-a 2
)+(y-a)2
=2a 2
，圆心C(a ，a)，半径r=a ，所以
AC=
，TC=
a ，如图，
由于AC，TC长度固定，当T是切点时，∠CAT最大，由题意圆C上存在点T使得∠CAT=，因此最大角大于等于45°，
所以=≥sin∠CAT=sin=，整理得a2+2a-2≥0，由于a>0，解得a≥-1.
又因为=≤1，解得a≤1，
又点A(0，2)为圆C外一点，所以02+22-4a>0，解得a<1，综上可得-1≤a<1.
12.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)+>0，若
a=f，b=-2f(-2)，c=f，则a，b，c的大小关系正确的是( ) A.a<c<b B.b<c<a
C.a<b<c
D.c<a<b
【解析】选A.设h(x)=xf(x)，
所以h′(x)=f(x)+xf′(x)，
因为y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数，
所以h(x)是定义在实数集R上的偶函数，
当x>0时，h′(x)=f(x)+xf′(x)>0，
所以此时函数h(x)单调递增.
因为a=f=h，b=-2f(-2)=2f(2)=h(2)，
c=f=h=h(-ln2)=h(ln2)，
又2>ln2>，所以b>c>a.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知的展开式中含x2项的系数为12，则展开式的常数项为________. 【解析】二项式的通项为T r+1=a r x3-r，令r=1得，a·=12，所以a=2.令r=3得，展开
式的常数项为T4=a r=160.
答案：160
14.函数f(x)=sin-sin2x(x∈R)的最大值是________.
【解析】根据题意可知
f(x)=(sinx+cosx)-2sinxcosx，
令sinx+cosx=t∈[-，]，
则有sin2x=2sinxcosx=t2-1，所以y=1-t2+t=-+，则其是开口向下，对称
轴为t=∈[-，]的抛物线，所以当t=时，y max=，即y有最大值为.
答案：
15.若f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是[a-1，2a]，则f(x)的最大值为________.
【解析】偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1+2a=0，所以a=，并且函数满足f(-x)=f(x)，所以b=0，所以函数f(x)=x2+1，当x∈，最大值是当x=±时，
y max=.
答案：
16.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2+1，则a13=____________.
【解析】由a n+1=a n+2+1，可知a n+1=(+1)2，即=+1，所以数列是公差为1的等差数列，=+12，则a13=144.
答案：144。