高等数学(2017高教五版)课件几何应用(工科类)

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高等数学(2017高教五版)课件对坐标的曲面积分(工科类)

流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域
流体流速为v 单位时间内流向区域指定侧的流量 Av n 有向曲面在坐标面上的投影设Σ 是有向曲面, 在 Σ上取一小块曲面 S ,
z
n
S
y
S在xoy面上的投影区域的面积为 ( ) xy . x 假定 S上各点处法向量的方向余弦cos 有相同的符号. 规定 S在xoy面上的投影 ( S ) xy为 cos 0 ( ) xy ,

(2) 函数P,Q,R在有向光滑曲面Σ上连续,第二类曲面积分存在.
对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念
二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系
对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念
二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系
流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域
流体流速为v 单位时间内流向区域指定侧的流量 Av n 有向曲面在坐标面上的投影上述问题中, 设 v Pi Qj Rk n cos i cos j cos k
i 1
n
在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分,记作 R ( x , y , z )d xd y ,
即 R ( x , y , z )d xd y lim R( i , i , i )( S i ) xy . 0
i 1 n

其中R(x,y,z)叫做被积函数,Σ叫做积分曲面.
v n
流向平面一侧的流量设有一面积为A的平面闭区域流体流速为v 单位时间内流向区域指定侧的流量 Av n (v , n) 2

高等数学(2017高教五版)课件场论初步(工科类)

为 “源” M 0.
被吸收 M0 , 则
在点 A
S div A( M 0 ) 是流量对体积 V 的变化率,
A dS .
A
M 0 的流量密度.
量的流体流出这一点, 则称这一点
若
称这点为 “汇”. 若在每一点都有
则称 . div A 0, 为 “无源场” A
为 V 上的一个向量场.
R Q P R Q P F ( x, y, z ) i + j+ k y z z x x y 为 A 的旋度. A F 是由向量场派生出来的一个向量
例如电力线、
注场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质.
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
梯度场
在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 是由数量函数它
u( x , 所定义的向量函数 y, z )
( u v ) u v .
( u v ) u(v ) (u)v .
特别地有 3. 若
(u2 ) 2u(u) . r ( x , y , z ) , ( x , y , z ) , 则 d dr .
f f (u) , u u( x , y, z ) , 则 f f ( u) u . f f ( u1 , u2 ,, um ) , ui ui ( x , y , z ) , m f f ui . i 1 ui
§4 场论初步
场的概念
梯度场
散度场
旋度场

高等数学(2017高教五版)课件定积分的概念(工科类)

n 2
1 n 2 lim i 1 3 n n i 1
n 1 n2n 1 1 lim .
n
6n 3
3
这里利用了连续函数的可积性. 因为可积, 所以 i 1 . 可取特殊的分割(等分)和特殊的介点 i n
注3.积分的几何意义:
曲边梯形面积
当 T max xi 时,必有
f ( )x
i 1 i
b a
n
i
J ,
则称 f 在 [a , b] 上可积，并称 J 为 f 在 [a,b]上的
定积分, 记作 J f ( x )dx lim
T 0
f ( i )Δxi .
i 1
n
其中称 f 为被积函数, [a , b] 为积分区间, x 为积
T max Δxi i 1, 2, , n .
则当 T 0 时, 就能保证分割越来越细.
(2) 要刻画 f ( i )xi能无限逼近 S , 需要任意
i 1
n
给定的 0, 能够找到 0, 使得当
对任意 i [xi 1 , xi ], T max xi 时，
b
关于定积分定义，应注意以下几点：
注1 和式 f ( i )Δxi 不仅与 n 和 T 有关,还与
i 1
n
{1 , 2 , , n } 有关, 因此定积分的极限既不是数
列极限，也不是函数极限.
注2 并非每个函数在[a, b]上都可积. 在近似过程
中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时, 显然要求
一分为二
y
y f x
S ( A)
O
a

x1

高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt

解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a

高等数学课件--D6_2几何应用

弧长元素(弧微分) :
ds [ x( )]2 [ y ( )]2 d
2 ( ) d r ( ) r
2
(自己验证)
因此所求弧长
s

r ( ) r ( ) d
2 2
10/12/2012
同济高等数学课件
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例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 下垂
2π
π 2
2
注意上下限 !
πa
3
0
2π
π 2 2 π a (t sin t ) a sin t d t 0

(t sin t ) sin t d t
2
注
10/12/2012 同济高等数学课件
注目录上页下页返回结束
说明:
y
x xdx
柱面面积
柱壳体积
2π
10/12/2012
2π
1
2
d
0
2π 1 2 2 a 1 ln 1 2 2 0
10/12/2012
同济高等数学课件
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三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
d V A( x) d x
Vx
y
y
0
2π a
π y dx 2
2
2
πa 0 2
π y dx
2
O
πa
2π a x
2 π a (1 cos t ) a(1 cos t ) d t
0
π
利用对称性

人教版2017高中数学(必修五)第一章 §1.2 应用举例 (二)PPT课件

思考
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向
正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一
山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?
答案
5sin 15° 先在△ABC 中，用正弦定理求 BC＝ sin 10°，
再在Rt△DBC中求DC＝BCtan 8°.
第一章解三角形
§1.2 应用举例(二)
学习目标
1.会运用测仰角( 或俯角) 解决一些有关底部不可到达的物体
高度测量的问题.
2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.
3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
测量仰角(或俯角)求高度问题
思考
如图， AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A 的仰角，怎样求建筑物高度 AB ？ ( 已知测角仪器的高是h) 答案
答案解析
甲楼的高为 20tan 60° ＝20× 3＝20 3(米)，
3 40 3 乙楼的高为 20 3－20tan 30° ＝20 3－20× ＝ (米). 3 3
1
2
3
3. 为测量某塔的高度，在 A ， B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度. 解答
在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
AC m 解题思路是：在△ACD 中，sin β＝ sinα－β. msin β 所以 AC＝， sinα－β 在Rt△AEC中，AE＝ACsin α，AB＝AE＋h.

高等数学(2017高教五版)课件函数的极限函数极限存在的条件(工科类).

们写出 x x0 时的归结原则如下：
归结原则
定理3.9
设
f ( x) 在 x0的某空心右邻域
U
(
x0
)
有定义,
则
lim
x x0
f (x)
A
任给
{
xn
}
U
o
(
x0
),
必有
lim
n
f
( xn )
A.
xn
x0 ,
作为一个例题, 下面给出定理 3.9 的另一种形式.
例
2
设
f
( x)在
x0 的某空心右邻域
U
(
x0
,
)上有定
义. 那么 lim f ( x) A 的充要条件是任给严格递减 x x0
的 {xn}
U
0
(
x0
,
),
xn
x0 ,
必有 lim n
f
( xn )
A.
归结原则
证必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性.
假若 x x0 时, f x 不以 A 为极限. 则存在正数0 ,
0, 存在 x U( x0, ), 使 | f ( x ) A | 0 .
归结原则
使得
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0
|
xn
x0
|
n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f ( xn )
A
矛盾.
注归结原则有一个重要应用：
若存在{ xn }, { yn } U ( x0 ), xn x0 , yn x0 , 但是

高等数学课件D6_2几何应用 28页PPT文档

3π a2 2
(利用对称性)
d

O
2a x
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
π[
f
(
x)]2
dx
a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
x ( y) (c y d)
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
d
y x (y)
c
O
x
例13.
计算由椭圆
x2 a2

y2 b2
1 所围图形绕
x
轴旋转而
转Байду номын сангаас成的椭球体的体积.
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r( ) ( ) 令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d
r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R 2 R3 tan
3 03
y
Ox
R x

高等数学(2017高教五版)课件正项级数(工科类)

设 un 为正项级数. un1 (i) 若 lim q 1, 则级数收敛; n u n un1 (ii) 若 lim q 1, 则级数发散; n un
*推论2
比式判别法和根式判别法
*例8 研究级数
1 b bc b 2c b 2c 2 b nc n1 b nc n (8)
则级数 un 发散.
比式判别法和根式判别法
当 0 l 1 时收敛，故由比较原则, 这时级数 un
也收敛, 对于情形(ii), 由(10)式可得
n l 证由(9)式有 un l , 而l 1, 因为等比级数
n
un 1n 1.
显然当 n 时, un 不可能以零为极限, 因而由级数
正项级数收敛性的一般判别原则
un lim l , n v n
(i) 当 0 l 时, 级数 un , vn同敛散;
(3)
证 (i) 由(3) 对任给正数 l , 存在某正数N, 当 n > N 时,恒有
un l vn
或
( l )vn un ( l )vn .
比式判别法和根式判别法
定理12.8（柯西判别法，或根式判别法）
设 un 为正项级数, 且存在某正数 N 0 及常数 l ,
(i) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
n
un l 1,
(9)
则级数 un 收敛;
(ii) 若对一切 n N 0 , 成立不等式
n
un 1,
(10)
收敛的必要条件可知, 级数 un 是发散的.
比式判别法和根式判别法
设 un 为正项级数, 且

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§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
总之, 当 ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) ) ( 0, 0 ) 时, 就有
法向量 : n ( Fx ( P0 ), Fy ( P0 ) ); 切线方程为 Fx ( P0 )( x x0 ) F y ( P0 )( y y0 ) 0; (1) 法线方程为 Fy ( P0 )( x x0 ) Fx ( P0 )( y y0 ) 0. (2)
2 2 2
根据公式 (6) 与 (7), 需先求出切向向量. 为此计算 F, G 在点 P0 处的雅可比矩阵:
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
Fx G x
Fy Gy
Fz x 2 Gz P0 x
2 2 证令 G ( x , y ) Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F ,
则有
G x ( P0 ) 2 Ax0 2 By0 2 D , G y ( P0 ) 2 Bx0 2Cy0 2 E .
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与求笛卡儿叶形线
2( x y ) 9x y 0
3 3
在点 P0 (2,1)处的切线与法线. 解设 F ( x , y ) 2( x 3 y 3 ) 9 x y .
由于Fx 6 x 2 9 y, Fy 6 y 2 9 x连续，且
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
(A) 用参数方程表示的空间曲线: L : x x( t ), y y( t ), z z ( t ), t . 若 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) L , 且有
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
应用隐函数组求导公式, 有 x( z0 ) J z y ( P0 ) J x y ( P0 ),
y( z0 ) J xz ( P0 ) J x y ( P0 ) .
于是最后求得切线方程为 x x0 y y0 z z0 : . J yz ( P0 ) J z x ( P0 ) J x y ( P0 ) 相应于 (3) 式的法平面方程则为
故切向向量为 P 1, 1, 2 2 , 解容易求得 0 2 ( x( t0 ), y( t0 ), z( t0 ) )
(1 cos t0 , sin t0 , 2cos( t0 2) )
(1, 1, 2 ).
由此得到切线方程和法平面方程分别为 z2 2 : x 1 y 1 ; 2 2
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
故切向向量为
( 160, 120, 0)∥( 4, 3, 0),
据此求得

y4 x3 , 3 x 4 y 25 0, 即 3 切线 : 4 z 5; z 5 0,
称为曲线 L在点 P0 处的法平面.
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
因为切线的方向向量即为法平面的法向量, 所以法平面的方程为
x( t0 )( x x0 ) y( t0 )( y y0 ) z( t0 )( z z0 ) 0 . (4)
: J yz ( P0 )( x x0 ) J zx ( P0 )( y y0 )
J x y ( P0 )( z z0 ) 0 .
(6)
(7)
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
例 3 求空间曲线 L : x t sin t , y 1 cos t , z 4sin( t 2) 在点 P0 ( 对应于 t0 2 ) 处的切线和法平面.
2 2
整理后便得到
Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
§3 几何应用
空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论.
在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 x x( t ), y y( t ), t , 若 P0 ( x0 , y0 ) ( x( t0 ), y( t0 )) 是其上一点, 则曲线
y z 6 8 10 . y z P 0 6 8 10
由此得到所需的雅可比行列式:
6 8 J x y ( P0 ) 0, 6 8 8 10 J y z ( P0 ) 160, 8 10 10 6 J z x ( P0 ) 120. 10 6
于是在P0 2,1 处切线与法线分别为
( Fx ( P0 ), Fy ( P0 ) ) (15, 12 ) (0,0),
15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5 x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4 x 5 y 13 0 .
用参数方程表示的曲面
例4 求曲线
L : x 2 y 2 z 2 50, x 2 y 2 z 2
在点 P0 (3,4,5) 处的切线与法平面.
解曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令
F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 50, G( x , y, z ) x y z .
具有连续的一阶偏导数, 而且
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
例2 设一般二次曲线为 L : Ax 2 2 Bxy Cy 2 2 Dx 2 Ey F 0,
P0 ( x0 , y0 ) L . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
由此得到所求切线为
( Ax0 By0 D)( x x0 ) ( Bx0 Cy0 E )( y y0 ) 0,
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程 , 即
F ( Ax0 2 Bx0 y0 Cy0 2 Dx0 2 Ey0 ),
§3 几何应用
: ( x 1 ) ( y 1) 2 ( z 2 2 ) 0, 2 即 x y 2 z 4. 2 绘制上述空间曲线的程序与所得图形:
syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2); ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
数学分析第十八章隐函数定理及其应用
§3 几何应用
一、平面曲线的切线与法线二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线四、*用参数方程表示的曲面
*点击以上标题可直接前往对应内容
在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们的方程是以隐函数 (组)的形式出现的, 因此在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函数(组)的微分法.
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线
曲线 L ：F ( x, y) 0;
P0 ( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足条件：
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: y y( x ) ( 或 x x ( y ) ) ;
x 2 ( t0 ) y 2 ( t0 ) z 2 ( t0 ) 0,
类似于平面曲线的情形, 不难求得 P0 处的切线为 x x0 y y0 z z0 : . (3) x ( t 0 ) y ( t 0 ) z( t0 ) 过点 P0 且垂直于切线的平面 ,
法平面 : 4( x 3) 3( y 4) 0 ( z 5) 0, 即 4 x 3 y 0 ( 平行于 z 轴 ) .
§3 几何应用
曲面的切平面与法线
以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面为
由于y Fx ( P0 ) F y ( P0 ) L 在 P0 处的切线方程为：
y y0 Fx ( P0 ) Fy ( P0 ) ( x x0 )
或 x x
0
( y y0 ) . F ( P ) F ( P ) y 0 x 0
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x t sin t , y 1 cos t , z 4sin(t 2).
平面曲线的切线与法线
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
用参数方程表示的曲面
t 2

t0
t 2

t 2

§3 几何应用