高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标17定积分与微积分基本定理理04150144
全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.12定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课
定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·长沙模拟)定积分错误!未找到引用源。
(3x+e x)dx的值为( )A.e+1B.eC.e-错误!未找到引用源。
D.e+错误!未找到引用源。
【解析】选D.错误!未找到引用源。
(3x+e x)dx =错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
+e-1=错误!未找到引用源。
+e.2.(2016·石家庄模拟)直线y=x+4与曲线y=x2-x+1所围成的封闭图形的面积为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选C.因为x+4=x2-x+1的解为x=-1或x=3,所以封闭图形的面积为S=错误!未找到引用源。
[x+4-(x2-x+1)]dx=错误!未找到引用源。
(-x2+2x+3)dx=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.3.(2016·太原模拟)定积分错误!未找到引用源。
|x2-2x|dx= ( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.|x2-2x|=错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
|x2-2x|dx=错误!未找到引用源。
(x2-2x)dx+错误!未找到引用源。
(-x2+2x)dx=错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=8.【加固训练】若f(x)=错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
f(x)dx= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选 C.错误!未找到引用源。
f(x)dx=错误!未找到引用源。
(x3+sinx)dx+错误!未找到引用源。
2dx=0+2x错误!未找到引用源。
=2.4.已知f(x)为偶函数且错误!未找到引用源。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲定积分与微积分基本定理课件理
f(x)在[a，b] 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲
上有正有负 边梯形的面积
3.微积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝____a______(k 为常数)；
(2)ba[f1(x)±f2(x)]dx＝___baf_1_(x_)_d_x_±__baf_2(_x_)_d_x__；
• 5．定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为 S.
(1)S＝bf(x)dx； a－bf(x)dx
(2)S＝____a______； (3)S＝___ca_f(_x_)_d_x_－__cb_f(_x_)_d_x__；
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
1
1
1
A．s1<s2<s3
B．s2<s1<s3
C．s2<s3<s1
D．s3<s2<s1
解析：因为 s1＝31x321 ＝31(23－13)＝37<3；s2＝ln x21 ＝ln 2－ln 1＝ln 2<1；s3＝ex21
＝e2－e>3.
所以 s2<s1<s3.
3．直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D )
－a
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( √ )
a
a
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( × )
(3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴 a
2017届高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用第12节定积分与微积分基本定理课件理新人教版
[变式 3] 若母题中“y＝x2”改为“y＝m”，且由曲线 y＝ 8 x与 y 轴及直线 y＝m(m＞0)围成的图形的面积为 ，则 m 3 的值为________．
解析 ： S ＝
m2
(m －
0
2 3 2 x )dx ＝ mx－ x 3
m2
0
2 3 ＝m － m 3
第十二节
定积分与微积分基本定理
a，b
f(x)
x
f(x)dx
b k∫a f(x)dx b ∫a ∫b f1(x)dx± a f2(x)dx；
b ∫c f(x)dx
F(b)－F(a)
b F(x)|a
2 1．若∫T x 0 dx＝9，则常数 T 的值为________．
1 3 T 2 解析：∵∫0 x dx＝ T ＝9，T＞0，∴T＝3. 3 答案：3
?
?
天上的星星数不清。
Байду номын сангаас
漫天飞舞的雪花数不清。
桃花从树上飘落下来。
落叶从树上飘落下来。
雪花从天空中飘落下来。
我会读：
雨点儿从云彩里飘落下来。
小松鼠从树上跳下来。 亮亮从屋里跑出来。
我会说：
太阳从东方 小草从土里 。 。
半空中，大雨点儿问小雨点儿： “你要到哪里去？” 小雨点儿回答：“我要去有花 有草的地方。你呢？” 大雨点儿说：“我要去没有花 没有草的地方。”
2．(教材习题改编)计算：
(1)
2
(3x＋sin x)dx＝________.
0
2 2 x (2)∫1 e － dx＝________________. x
3π2 答案：(1) ＋1 8
2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十二节 定积分的概念与微积分基本定理课件 理
f(x)dx=0.
(
)
2.求曲线 y=x3 与 y=x 所围成图形的面积可由下面哪个表达式求 解 ( ) 1 1 A.S= 0 (x-x3)dx B.S=2 0 (x-x3)dx C.S=
1 -1
(x-x )dx D.S=2
3
1 0
(y-3 y)dy
2.B 【解析】作出 y=x,y=x3 两个函数的图象,易知其所围成的面 积可由 B 项表示式求解.
【变式训练】
求由曲线 y=x2 和直线 y=x 和 y=2x 围成的图形的面积. 【解析】如图所示,所求的面积 S=S△AOC+S1,其中 S1 是线段 AC,BC 和抛物 线段 AB 围成的区域的面积. ������ = ������ 2 , ������ = ������ 2 , 由 和 ������ = ������ ������ = 2������, 分别解出 O,A,B 三点的横坐标分别是 0,1,2, 故所求的面积 1 2 S= 0 (2������ − ������ )d������ + 1 (2x-x2)dx
典例 2 (2015· 天冿高考) 曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图 形的面积为 . 1 【解题思路】由定积分的几何意义可得 S= 0 (������ − ������2)d������ =
1 2 1 3 ������ - 3 ������ 2
1 0
【参考答案】
1 6
= 6.
1
求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤 (1)画草图 ; (2)求曲线的交点确定积分上、下限 ; (3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的 ; (4)写出定积分并计算,用微积分基本定理公式计算. 注意:被积函数较复杂或积分区间不易确定时可通过转换积分变 量进行简化计算.
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理习题课件 理
A．1 22
C. 3
12/11/2021
π B.4 D．2 2－2
第十八页，共三十页。
12/11/2021
第十九页，共三十页。
二、填空题 2
12/11/2021
第二十页，共三十页。
12．(2017·南开区二模)由曲线 y＝x2，y＝ x围成的封闭
1 图形的面积为___3_____．
12/11/2021
e 1
x＋1x
dx
＝
12x2＋ln
x
|
e 1
＝
12e2＋1 －
12＋0
＝
e2＋2 1，故选 B.
12/11/2021
第三页，共三十页。
12/11/2021
第四页，共三十页。
3．(2017·抚州期中)曲线 y＝2x与直线 y＝x－1 及直线 x ＝1 所围成的封闭图形的面积为( )
A.34 B.52 C．4－2ln 2 D．2ln 2－12
7．设 a＝0πsinxdx，则a
x－
1
6
x
的展开式中常数项是
()
A．－160 B．160 C．－20 D．20
12/11/2021
第十二页，共三十页。
解析 依题意得，a＝－cosx|π0＝－(cosπ－cos0)＝2，源自ax－ 1x6＝2
x－
1
6
x
的展开式的通项
Tr＋1＝
C
r 6
·(2
x)6－
解
(1)f′(x)＝ 2
44x－8＝
x1－2，
∴切线 l 的斜率 k＝f′(6)＝12，
∴切线 l 的方程为 y－4＝12(x－6)，即 x－2y＋2＝0.
推荐K122019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第17讲定积分与微积分基本定理精选教案理
第17讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间__[a ，b ]__叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做__积分变量__，__f (x )d x __叫做被积式．2．定积分的几何意义3．微积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝__k ⎠⎛ab f (x )d x __(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝__⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x __；(3)__⎠⎛a b f (x )d x __＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝__F (b )－F (a )__，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．5．定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝__－⎠⎛ab f (x )d x __；(3)S ＝__⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x __；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s ＝__⎠⎛a b v (t )d t __；(2)W ＝__⎠⎛ab F (s )d s __.7．奇偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛a 0f (x )d x ；(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( √ )(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( × )(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )解析 (1)正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字母表示无关．(2)错误．不一定是，要结合具体图形来定．(3)错误．也有可能是在x 轴上方部分的面积小于在x 轴下方部分的面积． 2．若s 1＝⎠⎛12x 2d x ，s 2＝⎠⎛121xd x ，s 3＝⎠⎛12e xd x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( B )A ．s 1<s 2<s 3B ．s 2<s 1<s 3C ．s 2<s 3<s 1D ．s 3<s 2<s 1解析 因为s 1＝13x 3|21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x |21＝e 2－e>3，所以s 2<s 1<s 3.3．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)，所以S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 42＝4，故选D ．4.已知t >1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__2__.,解析 ⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )|t 1＝t 2＋t －2从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.5．汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a ＝2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__25__m.,解析 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)|50＝25(m)．,,一 定积分的计算,计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值． 【例1】 计算下列定积分．(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(4)∫π201－sin 2x d x .解析 (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3|10＋(x 2)|10＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ,＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x ＝12e2x 21＋ln x |21,＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e2＋ln 2.(4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x ,＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sinx －cos x )d x ,＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4,＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.二 定积分几何意义的应用,(1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．【例2】 (1)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A ．103B ．4C ．163D ．6(2)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为__1．2__.解析 (1)作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．,由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 4＝23×8－12×16＋2×4＝163.,(2)建立如图所示的平面直角坐标系由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛－55⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝(6＋10)×22＝16，最大流量比为S 2∶S 1＝6∶5.三 定积分在物理中的应用定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( C )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为__36__J.解析 (1)由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40,＝4＋25ln 5 (m)．,(2)由题意知，力F (x )所做的功为,W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42,＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36 J.1．定积分⎠⎛01x (2－x ) d x 的值为( A )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解析 令y ＝x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x (2－x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，0≤x ≤1的面积，即为π4. 2．计算：⎠⎛－33 (x 3cos x )d x ＝__0__.解析 ∵y ＝x 3cos x 为奇函数，∴⎠⎛－33 (x 3cos x )d x ＝0.3．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为！！！43###. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．所以所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝43. 4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为！！！4π3 ###.解析 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M 内的概率是4π3.易错点 定积分的几何意义不明确错因分析：⎠⎛ab f (x )d x 不一定表示面积，也可能是面积的相反数，它可正，可负，也可为零．【例1】 求曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积．解析 当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π，54π时，f (x )<0. 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－∫54ππsin x d x ＝－cos x ||π0＋cos x 54ππ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋1＝3－22. 【跟踪训练1】 (2018·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( A )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d xC ．⎠⎛02(x 2－1)d xD ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .课时达标 第17讲[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．一、选择题1．⎠⎛01e xd x 的值等于( C )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1) 解析 ⎠⎛01e xd x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2．⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝( C )A ．e 2－2 B ．e －1C ．e 2D ．e ＋1解析 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|e 1＝e 2.故选C ．3．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( A ) A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y解析 由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .第3题图 第4题图4．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( D )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析 由曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝(12x 2－x －2ln x )|42＝4－2ln 2.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( A )A ．43 B ．1π C ．12D ．π－2π解析 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋1＝43，故选A ．6．如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( D )A ．2π B ．1π C ．12D ．π－2π解析 因为⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d x ＝__0__. 解析 ⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝0.8．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝！！！ e 2＋12 ###.解析 ⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x |e 1＝e 2＋12.9．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)解析 由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)．三、解答题10.求下列定积分．,(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎠⎛0－π(cos x ＋e x)d x .解析 (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 2221－x 3321＋ln x |21＝32－73＋ln2＝ln 2－56.(2) ⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－πe x d x ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ. 11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解析 ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2∴在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A (2,4)．∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.,12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．,(1)求a ，b ，c的值；,(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．,解析 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知，函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－t 2＋8t )x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2|t 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x |2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.。
高考数学(理)一轮规范练【17】定积分与微积分基本定理(含答案)
课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练第33页一、选择题1.设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于( )A. B. C. D.答案:A解析:由于f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=.2.设a=d x,b=1-d x,c=x3d x,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案:A解析:由题意可得a=d x=;b=1-d x=1-=1-;c=x3d x=,综上知a>b>c,故选A.3.设f(x)=f(x)d x的值是( )A.x2d xB.2x d xC.x2d x+2x d xD.2x d x+x2d x答案:D解析:由分段函数的定义及积分运算的性质知,f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=2x d x+x2d x.4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A. B. C. D.答案:A解析:s=(t2-t+2)d t=.5.如图,由函数f(x)=e x-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.D.e2-2e+1答案:B解析:面积S=f(x)d x=(e x-e)d x=(e x-e x)=(e2-2e)-(e1-e)=e2-2e.6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分所示),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B. C. D.答案:D解析:由题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)d x=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,故选D.二、填空题7.d x=.答案:π解析:设y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x=×4π=π.8.(2013湖南高考)若x2d x=9,则常数T的值为.答案:3解析:∵'=x2,∴x2d x=x3T3-0=9,∴T=3.9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n=d x(n∈N*),则S100=.答案:ln101解析:由题意知a n=ln x=ln(n+1)-ln n,故S100=a1+a2+…+a100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln101-ln100)=-ln1+ln101=ln101.三、解答题10.求由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积.解:在平面直角坐标系内,画出曲线y=x2+2x和直线y=x围成的封闭图形,如图所示,由得曲线与直线的两个交点的坐标分别为(-1,-1)和(0,0),故封闭图形的面积为S=[x-(x2+2x)]d x==-.11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b.因为f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2,所以即解得所以f(x)=6x2-4.(2)f(x)=6x2-4,x∈[-1,1],当x=0时,f(x)取得最小值-4;当x=1或x=-1,f(x)取得最大值2.12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影部分所示.(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分面积S关于t的函数S(t)的解析式.解:(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1),得f(x)=-x2+8x,由得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t.∵0≤t≤2,∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t).由定积分的几何意义知:S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]d x+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]d x =-(-t2+8t)x=-t3+10t2-16t+.所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2).希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理课件 理 北师大版
x2)dx＝12x2－13x3|
10＝61。
4．(2016·阜阳模拟)已知 t>1，若t (2x＋1)dx＝t2，则 t＝__2______。 1
解析
t (2x＋1)dx＝(x2＋
1
x)|
t1＝t2＋
t－2，
从而得方程 t2＋t－2＝t2，解得 t＝2。
π 5. －1 1－x2dx＝__2______。
④S＝bf(x)dx－bg(x)dx
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx。 a
(2)定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0) bv(t)dt
在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝_____a________。
②变力做功问题
物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力 F(x)相同的 bF(x)dx
方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，则变力 F(x)所做的功为 W＝__a______。
基础自测
[判一判]
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt。( √ )
a
a
(4)如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，S 与 s 的差也趋于 0，
此时，S 与 s 同时趋于某一个固定的常数 A，我们就称 A 是函数 y＝f(x)在区
bf(x)dx
bf(x)dx
间[a，b]上的定积分，记作___a________，即_____a__________＝A。
其中__∫____叫作积分号，__a___叫作积分的下限，___b__叫作积分的上 限，____f(_x_) __叫作被积函数。
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2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标17
定积分与微积分基本定理 理
[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．
一、选择题
1.⎠⎛0
1e x
d x 的值等于( C )
A ．e
B ．1－e
C ．e －1
D ．1
2
(e －1) 解析：⎠⎛0
1e x
d x ＝
e x
| 1
0＝e 1
－e 0
＝e －1，故选C ．
2.⎠⎛1e ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝( C )
A ．e 2－2
B ．e －1
C ．e 2
D ．e ＋1
解析：⎠⎛1e ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )| e 1＝e 2
.故选C ．
3．求曲线y ＝x 2
与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( A ) A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2
)d x
B ．S ＝⎠⎛01(x 2
－x )d x
C ．S ＝⎠⎛0
1(y 2
－y )d y
D ．S ＝⎠⎛0
1(y －y )d y
解析：由图象可得S ＝⎠⎛0
1(x －x 2
)d x .
第3题图 第4题图
4．曲线y ＝2
x
与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( D )
A ．2ln 2
B ．2－ln 2
C ．4－ln 2
D ．4－2ln 2
解析：由曲线y ＝2
x
与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，
故所求图形的面积为
S ＝⎠⎛2
4⎝
⎛
⎭⎪⎫
x －1－2x d x ＝(1
2x 2－x －2ln x )| 4
2＝4－2ln 2.
5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ∈[0，1]，1
x
，x ∈，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0
e f (x )d x 的值为
( A )
A ．4
3 B ．1π C ．12
D ．π－2π
解析：根据定积分的运算法则，可知⎠⎛0e f (x )d x 可以分为两段，即⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2
d x ＋⎠⎛1
e
1
x d x ＝13
x 3| 10＋ln x | e
1 ＝13＋1＝4
3
，故选A ． 6．如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( D
)
A ．2π
B ．1π
C ．12
D ．π－2π
解析：因为
cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪
⎪
π
2
＝1，
故所求概率为π－1×2π＝π－2
π.
二、填空题 7．
(cos x －sin x )d x ＝0.
解析：
(cos x －sin x )d x ＝sin x ＋cos x ⎪⎪⎪
⎪
π
2
＝0.
8．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠
⎛1
e f (x )d x ＝e 2
＋1
2.
解析：⎠⎛1e
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x | e 1＝
e 2
＋12.
9．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面图形(图中的阴影部
分)的面积是
解析：由图可得阴影部分面积S ＝2
(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪
⎪
π
4
＝
2(2－1)．
三、解答题 10．求下列定积分．
(1)⎠⎛12⎝
⎛⎭
⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎠⎛－π
0(cos x ＋e x
)d x .
解析：(1)⎠⎛12
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2
d x ＋⎠⎛121x
d x ＝x 22| 21－x 3
3| 21＋ln x | 21＝32－73＋
ln 2＝ln 2－5
6
.
(2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x
)d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π
0e x
d x
＝sin x | 0－π＋e x | 0
－π＝1－1e
π.
11．已知函数f (x )＝x 3
－x 2
＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2
围成的图形的面积．
解析：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3
－x 2
＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则
k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，
∴在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，y ＝2x 与函数g (x )＝x 2
围成的图形如图．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
，y ＝2x 可得交点A (2,4)．
∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2
围成的图形的面积
S ＝⎠⎛0
2(2x －x 2)d x
＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3| 2
0＝4－83＝43.
12．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2
＋8t (其中0≤t ≤2，
t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭
图形(阴影部分)如图所示．
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．
解析：(1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则
⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝0，
a ·82
＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 2
4a ＝16，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝8，
c ＝0，
(2)由(1)知，函数f (x )的解析式为
f (x )＝－x 2＋8x .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－t 2
＋8t ，
y ＝－x 2
＋8x ，得x 2
－8x －t (t －8)＝0，
∴x 1＝t ，x 2＝8－t .
∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2
＋8t )，由定积分的几何意义知：
S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t
2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t 2＋8t x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2| t 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3
3＋4x 2－－t 2＋8t x | 2t ＝－43t 3＋10t 2
－16t
＋403.。