专题《轨迹方程》
《轨迹方程的求法》课件
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总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
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1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
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3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
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为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
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1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
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常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
专题20 轨迹方程的求法(含参考答案)
【例 2】一动圆与圆 x2 y2 6x 5 0 外切，同时与圆 x2 y2 6x 91 0 内切，求动圆圆心 M 的轨
迹方程，并说明它是什么样的曲线。
【例 3】已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线 l 于点 A，又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.
y
BQ
R
A
o
P
x
【五】交轨法
交轨法： 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交
点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去 参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 1.例题
【例 1】抛物线 y 2 4 px( p 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的
【练习 2】过点 A（－1，0），斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C：y2=4x 交于 P，Q 两点.若曲线 C 的焦点 F 与 P，Q，R 三点按如图顺序构成平行四边形 PFQR，求点 R 的轨迹方程。
【四】代入法（相关点法）
代入法（相关点法）：
如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某 已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐标代入已 知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。 1.例题
F1 是抛物线
y
1 4
(x
1)2
1的焦点，两点
A（-3，2）、B
（1，2）都在该双曲线上．
专题七：直线、圆与方程、轨迹方程-学生版2
专题七：直线与方程、圆与方程、轨迹方程2.24-2.25一、直线与方程【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；（由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.） 【知识点三：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
第36讲-轨迹方程解析版
第36讲 轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程 一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式。
【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A ，B 的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-.（1）求P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M ､N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积. 【解析】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ， 由题意知(23333AP BP k k x x x ⋅==-≠+-，化简得P 的轨迹方程为(221332x y x +=≠（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//,//AP OM BP ON ， 则直线,AP BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅.因为//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k =-设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y +=，得()222324260m y mty t +++-=....①，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m -+=-=++ 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+又1212△MONS t y y =-=，所以△MON S =，即MON △例2．（2022·全国·高三专题练习）动点P 到定点()0,1F 的距离与到定直线4y =的距离之比为定值12.（1）求动点P 的轨迹方程：（2）若直线l 与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，且线段MN 被直线210x +=平分，求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】（1）设点()P x y ，12=两边平方，整理得22134x y += 所以动点P 的轨迹方程为22134x y +=；（2）联立22210134x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设点()11M x y ，，()22N x y ，，MN 的中点为012Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0y <<1212012x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 又因为点()11M x y ，，()22N x y ，都在椭圆22134x y+=上，则22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 将上述两个等式作差得22221212034x x y y --+=.则2212221243y y x x -=-- 则()()()()1212121243y y y y x x x x -+⋅=--+，即()()120122413y y y x x -⋅=---所以()0423k y ⋅-=-，即02233333k y ⎛⎛⎫=∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以直线l 的斜率的取值范围是23333⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆C ：()22116x y ++=，点1,0A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点()0,1B -作直线MN 交点Q 的轨迹于M ､N 两点，设线段MN 的中点为H ，判断线段AH 与HM 的大小，并证明你的结论. 【解析】（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =. 又4CP CQ QP =+=，∴42CQ QA CA +=>=.∴点Q 的轨迹是以坐标原点为中心，()1,0C -和1,0A 为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2a =，221a b -=∴23b =，∴点Q 的轨迹方程为22143x y +=.（2）结论是：AH HM ≤.①当直线MN 的斜率不存在时，1AH =，HM AH HM <； ②当直线MN 的斜率k 存在时，设MN ：1y kx =-代入到22143x y +=，化简得()2243880k x kx +--=，设()11,M x y ，()22,N x y 则122843k x x k +=+，122843x x k -=+， 此时()111,AM x y =-，()221,AN x y =-，∴()()()()()()12121212111111AM AN x x y y x x kx kx ⋅=--+=--+--()()()()2212122281811(1)224343k k k k x x k x x k k -⋅+⋅+=+-+++=-+++ 222218882204343k k k k k ⎛⎫-+ ⎪---⎝⎭==≤++. ∴90MAN ∠≥︒，点A 在以MN 为直径的圆上或圆的内部，所以AH HM ≤. 综上所述，AH HM ≤.例4.（2021·全国·高三专题练习）点B 是椭圆22221x y a b+=上的动点，(2,0)A a 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为（x ，y ），设B 点坐标为（x 0，y 0）， 则由M 为线段AB 中点，可得00002222202x ax x x a y y y y+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，即点B 坐标可表示为（2x －2a ，2y ）， 因为点B （x 0，y 0）在椭圆22221x y a b+=上，2200221x y a b∴+=， 从而有2222(22)(2)1x a y a b-+=， 整理得动点M 的轨迹方程为22224()41x a y a b-+=.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 【详解】设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2）(1)(2)-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y yy y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 由于弦中点轨迹在已知椭圆内， 联立22412340x y x x y ⎧+=⎪∴=±⎨⎪+=⎩故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：4440()33x y x +=-≤≤例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点(A且与圆(22:12B x y +=相内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程D .（2）直线l 过原点，且与轨迹D 有两个交点,M N .轨迹D 上是否存在一点Q ，使△QMN 为正三角形，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则由条件知：||,||PB r PA r ==，故||||PA PB +=因此，P 的轨迹是以A B ，为焦点，长轴长为.故圆心P 的轨迹方程D 为：2213x y +=.（2）解法一：若直线l 的斜率存在且不为零. 故可设:l y kx =.直线OQ 方程为：1=-y x k由222233313x y x MN k y kx ⎧+=⇒=⇒=⎨+=⎩||MN =同理，得||OQ ==因22|||3913OQ MN k k =⇔=⇔+=+，此时无解. 若直线的斜率为零，此时也无解.若直线的斜率不存在，可求出(Q .故Q的坐标为(0) 解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设1122(cos ,sin ),(cos(),sin())22M r r Q r r ππθθθθ++，代入椭圆方程，得222221112cos 3sin 1312sin r r r θθθ+=⇒=+ 同理222312cos r θ=+，由|||OQ OM =得cos 0θ=，故存在这样的点Q，其坐标为(0).例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在ABC中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程.【详解】由已知得()()22,0,22,0A B -， ∵2sin sin 2sin A C B +=，∴由正弦定理得:22BC AB AC +=， ∴1222AC BC AB AB -==<， ∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹以,A B 为焦点，以22为实轴长的双曲线的右支（除去与x 轴的交点）， ∴2,22,6a c b ===，∴顶点C 的轨迹方程为()221226x y x -=>.故答案为：()221226x y x -=>.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点．(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．【解析】（1）设00(,)A x y ，则矩形ABCD 的面积004S x y =. 由220019x y +=得220019x y =-，从而 22222200000199(1)()9924x x y x x =-=--+当2092x =，2012y =时，max 6S =.从而t ABCD 的面积最大，最大面积为6.（2）证明：由00(,)A x y ，00(,)B x y -，1(3,0)A -，2(3,0)A 知直线1AA 的方程为0(3)3yy x x =++① 直线2A B 的方程为00(3)3y y x x -=--② 由①②得22020(9)9y y x x -=--③ 又点00(,)A x y 在椭圆C 上，故220019x y =-④将④代入③得2219x y -=(3,0)x y <-<因此点M 的轨迹方程为2219x y -=(3,0)x y <-<.【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点(3,0)P ，求椭圆的标准方程；（2）ABC 两个顶点,A B 的坐标分别是(6,0),(6,0)-，边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程. 【答案】（1）2219x y +=或221819y x+=，（2）2213616x y +=（6x ≠±），【分析】（1）由题意可得3a b =，然后分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况设出椭圆的方程，再将(3,0)P 代入方程中可求出,a b 的值，从而可求出椭圆的标准方程；（2）设点C 的坐标，再由,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，列方程可求出结果【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以3a b =，若焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9x y b b b+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得1b =，所以椭圆的方程为2219x y +=，若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9y x b bb+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得3b =， 所以椭圆的方程为221819y x +=，所以椭圆的标准方程为2219x y +=或221819y x +=，（2）设点C 的坐标为(,)x y （0y ≠）， 因为边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，所以4669y y x x ⋅=-+-，化简得2249144x y +=，即2213616x y +=（6x ≠±）， 所以顶点C 的轨迹方程2213616x y +=（6x ≠±）， 2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．求动点M 的轨迹方程. 【答案】22(0)y x x =≥和0(0)y x =< 【分析】设出点M 的坐标，根据题意列出,x y 所满足的方程，化简方程可求得M 的轨迹方程. 【详解】设(,)M x y 1||2x =+两边平方可得：211||44x y x -++=+当0x ≥时，化简可得22(0)y x x =≥， 当0x <时，0y =，所以曲线M 的轨迹方程为22(0)y x x =≥和0(0)y x =<.3．（2021·全国·高三专题练习）过点()1,0A -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于P 、Q 两点.求线段PQ 的中点B 的轨迹方程.【答案】()2221y x x =+>【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y ，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ 的中点B 的轨迹方程. 【详解】解：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y代入得()()()211121212222444y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩， 化简得()224211yy y x x ⋅=⇒=++， 又224122y xx y x ⎧=⇒=⎨=+⎩， 所以线段PQ 的中点B 的轨迹方程为()2221y x x =+>.4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2.（1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2). 【分析】（1）由|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程； （2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－2). 【详解】（1）由题知，|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y .（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y r x -＋22y rx -＝0由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－811y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2k r -＝0故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2). 【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设出其坐标.5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆A ：22(2)1x y ++=与点0(2)B ，，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．（1）PAB △的周长为10；（2）圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；（3）圆P 与圆A 外切，且与直线1x =相切(P 为动圆圆心)．【答案】（1）()221095x y y +=≠；（2）224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；（3）28y x =-【分析】（1）由题意可得到64PA PB AB >=+=，再根据椭圆的定义即可求解； （2）由题意可得到14P A B B A P -=<=，再根据双曲线的定义即可求解； （3）根据抛物线的定义即可求解.【详解】解：（1）由题意知：10PA PB AB ++=， 又4AB =，64PA PB AB ∴+=>=，故P 点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且26a =，24c =， 即3a =，2c =，5b =∴动点P 的轨迹方程为：()221095x y y +=≠； （2）设圆P 的半径为r ，则1PA r =+，PB r =，114r r A B AB P P ∴-=+-=<=，由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支， 且21a =，24c =， 即115,2,2a c b ===，∴动点P 的轨迹方程为：224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， （3）由题意知：动点P 到定点A 的距离等于到定直线2x =的距离， 故其轨迹为抛物线，且开口向左，4p =， ∴动点P 的轨迹方程为：28y x =-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义.6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知1(0)2A -，，B 是圆：221()42x y -+=(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 【答案】22413y x +=.【分析】先根据题意可知PF PB +正好为圆的半径，而PA PB =，进而可知2PF PA +=．根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，根据A 、F 求得a ，c ，进而求得b ，答案可得． 【详解】作图，则PA PB =，2PF PB +=， ∴2PF PA +=且大于1AF =，即动点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，1a =，12c =，234b =，所以动点P 的轨迹方程为22413y x +=.7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】x 2-28y =1(x ≤-1) 【分析】设动圆的半径为R ,根据圆外切的条件得到|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3,消去R ,得到|MC 2|-|MC 1|=2,根据双曲线的定义得到M 的轨迹，并由定义得到,a c 的值，进而得到方程. 【详解】依题意,知圆C 1的圆心为C 1(-3,0),半径为1,圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径为3. 设动圆的半径为R ,则|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3, 所以|MC 2|-|MC 1|=2<|C 1C 2|,因此,圆心M 的轨迹是以C 1,C 2为左、右焦点的双曲线的左支, 且1,3a c ==, 所以2228b c a =-=.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤-1). 【点睛】本题考查双曲线的定义与标准方程，关键是利用圆相外切的条件，转化为动点到两定点的距离之差等于定值，另外要准确全面掌握双曲线的定义，这里表示的是双曲线的一支. 8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?【答案】2213627x y +=；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设圆22650x y x +++=和圆226910x y x +--=的圆心分别为1O 、2O ， 将圆的方程分别配方得：圆()221:34O x y ++=，圆()222:3100O x y -+= 当动圆M 与圆1O 相外切时，有12O M R =+ …① 当动圆M 与圆2O 相内切时，有210O M R =-…②将①②两式相加，得121212O M O M OO +=>，∴动圆圆心(,)M x y 到点10()3,O -和2()3,0O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为点10()3,O -、2()3,0O ，长轴长等于12的椭圆． 设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ； ∴26,212c a ==， ∴3,6c a == ∴236927b =-=∴动圆圆心轨迹方程为2213627x y +=，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．9．（2020·全国·高三（理））已知点M 与两个定点00O (，)，(30)A ，的距离的之比为12. （1）求点M 的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）求点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】（1）点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆；（2）max 2d =，min 2d =【分析】（1）设(),M x y ，利用点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，建立方程，化简可得结果；（2）先求出圆心到直线2130x y +-=的距离d ，最大值为d r +，最小值为d r -. 【详解】（1）设(),M x y ，∵点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，12=，化简可得()2214x y ++=， 即点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆.（2）圆心(1,0)-到直线2130x y +-=距离为d ==点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值为2d r +=，最小值为2d r -=. 【点睛】本题主要考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，且该双曲线过点(2,2). （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1､F 2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程. 【答案】（1）221312x y -=.（2）223x y += 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点P 满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程. 【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y =±2x ， 则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2=λ，(λ≠0)， 点(2,2)代入得：λ=12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2=12， 即22312x y -=1. （2）∵F 1,F 2是双曲线22312x y -=1的左右焦点， 过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ， 并且交AF 1于Q ，连接OP ， 如下图所示：则11,2OP FQ OP =//1F Q ， 显然2AQP AF P ∆≅∆ 故|AQ |=|AF 2|，∴|F 1Q |=|AF 1|﹣|AQ |=|AF 1|﹣|AF 2|=2a ， ∴|OP |=a 3=由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 3 所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2=3. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题. 11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的长轴长为220，1）的直线l 与M 交于A ，B 两点，且AP PB =． （1）求M 的方程；（2）求点P 的轨迹方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）x 2+2y 2＝2y ．【分析】（1）根据题意2a ＝222c a =，解方程组即可求解. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线与椭圆联立，求出交点坐标，再根据中点坐标公式消k 即可求出轨迹方程. 【详解】（1）由题意可知，长轴长2a ＝a =e c a ==， 则c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝1，所以椭圆M 的方程为2212x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ）， 联立方程组22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得（1+2k 2）x 2+4kx ＝0， 解得x 1＝0，x 22412k k -=+，y 1＝1，y 2221212k k -=+，由题意可知，P 为AB 的中点，所以22212112k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去k ，整理得x 2+2y 2＝2y ，当斜率不存在时，A （0，1），B （0，﹣1）， 则P （0，0），满足x 2+2y 2＝2y ， 所以点P 的轨迹方程x 2+2y 2＝2y ． 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及求曲线的轨迹方程，属于中档题.12．（2020·全国·高三专题练习）设(1,0)F ，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且2MN MP =，PM PF ⊥，P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程；【答案】24(0)y x x =≠ 【分析】根据且2MN MP =，可得P 为MN 的中点，利用PM PF ⊥，可得0PM PF =，从而可得点N 的轨迹C 的方程； 【详解】解：设(,)N x y ，则由2MN MP =，得P 为MN 的中点， 又因为点M 在x 轴上，点P 在y 轴上， 所以(,0)M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭,2x PM y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1,2PF y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又PM PF ⊥，∴0PM PF = 022y y x ⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24(0)y x x ∴=≠；【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，属于基础题．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【分析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用0∆>求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE ，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x 由12DM DP =知：(),2P x y点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C是以()，)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640k k k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k +=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭又(),OE x y = ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-= 215k < ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭ ∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围.14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点(2,0)E -，(2,0)F ，(,)P x y ，是平面内一动点，P 可以与点,E F 重合.当P 不与,E F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为14-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）[8,10].【分析】（1）当P 与点,E F 不重合时，根据直线PE 与PF 的斜率之积为14-，直接可求出动点P 的轨迹方程；当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P ，最后写出动点P 的轨迹方程； （2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1d =同理：2241n k +=，矩形的另一边长为2d =12S d d =⋅=(]48,10=，综上：[]8,10S ∈. 【详解】解：（1）当P 与点,E F 不重合时， 14PE PFk k ⋅=-，得1224y y x x ⋅=-+-，即()22104x y y +=≠，当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P . 综上，动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1221m d k =+，同理：2241n k+=，矩形的另一边长为22211nd k =+， 122222111m n S d d k k =⋅=⋅=++()()()222224144411kk mnk k k ++=⋅++()()42222224174944411k k k k k ++=⋅=⋅+++(]229448,1012k k=⋅+∈++， 综上：[]8,10S ∈. 【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x 的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC 表示成0x 的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：， 同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号， 所以面积的最小值为8.16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【答案】221(0)43x y y +=≠. 【解析】试题分析：借助题设条件运用椭圆的定义及圆的几何性质进行探求. 试题解析：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠． 考点：圆的几何性质及椭圆的定义等有关知识的综合运用．17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(1,2)M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．【答案】250x y -+=． 【解析】试题分析：借助题设条件运用代点消元的思想进行探求. 试题解析：由题意知，M 为PQ 中点，设(,)Q x y ，则P 为(2,4)x y ---，代入230x y -+=， 得250x y -+=．考点：代点消元法求轨迹方程的运用．18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线2212y x -=．过21A （，）的直线与双曲线交于两点1P 及2P ，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程． 【答案】22240x y x y --+= 【分析】设()()111222,,,P x y P x y ，代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P 的轨迹方程．再讨论斜率不存在时是否满足方程即可． 【详解】设()()111222,,,P x y P x y ，代入方程得222212121,122y y x x -=-= 两式相减得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 又设中点P(x y)， 将12122,2x x x y y y +=+=代入，当12x x ≠时得12122202y y y x x x --⋅=- 又121212y y y k x x x --==--代入得22240x y x y --+=当弦12P P 斜率不存在时，其中点20P （，）的坐标也满足上述方程 因此所求轨迹方程是 22240x y x y --+= 【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，属于基础题． 19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点． （1）求ABF ∆的重心G 的轨迹方程； （2）如果2,m ABF =-∆求的外接圆的方程． 【答案】解：①设，，，重心，∴△＞0＜1且（因为A 、B 、F 不共线）故∴重心G 的轨迹方程为（6分）②，则，设中点为∴∴那么AB 的中垂线方程为令△ABF 外接圆圆心为又，C 到AB 的距离为∴∴∴∴所求的圆的方程为（7分）【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，重心G (x ，y )，24{0y x x y m ＝，－＋＝⇒y 2－4y ＋4m ＝0， ∴Δ>0⇒m <1且m ≠－1(A ，B ，F 不共线)， 故12121212152333{433x x y y m mx y y y ＋＋＋－＋－＝＝＝，＋＝＝∴重心G 的轨迹方程为y ＝47133x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且.(2)若m ＝－2，则y 2－4y －8＝0，设AB 中点为(x 0，y 0，) ∴y 0＝122y y ＋＝2，∴x 0＝y 0－m ＝2－m ＝4， 那么AB 的中垂线方程为x ＋y －6＝0， 令△ABF 的外接圆圆心为C (a,6－a )， 又|AB |211k+y 1－y 2|＝6C 到AB 的距离为d 282a －|CA |＝|CF |⇒6)2＋22＝(a －1)2＋(6－a )2⇒a ＝192， ∴C 点的坐标为197,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴|CF |2＝172⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋72⎛⎫⎪⎝⎭2＝1692，∴所求的圆的方程为192x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋72y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＝1692. 20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹方程. 【答案】2240x y x +-= 【分析】先设(,)P x y 2222(2)2(1)x y x y ++-+.【详解】 设(,)P x y ，因为(2,0)A -、(1,0)B ，且2PA PB =，= 整理得2240x y x +-=.即点P 的轨迹方程为2240x y x +-=. 【点睛】本题主要考查轨迹方程，熟记求轨迹方程的一般步骤即可，属于基础题型.21．（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221259x y +=（0y ≠）． 【分析】根据题意可得10BC AC AB +=>，则点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点，求得,,a b c 即可得出答案. 【详解】解：∵ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，周长为18， ∴8AB =，10BC AC +=， ∵108BC AC +=>，∴点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值，且定值大于A ，B 两点间距离， ∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点， ∵210a =，28c =，∴3b =，∴顶点C 的轨迹方程是221259x y +=（0y ≠）．22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程E ；（2）若直线(1)x t t =≠与轨迹E 交于A ，B 两点，直线2BC 交轨迹E 于另一个点M ，连接AM 交x 轴于点N ，试探究；是否存在t ，使得2MC N 的面积等于94？若存在，求出全部的t 值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）221(2)43x y x +=≠（2）存在，137t = 【分析】（1）设动圆P 的半径为r ，根据题意得动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，再根据圆1C 与圆2C 内切于点()2,0，进而得方程221(2)43x y x +=≠； （2）设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，进而根据M ，A ，N 三点共线和221x my =+得121221()N my y x y y =+*+，再联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并结合韦达定理得4N x =，再结合面积得1=M x ，进而得1M x =-，310AM k =，再求解得存在唯一137t =满足题意.（1）解：221:(1)9C x y ++=，222:(1)1C x y -+=设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切所以1231PC r PC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，12124PC PC C C ∴+=>，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，又因为圆221:28C x y x ++=与圆222:20C x y x +-=内切于点()2,0，所以动圆圆心P 的轨迹方程为：221(2)43x y x +=≠ （2）解：设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，则11(,)A x y -∵M ，A ，N 三点共线AM AN k k ∴=，即211211N y y y x x x x +=--，整理得121112()N y x x x x y y -=++ 又221x my =+代入，121221()N my y x y y =+*+ 联立22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩122634my y m -∴+=+，122934y y m -=+ 代入()*可得4N x =， 又229342MC NSy =⇒=，21x =， 因为1t ≠，所以21x ≠-，故21x =-，11310AM N y k x x ∴==±-，由对称性，不妨取310AM k = 3:(4)10ANl y x ∴=-代入椭圆22143x y +=，得276130x x --=1137M x x ∴⋅=-，1137x ∴=， ∴存在唯一137t =满足题意。
轨迹方程问题专题-求轨迹方程
轨迹方程问题专题常见的有六种求轨迹方程的方法：①待定系数法：由几何量确定轨迹方程；②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程；③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程；④“代入法”求轨迹方程；⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程．⑤“交轨法”求轨迹方程；一．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围．例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；二．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程例2．已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
三．参数法求轨迹方程：例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程；（3）在（2）中求ODE ∆的重心G 的轨迹方程。
四．“代入法”求轨迹方程：设点M 是已知曲线F （x ，y ）＝0上的动点，点P 因点M 的运动而运动（即点P 是点M 的相关点），求点P 的轨迹方程．①设点M 的坐标为M （0x ，0y ），则F （0x ，0y ）＝0；②设点P 的坐标为P （x ，y ）；③因为“点P 随点M 的运动而运动”，可以求得：0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）；④把0x ＝f （x ，y ），0y ＝g （x ，y ）代入F （0x ，0y ）＝0，即得所求点P 的轨迹方程．例 4.已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程.100(,)P x y 222218x y b b-=b 2F 1P A 2F A y 2P 1P 2P P E 2F 1F O y xA 2P 1P P五．“交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y ）＝0和动曲线G(x ，y)＝0相交于点P ，求点P 的轨迹方程．从理论上，其求解程序为：①设动点P 的坐标为：),(P P y x ；②解方程组⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F ，求交点即得到． 其中一般会含有参数，有一个消除参数的难点．例5．已知椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．（1）求a 与b 的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为1F 和2F ，直线1L 过2F 且与x 轴垂直，动直线2L 与y 轴垂直，2L 交1L 于点P.求线段1PF 的垂直平分线与直线2L 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.例7．已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，=λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．例8．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 练习：1.分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是_______.2.已知点F 为抛物线22y x =的焦点，P 在抛物线上运动，则线段PF 的中点轨迹方程是 .3.已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ ），如果M 是线段1F P 的中点，则动点M 的轨迹是( ).（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 4.设A ，B 分别是直线255y x =和255y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程. 5.已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为F(0,3)，过点F 且垂直长轴的弦长为，(1) 求椭圆的方程;(2) 过椭圆上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.OP OM1C 11C 1C。
【教案】高三复习微专题——《轨迹方程问题》教案
高三复习微专题——《轨迹方程问题》教案一、教学目标1、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。
2、培养学生的观察能力，抽象概括能力。
3、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。
二、教学重点与难点【教学重点】1、运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹2、定义法、参数法求轨迹方程3、立体几何中的轨迹问题【教学难点】1、合理选择方法求参数方程2、立体几何中的轨迹问题三、教学方法和手段【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。
【教学手段】通过多媒体动态演示，突破学生在旧知识和新知形成过程中的障碍（静态到动态）；另一方面，节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生的学习兴趣。
四、教学过程（一）复习回顾常用的圆锥曲线轨迹方程的求法：直译法、定义法、相关点法、参数法（二）导入新课【定义法】方法指导：若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的系数即可。
【牛刀小试】1、已知ABC ∆的周长是18，(4,0),(4,0)A B -，求点C 的轨迹方程。
2、已知动圆M 和圆221:(1)36C x y ++=内切，并和圆222:(1)4C x y -+=外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
例1：已知圆:C 2218x y ++=（）,定点(1,0)A ，M 为圆上一动点，P 在AM 上，N 在CM 上，且满足2,0AM AP NP AM =⋅=，求点N 的轨迹方程。
例2：P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程。
【参数法】方法指导：有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现：该动点常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法称为参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可。
高中数学「求轨迹方程」知识点梳理+例题精练,建议收藏~
专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
高中数学课件-求轨迹方程
④化简：把方程化成最简形式
⑤证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上 建系设点---列方程---化简---审查
3.求轨迹方程的常用方法(坐标法)： ⑴直接法(直译法) ⑵定义法 ⑶相关点法(代入法) ⑷参数法 ⑸交轨法
例1.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0)距离之比为 1
的点的轨迹，求此曲线的方程 2
当 k 1时，点P轨迹方程为 x 1，轨迹为线段OA的中垂线
当k
1 时，点P轨迹方程为
(x
k22k21)2
y2
(k
4k 2 2 1)2
2k 2 轨迹为以点 ( k 2 1,0)
为圆心， 2k k2 1
为半径的圆
阿氏圆
.P
.
O
Ax
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
动点，求线段AB的中点P的轨迹方程
解法2：取OA的中点Q，连接OB,PQ，因为P为AB的中点
所以PQ为△OAB的中位线 PQ 1 OB 1
定
2 所以点P的轨迹为以Q为圆心，1为半径的圆
义
其方程为 (x 3)2 y2 1
解：(直译法) 设点P(x,y)为所求轨迹上任意一点，则
x2 y2 1 (x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
所求曲线的方程为(x 1)2 y2 4
y
M.(x,y)
.
(-1,0) O
A. (3,0)
x
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
轨迹方程指出轨迹的形状，位置等特征
1.轨迹和轨迹方程的概念：平面上一动点M按一定规则 运动形成的曲线叫做动点M的轨迹，在平面直角坐标系