高中数学3.1.1直线的倾斜角与斜率1教案新必修2
高中数学《3.1.1 直线的倾斜角与斜率（1）》教案新人教A版必修2
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线
的倾斜角与斜率的第一课时。
直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的
作用。
一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜
率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析
本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：
1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;
2. 斜率计算公式的运用.
三、教学目标
知识与技能
1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2.理解直线的倾斜角的唯一性.
3.理解直线的斜率的存在性.
4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索
能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树
立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神
四、教学重点，难点
重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
难点：斜率公式的应用。
五、教学过程
(一)．复习旧知
问题1:正切函数的定义及定义域
问题2: 正切函数的图象与单调性
(二).问题情境
问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定
吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联
系呢?
(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.
问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
(三).形成定义
定义1:直线倾斜角的概念：x轴正向与直线向上方向之间所成的
角叫直线的倾斜角
注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
问题5:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α＜180°.
问题6: 倾斜角的用处是什么?
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
问题7:直线a ∥b ∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗?
答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
结论:确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P 和一个倾斜角α,二者缺一不可.
定义2:直线斜率的概念：直线倾斜角α的正切值叫直线的斜率. 常用k 表示,tan k α=
问题8:当直线倾斜角为90︒度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
问题9:斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?
问题10:给定两点P 1 (x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,如何用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率? 定义3:直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点111(,)p x y 与222(,)p x y ,则过这两点的直线的斜率2121
y y k x x -=- 问题11:(1)直线的倾斜角α确定后, 斜率k 的值与点1p ,2p 的顺序是否有关?
(2)当直线平行表于y 轴或与y 轴重合时,上述公式2121
y y k x x -=
-还适用吗? (四).归纳总结
对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x 轴垂直；
(2) k 与P 1、P 2的顺序无关, 即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子
与分母不能交换;
(3) 斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y 1=y 2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合.
(五).应用举例
例1．已知 A （3，2），B （-4，1），C （0，-1）求直线AB 、AC 、BC 的斜率,并判断这些直线的
倾斜角是锐角还是钝角.
(六).课堂练习
教材P86面练习第1、2、3题。
(七).归纳总结
1.直线的倾斜角
2.斜率的概念
3.斜率的计算公式.
4. 倾斜角与斜率的关系.
(八).课外作业：
教科书第89面1,2,4。
最新直线的倾斜角与斜率说课稿
人教A版必修二《3.1.1直线的倾斜角与斜率》说课稿各位老师大家好！我说课的内容是人教A版必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率第一课时。
我将根据新课标的理念，高二学生的认知特点设计本节课的教学。
下面我将从教材分析、学情分析、教法和学法以及教学过程四个环节谈一谈我对本节课的理解和处理。
（一）教材分析直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任。
本节课涉及了两个概念――倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直都要用到这个概念；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续微积分的学习奠定了基础。
一个值得我们思考的问题是新教材为什么改变了旧教材的授课顺序，换以本节课作为解析几何的入门课？我个人认为，教材是为了更突出解析几何的本质――几何问题代数化。
而最简单的几何图形就是直线。
教材正是想通过让学生首先经历把直线的几何特征代数化这一过程，初步体会用解析法研究几何问题的思想。
因此在本课时的教学中不但要落实显性知识――倾斜角与斜率，更要落实隐性知识――几何问题代数化。
（二）学情分析高二学生经历了函数的学习，初步形成了数形结合的能力，另外通过初中的学习，已经具备了直角坐标系的相关知识，这些都为本节课知识的生长点奠定了基础。
但根据高二提高班学生的认知规律，还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能力。
所以在教学设计时如何找到学生的最近发展区进行探究学习，尽量让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，就成为教学的一个重要问题。
针对上述分析，结合高中数学课程标准和教材，同时考虑到高二学生的认知规律，将制定如下教学目标，教学重点和难点。
知识与技能目标理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力。
过程与方法目标通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。
教案直线的倾斜角与斜率教案
3.1.1直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
理解直线倾斜角的唯一性。
理解直线斜率的存在性。
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式。
难点：用代数方法推导斜率的过程。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题问题1、（出示幻灯片）给出的两点相同吗？从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。
从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分）问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式（1）已知直线上两点（2）已知直线上一点和直线的方向（倾斜角、倾斜程度）问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。
在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。
选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？（教师引导学生选取不同的方向来描述角）。
数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x 轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。
高中数学必修2第三章直线与方程教案有三维目标
第三章直线与方程3.1.1 直线的倾斜角和斜率授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标：1、知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
2、过程与方法：（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
（2）经历用代数方法刻画直线斜率公式的推导过程。
3、情感态度与价值观：（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
二、教学重点、难点重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。
难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
三、学法指导：启发、引导、讨论。
四、教学过程：（一）直线的倾斜角的概念思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题1：已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？问题2：过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．。
特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α = 0°。
范围：0° ≤ α ＜180°。
当直线l 与x 轴垂直时，α = 90°。
当直线a ∥b ∥c ，它们的倾斜角α相等，所以一个倾斜角α不能确定一条直线。
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素： 一个点．．．P ．和一个倾斜角．．．．．．α．. 。
（二）直线的斜率思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（前进量升高量比坡度=)(） 定义：一条直线的倾斜角α（α ≠ 90°）的正切值叫做这条直线的斜率。
高中数学必修2《直线的倾斜角和斜率》教案
3.1.1直线的倾斜角和斜率教材：选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修2一、教学目标1、知识目标（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，主动构建理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）掌握直线的倾斜角与斜率的关系，会求直线的倾斜角和斜率。
2、能力目标（ 1）引导学生观察发现、类比，猜想和实验探索，培养学生的分析、抽象、归纳能力及创新能力和实践能力；（2）突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的发散性思维能力。
3、思想目标通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，进一步提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力 , 使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生的数形结合思想和综合运用知识解决问题的能力。
4、美育目标帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，使学生体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点与难点重点： 1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念以及它们的相互关系；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
难点： 1、倾斜角概念的形成，对斜率概念的理解。
2、用代数方法推导斜率的过程；3、直线的斜率与其倾斜角之间的关系。
三、教学方法与手段教学方法：观察发现、启发引导、探索实验。
教学手段：“启发探究式”教学法；计算机辅助教学与引导法相结合；坚持协同创新原则。
四、教学过程教学教学过程设计意图环节创设问题情境，激发了学生的创新意识，营造了创情问题情境 1、如何确定一条直线的位新思维的氛围。
景置？通过这四个问题，打开了设问题情境 2、用一个很小的等腰直角学生的原有认知结构，为置 ,三角板，能不能画出一个很大的正方知识的创新做好了准备；引形的对角线？怎么画？同时也让学生领会到，直入问题情境 3、第二个问题对你解决第线的倾斜角这一概念的课一个问题有什么启示？产生是为了研究直线，从题通过讨论探究得出：两点可以确定一而明确新课题研究的必条直线。
直线的倾斜角和斜率教学设计
§ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率一、教材分析本课是解析几何第一课时。
“万事开头难”, “好的开始是成功的一半”, 解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现, 因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念, 还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。
直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度, 倾斜角用几何位置关系刻画, 斜率从数量关系刻画, 二者的联系桥梁是正切函数值, 并且可以用直线上两个点的坐标表示。
建立斜率公式的过程, 体现了坐标法的基本思想: 把几何问题代数化, 通过代数运算研究几何图形的性质。
本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念, 它主要起过渡作用, 是联系新旧知识的纽带, 研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念, 不仅其建立过程很好地体现了解析法, 而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用, 这是因为在直角坐标系下, 确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率, 其他形式都可以化归到这两个条件上来。
综上, 从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑, 斜率概念是本课时的核心概念。
（一）直线的斜率在高中数学课程中的地位作用随着后续内容的学习, 我们逐渐发现, 一点和倾斜程度确定直线的很多应用: 直线的方向向量、直线的参数方程等等。
另外, 从加强知识内容的联系性, 从不同角度看待同一数学内容的角度看, 如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型, 那么从变化的角度看, 直线是线性的, 它描述的是均匀变化, 是最简单的变化之一。
即直线在某个区间上的平均变化率, 与直线上任意一点的瞬时变化率（导数）是相同的, 都等于这条直线的斜率。
一切不均匀的变化或者非线性的变化, 在某个很小的区间（领域）内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。
这也是为什么用线性的研究非线性的, 以直代曲, 用平均变化率研究瞬时变化率（导数）的原因。
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
高中数学 3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案
直线的倾斜角和斜率教学设计一、教学目标：1、知识目标：理解倾斜角、斜率的概念。
了解斜率公式的推导过程。
2、能力目标： 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，引导学生观察，类比，探索发现，帮助学生进一步理解特殊到一般的思想，数形结合的思想，渗透辩证唯物主义的思想，初步感受几何问题代数化的解析几何研究思想。
3、德育目标：通过数形结合的思想，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神。
通过学生之间师生之间的交流合作，实现共同探究的目标，学生进一步体会合作精神。
【目标分析】在学习倾斜角，斜率，斜率公式的同时，让学生体会到知识产生和发现的方法，感受其中体现的数学思想，在这个过程中培养学生的数学思维，和同学老师的合作探究的行为方式。
二、教学重点：用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。
教学难点：直线的斜率与它的倾斜角的关系。
【重难点突破的方法】通过对坡度概念的理解，引入了斜率。
在直线的斜率公式的推导中，借助于坡度的计算方法的理解，很自然就解决了这个问题。
斜率和倾斜角的关系，借助于直角组体会倾斜角变化引起的斜率的变化。
三、教学方法：在多媒体的课件的支持下，让学生在教师引导下，积极探索，体会概念的发现和形成过程，体验解析几何的研究方法。
四、教学过程1、介绍解析几何的背景。
解析几何的思想：借助于坐标系，用代数的方法研究几何问题。
【设计意图】给出三篇阅读材料，让学生对解析几何的思想有个初步的了解。
2、坐标系中的直线的倾斜角。
问题1：平面内确定直线的条件是什么？用一个点呢？答：两点问题2：已知一个点如何确定直线？【设计意图】由两点到一点确定直线，引出倾斜角。
（出示幻灯片）（总结：确定直线有两种方式：两点或者直线上一点和直线的方向）同学们讨论几种答案后，最终确定用直线与x 轴正方向所形成的角来确定直线的位置。
定义：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上的方向之间所形成的角α叫直线l 的倾斜角。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
一、教案内容1.1 直线的倾斜角【教学目标】理解直线的倾斜角的概念,掌握求直线倾斜角的方法,能运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学重点】直线的倾斜角的概念,求直线倾斜角的方法。
【教学难点】如何运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习直线的斜率概念,引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
(2)讲解:介绍直线的倾斜角的概念,讲解求直线倾斜角的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线倾斜角的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的倾斜角解决实际问题,如求直线的倾斜角和斜率,判断直线的方向等。
1.2 直线的斜率【教学目标】理解直线的斜率的概念,掌握求直线斜率的方法,能运用直线的斜率解决相关问题。
【教学重点】直线的斜率的概念,求直线斜率的方法。
【教学难点】如何运用直线的斜率解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习倾斜角的概念,引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
(2)讲解:介绍直线的斜率的概念,讲解求直线斜率的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线斜率的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的斜率解决实际问题,如判断两直线是否平行或重合,求直线的倾斜角等。
二、教案说明本教案分为两个课时,第一课时讲解直线的倾斜角,第二课时讲解直线的斜率。
在教学过程中,注重让学生通过实例来理解和掌握概念和方法,并在应用环节中引导学生将所学知识运用到实际问题中。
,教案中还提供了丰富的练习题,以便学生巩固所学知识。
六、直线的斜率计算【教学目标】掌握直线斜率的计算方法，能够运用直线的斜率解决实际问题。
【教学重点】直线斜率的计算方法。
【教学难点】如何运用直线斜率解决实际问题。
【教学准备】直角坐标系，多媒体设备。
【教学过程】（1）引入：复习上节课的内容，引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
人教课标版高中数学必修2《倾斜角与斜率》教学设计
3.1直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解直线的概念、认识直线的特征，了解用具体的数来度量直线的几何特征，在数量和图形形状之间建立起对应关系，逐步培养数形结合的数学思想． （二）学习目标 1．通过实例，了解直线的几何特征和确定一条直线的必要条件． 2．认识用数量来度量几何特征的实际例子“倾斜角”，“斜率”． 3．能认识直线的倾斜角，掌握倾斜角与斜率之间的关系，4．能根据倾斜角求斜率，能根据两点坐标求斜率．（三）学习重点 1．用数量度量几何性质的思想和方法． 2．直线的倾斜角与斜率．3．两点连线的斜率公式．（四）学习难点 1．由形到数的数学思维的变化． 2．定义倾斜角，斜率这种新知识的理解．3．由局部的坡度到整个范围的斜率的过程和理解．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第82页至第86页，填空：当直线与x 轴相交时，我们去x 轴作为基准，把x 轴的正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角． 当直线与x 轴平行或者重合时相交时，我们规定，直线l 的倾斜角．直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣．我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即：tan kα＝． 当直线的倾斜角α为090时，这条直线的斜率不存在．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 2．预习自测（1）一条光线经过M (3，5)，与x 轴正方向成060，经过x 轴反射，则反射光线所在直线的倾斜角为（ ）A ．060B ．0120C ．0150D ．060-【答案】B ．（2）如图,直线L 1,L 2,L 3,的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则k 1,k 2,k 3的大小关系为 (从小到大). A ．k 1<k 2<k 3B ．k 1>k 3>k 2C ．k 1>k 2>k 3D ．k 1<k 3<k 2【答案】C ．（3）过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4【答案】A (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识直线的倾斜角 ●活动① 画图，展示，认识直线的倾斜角请在同一个直角坐标系内画出经过原点，倾斜角分别为30°，90°，150°的三条直线，并且标记出各自的倾斜角．【设计意图】从视觉概念到具体动手展示，体会数学概念的形象化●活动②辨析概念、分析概念的合理性观察与思考一：如图为直角坐标系经过原点，倾斜角为30°的直线，将直线沿原点按逆时针方向旋转180°，360°，k·180°，k·360°，k Z所得的直线与原直线的关系怎么样？旋转后所得的直线与原直线重合观察与思考二：结合角度的定义，该直线的向上的方向与x轴正向所成的角度可以为30°，210°……k·180°+30°，为什么我们定义该直线的倾斜角为30°?这样做有什么好处?结合该问题，谈谈我们定义直线l的倾斜角的范围是0°≤α＜180°的合理性．如果我们认为直线的倾斜角为k·180°+30°，则一条直线的倾斜角就会无穷多个，会造成辨析上的混乱，定义一个概念当然希望概念清晰，简洁．易于辨识和应用．当定义直线l的倾斜角的范围是0°≤α＜180°时，保证了每条直线都有唯一的倾斜角．这样就对直线的方向性特征作出了清晰简洁的描绘．【设计意图】通过概念辨析，加深对倾斜角内涵与外延的理解，突破重点．●活动③举例归纳，提升概念的理解例1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是( )A．[0°，90°) B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)【知识点】倾斜角的定义【数学思想】数形结合．【解题过程】直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．【思路点拨】通过图形分析．【答案】C．【设计意图】通过具体实例，让学生从图形角度加深对倾斜角的理解．例2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°【知识点】倾斜角的定义【数学思想】数形结合．【解题过程】当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°．当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D．【思路点拨】通过图形分析．【答案】D．【设计意图】通过具体实例，让学生从图形角度加深对倾斜角内涵与外延的理解，突破重点与难点．探究二探究直线的斜率与倾斜角的关系●活动①结合实例，理解定义的科学性日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？与倾斜角的正切值相等．即：k=tan α(α≠90°)，特别的当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．【设计意图】通过生活常识理解斜率的概念，逐步抽象斜率的概念．●活动②辨析概念，加深理解例3：下列说法中，正确的是( )A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα【知识点】倾斜角的定义【数学思想】【解题过程】对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D．【思路点拨】结合定义．【答案】D．【设计意图】通过一般情况，特殊情况的情景分析，逐步加深对概念的理解●活动③展示举例，深化概念的理解研究过原点的直线的斜率任务（1）：研究0°≤α＜90°的直线的斜率图中直线上的点O（0,0），P（1，m），当横坐标x从0到1增加一个单位时,纵坐标y从0增加到m(m≥0),称k为这直线的斜率tanα=m任务(2)：研究90°＜α＜180°的直线的斜率图中直线上的点O （0,0），P （1，－n ），当横坐标x 从0到1增加一个单位时,纵坐标y 从0减少了n(n ＞0),称－n 为这直线的斜率tan α=－n研究不过原点直线的倾斜角和斜率直线l 与l 1平行(与x 轴不垂直),则直线l 的斜率k=tan α 倾斜角α=90°的直线的斜率不存在任务（3）总结随着倾斜角的变化，斜率的变化情况情景1 α =0°时,斜率k 等于多少?k=tan0°=0情景2 0°＜α＜90°时,斜率k 是正还是负? 倾斜角α变化时,直线的斜率k 如何变化?k =tan α＞0，倾斜角越大,斜率也越大.情景3 90°＜α＜180°时,斜率k 是正还是负? 倾斜角α变化时,直线的斜率k 如何变化?k =tan α＜0，倾斜角越大,斜率也越大.90°＜α＜180°0°≤α＜90°【设计意图】通过学生自己动手，总结，辩论加深对倾斜角，斜率关系的理解 探究三 深化概念的应用、研究斜率与坐标的关系 ●活动① 归纳推理、理解提升两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率．看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系．问题一：在平面直角坐标系中，已知直线上两点111(,)P x y ，222(,)P x y 且12x x ≠，能否用12,P P 的坐标来表示直线斜率k ?设直线12PP 倾斜角为090αα≠（）当直线12PP 方向向上时，过点1P 作x 轴的平行线，过点2P 作y 轴的平行线，两线交于点Q ，则点Q 为21(,)x y（1）当α为锐角时，21P QP ∠=α，21x x <，21y y <，在Q P P Rt 21∆中，12121221tan tan x x y y QP QP P QP --==∠=α（2）当α为钝角时，θα-= 180（设12=QPP θ∠），21x x <，12y y < tan =tan(180)tan αθθ-=-，在Q P P Rt 21∆中，1212121212tan x x y y x x y y QP QP ---=--==θ1212tan x x y y --=∴α（可让学生分组推导）同理，当直线21P P 方向向上时，无论α为锐角或钝角，也有1212tan x x y y --=α，即1212x x y y k --=思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与12,P P 这两点坐标顺序有关系吗？结论一致，与顺序无关2、当直线垂直于x 轴或y 轴时，上述结论适用吗？ 垂直于x 轴不适用，垂直于y 轴时适用．3、斜率公式使用时应注意什么问题？12x x ≠，【设计意图】通过学生自己动手推导公式，让学生体验公式来源，加深对知识的理解 ●活动② 例题训练，加深理解与掌握例4：求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角．（1）(3,2)A ,(4,1)B - （2）(3,2)A ,(4,1)B （3）(3,2)A ,(3,1)B - （4）(3,2)A ,(4,2)B -【知识点】倾斜角与斜率的关系 【数学思想】【解题过程】建立斜率与坐标的关系逐个计算斜率的值（1）71=AB k ，锐角； （2）1ABk ，钝角；（3）不存在，直角；（4）0=AB k ，0° 【思路点拨】结合定义． 【答案】（1）71=AB k ，锐角；（2）1AB k ，钝角；（3）不存在，直角；（4）0=AB k ，0°． 【设计意图】通过例题深化公式的运用和记忆 （三）课后作业 基础型 自主突破1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) 【知识点】倾斜角与斜率的概念，关系． 【数学思想】【解题过程】D ，任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确． 【思路点拨】倾斜角与斜率的概念，关系判断． 【答案】D ．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝（ ） A ．－32B．3 2C．－1D．1【知识点】斜率与坐标的关系．【数学思想】【解题过程】选C，tan 45°＝k AB＝y＋34－2，即y＋34－2＝1，所以y＝－1.【思路点拨】建立斜率与坐标的关系．解未知数．【答案】C．3．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为（）A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1【知识点】倾斜角与斜率的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】A，根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．【思路点拨】倾斜角与斜率的关系．【答案】A．4．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞－1C．－1＜m＜1D．m＞1或m＜－1【知识点】倾斜角与斜率的关系．【数学思想】【解题过程】C ，直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.【思路点拨】建立斜率与坐标的关系倾斜角与斜率的关系，解不等式． 【答案】C ．5．如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,3]【知识点】倾斜角的定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】画图，分析图像的极端情况．过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．【思路点拨】倾斜角定义以及与斜率的关系． 【答案】B ．6．若直线过点 (4,2)，(1，2＋3)，则此直线的倾斜角是（ ） A ．150° B ．45° C ．60° D ．90°【知识点】倾斜角与斜率的关系的定义．斜率与坐标的关系． 【数学思想】【解题过程】设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝150°.【思路点拨】倾斜角定义以及与斜率的关系． 【答案】A ． 能力型 师生共研7．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．【知识点】倾斜角与坐标关系，解方程．【数学思想】方程思想【解题过程】由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.∴k AC＝(－m＋3)－4m＋1，k BC＝(m－1)－42－(－1).∴(－m＋3)－4m＋1＝3·(m－1)－42－(－1).整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4.【思路点拨】利用斜率与坐标的关系建立方程．【答案】m＝4．8．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．【知识点】三点共线与斜率的关系，斜率与坐标的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.【思路点拨】三点共线则斜率相等．【答案】a＝2或2 9．探究型多维突破9．如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．【知识点】数学结合，倾斜角的概念．【数学思想】数形结合【解题过程】因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.【思路点拨】．画图研究角度间的关系【答案】30°10．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x 的最大值和最小值．【知识点】数学结合，用几何意义解释数学等式． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.【思路点拨】用几何意义解释数学等式．【答案】最大值为2，最小值为23.自助餐1．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是（ ）A ．7B ．－77C ．77D ．－7【知识点】斜率的定义．【数学思想】数形结合【解题过程】画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图所示，显然直线l 2的斜率为7.【思路点拨】在图像中寻找两条直线的关系．【答案】A ．2．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是（） A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0【知识点】倾斜角与斜率的关系，斜率与坐标的关系．【数学思想】【解题过程】k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π．【思路点拨】建立斜率与坐标的等式．【答案】B ．3．已知直线l 的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率是________．【知识点】倾斜角与斜率的关系，三角函数．【数学思想】【解题过程】∵α为倾斜角，∴0≤α＜π.∵sinα＋cosα＝15，∴sinα＝45，cosα＝－35.∴tanα＝－4 3.【思路点拨】利用同角度的三角函数之间的关系．【答案】－4 3．4．直线l过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则k cosα的取值范围为________．【知识点】倾斜角与斜率的关系，三角函数值的正负．【数学思想】数形结合【解题过程】由题意可得α∈(π2，π)，∴k·cosα＝tanα·cosα＝sinα∈(0,1)．【思路点拨】画图得到倾斜角的范围．【答案】(0,1)．5．已知点M是直线l：3x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的斜率．【知识点】倾斜角与斜率的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】在3x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．∵直线l的斜率k＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为3 3.【思路点拨】画图得到倾斜角情况． 【答案】不存在或者33 ．6．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． 【知识点】斜率与坐标的关系的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]． 【思路点拨】数形结合赋予数学式几何意义．【答案】[－16，53]．。
人教课标版高中数学必修二《直线的倾斜角与斜率、平行与垂直的应用》教案(1)-新版
3.1直线的倾斜角与斜率3.1.3 直线的倾斜角与斜率、平行与垂直的应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，加深数形结合思想的应用，灵活的运用斜率公式，定义，与其它知识融合，提升数学思维和数学能力． （二）学习目标 1．深化倾斜角和斜率的关系变化．2．灵活运用两点连线的斜率公式，提升数形结合思想．3．结合其它函数，三角知识，提高数学能力．（三）学习重点 1．数形结合的思想和方法． 2．公式的熟练应用．3．综合性问题的解题途径和策略的学习．（四）学习难点 1．数学结合思想的实际应用． 2．多内容融合后的分析问题的方法．3．几何性质转化为数学等式的能力．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）回顾前两节的知识，填空：直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣． 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即：tan k α＝．经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⇔12αα＝⇔12k k ＝．当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⊥⇔12k k ＝-1．2．预习自测（1）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．3【知识点】直线的斜率． 【数学思想】数形结合．【解题过程】结合图形，通过画图平移直线 【思路点拨】从图形入手 【答案】A（2）若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）A ．21B ．21- C ．2- D ．2【知识点】点的坐标与直线的斜率．【解题过程】三点共线则任意两点间连线的斜率相等，建立方程求解． 【思路点拨】点的坐标与直线的斜率的关系建立方程 【答案】A（3）已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2≥k 【知识点】点的坐标与直线的斜率． 【数学思想】数形结合【解题过程】先求出P 与两个端点连线的斜率，再从图形得到范围． 【思路点拨】数形结合得答案 【答案】C (二)课堂设计 1．问题探究探究一 复习倾斜角和斜率的定义，公式，应用 ●活动① 回顾知识请在笔记本上分别画出一条倾斜角为锐角、直角、钝角的直线，默写斜率公式．【设计意图】回忆已有知识，加强知识的记忆．●活动②例题解答，加深对知识的理解和掌握．例1．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【知识点】直线的关系，直线的斜率．【数学思想】数形结合．【解题过程】从题目意义理解，建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用，则所得射线与原射线平行；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，则所得射线与原射线起点相同，斜率更大．【思路点拨】从实际问题的意义去理解【答案】B【设计意图】通过实际问题的分析，培养学生应用数学知识的能力，加深对直线斜率的理解．●活动③例题解答，加深对知识的理解和技巧的掌握．例2．已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求yx的最大值与最小值．【知识点】斜率与坐标的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】yx的几何意义是过M(x，y)，N(0，0)两点的直线的斜率∵实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3， ∴设该线段为AB 且A (2，4)，B (3，2)．∵k NA ＝2，k NB ＝23，∴y x 的最小值为23，最大值为2． 【思路点拨】联想斜率公式． 【答案】y x 的最小值为23，最大值为2． 【设计意图】通例题的解答，加强对斜率的坐标公式的理解和掌握． ●活动④ 变式练习，加深对知识的理解和技巧的掌握，培养学生综合能力．变式一．过原点引直线l ，使l 与连接)1,1(A 和)1,1(-B 两点间的线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是 ．【知识点】斜率与坐标的关系，倾斜角与斜率的关系． 【数学思想】数形结合【解题过程】A (1，1)，B (1，-1)． ∵k OA ＝1，k OB ＝1-，结合图形∴[]1,1k ∈-，联系倾斜角{}|045,135180ααα︒≤≤︒︒≤<︒或【思路点拨】先求斜率范围，再联系倾斜角与斜率的关系求倾斜角范围． 【答案】{}|045,135180ααα︒≤≤︒︒≤<︒或．【设计意图】通例题的解答，加强对斜率与倾斜角关系的理解和掌握． ●活动⑤思考与总结：倾斜角的变化与斜率变化的规律探究二 复习两直线平行，垂直的关系与应用 ●活动① 回顾知识请在笔记本上默写两条直线相互垂直的条件和两直线平行的条件． 【设计意图】回忆已有知识，加强知识的记忆． ●活动② 例题解答，加深对知识的理解和掌握．例3．已知直线1l ：012=++y a x 和直线2l ：03)1(2=+-+by x a ．（1）若12-=b ，21//l l ，求a 的值； （2）若21l l ⊥，则b a ⋅的最小值． 【知识点】两条直线的平行、垂直关系．【解题过程】12-=b ，21//l l ，则22(1)a a b +=-得到3±=a ；21l l ⊥则22(1)0a a b +-=，得到222(1)1112a b ab a a a a+==+⇒=+≥ 【思路点拨】用平行与垂直的关系的关系建立等式 【答案】（1）3±=a （2）2【设计意图】通过例题的解答，加深两条直线的平行、垂直关系理解和掌握． ●活动③变式练习，加深对知识的理解和技巧的掌握，培养学生综合能力．变式二：若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0【知识点】斜率与坐标的关系． 【解题过程】∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，∴1a －1b ＝1．∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab )]≥2＋2＝4．(当a ＝－b ＝2时取等号)． 【思路点拨】先建立关系，再求范围． 【答案】A ．【设计意图】通学生动手练习，加强对斜率公式理解和掌握． ●活动④ 例题解答，加深对知识的理解和技巧的掌握．例4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0 与bx﹣y sin B+sin C=0的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【知识点】解三角形，两条直线的平行、垂直关系．【解题过程】a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长则sin sin sin a b c A B C ==，则1212sin ,1sin A bk k k k a B=-=⇒=-，所以两直线垂直． 【思路点拨】利用正弦定理寻找关系 【答案】A【设计意图】通过例题的解答，加深两条直线的平行、垂直关系理解和掌握． 【答案】A 3．课堂总结 知识梳理整理与记忆前两节公式． 直线l 的倾斜角的范围是)000,180α⎡∈⎣．我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率，即tan k α＝． 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y ()12x x ≠的直线的斜率2121y y k x x --＝． 当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⇔12αα＝⇔12k k ＝．当直线l 1，l 2的斜率存在时，12l l ⊥⇔12k k ＝-1．重难点归纳公式2121y y k x x --＝应用的过程中数形结合． （三）课后作业 基础型 自主突破1．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在【知识点】倾斜角与斜率的概念，关系． 【数学思想】【解题过程】若A 、B 两点的横坐标相等，倾斜角为90°，斜率不存在． 【思路点拨】倾斜角与斜率的概念，关系判断． 【答案】C ．2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°【知识点】倾斜角的概念 【数学思想】数形结合【解题过程】直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°．【思路点拨】画图了解． 【答案】C ．3．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．12D ．2【知识点】斜率定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2． 【思路点拨】画图． 【答案】D ．4．已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12//l l ”的（ ）条件．A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要 【知识点】两直线平行的关系． 【数学思想】【解题过程】()()()()1242//2412m m l l m m m +=-+-⇒-=±⇒，【思路点拨】 【答案】B ．5．已知三条直线2310x y -+=， 4350x y ++=， 10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（ ）A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【知识点】直线间的关系． 【数学思想】数形结合【解题过程】不能构成三角形，则有三种可能，即第三条直线分别于两条已知直线平行或者三条直线交于一点，得到422,,333m ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭．【思路点拨】考虑各种情况． 【答案】D ．6．已知过点()m A ,2-和点()4,m B 的直线为21,l l ：012=-+y x ，3:10l x ny ++=．若,//21l l 32l l ⊥，则实数n m +的值为（ ） A ．-10 B ．-2 C ．0 D ．8 【知识点】直线间的关系．【解题过程】12//8l l m ?-，232l l n ^?-，所以10m n +=-． 【思路点拨】根据关系求值． 【答案】A ． 能力型 师生共研7．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°． 【知识点】倾斜角与坐标关系，解方程． 【数学思想】方程思想【解题过程】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k P A ＝0－2a －1＝－2a －1． 又∵直线P A 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233．∴点P 的坐标为)0,3321(-． (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )．同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3)．【思路点拨】．利用斜率与坐标的关系建立方程 【答案】)0,3321(-或(0,2－3)． 8．已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________．【知识点】倾斜角的定义． 【数学思想】数形结合【解题过程】设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知： 180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°， k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1． 【思路点拨】三点共线则斜率相等． 【答案】－1． 探究型 多维突破9．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)． (1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围． 【知识点】数学结合，倾斜角斜率的综合运用． 【数学思想】数形结合 【解题过程】(1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0，k BC ＝3＋1－12－1＝3．k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．又∵tan 0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°． tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°． tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3．【思路点拨】利用k ＝y 2－y 1x 2－x 1及k ＝tan α求解．【答案】（1）30°；（2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，310．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值． 【知识点】数学结合，用几何意义解释数学等式． 【数学思想】数形结合【解题过程】如图所示，由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段 A B上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,1)，B (－1,5)．则k P A ＝1－(－3)1－(－2)＝43，k PB ＝5－(－3)－1－(－2)＝8．∴43≤k ≤8，∴y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43．【思路点拨】用几何意义解释数学等式．【答案】最大值为8，最小值为43．自助餐1．下列说法正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【知识点】倾斜角，斜率的概念．【解题过程】A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存 在，故正确．【答案】D ．2．已知直线()()13310l k x k y -+-+=：与()223230l k x y --+=：垂直，则k 的值是（ ） A ．2或3 B ． 3 C ． 2 D ． 2或3-【知识点】两条直线垂直时的斜率的关系．【解题过程】2123l l k k ^?=或，当3k =时经检验不符条件 ．【思路点拨】建立斜率的等式．【答案】C ．3．光线从点A (－2，3)射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C (1,23)，则光线BC 所在直线的倾斜角为________．【知识点】入射光与反射光的斜率互为相反数．【数学思想】数形结合【解题过程】A (－2，3)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－3)，由物理知识知k BC ＝k A ′C ＝23－(－3)1－(－2)＝3， 所以所求倾斜角为60°．【思路点拨】入射光与反射光的之间的关系．【答案】60°．4．若直线220ax y -+=与直线()310x a y +-+=平行，则实数a 的值为_______．【知识点】平行直线间的斜率关系．【解题过程】由题意可得1a =【思路点拨】．画图得到倾斜角的范围【答案】1．5．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．【知识点】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【解题过程】当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m －1－1，解得m ＝3； 当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92． 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92．【思路点拨】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【答案】当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92．6．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？【知识点】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【解题过程】解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1．(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3． 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3．(3)令m－32m2＝9＋3－4－2＝－2，解得m＝34，或m＝－1．【思路点拨】平行直线，垂直直线间的斜率关系．【答案】m＝34，或m＝－1．。