1108函数

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1.8高斯函数

1.8高斯函数

高斯函数本节我们约定:全体实数的集合简称实数集,记作R 不超过实数x 的最大整数记作[]x 。

例如,[]3π=,2=⎡⎤⎣⎦1,[]-1.3=-2。

函数[],y x x R =∈叫做高斯(Grauss )函数.值得注意的是,高斯函数通常也叫做取整函数.因此常出现类似[]-1.3=-1的错误.显然[]x 是整数,且满足[][]11x x x x -<≤<+,当且仅当x 为整数时“=”成立。

请读者自己画出函数[]y x =的图像,并说明图像的特征。

高斯函数有如下性质。

性质1 函数[]y x =是不减函数,即若12x x ≤,则有[][]12x x ≤。

证明:由定义知[]11x x ≤,又12x x ≤,故[]12x x ≤,这说明[]1x 是不超过2x 的一个整数,而[]2x 是不超过2x 的最大整数,所以[][]12x x ≤性质2 若n 是整数,则[][]x n n x +=+,即整数可以从方括号中提出。

性质3 [][][],()1.()x x z x x x z ⎧-∈⎪-=⎨--∉⎪⎩证明:当x 是整数时,显然有[][]x x -=-;当x 不是整数时,设[](01)x x αα=+<<,则[][]1(1),x x x αα-=--=--+-故[][]1(1)x x α⎡⎤-=--+-⎣⎦[]()11x α=--+-⎡⎤⎣⎦[]1x =--性质4 若[][]x y =,则1x y -<.证明:设[][](01),(01),x x y y ααββ=+≤<=+≤<两式相减,得[][]()()x y x y αβαβ-=+-+=-所以x y αβ-=-。

由01,01,αβ≤<≤<得1αβ-<, 故1x y -<性质5 [][][].x y x y +≤+证明:设[][](01),(01)x x y y ααββ=+≤<=+≤<,两式相加,得[][][][]()()().x y x y x y αβαβ+=+++=+++由02αβ≤+<,得[]0αβ+≥,所以[][][].x y x y +≤+性质6 若0,0x y ≥≥,则[][][].xy x y ≥证明:设[][](01),(01)x x y y ααββ=+≤<=+≤<, 则[][]0,0x x y y ≥≥≥≥,故[][]xy x y ≥,即[][]x y 为不超过xy 的一个整数,故[][][].xy x y ≥例1 若a bq r =+,其中,,,a b q r 均为正整数,且0r b ≤<,求证:a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦证明:因为bq r a=+所以(01)a r r a bbb=+≤<故a q b⎡⎤=⎢⎥⎣⎦例2[]x x x n =n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若是实数,是正整数,则 [][][][][]:,1,n x<n(1),x x n x (1),1,1,n n x x ,=n n x x a a a a a n n a n a a a a a x a n ⎡⎤=≤<+≤+⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤<+≤<+<<+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明设则故从而即所以所以即定理1设x 是正实数,n 是正整数,则从1到x 的整数中,n 的 倍数有x n⎡⎤⎢⎥⎣⎦个:1,n x<(+1)n x n n 2n 3n,n x x x n n n x x n n x n x n ⎡⎤⎡⎤≤<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤•≤•⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦证明因为所以这还说明1到的整数中,的倍数有下列个,,……,,定理2在n !的标准分解式中,质因数p 的指数是12n n n h=+++().p p p k k k p n p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…… 证明:因为p 是质数,所以n !中p 的指数h 等于把2,3,4, ……, n 都分解成标准分解式后,各分解式中p 的指数的总和.由定理1可 知,在2,3,4,…,n 中有n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数,有2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个2p 的倍数,……1k+1+22n n ===np p n n n h=+++p p p k k k k p n p +⎡⎤⎡⎤≤<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设,则……,所以……例3 求7在2 000!中的最高幂指数. 解:因为73 = 343 < 2 000 < 2 401=74而所以7在2 000!中的最高幂指数为285+40+5=330.例4 求2 001!中末尾0的个数.分析:因为10 = 2X5,所以2 001!中末尾0的个数相当于2 001 !的质因数分解式中2X5的个数.由于2<5,故2 001!的质因数分解式中所含2的个数要比含5的个数多(为什么?),因此只需考察2 001!中含有质因数5的个数. 解:因为625=54<2 001<55= 3 125,所以2 001!中含有质因数5的最高幂指数为 错误!未找到引用源。

excel中lambda函数应用

excel中lambda函数应用

excel中lambda函数应用摘要:mbda 函数的概述mbda 函数的基本语法mbda 函数的应用案例mbda 函数的优点和局限性5.总结正文:一、Lambda 函数的概述Lambda 函数是Excel 中的一种自定义函数,它允许用户通过简单的语法创建自己的函数,而无需进行复杂的编程。

Lambda 函数可以接受任意数量的参数,并根据这些参数执行相应的计算任务。

这种功能为Excel 用户提供了更多的灵活性和便利性,使得用户可以更加高效地完成各种复杂的数据处理任务。

二、Lambda 函数的基本语法Lambda 函数的基本语法如下:`lambda(参数1, 参数2,..., 参数n, 表达式)`其中,参数可以是任何有效的Excel 表达式,如数字、文本、单元格引用等。

表达式部分则是对这些参数进行计算的部分,它可以是简单的算术运算,也可以是复杂的逻辑表达式。

例如,我们可以定义一个名为`sum_of_digits`的Lambda 函数,用于计算一个整数中各个数字的和。

其语法如下:`lambda(n, if(n<10, 0, mod(n, 10)))`在这个函数中,`n`表示输入的整数,`if(n<10, 0, mod(n, 10))`表示如果输入的整数小于10,则返回0,否则返回该整数中个位数的值。

三、Lambda 函数的应用案例Lambda 函数在Excel 中的应用非常广泛,下面我们通过一些案例来说明其应用:1.计算两个数字的和:`=lambda(a, b, a + b)`2.计算两个数字的差:`=lambda(a, b, a - b)`3.计算一个数字的平方:`=lambda(n, n^2)`4.计算一个数字的绝对值:`=lambda(n, if(n<0, -n, n))`5.提取身份证号码中的出生日期:`=lambda(号码,mid(号码,7, 8))`四、Lambda 函数的优点和局限性Lambda 函数的优点主要有以下几点:1.简单易用:Lambda 函数的语法简单,易于上手,用户只需熟悉基本的Excel 表达式即可创建自己的函数。

数学1108徐祖仪(线性规划求解算法研究)资料

数学1108徐祖仪(线性规划求解算法研究)资料

摘要线性规划是运筹学中应用最广泛的一个分支.本文主要是针对线性规划问题的相关算法进行了综述和原理的讲解.分别阐述了线性规划的发展历程和线性规划的数学模型,详细研究了单纯形法和内点法的主要原理和算法,并为后续研究提供了一个借鉴方向.最后给出了线性规划问题的原-对偶内点算法,通过数值实验表明该算法具有很好的收敛性与稳定性.关键词:线性规划,单纯形法,内点法,原-对偶内点法AbstractLinear programming is widely applied in all branches of Operation Research.This paper mainly describes the relevant algorithm of linear programming problem and explains their principle.The development of linear programming and the mathematical model of linear programming algorithm are described respectively.The main principles of simplex method and interior point methods are analyzed in detail which provide a reference direction for the follow-up study. Finally,we give numerical examples about the primal- dual interior point algorithm for linear programming,the numerical experiment results show that the algorithm has perfect convergence and stability.Key words:Linear programming,simplex method,Interior point methods,Primal-dual interior point method目录1. 引言 (1)1.1 课题背景 (1)1.2 发展状况 (1)1.3 课题内容 (2)2. 线性规划问题和数学模型 (3)2.1 线性规划问题及其表示 (3)2.2 线性规划基本定理 (4)2.3 约束标准型线性规划问题 (4)2.4 将一般问题转化为约束标准型 (5)2.4.1 目标函数是求最小值 (5)2.4.2 约束方程为不等式 (5)2.4.3模型中的某些变量没有非负限制 (6)3. 单纯形法 (6)3.1 单纯形法的基本原理 (7)3.2 单纯形算法计算步骤 (8)3.3 MATLAB中求解线性规划问题 (9)3.4 应用实例 (10)3.5 单纯形法的进一步讨论 (13)3.5.1 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法 (13)3.5.2 退化情形的处理 (14)4. 内点法 (15)4.1 内点法的基本原理 (15)5. 原-对偶内点算法 (17)5.1 基本原理 (17)5.2 算法的具体步骤 (17)5.3 应用实例 (18)参考文献 (21)1. 引言1.1 课题背景线性规划是运筹学中应用广泛的一个重要分支,是合理利用、调配资源的一种应用数学方法.在日常的生产实践中,如何取得最大的经济效益是我们十分重视的问题.要提高经济效益一般可以通过两种途径:一是改进技术,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料.二是改进生产组织与计划,即合理安排人力物力资源.而线性规划的基本思路就是在满足一定的约束条件下,使预定的目标达到最优.它研究的内容可大致分为两个方面:一是在一定的资源条件下,如何分配能使任务完成得最好.如最高产量、最大利润等问题;二是任务量一定时,如何统筹安排,以最少的资源完成这项任务.如最低成本、最短距离等问题.前者和后者分别是求极大值和极小值问题.总之, 线性规划就是在一定限制条下, 求目标函数极值的问题.自1947年丹捷格研究出线性规划问题的求解算法——单纯形法之后,线性规划在理论上趋向成熟,在实用中日益广泛与深入.特别是随着计算机技术的发展,线性规划的适用领域更为广泛,它已成为人们为合理利用有限资源制定最佳决策的重要工具.1.2 发展状况线性规划求解算法的研究和发展经历了3个重要时期,每一个时期的发展都受到极大的关注.自1947年丹捷格提出了单纯形法,凭着成熟的算法理论和完善的算法,它统治线性规划长达30多年.单纯形法的基本原理是从一个初始解出发,通过反复迭代改进现有的解,直到得到需要的最优解.单纯形法以它简单、实用的特点成为目前常用的方法.然而,在1972年有数学家揭示了单纯形算法的时间复杂度可能是指数型的问题.从计算复杂性来看,单纯形算法不是一种好算法.于是很多计算机科学家和数学家对线性规划是否存在多项式算法十分感兴趣.1979年前苏联数学家哈奇扬提出了计算复杂性为()26L n O的椭球算法,它是第1个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法,但遗憾的是广泛的数值试验表明椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年,印度数学家卡玛卡尔提出了另一个计算复杂性为()25.3LO的多项式时间算法,n这个算法从理论和数值上都优于椭球算法,因而受到学术界的高度重视.此后,许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法.虽然内点算法的理论比较成熟,但因为初始内点难以找到,所以应用起来还是有难度,内点算法的研究也始终停留在理论上.1989年,Renato D.C.Monteiro 和I.Adler 给出了求解线性规划一个原-对偶内点法.其迭代次数为()L n 5.0O ,计算复杂性为()L n 5.3O ,这是目前理论上最好的求解线性规划的多项式算法.由于该算法对初始点的要求很严格这就给数值实验带来更大的困难.为了克服内点算法的不足,从20世纪年90代开始学者着重于线性规划的不可行内点算法的研究.不可行内点算法又称之为外点算法,1.3 课题内容近十年来, 随着计算机和算法理论的发展, 准确快速地解决大规模线性规划问题已成为可能.提到线性规划算法,人们最先想到的是单纯形法和内点法.单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法,而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的,内点算法的计算复杂度是多项式时间的.把两种算法相提并论,要么是这两种算法都已经非常完备,要么都有需改进之处.显然不属于前者,即两者都有需要改进之处.本文分析了线性规划问题,给出了求解线性规划问题的单纯形法和内点法.最后给出了线性规划问题的原-对偶内点算法, 数值实验表明该算法具有很好的收敛性与稳定性.2. 线性规划问题和数学模型2.1 线性规划问题及其表示线性规划问题可表示为如下形式:)1.2(max1∑=nj jjx cs.t.上面各式中1x ,2x ,…,n x 是n 个独立变量.式(2.1)是线性规划问题的目标函数.目标函数极小值的线性规划问题也可以转换为与之等价的求目标函数极大值的线性规划问题.式(2.2)~式(2.5)是线性规划问题的约束条件.式(2.2)有1m 个不等式()≤约束;式(2.3)有2m 个不式约束;式(2.4)有3m 个不等式()≥约束.约束的总个数为321m m m m ++=.所有约束的右端参数规定为非负数,即0≥j b ,m ,…,2,1=j .式(2.5)是线性规划问题的变量非负性约束条件.目标函数和约束条件都为线性函数,所以称为线性规划问题.线性规划问题是在一组线性规划条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小值的问题.变量满足约束条件式(2.2)~式(2.5)的一组值称为线性规划问题的一个可行解.所有可行解构成的集合称为线性规划问题的可行区域.使目标函数取得极值的可行解称为最优解.在最优解处目标函数的值称为最优值.有些情况下可能不存在最优解.通常有两种情况:(1)根本没有可行解,即给定的约束条件之间是相互排斥的,可行区域为空集; (2)目标函数没有极值,也就是说在n 维空间中的某个方向上,目标函数值可以无限增大,而仍满足约束条件,此时目标函数值无界.)5.2(,,2,10)4.2(,,1)3.2(,,1)2.2(,,2,1321211211111nt x m m m m m k b x am m m j b x am i b x a t nt kt ktnt j t jtnt i t it =≥++++=≥++===≤∑∑∑===下面给出线性规划问题的一个具体例子.43213m axx x x x z -++= (2.6)s.t .12907218243243214231≥+-=+++≤-≤+x x x x x x x x x x x (2.7)4,3,2,10=≥i x i例子中,4,1,,43213221=++=====m m m m m m m n .这个问题的解为()()1,5.4,5.3,0,,,4321=x x x x ;最优值为16.下面将详细讨论如火如何求解.2.2 线性规划基本定理使约束条件式(2.2)~式(2.5)中的某n 个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解.若m n >,则基本可行解中至少有m n -个分量为0,也就是说,基本可行解中最多有m 个分量非零.线性规划基本定理:如果线性规划问题有最优解,则必有一基本可行最优解. 上述定理的重要意义在于,它把一个最优化问题转化为一个组合问题,即在式(2.2)~式(2.5)式的n m +个约束条件中,确定最优解应满足其中哪n 个约束条件的问题.由此可知,只要对各种不同的组合进行测试,并比较每种情况下的目标函数值,就能找到最优解.2.3 约束标准型线性规划问题当线性规划问题中没有不等式约束式(2.2)和式(2.4),而只有等式约束式(2.3)和变量非负约束式(2.5)时,称该线性规划问题具有标准形式.为便于讨论,不妨先考察一类更特殊的标准形式线性规划问题.这一类线性规划问题中,每一个等式约束中,至少有一个变量的系数为正,且这个变量只在该约束中出现.在每一约束方程中选择一个这样的变量,并以它作为变量求解该约束方程.这样选出来的变量称为左端变量或基本变量,其总数为)(2m m =个.剩下的m n -个变量称为右端变量或非基本变量.这一类特殊的标准形式线性规划问题称为约束标准型线性规划问题.虽然约束标准型线性规划问题非常特殊,但是对于理解线性规划问题的算法是非常重要的.稍后将看到,任意一个线性规划问题可以转换为约束标准型线性规划问题.对于任何约束标准型线性规划问题,只要将所有非基本变量都置为0,从约束方程式中解出满足约束的基本变量的值,可求得一个基本可行解.2.4 将一般问题转化为约束标准型2.4.1目标函数是求最小值若要求目标函数实现极小化,即CX z =m in 这时只需将目标函数最小化变换为求目标函数最大化,即令z z -='于是得到CX z -='m ax必须注意,尽管以上两个问题的最优解相同,但它们最优解的目标函数值却相差一个符号.2.4.2 约束方程为不等式需要把(2.2)或(2.4)形式的不等式约束转换为等式约束.具体做法是引入松弛变量,利用松弛变量的非负性将不等式转化为等式.松驰变量记为i y ,共有31m m +个.在求解过程中,应当将松弛变量与原来变量i x 同样对待.求解结束后,抛弃松弛变量.注意松弛变量前的符号由相应的原不等式的方向所确定.为了进一步构造标准型约束,还需要引入m 个人工变量,记为i z .至此,原问题已经变换为等价的约束标准型线性规划问题.例2.1 将下列不等式约束转换为标准型约束12907218243243214231≥+-=+++≤-≤+x x x x x x x x x x x 解:引入松弛变量12907218234324321242131=-+-=+++=+-=++y x x x x x x x y x x y x x 引入人工变量129072182343244321324221311=-+-+=++++=+-+=+++y x x x z x x x x z y x x z y x x z2.4.3 模型中的某些变量没有非负限制若某个变量k x 可正可负,这时可以令k kk x x x ''-'=, 其中0,0≥''≥'k kx x ,即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量,当然k x 的符号取决于k x '和k x ''的相对大小,这样就可以满足标准型的要求.3. 单纯形法3.1 单纯形法的基本原理单纯形算法的基本思想就是从一个基本可行解出发,进行一系列的基本可行解的变换.每次变换将一个非基本变量与一个基本变量互调位置,且保持当前的线性规划问题是一个与原问题完全等价的标准线性规划问题.单纯形表:m x x x ,,,21 为基本变量,n m m x x x ,,,21 ++ 为非基本变量.基本变量下标集为B={1,2,…,m}; 非基本变量下标集为N={m+1,m+2,…,n}; 当前基本可行解为(0,,0,,,,21 m b b b ).表格 3-1 当前单纯形表xm+1x m+2… x nzx 1x 2x m单纯形算法的第1步:选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量.查看单纯形表的第1行(也称之为z 行)中标有非基本变量的各列中的值,依次让每一非基本变量从当前值开始增加,同时保持其余非基本变量仍为0;然后考察变化结果,看目标函数值是增加还是减小.考察的目的是选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量.容易看出z 行中的正系数非基本变量都满足要求.单纯形算法的第2步:选取离基变量.在单纯形表中考察由第1步选出的入基变量所相应的列.在基本变量变为负值之前,查看入基变量可以增到多大.如果入基变量所在的列与基本变量所在行交叉处的表元素为负数,那么该元素将不受任何限制,相应的基本变量只会越变越大.如果入基变量所在列的所有元素都是负值,则目标函数无界,说明已经得到了问题的无界解.如果选出的列中有一个或多个元素为正数,那么就要弄清是哪个数限制了入基变量值的增加.显然,这一受限的增加量可以用入基变量所在列的元素(称为主元素)来除主元素所在行的“常数列”(最左边的列)中元素而得到.所得到数值越小说明受到限制越多.因此,应该选取受到限制最多的基本变量作为离基变量,才能保证将入基变量与离基变量互调位置后,仍满足约束条件.单纯形算法的第3步:转轴变换.转轴变换的目的是将入基变量与离基变量互调位置. 给入基变量一个增值,使之成为基本变量;同时修改离基变量,让入基变量所在列中离基变量所在行的元素值减为零,并使之成为非基本变量.单纯形算法的第4步:转回并重复第1步,进一步改进目标函数值.不断重复上述过程,直到z 行的所有非基本变量系数都变成负值为止.这表明目标函数不可能再增加了.3.2 单纯形算法计算步骤单纯形算法的计算过程可以用单纯形表的形式归纳为一系列基本矩阵运算.主要运算为转轴变换,该变换类似解线性方程组的高斯消去法中的消元变换.单纯形算法计算步骤如下: 步骤1:选入基变量.如果所有0≤j c ,则当前基本可行解为最优解,计算结束.否则,取0>e c 相应的非基本变量e x 为入基变量. 步骤2:选离基变量.对于步骤1选出的入基变量e x ,如果所有),...,2,1(0m i a ie =≤,则最优解无界,计算结束.否则,计算kek ie i a a ba b ie =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=>0min θ选取基本变量e x 为离基变量.步骤3:作转轴变换.新单纯形表中各元素变换如下.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈-=ke k e ke k ie i i a b b Bi a b a b b (3.1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∈∈-=ke ie ik ke kj ieij ij a a a Nj B i a a a a a , (3.2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∈=ke ek ke kj ej a a Nj a a a 1 (3.3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∈-=ke e k ke ki e i i a c c Ni a a c c c (3.4)步骤4:转步骤1.3.3 MATLAB 中求解线性规划问题MATLAB 解决的线性规划问题的标准形式为:min n R x xf ∈'s.t. b x A ≤⋅beq x Aeq =⋅ ub x lb ≤≤其中f 、x 、b 、beq 、lb 、ub 为向量,A 、Aeq 为矩阵.其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式.Matlab 优化工具箱中有现成函数linprog 对的LP 问题求解.函数 linprog 的调用格式x = linprog(f,A,b) %求min f ' *x sub .to b x A ≤⋅线性规划的最优解.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束beq x Aeq =⋅,若没有不等式约束b x A ≤⋅,则A=[ ],b=[ ].x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x 的范围ub x lb ≤≤,若没有等式约束beq x Aeq =⋅ ,则Aeq=[ ],beq=[ ][x,fval] = linprog(…) % 返回目标函数最优值,即fval= f ' *x .3.4 应用实例例3.1 用单纯形法求解以下线性规划问题53223m axx x x z -+-=10834124272353263245321=++-=+-=+-+x x x x x x x x x x x 6,5,4,3,2,10=≥i x i解: 3,6==m n ;基本变量为641,,x x x ;非基本变量为532,,x x x ;画出单纯形表,如表3-2表格 3-2 单纯形表2x 3x 5xz1x 4x 6x该问题的一个明显的基本可行解是)10,0,12,0,0,7(=x .惟一的一个值为正的z 行元素是3,它所在列中有2个正元素,即4和3.由于{}33/10,4/12m in =,应该选取4x 为离基变量;入基变量3x 取值为3.解离基变量所相应的方程1242324=+-x x x将入基变量3x 用离基变量4x 表示为34121423=+-x x x再将其代入其他基本变量和所在的行中消去3x ,得到184325102412554265421=+--=+++x x x x x x x x 代入目标函数得到542243219x x x z --+=形成新单纯形表如表3-3表格 2 新单纯形表3-32x 4x 5xz1x 3x 6x在上面的单纯形表中,惟一的值为正的z 行元素是非基本变量2x 相应的列,其值2/1.因此,选取非基本变量2x 作为入基变量.它所在列中有惟一的正元素2/5,即基本变量1x 相应行的元素.因此,选取1x 为离基变量.再经步骤3的转轴变换得到新单纯形表如表3-4所示.表格 3-4 新单纯形表21x 4x 5xz2x 3x 6x新单纯形表z 行的所有非基本变量系数都变成负值,求解过程结束.整个问题的解可以从最后一张单纯形表的常数列中读出.目标函数的最大值为11;最优解为:)11,0,0,5,4,0(*=x .例3.2 用MA TLAB 求解下面线性规划问题.min 321x 6x 4x 5---sub .t 20x x x 321≤+- 42423321≤++x x x30x 2x 321≤+321x 0,x 0,x 0≤≤≤解:先根据MATLAB 中解决的线性规划问题的标准形式,写出相应的f 、x 、b 、beq 、lb 、ub 等向量以及A 、Aeq 矩阵,若没有以[ ]代替,再调用linprog 函数求解.在Matlab 命令窗口或者M 文件中输入以下程序:>>clc >>clear>>f = [-5; -4; -6];>>A = [1 -1 1;3 2 4;3 2 0]; >>b = [20; 42; 30]; >>lb = zeros(3,1);>>[x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb) 结果为:x = %最优解 0.0000 15.0000 3.0000 fval = %最优值 -78.00003.5 单纯形法的进一步讨论3.5.1 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法引入人工变量后的线性规划问题与原问题并不等价,除非所有i z 都是0 .为了解决这个问题,在求解时必须分2个阶段进行.第一阶段用一个辅助目标函数∑=-='mi i z z 1替代原来的目标函数.这个线性规划问题称为原线性规划问题所相应的辅助线性规划问题.对辅助线性规划问题用单纯形算法求解.如果原线性规划问题有可行解,则辅助线性规划问题就有最优解,且其最优值为0,即所有i z 都为0.在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,所有i z 均为非基本变量.划掉所有i z 相应的列,剩下的就是只含i x 和i y 的约束标准型线性规划问题了.换句话说,单纯形算法第一阶段的任务就是构造一个初始基本可行解.第二阶段的目标是求解由第一阶段导出的问题.此时要用原来的目标函数进行求解.如果在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,i z 不全为0,则原线性规划问题没有可行解从而原线性规划问题无解.3.5.2 退化情形的处理用单纯形算法解一般的线性规划问题时,可能会遇到退化的情形,即在迭代计算的某一步中,常数列中的某个元素的值变成0,使得相应的基本变量取值为0.如果选取退化的基本变量为离基变量,则作转轴变换前后的目标函数值不变.在这种情况下,算法不能保证目标函数值严格递增,因此,可能出现无限循环.考察下面的由Beale 在1955年提出的退化问题的例子.按照2阶段单纯形算法求解该问题将出现无限循环.43216212043maxx x x x z -+-=10321122109841343214321≤≤+--≤+--x x x x x x x x x 4,3,2,10=≥i x iBland 提出避免循环的一个简单易行的方法.在单纯形算法迭代中,按照下面的2个简单规则就可以避免循环.规则1:设{}0|min >=j c j e ,取e x 为入基变量.规则2:设⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧==>ie i a lel a b a b l k ie 0min |min取k x 为离基变量.算法leave(col)已经按照规则2选取离基变量.选取入基变量的算法enter(objrow) 中只要加一个break 语句即可.4. 内点法4.1 内点法的基本原理内点法中有一个惩罚函数,用于描述凸集.与单纯形法不同,它通过遍历内部可行区域来搜索最优解.线性规划问题描述如下:mnRx c R x x c t s x f ∈∈≥)(,,0)(..)(min (4.1)与(4.1)对应的对数型惩罚函数为:))(ln()(),(1x c x f x B mi i ∑=-=μμ (4.2)这里μ是一个小的正参数,常被称作“惩罚因子”.当μ趋近于0时,将),(μx B 趋近于(4.1)的解.惩罚函数的梯度为:)()(11x c x c i i mi b ∇-=∑=μδδ (4.3) δ是原始函数)(x f 的梯度,且i c ∇是i c 的梯度.除了原始变量x ,我们还引入了拉格朗日乘子m R ∈λ(有时也称松弛变量):μλ=∀=i i m i x c )(1 (4.4)(4.4)有时被称为扰动互补条件,类似于KKT 条件中的互补松弛.我们试图找到那些使得惩罚函数梯度为0的),(μμλx .对比(4.3)与(4.4)我们容易得到一个关于梯度的等式:0=-λδT A (4.5)其中,A 是限制条件)(x c 的雅克比矩阵.(4.5)式意味着的梯度应该位于限制条件梯度所张成的子空间中.对(4.4)和(4.5)应用牛顿法我们得到:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λμλδλC A p p C BA A W T x T其中,W 是)(x f 的黑塞矩阵,B 是λ的的对角矩阵.因为(4.1)和(4.4),所以0≥λ在每次迭代时都必须满足,所以可以通过选择合适的α来计算:),(),(λαλαλp p x x x ++→5. 原-对偶内点算法5.1 基本原理考虑如下线性规划问题的标准型(P)及其对偶(DP )()()⎪⎩⎪⎨⎧≥=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=0..m ax 0..m in z cz y A t s yb DP x b Ax t s x Tc P T T 这里A 是n m ⨯的矩阵,且总假设A 为行满秩矩阵,b 和c 分别是m 维和n 维向量,z 是对偶问题中加入的n 维松弛变量.对原问题和对偶问题做出下面的假设:集合S 、T 都是非空,其定义如下:{}(){},|,0,>=+=>=∈=z c z y Az y T x b A R x S Tn且定义()(){}T z y S x z y x W ∈∈=,,;,,为了给出算法,先考虑初始点的选取.令θ和δ恒满足下列式子:()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-+<<<<n n δθδθδθ112,0,21022 (5.1) 原—对偶内点算法要求初始点()()()()()0000,,z y x w =满足如下准则:()000||||θμμ≤-e fw (5.2)这里,()()()||||,,000ομnz x ZWe w f T==是欧式范数.5.2 算法的具体步骤步骤1:选取初始点()()()()()W z y x w ∈=0000,,且满足(5.2)式,其中θ和δ同时满足(5.1);给定终止误差0,0=>k ε步骤2:若对偶间隙()()()ε≤k Tk z x ,则停,()k x 为(P )的ε近似解;否则转步骤3;步骤3:令⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+n k δμμ1:k 1,计算()z y x w ∆∆∆=∆,,;步骤4:()()()1:,1+=∆-=+k k w w w k k k 转步骤2.5.3 应用实例例5.1 考虑如下线性规划(P )及其对偶(DP )()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++++0,,432122..53max 03,,53232..42min 32132122112121321321321321z z z z y y z y y z y y t s y y DP x x x x x x x x x t s x x x P (DP)中)(Tz z z z 321,,=为引入的松弛变量. 给出一组初始解())(())(())(TT T z y x 6,3,2,2,4,5.0,5.0,5.1000=-==运算结果见图1例5.2 考虑如下线性规划(P )及其对偶(DP )()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+=+=++--=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=+-+-0,,,0012..1515max 0,,,1515..2min 43214231221112143214232121z z z z z y z y z y y z y t s y y DP x x x x x x x x x t s x x P (DP)中)(Tz z z z z 4321,,,=为引入的松弛变量. 给出一组初始解())(())(())(T T T z y x 3,3,1,1,3,3,5,5,10,20000=--== 运算结果见图1用MATLAB 编程例5.1与例5.2详细的计算结果见图1 .图1原—对偶内点算法数值结果由运算结果可以看出,例5.1中x 越来越趋于最优解T x )0,1,2(*=,原问题的目标值也趋于f=5.例5.2中x 越来越趋于最优解T x )0,0,15,30(*=,原问题的目标值也趋于45-=f . 具体程序如下:clear allclcn=3;delt=0.5316;wucha=0.001;A=[1 1 2;2 1 3];c=[2;1;4];x0=[1.5;0.5;0.5];y0=[-4;2];z0=[2;3;6];k=1;e=[1;1;1];x(:,k)=x0; % 将x 赋值给x 的第k 列;y(:,k)=y0;z(:,k)=z0;d(:,k)=x(:,k)'*z(:,k);u(k)=d/n;while d>wuchau(k+1)=u(k)*(1-delt/sqrt(n)); % 可以让u 减少的更快,比如把n 改为n-1,n-2 等, 这样运行效率则会更高;X=diag(x(:,k));Z=diag(z(:,k));delt_y(:,k)=-inv(A*inv(Z)*X*A')*A*inv(Z)*(X*Z*e-u(k+1)*e);delt_x(:,k)=inv(Z)*(X*Z*e-u(k+1)*e)+inv(Z)*X*A'*delt_y(:,k);delt_z(:,k)=-A'*delt_y(:,k);x(:,k+1)=x(:,k)-delt_x(:,k);y(:,k+1)=y(:,k)-delt_y(:,k);z(:,k+1)=z(:,k)-delt_z(:,k);f(:,k)=c'*x(:,k+1);d(:,k)=(x(:,k+1))'*z(:,k+1);k=k+1;endsubplot(2,2,1),plot(x(1,:),'*')subplot(2,2,2),plot(x(2,:),'*')subplot(2,2,3),plot(x(3,:),'*')subplot(2,2,4),plot(f,'rh') % 目标值结果如图21.51.61.71.81.920.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.555.15.25.35.45.5图 2 例5.1误差为0.001的结果参考文献[1] 曾梅清,田大纲.线性规划问题算法综述[J].科学技术与工程,2012,(10):152-159.[2] 雍龙泉.求解线性规划的几种方法[J].江西科学,2011,(25):202-205.[3] 曾国斌.线性规划问题的相关算法研究[J].赤峰学院学报,2014,(30):1-2.[4] 赵娜.单纯形法解线性规划问题的算法探究[J].吉林广播电视大学报,2011,(111):112-115.[5] 雍龙泉.线性规划的原-对偶内点算法数值实验初步[J].科学技术与工程,2007,(7):4576-4579.[6] 王晓东.计算机算法设计与分析[M].电子工业出版社,2012:238-243.。

华师大版数学八年级下册1实践与探索课件

华师大版数学八年级下册1实践与探索课件

提示:读图不认真,x>2时,对应的函数值在x轴下方,即y <0.
【解析】设y=kx+b(k,b为常数,k≠0),
则有
b 2
299, 000k b
解得 235,
k b
-4, 125
299,
∴y= 4 +x299.
125
当x=1 200时,y=
=260.6(g/m3).
×41 200+299
125
答:该山山顶处的空气含氧量约为260.6 g/m3.
【想一想错在哪?】当自变量x满足什么条件时,一次函数 y=-2x+4的值满足y>-2?
3, 2
【解析】选B.∵两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A(-
2,3), ∴∴x方=程-2组,y=yy 3就kk12x是x方bb12,程的组解为yy xykk12xx-3的. 2bb,1解2,.
2.如图,以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是( )
x-y 1,
x-y -1,
可以是
x-y -1, 2x-y 1.
3.函数y=2x-3的图象上任意一点的坐标都一定满足二元一次 方程________. 【解析】y=2x-3移项,得2x-y-3=0. 答案:2x-y-3=0
4.如图,已知一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交
于点P,则根据图象可得二元一次方程组
y
【思路点拨】由待定系数法分别求出AB,CD的关系式→联立 得方程组即可得两直线的交点坐标. 【自主解答】直线AB过(-3,0),(0,6),由待定系数法得直 线AB的方程为y=2x+6; 直线CD过(0,1),(2,0),由待定系数法得直线CD的方程为 y= 1 x 1, 联所以立直得2 线方A程B组,CyyD的2x交12x点6,1坐,解标得为(xy-2,2.22,).

Windows事件查看器事件代码详解

Windows事件查看器事件代码详解

0 操作成功完成。

1 函数不正确。

2 系统找不到指定的文件。

3 系统找不到指定的路径。

4 系统无法打开文件。

5 拒绝访问。

6 句柄无效。

7 存储控制块被损坏。

8 存储空间不足,无法处理此命令。

9 存储控制块地址无效。

10 环境不正确。

11 试图加载格式不正确的程序。

12 访问码无效。

13 数据无效。

14 存储空间不足,无法完成此操作。

15 系统找不到指定的驱动器。

16 无法删除目录。

17 系统无法将文件移到不同的驱动器。

18 没有更多文件。

19 介质受写入保护。

20 系统找不到指定的设备。

21 设备未就绪。

22 设备不识别此命令。

23 数据错误(循环冗余检查)。

24 程序发出命令,但命令长度不正确。

25 驱动器找不到磁盘上特定区域或磁道。

26 无法访问指定的磁盘或软盘。

27 驱动器找不到请求的扇区。

28 打印机缺纸。

29 系统无法写入指定的设备。

30 系统无法从指定的设备上读取。

31 连到系统上的设备没有发挥作用。

32 另一个程序正在使用此文件,进程无法访问。

33 另一个程序已锁定文件的一部分,进程无法访问。

36 用来共享的打开文件过多。

38 已到文件结尾。

39 磁盘已满。

50 不支持请求。

51 Windows 无法找到网络路径。

请确认网络路径正确并且目标计算机不忙或已关闭。

如果 Windows 仍然无法找到网络路径,请与网络管理员联系。

52 由于网络上有重名,没有连接。

请到“控制面板”中的“系统”更改计算机名,然后重试。

53 找不到网络路径。

54 网络很忙。

55 指定的网络资源或设备不再可用。

56 已达到网络 BIOS 命令限制。

57 网络适配器硬件出错。

58 指定的服务器无法运行请求的操作。

59 出现了意外的网络错误。

60 远程适配器不兼容。

61 打印机队列已满。

62 服务器上没有储存等待打印的文件的空间。

63 已删除等候打印的文件。

64 指定的网络名不再可用。

65 拒绝网络访问。

66 网络资源类型不对。

函数数值表

函数数值表

函数数值表函数数值表一、函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

在数学中,函数通常用f(x)表示,其中x是自变量,f(x)是因变量。

二、函数的分类1. 一次函数:f(x) = kx + b (k和b为常数)2. 二次函数:f(x) = ax² + bx + c (a、b、c为常数)3. 指数函数:f(x) = aⁿ (a为常数,n为自变量)4. 对数函数:f(x) = loga x (a为底数,x为自变量)5. 三角函数:sin x、cos x、tan x等6. 分段函数:由不同区间内的不同公式组成的复合函数三、编写一个生成任意一种类型的函数表格的Python程序以下是一个生成任意一种类型的函数表格的Python程序:```def function_table(f, start, end, step):""":param f: 函数:param start: 起始点:param end: 终止点:param step: 步长:return: 函数表格"""table = []for i in range(start, end + step, step):table.append([i, f(i)])return table```四、程序解析1. 定义了一个名为function_table的函数,该函数有四个参数:f、start、end和step。

2. f表示要生成表格的函数,start表示起始点,end表示终止点,step表示步长。

3. 在函数中定义了一个空列表table,用于存储生成的表格数据。

4. 使用for循环遍历起始点到终止点之间的所有值,并以步长为间隔进行遍历。

5. 在每次循环中,将当前自变量值和对应的因变量值添加到table列表中。

6. 循环结束后,返回table列表作为函数结果。

13类505个函数

13类505个函数

13类505个函数13类505个函数是指在某个编程语言或软件开发工具中,有13个不同的类别,每个类别下有505个函数。

以下是一篇符合标题内容的文章:一、输入输出函数类别:1. 输入函数:用于接收用户输入的数据,如`scanf()`函数;2. 输出函数:用于向用户显示结果或信息,如`printf()`函数。

二、数学函数类别:1. 四则运算函数:用于进行基本的加、减、乘、除运算,如`add()`、`subtract()`、`multiply()`、`divide()`函数;2. 幂函数:用于求一个数的指数次幂,如`power()`函数;3. 开方函数:用于求一个数的平方根或立方根,如`sqrt()`、`cbrt()`函数。

三、字符串处理函数类别:1. 字符串拼接函数:用于将多个字符串连接成一个字符串,如`concatenate()`函数;2. 字符串截取函数:用于从一个字符串中截取部分内容,如`substring()`函数;3. 字符串替换函数:用于将字符串中的某个子串替换为另一个字符串,如`replace()`函数。

四、数组处理函数类别:1. 数组排序函数:用于将数组中的元素按照一定规则进行排序,如`sort()`函数;2. 数组查找函数:用于在数组中查找指定元素或满足条件的元素,如`search()`函数;3. 数组拷贝函数:用于将一个数组的内容拷贝到另一个数组中,如`copy()`函数。

五、文件处理函数类别:1. 文件打开函数:用于打开一个文件以便进行读取或写入操作,如`open()`函数;2. 文件读取函数:用于从文件中读取数据,如`read()`函数;3. 文件写入函数:用于向文件中写入数据,如`write()`函数。

六、日期时间函数类别:1. 获取当前日期时间函数:用于获取当前的日期和时间,如`getCurrentDateTime()`函数;2. 日期时间转换函数:用于在不同的时间格式之间进行转换,如`convertDateTime()`函数;3. 日期时间比较函数:用于比较两个日期或时间的先后关系,如`compareDateTime()`函数。

江苏省专转本高等数学试题题型分类整理

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江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真题●函数、极限和连续●一元函数微分学●一元函数积分学●向量代数与空间解析几何●多元函数微积分●无穷级数●常微分方程时间排序与参考答案◆2004年高等数学真题参考答案◆2005年高等数学真题参考答案◆2006年高等数学真题参考答案◆2007年高等数学真题参考答案◆2008年高等数学真题参考答案◆2009年高等数学真题参考答案◆2010年高等数学真题参考答案◆2011年高等数学真题参考答案◆2012年高等数学真题参考答案◆2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分) 四、综合题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 五、证明题(本大题共2小题,每小题9分,满分18分)知识分类与历年真题一、函数、极限和连续(一)函数(0401)[](]333,0()0,2x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩是( ) A.有界函数 B.奇函数 C.偶函数 D.周期函数 (0801)设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义,下列函数中必为奇函数的是( )A.()y f x =-B.)(43x f x y = C.()y f x =-- D.)()(x f x f y -+= (二)极限(0402)当0→x 时,x x sin 2-是关于x 的( )A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小(0407)设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛++=32)(,则=∞→)(lim x f x .(0601)若012lim 2x x f x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=,则0lim 3x xx f →=⎛⎫ ⎪⎝⎭( ) A.21 B.2C.3D.31 (0607)已知0→x 时,(1cos )a x ⋅-与x x sin 是等价无穷小,则=a .(0613)计算x →. (0701)若0(2)lim2x f x x→=,则1lim 2x xf x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.41B.21 C.2D.4(0702)已知当0→x 时,)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小,而x nsin 又是x cos 1-的高阶无穷小,则正整数=n ( ) A.1B.2C.3D.4(0813)求极限:32lim xx x x →∞-⎛⎫⎪⎝⎭. (0901)已知22lim32x x ax bx →++=-,则常数b a ,的取值分别为( ) A.2,1-=-=b a B.0,2=-=b aC.0,1=-=b aD.1,2-=-=b a(0907)已知lim 2xx x x C →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则常数=C . (1001)设当0x →时,()sin f x x x =-与()ng x ax =是等价无穷小,则常数,a n 的值为 ( ) A.1,36a n == B.1,33a n == C.1,412a n == D.1,46a n == (1007) 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (1101)当0→x 时,函数1)(--=x e x f x是函数2)(x x g =的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小(1107)已知22lim kxx x e x →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭,则=k _________. (1201)极限1sin 3lim 2sinx x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.0 B.2 C.3D.5(1301)当0x →时,函数()ln(1)f x x x =+-是函数2()g x x =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小(1310)设10lim xx a x e a x →+⎛⎫=⎪-⎝⎭,则常数a = . (三)连续(0413)求函数xxx f sin )(=的间断点,并判断其类型. (0501)0=x 是xx x f 1sin )(=的( ) A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点(0513)设()2sin 0()0f x xx F x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在R 内连续,并满足0)0(=f ,(0)6f '=,求a . (0602)函数21sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处( ) A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续(0608)若A x f x x =→)(lim 0,且)(x f 在0x x =处有定义,则当=A 时,)(x f 在0x x =处连续.(0707)设函数1(1)0()20x kx x f x x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩,在点0=x 处连续,则常数=k .(0807)设函数21()(1)x f x x x -=-,则其第一类间断点为 .(0808)设函数0()tan 30a x x f x x x x+≥⎧⎪=⎨<⎪⎩在点0=x 处连续,则a = .(0902)已知函数423)(22-+-=x x x x f ,则2=x 为)(x f 的( )A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点(1123)设210arctan ()1010sin 2ax axe x ax x x xf x x e x x ⎧---<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩,问常数为何值时:(1)0=x 是函数)(x f 的连续点? (2)0=x 是函数)(x f 的可去间断点? (3)0=x 是函数)(x f 的跳跃间断点? (1202)设()2(2)sin ()4x xf x x x -⋅=⋅-,则函数)(x f 的第一类间断点的个数为( ) A.0 B.1C.2D.3(1207)要使函数()1()12xf x x =-在点0=x 处连续,则需补充定义(0)f =_________.(1303)设sin 20()0xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨>,这点0x =是函数()f x 的( )A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点(1307)设1sin0()0x x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处连续,则常数a = . 二、一元函数微分学(一) 导数与微分(0403)直线L 与x 轴平行且与曲线xe x y -=相切,则切点的坐标是( ) A.()1,1B.()1,1-C.()0,1-D.()0,1(0409)设()(1)(2)()f x x x x x n =+++,N n ∈,则=)0('f .(0415)设函数)(x y y =由方程1=-yxe y 所确定,求22d d x yx=的值.(0502)若2=x 是函数1ln 2y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的可导极值点,则常数=a ( ) A.1-B.21C.21- D.1 (0514)设函数)(x y y =由方程cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩所确定,求d d y x 、22d d yx .(0614)若函数)(x y y =是由参数方程2ln (1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定,求d d y x 、22d d yx .(0708)若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线,则常数=m .(0714)设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定,求d d x yx=、22d d x y x =.(0802)设函数)(x f 可导,则下列式子中正确的是( ) A.0(0)()lim(0)x f f x f x →-'=- B.000(2)()lim ()x f x x f x f x x→+-'=C.0000()()lim ()x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆D.0000()()lim 2()x f x x f x x f x x∆→-∆-+∆'=∆ (0814)设函数)(x y y =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩(2t n π≠,n Z ∈)所决定,求d d y x 、22d d y x .(0903)设函数00()1sin 0x f x x x x α≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0=x 处可导,则常数α的取值范围为( ) A.10<<αB.10≤<αC.1>αD.1≥α(0914)设函数)(x y y =由参数方程2ln (1)23x t y t t =+⎧⎨=+-⎩所确定,d d y x 、22d d yx . (0923)已知函数0()10x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩,证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.(1008).若(0)1f '=,则0()()limx f x f x x→--= .(1014)设函数()y y x =由方程2x yy ex ++=所确定,求d d y x 、22d d yx .(1022)设()0()1x x f x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,其中函数()x ϕ在0x =处具有二阶连续导数,且(0)0ϕ=,(0)1ϕ'=,证明:函数()f x 在0x =处连续且可导.(1102)设函数)(x f 在点0x 处可导,且4)()(lim 000=+--→hh x f h x f h ,则=')(0x f ( )A.4-B.2-C.2D.4(1110)设函数x y arctan=,则1d x y==_____________.(1114)设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=22ty e tt x y 所确定,求d d y x .(1208)设函数()22221x y x x x e =⋅+++,则=)0()7(y________.(1209)设xy x =(0x >),则函数y 的微分=dy ___________.(1214)设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=-=tt y tt x ln 212所确定,求d d y x 、22d d y x . (1304)设1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中f 具有二阶导数,则22d d y x =( )A.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.231121f f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1306)已知函数()f x 在点1x =处连续,且21()1lim 12x f x x →=-,则曲线()f x 在点()1,()f x 处切线方程为( ) A.1y x =-B.22y x =-C.33y x =-D.44y x =-(1309)设函数由参数方程2211x t y t ⎧=+⎨=-⎩所确定,则221d d t yx == .(二)中值定理及导数的应用(0423)甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧,甲城位于岸边,乙城离河岸40公里,乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里,两城计划在河岸上合建一个污水处理厂,已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元.问污水处理厂建在何处,才能使铺设排污管道的费用最省?(0507)02limsin x x x e e xx x-→--=- . (0508)函数x x f ln )(=在区间[]1,e 上满足拉格郎日中值定理的=ξ . (0521)证明方程:0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.(0603)下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是( ) A.xe y =B.1y x =+C.21x y -=D.xy 11-= (0621)证明:当2x ≤时,332x x -≤.(0703)设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则方程()0f x '=的实根个数为( ) A.1B.2C.3D.4(0713)求极限01lim tan x x e x x x→--.(0722)设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质:(1)在点1-=x 的左侧临近单调减少; (2)在点1-=x 的右侧临近单调增加; (3)其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ,b ,c 的值.(0724)求证:当0>x 时,22(1)ln (1)x x x -⋅≥-.(0809)已知曲线543223++-=x x x y ,则其拐点为 . (0821)求曲线1y x=(0x >)的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值. (0823)设函数)(x f 在闭区间[]0,2a (0a >)上连续,且)()2()0(a f a f f ≠=,证明:在开区间(0,)a 上至少存在一点ξ,使得()()f f a ξξ=+. (0824)对任意实数x ,证明不等式:(1)1xx e -⋅≤. (0904)曲线221(1)x y x +=-的渐近线的条数为( )A.1B.2C.3D.4(0913)求极限30lim sin x x x x→-.(0921)已知函数13)(3+-=x x x f ,试求: (1)函数)(x f 的单调区间与极值; (2)曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点;(3)函数)(x f 在闭区间[2,3]-上的最大值与最小值.(0924)证明:当12x <<时,24ln 23x x x x >+-.(1002)曲线223456x x y x x -+=-+的渐近线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条 (1006)设3()3f x x x =-,则在区间(0,1)内 ( ) A.函数()f x 单调增加且其图形是凹的 B.函数()f x 单调增加且其图形是凸的 C.函数()f x 单调减少且其图形是凹的 D.函数()f x 单调减少且其图形是凸的(1013)求极限2|011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭.(1021)证明:当1x >时,121122x e x ->+. (1103)若点(1,2)-是曲线23bx ax y -=的拐点,则( ) A.3,1==b aB.1,3-=-=b aC.3,1-=-=b aD.6,4==b a(1113)求极限()()22limln 1xx x eex -→-+.(1121)证明:方程()2ln 12x x ⋅+=有且仅有一个小于2的正实根. (1122)证明:当0>x 时,x x201120102011≥+.(1203)设232152)(x x x f -=,则函数)(x f ( ) A.只有一个最大值 B.只有一个极小值 C.既有极大值又有极小值D.没有极值(1213)求极限()2302cos 2lim ln 1x x x x x →+-+. (1223)证明:当10<<x 时,361arcsin x x x +>. (1302)曲线22232x xy x x +=-+的渐近线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条(1313)求极限01lim ln (1)x x e x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦.(1323)证明:当1x >时,2(1ln )21x x +<-.三、一元函数积分学(一)不定积分(0410)求不定积分3x = .(0416)设)(x f 的一个原函数为xe x,计算(2)d x f x x '⎰.(0503)若()d ()f x x F x C =+⎰,则sin (cos )d x f x x =⎰( )A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C F +(cos)D.C x F +-)(cos(0515)计算3tan sec d x x x ⎰.(0522)设函数)(x f y =的图形上有一拐点(2,4)P ,在拐点处的切线斜率为3-,又知该函数的二阶导数6y x a ''=+,求)(x f .(0604)已知2()d x f x x e C =+⎰,则()d f x x '-=⎰( )A.C ex+-22B.C e x +-221 C.C e x +--22 D.C e x +--221(0615)计算x . (0622)已知曲线)(x f y =过原点且在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2,求此曲线方程. (0704)设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ,则(2)d f x x '=⎰( )A.C x +4cosB.C x +4cos 21C.C x +4cos 2D.C x +4sin(0715)求不定积分2d x x e x -⎰.(0810)设函数)(x f 的导数为x cos ,且21)0(=f ,则不定积分()d f x x =⎰ . (0815)求不定积分3d 1x x x +⎰. (0905)设()ln (31)F x x =+是函数)(x f 的一个原函数,则(21)d f x x '+=⎰( )A.C x ++461B.C x ++463C.C x ++8121D.C x ++8123(0915)求不定积分x ⎰.(1015)求不定积分arctan d x x x ⎰.(1115)设)(x f 的一个原函数为x x sin 2,求不定积分()d f x x x⎰. (1215)求不定积分sin 2d x x x ⎰. (1315)求不定积分sin 2d x x x ⎰.(二)定积分(0404)2228R y x =+设所围的面积为S ,则0x ⎰的值为( )A.SB.4S C.2S D.S 2(0421)证明:0(sin )d (sin )d 2x f x x f x x πππ=⎰⎰,并利用此式求20sin d 1cos xxx xπ+⎰.(0509)1211d 1x x x π-+=+⎰.(0516)计算10arctan d x x ⎰.(0609)设)(x f 在[]0,1上有连续的导数且(1)2f =,10()d 3f x x =⎰,则1()d x f x x '=⎰ .(0616)计算22cos d x x x π⎰.(0709)定积分)231cos d x x x -+⎰的值为 .(0716)计算定积分x . (0811)定积分1212sin d 1xx x -++⎰的值为 .(0816)求定积分10d x ⎰.(0916)求定积分:210⎰.(1009)定积分31211d 1x x x -++⎰的值为 . (1016)计算定积分40x ⎰. (1111)定积分()32221sin d xx x ππ-+⋅⎰的值为____________.(1116)计算定积分3⎰ . (1216)计算定积分21⎰.(1316)计算定积分20⎰(1324)设函数()f x 在[,]a b 上连续,证明:[]2()d ()()d a b b aaf x x f x f a b x x +=++-⎰⎰.(三)变限积分与广义积分(0417)计算广义积分2+∞⎰(0422)设函数)(x f 可导,且满足方程20()d 1()x t f t t x f x =++⎰,求)(x f .(0705)设221()sin d x f x t t =⎰,则()f x '=( )A.4sin x B.2sin 2x xC.2cos 2x xD.4sin 2x x(0803)设函数)(x f 122sin d xt t t =⎰,则()f x '等于( )A.x x 2sin 42B.x x 2sin 82C.x x 2sin 42-D.x x 2sin 82-(0908)设函数20()d x t x te t ϕ=⎰,则()x ϕ'= .(1003)设函数22()cos d t xx e t t Φ=⎰,则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于 ( )A.222cos x xe x B.222cos x xe x - C.2cos xxe x - D.22cos x e x - (1108)设函数2()ln (1)d x x t t Φ=+⎰ ,则=Φ'')1(____________.(1211)设反常积分1d 2x ae x +∞-=⎰,则常数=a ______. (1222)已知定义在(),-∞+∞上的可导函数)(x f 满足方程31()4()d 3xx f x f t t x -=-⎰,试求:(1)函数()f x 的表达式; (2)函数)(x f 的单调区间与极值; (3)曲线()y f x =的凹凸区间与拐点.(1224)设0()d 0()(0)0x g t t x f x g x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰,其中函数)(x g 在(,)-∞+∞上连续,且3cos 1)(lim 0=-→xx g x .证明:函数)(x f 在0=x 处可导,且1(0)2f '=. (1322)已知251320()95d x F x t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰是()f x 的一个原函数,求曲线()y f x =的凹凸区间、拐点. (四)定积分的几何应用(0523)已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成,求:(1)曲边三角形的面积;(2)曲边三角形绕x 轴旋转一周的旋转体体积.(0623)已知一平面图形由抛物线2x y =、82+-=x y 围成.(1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.(0721)设平面图形由曲线21x y -=(0≥x )及两坐标轴围成.(1)求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积;(2)求常数a 的值,使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分.(0822)设平面图形由曲线2x y =,22x y =与直线1=x 所围成.(1)求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积;(2)求常数a ,使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.(0922)设1D 是由抛物线22x y =和直线x a =,0y =所围成的平面封闭区域,2D 是由抛物线22x y =和直线x a =,2x =及0=y 所围成的平面封闭区域,其中20<<a .试求:(1)1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ,以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V ; (2)求常数a 的值,使得1D 的面积与2D 的面积相等.(1023)设由抛物线2y x =(0x ≥),直线2y a =(01a <<)与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ,由抛物线2y x =(0x ≥),直线2y a =(01a <<)与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ,另12()()()V a V a V a =+,试求常数a 的值,使()V a 取得最小值.(1024)设函数()f x 满足方程()()2xf x f x e '+=,且(0)2f =,记由曲线'()()f x y f x =与直线1y =,x t =(0t >)及y 轴所围平面图形的面积为()A t ,试求lim ()t A t →+∞.(1124)设函数)(x f 满足微分方程()2()(1)x f x f x a x '-=-+(其中a 为正常数),且1)1(=f ,由曲线()y f x =(1x ≤)与直线1x =,0y =所围成的平面图形记为D .已知D 的面积为32. (1)求函数)(x f 的表达式;(2)求平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积x V ; (3)求平面图形D 绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积y V .(1221)在抛物线2y x =(0x >)上求一点P ,使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为32,并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.(1321)设平面图形D 是由曲线x =y =1y =所围成,试求:(1)平面图形D 的面积;(2)平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.四、向量代数与空间解析几何(一)向量代数(0510)设向量{}3,4,2=-a 、{}2,1,k =b ;a 、b 互相垂直,则=k . (0610)设1=a ,⊥a b ,则()⋅+=a a b . (0710)已知a 、b 均为单位向量,且12⋅=a b ,则以a 、b 为邻边的平行四边形面积为 . (0804)设向量(1,2,3)=a ,(3,2,4)=b ,则⨯a b 等于( )A.(2,5,4)B.(2,5,4)--C.(2,5,4)-D.(2,5,4)--(0909)已知向量{}1,0,1=-a ,{}1,2,1=-b ,则+a b 与a 的夹角为 . (1010)设{}1,2,3=a ,{}2,5,k=b ,若a 与b 垂直,则常数k = .(1109)若1=a ,4=b ,2⋅=a b ,则⨯=a b ____________.(1210)设向量a 、b 互相垂直,且3=a ,2=b ,则2+=a b ________.(1308)已知空间三点(1,1,1)A ,(2,3,4)B ,(3,4,5)C ,则ABC ∆的面积为 .(二)平面与直线(0518)求过点(3,1,2)A -且通过直线L :43521x y z-+==的平面方程. (0619)求过点(3,1,2)M -且与二平面07=-+-z y x 、0634=-+-z y x 都平行的直线方程.(0719)求过点(1,2,3)且垂直于直线20210x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的平面方程.(0817)设平面∏经过点(2,0,0)A ,(0,3,0)B ,(0,0,5)C ,求经过点(1,2,1)P 且与平面∏垂直的直线方程. (0917)求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程. (1017)求通过点(1,1,1),且与直线23253x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩垂直,又与平面250x z --=平行的直线的方程.(1117)求通过x 轴与直线132zy x ==的平面方程. (1217)已知平面∏通过(1,2,3)M 与x 轴,求通过(1,1,1)N 且与平面∏平行,又与x 轴垂直的直线方程.(1318)已知直线10330x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩在平面∏上,又知直线23132x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面∏平行,求平面∏的方程.五、多元函数微积分(一)多元函数微分学(0418)设(,)z f x y xy =-,且具有二阶连续的偏导数,求x z ∂∂、yx z∂∂∂2.(0505)设yxy x u arctan),(=,(,)v x y =,则下列等式成立的是( )A.yv x u ∂∂=∂∂ B.xvx u ∂∂=∂∂ C.x v y u ∂∂=∂∂ D.y v y u ∂∂=∂∂ (0517)已知函数2(sin ,)z f x y =,其中),(v u f 有二阶连续偏导数,求x z ∂∂、yx z∂∂∂2.(0611)设x e u xysin =,=∂∂xu. (0620)设2(,)z x f x xy =⋅其中(,)f u v 的二阶偏导数存在,求y z ∂∂、xy z∂∂∂2.(0711)设yxz =,则全微分d z = . (0717)设(23,)z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数,求yx z∂∂∂2.(0805)函数xyz ln =在点(2,2)处的全微分d z 为( )A.11d d 22x y -+B.11d d 22x y +C.11d d 22x y -D.11d d 22x y --(0818)设函数,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其中)(x f 具有二阶连续偏导数,求y x z ∂∂∂2.(0910)设函数(,)z z x y =由方程12=+yz xz 所确定,则xz∂∂= . (0919)设函数(sin ,)z f x xy =,其中)(x f 具有二阶连续偏导数,求yx z∂∂∂2.(1011)设函数z =,则10d x y z=== .(1018)设()2,xz y f xy e =⋅,其中函数f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.(1104)设),(y x f z =为由方程8333=+-x yz z 所确定的函数,则=∂∂==00y x yz ( )A.21-B.21C.2-D.2(1118)设)(y xyxf z ,=,其中函数f 具有二阶连续偏导数,求y x z ∂∂∂2.(1204)设3ln 2z x y=+在点()1,1处的全微分为 ( )A.d 3d x y -B.d 3d x y +C.1d 3d 2x y +D.1d 3d 2x y -(1218)设函数22(,)()z f x xy x y ϕ=++,其中函数f 具有二阶连续偏导数,函数()x ϕ具有二阶连续导数,求yx z∂∂∂2.(1314)设函数(,)z z x y =由方程3331z xy z +-=所确定,求d z 及22zx∂∂.(1317)设()223,x yz fx e+=,其中函数f 具有二阶连续偏导数,求2zy x∂∂∂.(二)二重积分(0411)交换二次积分的次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰.(0419)计算二重积分sin d d Dyx y y ⎰⎰,其中D 由曲线x y =及x y =2所围成. (0504)设区域D 是xoy 平面上以点(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --为顶点的三角形区域,区域1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )d d Dxy x y x y +=⎰⎰( )A.⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB.⎰⎰12D xydxdyC.⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD. 0(0511)交换二次积分的次序11d (,)d x x f x y y -+=⎰;(0524)设)(x f 为连续函数,且1)2(=f ,1()d ()d uuyF u y f x x =⎰⎰(1u >). (1)交换)(u F 的积分次序; (2)求(2)F '.(0606)设对一切x 有(,)(,)f x y f x y -=-,22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥,=1D 22{(,)|1,0,0}x y x y x y +≤≥≥,则(,)d d Df x y x y =⎰⎰( )A. 0B.1(,)d d D f x y x y ⎰⎰C.21(,)d d D f x y x y ⎰⎰D.41(,)d d D f x y x y ⎰⎰(0612)D 为以点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,2)B 为顶点的三角形区域,d d Dx y =⎰⎰ .(0624)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰00)(1)(t a t dxdy x f t t g tD ,其中t D 是由t x =、t y =以及坐标轴围成的正方形区域,函数)(x f 连续.(1)求a 的值使得)(t g连续;(2)求)('t g .(0720)计算二重积分d Dx y ,其中{}22(,)|2,0D x y x y x y =+≤≥.(0723)设0>>a b ,证明:()232d ()d ()d b b b x y xx a ayay f x e x ee f x x ++⋅=-⎰⎰⎰.(0819)计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰,其中D 是由曲线xy 1=,直线y x =,2x =及0=y 所围成的平面区域. (0918)计算二重积分d Dy σ⎰⎰,其中22{(,)02,2,2}D x y x x y x y =≤≤≤≤+≥. (1005)二次积分111d (,)d y y f x y x +⎰⎰交换积分次序后得 ( )A.1101d (,)d x x f x y y +⎰⎰B.2110d (,)d x x f x y y -⎰⎰C.2111d (,)d x x f x y y -⎰⎰D.2111(,)d x dx f x y y -⎰⎰(1019)计算d d Dx x y ⎰⎰,其中D 是由曲线x =y x =及x 轴所围成的闭区域.(1105)若(,)d d Df x y x y ⎰⎰可转化为二次积分1201d (,)d y y f x y x +⎰⎰ ,则积分域D 可表示为( ) A.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ B.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤C.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤D.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤-(1119)计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是由曲线y =直线x y -=及y 轴所围成的平面闭区域. (1205)二次积分dx y x f dy y),(11⎰⎰ 在极坐标系下可化为( )A.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρ⎰⎰ B.sec 40d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰C.sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρ⎰⎰D .sec 24d (cos ,sin )d f πθπθρθρθρρ⎰⎰ (1220)计算二重积分d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是由曲线y =2xy =及x 轴所围成的平面闭区域.(1320)计算二重积分d d Dx x y ⎰⎰,其中D 是由曲线y =0x >)与三条直线y x =,3x =,0y =所围成的平面闭区域.六、无穷级数(一)数项级数(0506)正项级数(1)∑∞=1n n u 、(2)∑∞=13n n u ,则下列说法正确的是( ) A.若(1)发散、则(2)必发散 B.若(2)收敛、则(1)必收敛C.若(1)发散、则(2)不确定D.(1)、(2)敛散性相同(0605)设∑∞=1n nu为正项级数,如下说法正确的是( )A.若0lim 0=→n n u ,则∑∞=1n nu必收敛 B.若l u u nn n =+∞→1lim )0(∞≤≤l ,则∑∞=1n n u 必收敛C.若∑∞=1n nu收敛,则∑∞=12n nu必定收敛D.若∑∞=-1)1(n n nu 收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛(0706)下列级数收敛的是( )A.∑∞=122n nnB.∑∞=+11n n n C.∑∞=-+1)1(1n nnD.∑∞=-1)1(n nn(0906)设α为非零常数,则数项级数∑∞=+12n n n α( )A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与α有关(1004)下列级数收敛的是( )A.11n nn ∞=+∑B.2121n n n n ∞=++∑C.nn ∞= D.212n n n ∞=∑(1206)下列级数中条件收敛的是( )A.1(1)21nn nn ∞=-+∑B.13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C.21(1)nn n ∞=-∑D.1nn ∞=(1305)下列级数中收敛的是( )A.211n n n∞=+∑ B.11nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑C.1!2n n n ∞=∑D.1n ∞= (二)幂级数(0412)幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛区间为 .(0420)把函数21)(+=x x f 展开为2-x 的幂级数,并写出它的收敛区间. (0512)幂级数1(21)nn n x∞=-∑的收敛区间为 .(0519)把函数222)(x x x x f --=展开为x 的幂级数,并写出它的收敛区间.(0618)将函数()ln (1)f x x x =+展开为x 的幂函数(要求指出收敛区间).(0812)幂函数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域为 . (0911)若幂函数21n nn a x n∞=∑(0a >)的收敛半径为21,则常数=a .(1012)幂级数0(1)n nn x n ∞=-∑的收敛域为 .(1106)若x x f +=21)(的幂级数展开式为0()nn n f x a x ∞==∑(22x -<<),则系数=n a ( )A.n 21B.121+n C.(1)2nn -D.1(1)2nn +-(1112)幂级数0nn ∞=的收敛域为_ _ _________. (1212)幂级数1(1)(3)3nn nn x n ∞=--⋅∑的收敛域为____________. (1312)幂级数1n nn ∞=的收敛域为 . 七、常微分方程(一)一阶微分方程(0520)求微分方程0'=-+xe y xy 满足1x ye ==的特解.(0617)求微分方程22x y xy y '=-的通解. (0718)求微分方程22007xy y x '-=满足初始条件12008x y==的特解.(0820)求微分方程22xy y x '=+的通解.(0912)微分方程2(1)d (2)d 0x y x y x y +--=的通解为 . (1311)微分方程d d y x y x x+=的通解为 . (二)二阶线性微分方程(0406)微分方程232xy y y xe '''-+=的特解*y 的形式应为( )A.xAxe 2B.xe B Ax 2)(+C.xeAx 22D.xeB Ax x 2)(+(0712)设x xe C eC y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该微分方程为 .(0806)微分方程321y y y '''++=的通解为( )A.1221++=--x xe c e c yB.21221++=--x xe c ec yC.1221++=-xxec e c yD.21221++=-xxec e c y (0920)求微分方程y y x ''-=的通解. (1020)已知函数xy e =和2xy e-=是二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的两个解,试确定常数p 、q 的值,并求微分方程xy py qy e '''++=的通解.(1120)已知函数(1)xy x e =+⋅是一阶线性微分方程2()y y f x '+=的解,求二阶常系数线性微分方程)(23x f y y y =+'+''的通解.(1219)已知函数)(x f 的一个原函数为xxe ,求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解. (1319)已知函数()y f x =是一阶微分方程d d yy x=满足初始条件(0)1y =的特解,求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x '''-+=的通解.时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A .2、B .3、C .4、B .5、A .6、D .7、1-e . 8、32241-+==-z y x . 9、!n . 10、C x +4arcsin 41. 11、12201d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+⎰⎰⎰.12、()3,1-.13、解:间断点为πk x =(Z k ∈),当0=x 时,1sin lim)(lim 00==→→xxx f x x ,为可去间断点;当πk x =(0≠k ,Z k ∈)时,∞=→xxx sin lim0,为第二类间断点.14、解:原式0430(tan sin )d tan sin limlim312xx x t t tx xx x →→--==⎰233001tan (1cos )12lim lim 121224x x x x x x x x →→⋅-===. 15、解:0=x 代入原方程得1)0(=y ,对原方程求导得0''=--y xe e y yy,对上式求导并将0=x 、1=y 代入,解得:22''e y =.16、解:因为)(x f 的一个原函数为x e x,所以2')1()(x e x x e x f xx -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 原式11(2)d(2)d (2)22xf x x x f x '==⎰⎰11(2)(2)d 22x f x f x x =-⎰ 222211(21)1(2)(2)d(2)24884x x xx x e e x x f x f x x C e C x x x--=-=-+=+⎰. 17211122d d 22arctan (1)12t tt tt t t π+∞∞+∞+===++⎰.18、解:12zf f y x∂''=+⋅∂; []21112221221112222(1)(1)()zf f x f y f f x f x y f xy f f x y∂''''''''''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅=-+-⋅+⋅+∂∂.19、解:原式21100sin sin d d d d (1)sin d y y Dyy x y y x y y y y y ===-⎰⎰⎰⎰⎰ 1100(1)cos cos d 1sin1y y y y =--=-⎰.20、解:01111(2)()(1)24244414n n nn x f x x x ∞=-==⋅=--+-+∑)62(<<-x . 21、证:00(sin )d ()[sin ()]d ()(sin )d t xx f x xt f t t t f t I t πππππππ=-=---=-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d f x x x f x x f x x I πππππ=-=-⎰⎰⎰解得: 0(sin )d (sin )d 2f x x f x x I x πππ==⎰⎰, 原命题证毕.222000sin sin d d arctan (cos )1cos 21cos 24x x x x x x x x ππππππ⋅==-=++⎰⎰. 22、解:等式两边求导得()2()x f x x f x '=+,即()()2f x x f x x '-=-,且(0)1f =-,x p -=,x q 2-=,而2()d 2x x xe e --⎰=,由公式求得通解:222222()2d 2x x x f x e xq x C C e -⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰, 将初始条件(0)1f =-代入通解,解得:3-=C ,故22()23x f x e =-.23、解:设污水厂建在河岸离甲城x 公里处,则()500M x x =+500≤≤x ),由150070002M '=+⨯=解得:650050-=x (公里),唯一驻点,即为所求.2005年高等数学真题参考答案1、A .2、C .3、D .4、A .5、A .6、C .7、2. 8、1-e . 9、2π. 10、5. 11、11d (,)d y y f x y x -⎰⎰.12、(1,1)-.13、解:因为)(x F 在0=x 处连续,所以)0()(lim 0F x F x =→,'00()2sin ()(0)lim ()limlim 2(0)28x x x f x x f x f F x f x x→→→+-==+=+=, 解得:a F =)0(,故8=a .14、解:d d cos cos sin d d d sin d yy t t t t t t x x t t-+===--,22d ()csc d (cos )y t t x t '-=='.15、解:原式22tan tan sec d (sec1)d(sec )x x x xx x =⋅-⎰⎰积进去231sec d(sec )d(sec )sec sec 3x x x x x C =-=-+⎰⎰.16、解:原式211120002d 1d(1)arctan 1421x x x x x x x π+=--++⎰⎰积进去 ()12011ln 1ln 24242x ππ⎡⎤=-+=-⎣⎦.17、解:1cos zx f x∂'=⋅∂,()21212cos 22cos z x f y y x f x y ∂''''=⋅⋅=⋅∂∂. 18、解:直线L 的方向向量{}5,2,1=s ,过点()4,3,0B -,{}1,4,2AB =-;所求平面的法向量{}5218,9,22142AB =⨯==---ij kn s ,点法式为8(3)9(1)22(2)0x y z ----+=,即592298=--z y x .19、解:2222101111(1)()13216313212n nn n x x x x f x x x x x x ∞+=⎡⎤-⎛⎫=+=⋅+⋅=+⋅ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦+∑, 收敛域为:11<<-x .20、解:1x e y y x x '+⋅=,即1p x=,x e q x =,而1d 1x x e x -⎰=;故通解为1d xx e e C y x x C x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭⎰.把初始条件1x y e ==解得:0=C ;故所求特解为:xe y x=.21、证:令13)(3+-=x x x f ,[]1,1x ∈-,且(1)30f -=>,(1)10f =-<,(1)(1)0f f -⋅<;由连续函数零点定理知:)(x f 在(1,1)-内至少有一实根;对于()1,1x ∈-恒有()22()33310f x x x '=-=-<,即)(x f 在(1,1)-内单调递减, 故方程0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根; 原命题获证.22、解:设所求函数为)(x f y =,则有4)2(=f ,(2)3f '=-,(2)0f ''=;由()6f x x a ''=+和(2)0f ''=解得:12-=a ,即()612f x x ''=-,故21()312f x x x C '=-+,由(2)3f '=-解得:91=C ,故22396C x x x y ++-=,由(2)4f =解得:22=C ; 所求函数为:29623++-=x x x y .23、解:(1)112300111d 266S y y y ===⎰;(如图1所示) (2)()()112222012d 4x V x x x xπππ=-=-=⎰.24、解:积分区域D 为:u y ≤≤1,u x y ≤≤;(1)111()()d d ()d (1)()d u xuDF u f x x f x y x f x x σ===-⎰⎰⎰⎰⎰;(2)()(1)()F u u f u '=-,(2)(21)(2)(2)1F f f '=-==.2006年高等数学真题参考答案1、C .2、B .3、C .4、C .5、C .6、A .7、2. 8、)(0x f . 9、1-. 10、1. 11、(sin cos )xye y x x +. 12、1.13、解:原式322131lim 21341==--→x xx .图114、解:2211d 12d 21t t y y t t t x x t-'+==='+,2222d 1d d 122d 41ty x y t t x x t t '⎛⎫ ⎪+⎝⎭==='+. 15、解:原式322ln )(1ln )3x x C =+=++.16、解:原式()2222220d(sin )sin 2sin d x x x xx x πππ=-⎰⎰积进去222220sin 2sin d 2d(cos )4x xx x xx x ππππ-+⎰⎰积进去导出来2222002cos 2cos d 244x x x x ππππ=+-=-⎰.17、解:方程变形为2y y y x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,即得到了形如d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭齐次方程; 令y u x =,则d d d d y u u x x x =+,代入得:2d d u x u x =-,分离变量得:211d d u x u x-=; 两边积分,得:211d d u x u x -=⎰⎰,1ln x C u=+,故ln x y x C =+. 18、解:令()ln (1)g x x =+,则(0)0g =;由于01()(1)1n n n g x x x ∞='==-+∑((]1,1x ∈-), 所以01(1)((1))d x n n n g x n x g t t ∞+='=+=-∑⎰((]1,1x ∈-),故20(1)()1n n n f x x n ∞+=-=+∑,收敛域为:11x -<≤.19、解:由题意知:{}11,1,1=-n ,{}24,3,1=-n ;{}12311232,3,1431=⨯=-=++=-i j ks n n i j k ,故所求直线方程的对称式方程为:123123+=-=-z y x .20、解:22z x f x∂'=∂,2'2'''''3''2''22122221222(2)22z x f x f x f y x f x f x y f y x ∂=+⋅+⋅=++∂∂. 21、证:令33)(x x x f -=,[]2,2x ∈-,由2()330f x x '=-=解得驻点:1±=x ,比较以下函数值的大小:(1)2f -=-,(1)2f =,(2)2f =-,(2)2f -=; 所以2min -=f ,2m ax =f ,故2)(2≤≤-x f ,即332x x -≤,原命题获证.22、解:0)0(=y ,2y x y '=+,通解为:xCe x y +--=)22(;将0)0(=y 代入通解解得:2=C ,故所求特解为:xe x y 222+--=.23、解:(1)()2222648d 3S x x x -=--=⎰; (2)224804d d 16y V y y πππ=+=⎰⎰.24、解:()d d d ()d ()d tt tt D f x x y x f x y t f x x ==⎰⎰⎰⎰⎰,0()d 0()0t f x x t g t a t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰;(1)00lim ()lim()d 0t t t g t f x x →→==⎰,由)(t g 的连续性可知:0)(lim )0(0===→t g g a t ;(2)当0≠t 时,()()g t f t '=,当0=t 时,0000()d ()(0)(0)limlim lim ()(0)hh h h f x x g h g g f h f h h→→→-'====⎰; 综上,()()g t f t '=.2007年高等数学真题参考答案1、B .2、C .3、C .4、A .5、D .6、D .7、2ln . 8、1. 9、π2. 10、23. 11、21d d xx y y y-. 12、06'5''=+-y y y . 13、解:212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e . 14、解:当0=x 时,0=y ;。

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类型标识符 函数名(形参类型表列) { 说明部分 函数体 语句部分 } 例 有参函数 例 例 有参函数 空函数 例 无参函数 int max(intmax( int x, int y ) int x, y) void dummy( void printstar( ) ) { int{z; { int z; } { printf(“**********\n”); } if( x > y ) x > y ) z = x; if( z = x; 或 else z = y; z = y; else void printstar(void ) return(z); return(z); { printf(“**********\n”); } } }
第八章 函 数
第八章 函数( p155)
函数定义 函数的调用 函数的嵌套调用 函数的递归调用 数组作为函数参数 局部变量与全局变量 变量的存储类别 内部函数和 外部函数

8.1 概述 (p155)
C语言是模块化程序设计: 基本思想 求最大值(p5) 将一个大的程序按功能分割成一 void main( ) 些小模块,每个模块用来实现一 { int max( int x , int y ) 个特定的功能 计算最大值 int a, b, c; #include<stdio.h> 用子程序实现模块的功能,子程 scanf( “%d, %d”, &a, &b ); void main( ) 序的作用是由函数完成的 c = max( a, b ); { int a, b, c; C程序由一个主函数和若干个其 printf( “max = %d \n”, c ); scanf( “%d, %d”, &a, &b ); 他函数构成,由主函数调用其他 } 函数,其他函数也可以相互调用 //函数定义 if( a> b ) c = a; else c = b; int max( int x , int y ) printf( “max = %d \n”, c ); { } int z; if( x > y ) z = x; else z = y; 一个函数完成一个特定的功能 return( z ); }
8.3.2 函数的返回值
如果被调用函数中没有return语句,将带回一个不确定的值 void printstar() //函数前void,不带回任何值 void型函数用来明确表明函数不带回任何值(无类型) { int min( int x, int y ) printf("* * * * * * * * * * * * * * * * \n"); { int z; } void print_message() if( x < y ) z = x; { else z = y; printf("How do you do! \n"); return(z); } }

8.4.3


对被调用函数的声明(函数原型)
必须是已存在的函数:库函数或者是用户定义的函数 使用库函数,应该用 #include <*.h>将头文件包含到文件头中 使用用户自定义函数: 要在主调函数中对被调函数作函数声明
#include<stdio.h>
对被调用函数要求:

函数声明

一般形式:函数类型 函数名(形参类型1[形参名1],….. ); void main( ) int max ( int x , int y ); { int max( int x , int y ); int max ( int , int ); (可不写参数名但要写参数类型和个数) 函数声明 int a, b, c; 作用:告诉编译系统函数类型、参数个数及类型,以便检验 scanf( “%d, %d”, &a, &b ); 函数定义与函数声明不同 c = max( a, b );
float add(float x, float y) void main() {{float z; float add(float x,float y); z=x+y; float a,b,c; return(z); scanf("%f,%f",&a,&b); } c=add(a,b); void main() is %f",c); printf("sum {float add(float x, float y) } float add(float x, float y) float add(float x, float y) float a,b,c; {scanf("%f,%f",&a,&b); float z; c=add(a,b); z=x+y; printf("sum is %f",c); return(z); }}
c=max(a,b);
(main 函数)
(max 函数)
int max(int x,int y) { int z; if( > y ) z = x; else z = y; return( z); }
void main() { int a,b,c; scanf("%d,%d",&a,&b); c=max(a,b); …… } int max( int x,int y ) { …… }
简单的函数调用
C语言是函数式语言 (程序由函数组成) 一个C源程序必须有且 只能有一个名为main的主 函数 C程序的执行总是从 main函数开始,在main中 结束 函数都是平行关系, 不能嵌套定义,可以嵌套 调用 不能调用main函数

例8-1
#include<stdio.h> void main() { void printstar( ) ; printstar( ); //调用printstar函数 printstar( ); //调用printstar函数 } void printstar//定义printstar函数 { printf("* * * * * * * * * * * * * * * * \n"); }
函数体为空 起占位作用
8.3 函数参数和函数的值

8.3.1 形式参数与实际参数
函数定义时的参数被称为形式参数(简称形参) 函数调用时的参数被称为实际参数(简称实参)

例: 比较两个数并输出大数
#include<stdio.h> void main() { int a,b,c; int max(int x,int y); scanf("%d,%d",&a,&b); c=max(a,b); printf("Max is %d",c); } int max(int x,int y) { int z; if( x > y ) z = x; else z = y; return(z); }
使用库函数应注意: 1、函数功能 2、函数参数的数目和顺序,及各参数意义和类型 3、函数返回值意义和类型 4、需要使用的包含文件 如: stdio.h math.h string.h
8.2 函数定义的一般形式
一般格式
指定函数返回值类型 缺省时默认int型 无返回值void型 形式参数表 无参数时括号 不能省略
return与max函数类型不一致 return(z)中的z是float型 max 是int型 返回值以函数max的类型为准
lt8-2maxfloat
8.4 函数的调用

8.4.1 函数调用的一般形式


一般形式 : 函数名(实参表); c = max(a,b) 说明: 实参与形参个数相等,类型一致,按顺序一一对应 实参表求值顺序从左到右

例8-3 函数返回值类型自动转换为函数类型
#include<stdio.h> void main() { float a,b; float c; int max(float x,float y); printf(“请输入两个数:"); scanf("%f,%f",&a,&b); c=max(a,b); printf(“大数是: %3.1f\n",c); } int max( float x, float y ) { float z; if( x > y ) z = x; else z = y; return(z); }

8.4.2 函数调用的方式



函数语句:函数调用作为一个语句 例 printstar(); //调用用户定义函 数 printf(“Hello,World!\n”); //调用库函数 函数表达式:函数出现在表达式中 例 c=max(a.b); t=max(a,b)*2; 函数参数:函数调用作为一个函数的参数 例 printf(“%d”,max(a,b)); m=max(a,max(b,c));


函数分类 标准函数(库函数):由系统提供包含在头文 件stdio.h、math.h、string.h中。 如printf , sqrt, strcmp 用户自定义函数:max , printstar 函数形式 有参函数: int max ( int x , int y ) 无参函数:printstar( )

例8-1 (函数返回不确定的值)
#include<stdio.h> void main() { printstar(); //调用printstar函数 print_message(); //调用print_message函数 printstar(); //调用printstar函数 返回语句 } printstar() //函数前不加void 形式: return(表达式); return(x*y); //返回x*y值 { 例8-1 (函数不返回值) 或 return 表达式; printf("* * * * *z;* * *//返回z值 \n"); return * ******* #include<stdio.h> } void main() 功能:使程序控制从被调用函数返回到调用函数中, { printstar(); //调用printstar函数 print_message() 同时把返回值带给调用函数 { print_message(); //调用print_message函数 printf("How do you do! \n"); 说明: printstar(); //调用printstar函数 } }
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