2022年北京市海淀区人大附中数学九年级上册期末调研试题含解析
2022北京海淀区初三(上)期末数学试卷及答案
2022北京海淀初三（上）期末数学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是()A．1y x=+B．2y x=C．2(4)y x=−D．1 yx =2．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是() A．B．C．D．3．抛物线2(2)1y x=−+的顶点坐标为()A．(2,1)B．(2,1)−C．(2,1)−−D．(2,1)−4．在ABC∆中，CA CB=，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作C，则C与AB的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定5．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为()A．30︒B．60︒C．90︒D．120︒6．把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( ) A ．22(2)x x =−B ．22(2)x x =+C ．2(2)2x x −=D ．22x x =−7．如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是( )A ．A ，B ，C 都不在B ．只有BC ．只有A ，CD ．A ，B ，C8．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是( ) A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．已知y 是x 的函数，且当0x >时，y 随x 的增大而减小．则这个函数的表达式可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可）10．在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．11．若点1(1,)A y −，2(2,)B y 在二次函数22y x =的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y 2y （填“> ”，“ = ”或“<” )．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A −，点(0,1)B ．将线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ，则点C 的坐标为 ．13．若关于x 的方程220x x k −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ．14．如图，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，Q 是优弧AB 上一点，若40P ∠=︒，则Q ∠的度数是 ．15．小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90︒（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm ，则标签长度l 应为 cm ．(π取3.1)16．给定二元数对(,)p q ，其中0p =或1，0q =或1．三种转换器A ，B ，C 对(,)p q 的转换规则如下：；（2）在图2所示的“①C −−②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“ C −− ”．（写出一种组合即可）．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：2680−+=．x x18．（5分）已知a是方程2−−=的一个根，求代数式(27)5x x2710a a−+的值．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=−−经过点(2,1)．y a x(3)1（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．20．（5分）如图，在Rt ABCBAC∠=︒，30∠=︒，将线段CA绕点C逆时针旋转60︒，得到线段CD，ACB∆中，90连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若1BC=，求线段BD的长．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于O的面积．作法：①如图1，取O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；③将纸片O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l为O的切线，其依据是．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC = ，MA = （用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME ∆中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE = （用含r 的代数式表示）． 由此可得OAEFG S S=正方形．22．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +−+−=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m <，且该方程的两个实数根的差为3，求m 的值． 23．（5分）如图，ABC ∆内接于O ，高AD 经过圆心O ． （1）求证：AB AC =；（2）若8BC =，O 的半径为5，求ABC ∆的面积．24．（6分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．25．（6分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ． （1）求证：BG 是O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，4DF =，求FG 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上． （1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222m x m −+时，y 的取值范围是13y −．求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，使得当2n x n −<<时，y 的取值范围是3335n y n −<<+．若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．27．（7分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，延长CB ，并将射线CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到射线l ，D 为射线l 上一动点，点E 在线段CB 的延长线上，且BE CD =，连接DE ，过点A 作AM DE ⊥于M ． （1）依题意补全图，用等式表示线段DM 与ME 之间的数量关系，并证明； （2）取BE 的中点N ，连接AN ，添加一个条件：CD 的长为 ，使得12AN DE =成立，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，图形W 上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d ．对点P 及图形W 给出如下定义：点Q 为图形W 上任意一点，若P ，Q 两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d ．则称点P 为图形W 的“倍点”．（1）如图1，图形W 是半径为1的O ．①图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为 ；②在点1(0,2)P ，2(3,3)P ，3(3,0)P −中，O 的“倍点”是 ； （2）如图2，图形W 是中心在原点的正方形ABCD ，点(1,1)A −．若点(,3)E t 是正方形ABCD 的“倍点”，求t 的值； （3）图形W 是长为2的线段MN ，T 为MN 的中点，若在半径为6的O 上存在线段MN 的“倍点”，直接写出所有满足条件的点T 组成的图形的面积．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可．【解答】解：A 、直线1y x =+不经过点(0,0)，故不符合题意；B 、抛物线2y x =经过点(0,0)，故符合题意；C 、抛物线2(4)y x =−不经过点(0,0)，故不符合题意；D 、双曲线1y x=不经过点(0,0)，故不符合题意； 故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键．2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【解答】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C ．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．【分析】抛物线的顶点式为：2()y a x h k =−+，其顶点坐标是(,)h k ，可以确定抛物线的顶点坐标． 【解答】解：抛物线2(2)1y x =−+是以抛物线的顶点式给出的， 其顶点坐标为：(2,1)． 故选：A ．【点评】本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标．4．【分析】连接CO ，根据等腰三角形的性质得到OC AB ⊥，于是得到点C 到AB 的距离等于C 的半径，根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：连接CO ， CA CB =，点O 为AB 中点， OC AB ∴⊥，以点C 为圆心，CO 长为半径作C ， ∴点C 到AB 的距离等于C 的半径， C ∴与AB 的位置关系是相切，故选：B ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 5．【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与O 点连线的夹角即可求得旋转角． 【解答】解：如图，当经过一次旋转后点C 旋转至点B 的位置上，此时360660COB ∠=︒÷=︒， 故选：B ．【点评】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大．6．【分析】由较长一段的长为x m 可得出较短一段的长为(2)x m −，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：较长一段的长为x m ， ∴较短一段的长为(2)x m −．依题意得：22(2)x x =−． 故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．【分析】根据勾股定理的逆定理证得ABC ∆是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD 的长，然后与300m 比较大小，即可解答本题．【解答】解：300AB cm =，400BC cm =，500AC cm =，222AB BC AC ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90ABC ∴∠=︒，点D 是斜边AC 的中点， 250AD CD cm ∴==，12502BD AC cm ==， 250300<，∴点A 、B 、C 都在圆内，∴这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是A ，B ，C ．故选：D ．【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到D 点的距离．8．【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．【解答】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理； 故选：C ．【点评】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则反比例函数的反比例系数0k <；反之，只要0k <，则反比例函数在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大． 【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如1(0)y x x =>，答案不唯一．故答案为：1(0)y x x=>，答案不唯一．【点评】本题主要考查了反比例函数(0)ky k x=≠的性质：①0k >时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；②0k <时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y 随x 的增大而增大．10．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球， ∴取出红球的概率是35．故答案为：35．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=． 11．【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y 值越大，从而求解． 【解答】解：由22y x =可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴， |1||2|−<， 12y y ∴<，故答案为：<．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握比较函数值大小的方法． 12．【分析】设(,)C m n ．利用中点坐标公式构建方程组求解即可．【解答】解：设(,)C m n ．线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ，AB BC ∴=，点(2,0)A −，点(0,1)B ， ∴202m −+=，012n +=， 2m ∴=，2n =，(2,2)C ∴．【点评】本题考查坐标与图形变化−旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题即可．13．【分析】利用根的判别式进行计算，令△0>即可得到关于k 的不等式，解答即可． 【解答】解：关于x 的方程220x x k −+=有两个不相等的实数根，∴△0>，即440k −>，1k <．故答案为：1k <．【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．14．【分析】连接OA 、OB ，根据切线的性质得到OA PA ⊥，OB PB ⊥，根据四边形内角和等于360︒求出AOB ∠，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OA 、OB ， PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909040140AOB ∴∠=︒−︒−︒−︒=︒，111407022Q AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故答案为：70︒．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．【分析】利用弧长公式求解即可． 【解答】解：标签长度90639.3()180l cm ππ⋅⋅===，故答案为：9.3． 【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式180n r l π=． 16．【分析】（1）根据题中的转换规则计算即可得到结果；（2）根据输入的二元数，由A 确定出第一个数，由C 确定出第二个数，再由B 确定出结果即可．【解答】解：（1）在图1所示的“A B C −−”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为1；故答案为：1；（2）若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“B C A −−”．（写出一种组合即可）． 故答案为：B ，A ．【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清转换器中的规则是解本题的关键．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】把方程左边分解得到(2)(4)0x x −−=，则原方程可化为20x −=或40x −=，然后解两个一次方程即可．【解答】解：2680x x −+=(2)(4)0x x −−=，20x ∴−=或40x −=， 12x ∴= 24x =．【点评】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到22710a a −−=，则2271a a −=，再把(27)5a a −+变形为2275a a −+，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：a 是方程22710x x −−=的一个根，22710a a ∴−−=，2271a a ∴−=，2(27)5275156a a a a ∴−+=−+=+=．【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．19．【分析】（1）把点(2,1)代入抛物线的解析式即可得出答案；（2）求出抛物线的顶点坐标，根据纵坐标即可得出答案．【解答】解：（1）把点(2,1)代入2(3)1y a x =−−中，得：21(23)1a =−−，解得2a =，22(3)1y x ∴=−−；（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为(3,1)−，∴把该抛物线向上平移1个单位后，与x 轴的交点个数位1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要或用待定系数法求函数的解析式．20．【分析】（1）根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；（2）根据含30度角的直角三角形和旋转的性质可得AD AC ==90DAB ∠=︒，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，22AB BC ∴==，AC ∴由旋转可知：60DAC ∠=︒，AD AC ==90DAB DAC AC ∴∠=∠+∠∠=︒，BD ∴===．【点评】本题考查了作图−旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键．21．【分析】（1）利用已知条件结合切线的判定定理解答即可；（2）利用中点的定义和线段和差的意义解答即可；（3）利用勾股定理将（2）中的数据代入即可得出结论．【解答】解：（1）l OA ⊥于点A ，OA 为O 的半径，∴直线l 为O 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧交直线l 于点C ，AC r ∴=．纸片O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处，22r AB r ππ'∴==， (1)CB CA AB r r r ππ∴'=+'=+=+． M 为CB '的中点，1(1)22r MC CB π+∴='=． (1)(1)22r r MA MC AC r ππ+−∴=−=−=． 故答案为：(1)2r π+；(1)2r π−； （3）连接ME ，如图，则(1)2r ME MC π+==． 在Rt AME ∆中，222AM AE EM +=，222AE EM AM ∴=−22(1)(1)[][]22r r ππ+−=− (1)(1)(1)(1)[][]2222r r r r ππππ+−+−=+− r r π=⨯2r π=．O AEFG S S ∴=正方形．故答案为：2r π．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆的周长与面积，正方形的面积，勾股定理，本题是操作型题目，根据题干中的作图步骤转化成几何语言是解题的关键．22．【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可；（2）设方程的较大的实数根为1x ，较小的实数根为2x ，则有123x x −=，122x x m +=−，121x x m =−，从而可进行求解．【解答】（1）证明：△22(2)41(1)0m m m =−−⨯⨯−=，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，即该方程总有两个实数根；（2）设方程的较大的实数根为1x ，较小的实数根为2x ，依题意得：123x x −=，122x x m +=−，121x x m =−，2212()3x x ∴−=，22112229x x x x −+=，2212129292(1)112x x x x m m +=+=+−=−，2212()(2)x x m +=−，2221122244x x x x m m ∴++=−+，21122(1)44m m m m ∴−+−=−+，整理得：29m =，解得：3m =或3m =−，0m <，3m ∴=−．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是对根与系数的关系的掌握并灵活运用．23．【分析】（1）根据垂径定理得到AB AC =，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；（2）连接OB ，根据垂径定理求出BD ，根据勾股定理求出OD ，根据三角形 的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：OD BC ⊥，∴AB AC =，AB AC ∴=；（2）解：连接OB ，OD BC ⊥，8BC =，118422BD DC BC ∴===⨯=，在Rt ODB ∆中，3OD ===，538AD ∴=+=，188322ABC S ∆∴=⨯⨯=．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．24．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）恰好抽到“冬季两项”的概率是14，故答案为：14； （2）“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁，画树状图如下：共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：21126=． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB BG ⊥，即可证明BG 是O 的切线；（2）根据题意连接CF ，根据圆周角定理和中位线性质得出12EO DF =，进而依据等边三角形和四边形BEDG 是矩形，由矩形的性质可得出FG 的长．【解答】（1）证明：C ，A ，D ，F 在O 上，90CAF ∠=︒，90D CAF ∴∠=∠=︒． AB CE ⊥，BG DF ⊥，90BED G ∴∠=∠=︒．∴四边形BEDG 中，90ABG ∠=︒．∴半径OB BG ⊥．BG ∴是O 的切线．（2）解：连接CF ，90CAF ∠=︒，CF ∴是O 的直径．OC OF ∴=．直径AB CD ⊥于E ，CE DE ∴=．OE ∴是CDF ∆的中位线．122OE DF ∴==． AD AD =，30AFD ∠=︒，30ACD AFD ∴∠=∠=︒．9060CAE ACE ∴∠=︒−∠=︒．OA OC =，AOC ∴∆是等边三角形．CE AB ⊥，E ∴为AO 的中点，24OA OE ∴==，4OB =．6BE OB OE ∴=+=．90BED D G ∠=∠=∠=︒，∴四边形BEDG 是矩形．6DG BE ∴==．2FG DG DF ∴=−=．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．26．【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．（2）分别讨论222m x m −+的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y 取最大值与最小值时，对应的x 的取值，进而求出a ，m 的值．（3）由于y 的取值范围是3335n y n −<<+，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论2n x n −<<在对称轴的左右两侧即可．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++，0x ∴=时，3y =，∴抛物线23y ax bx =++过点(0,3)，抛物线23y ax bx =++过点(4,3)，∴该抛物线的对称轴为直线2x =．（2）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，22b a∴−=，即4b a =−①． 0m >，2222m m ∴−<<+．0a >，抛物线开口向上，∴当2x =时，函数值在222m x m −<<+上取得最小值1−．即4231a b ++=−②．联立①②，解得1a =，4b =−．∴抛物线的表达式为243y x x =−+，即2(2)1y x =−−．0m >，∴当22m x −时，y 随x 的增大而减小，当2x m =−时取得最大值，当222x m +时，y 随x 的增大而增大，当22x m =+时取得最大值，对称轴为2x =，2x m ∴=−与2x m =+时的函数值相等．2222m m <+<+，∴当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值，即2x m =−时的函数值．∴当22x m =+时，函数值在2222m m −<<+上取得最大值3．代入有2413m −=，舍去负解，得1m =．（3）存在，1n =．当2n x n −<<时，y 的取值范围是3335n y n −<<+，y 无法取到最大值与最小值，∴关于x 的取值范围一定不包含对称轴，①当2n 时，2n x n −<<在对称轴的左侧，二次函数开口向上，2x n ∴=−时，y 有最大值，x n =时，y 有最小值，由题意可知：22(2)4(2)3354333n n n n n n ⎧−−−+=+⎨−+=−⎩，解得：1n =， 故1n =，②当22n −时，2n x n −<<在对称轴的右侧，二次函数开口向上，2x n ∴=−时，y 有最小值，x n =时，y 有最大值，由题意可知：22(2)4(2)3334335n n n n n n ⎧−−−+=−⎨−+=+⎩，此时n 无解， 故不符合题意，1n ∴=．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．27．【分析】（1）根据要求作出图形即可．结论：DM EM =．证明()ABE ACD SAS ∆≅∆，推出AE AD =，可得结论；（2）当CD =时，12AN DE =成立．过点A 作AT BC ⊥于点T ，AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形．分别求出AN ，DE ，即可判断．【解答】解：（1）图形如图所示，结论：DM EM =．理由：连接AE ，AD ．AB AC =，90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，CD CB ⊥，90DCB ∴∠=︒，135ABE ACD ∴∠=∠=︒，BA CA =，BE CD =，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆，AE AD ∴=，AM DE ⊥，DM ME ∴=．（2）当CD =12AN DE =成立． 理由：过点A 作AT BC ⊥于点T ，AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形． 1AB AC ==，90BAC ∠=︒，BC ∴==AT CB ⊥，AT TB TC ∴===，CD BE ==EN BN =，BN ∴，2AN ∴===，AH CH AT ==DH ∴==AD ∴==， ABE ACD ∆≅∆， EAB CAD ∴∠=∠，90EAD BAC ∴∠=∠=︒，AE AD ∴==DE ∴=12AN DE ∴=． 【点评】本题考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28．【分析】（1）①根据定义解答可；②分别找出1PQ 、2P Q 、3P Q 的最大值，再根据定义判断即可；（2）正方形ABCD 上的任意两点间的距离最大值为E 是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上点的最大距离好为（3）分线段MN 在O 内部和在O 外两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）①图形W 是半径为1的O ，图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为2．故答案为：2；②如图1，连接2P O 并延长交O 于点E ，23P O ==212P E d ∴=+≠，2P ∴不是O 的“倍点”；1P 到O 上各点连线中最大距离为2132d +=≠， 1P ∴不是O 的“倍点”； 3P 到O 上各点连线中最大距离为3142d +==，3P ∴是O 的“倍点”．故答案为：3P ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，正方形ABCD 上任意两点之间距离的最大距离d =，∴2d =由图可知当点E 在如图所示的位置时，E 是正方形ABCD 的“倍点“，∴OE =，t ∴的值为：3或3−．（3）MN 上2d =，24d =，当线段MN 在O 外部时，4EM =，1TM =，21 / 21ET ∴==∴大O的半径为6+同理，小O的半径为6，点T所构成的图形是圆环，它的面积22(6(6ππ⋅+−⋅=．故答案为：．【点评】此题考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。
北京市海淀区人大附中2022年九年级数学第一学期期末调研试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是14，则袋中球的总个数是（）A．2B．4C．6D．82．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )A．6 B．8C．10 D．123．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为()m．A．2 B．4 C．6 D．84．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝kx图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞kx解集为()A ．x ＞2或﹣1＜x ＜0B ．﹣1＜x ＜0C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜2D ．x ＞25．一个扇形半径30cm ，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．20cmD ．30cm6．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）A ．3：1B ．4：1C ．5：1D ．6：17．二次函数y = -2(x + 1)2+5的顶点坐标是( )A ．-1B ．5C ．(1, 5)D ．(-1, 5) 8．在平面直角坐标系内，将抛物线221y x =-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．()2,4-B ．()2,4-C ．()2,3-D ．()2,3- 9．二次函数245y x x =++的图象可以由二次函数2y x 的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 10．在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC ＝6，BC ＝8，则cos B 的值是（ ）A ．35B ．24C ．45D ．43118 ）A ．2B ．2C ．2D ．412．点A(1，y 1)、B(3，y 2)是反比例函数y ＝9x 图象上的两点，则y 1、y 2的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＜y 2 D ．不能确定二、填空题（每题4分，共24分）13．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，1．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是_____．14．用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设P 在__________．15．从长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm的四根木条中，抽出其中三根能组成三角形的概率是______．16．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值为__________．17．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m （0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．18．若3a＝4b（b≠0），则a bb＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程（1）2x2﹣6x﹣1＝0（2）（x+5）2＝6（x+5）20．（8分）二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+_____．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F 是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．22．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB 在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．23．（10分）如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．24．（10分）如图，已知反比例函数y 1＝1k x 与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （2，4），B （﹣4，m ）两点． （1）求k 1，k 2，b 的值；（2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≥k 2x+b 的解．25．（12分）一个可以自由转动的转盘，其盘面分为3等份，分别标上数字3,4,5.小颖准备转动转盘5次，现已转动3次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下： 次数1 2 3 4 5 数字 43 3 小颖继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这5次指针所指数字的平均数不小于3.6且不大于3.8”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)26．如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1)O A B （每个方格的边长均为1个单位长度）.（1）将OAB ∆以点O 为旋转中心，逆时针旋转90度得到11OA B ∆，请画出11OA B ∆；（2）请以点O 为位似中心，画出OAB ∆的位似三角形22OA B ∆，使相似比为2:1.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】试题解析：袋中球的总个数是：2÷14=8（个）．故选D．2、D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DGGE CG==1，∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．3、B【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得ED DCDC FD=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】解：根据题意，作△EFC ；树高为CD ，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°∴∠ECD=∠CFD∴Rt △EDC ∽Rt △FDC ，有 ED DC DC FD=；即DC 2=ED•FD ， 代入数据可得DC 2=16，DC=4；故选：B ．【点睛】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．4、A【解析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＞2或﹣1＜x ＜0时，ax+b ＞x k ． 故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键．5、B【解析】试题解析：设此圆锥的底面半径为r ， 2πr=12030180π⨯， r=10cm故选B ．考点：弧长的计算．6、C【分析】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.【详解】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm ，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1，故选C.7、D【解析】直接利用顶点式的特点写出顶点坐标．【详解】因为y=2（x+1）2-5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，5）．故选：D ．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键.8、B【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】抛物线221y x =-的顶点坐标为（0，−1），∵向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 9、C【解析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将245y x x =++转化为顶点式，与原式2y x 对比，利用口诀左加右减，上加下减，即可得到答案【详解】解：∵()2245=21y x x x =++++，∴ ()2245=21y x x x =++++的图形是由2y x 的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位【点睛】本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目10、C【分析】利用勾股定理求出AB ，根据余弦函数的定义求解即可．【详解】解：如图，在Rt ABC 中，6AC =，8BC =，22226810AB BC AC ∴++=，84105BC cosB AB ∴===， 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11、A【解析】根据最简二次根式的定义进行化简即可. 84222=⨯= 故选：A.【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键.12、A【解析】∵反比例函数y ＝9x中的9>0， ∴经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，又∵A (1,y ₁)、B (3,y ₂)都位于第一象限，且1<3，∴y ₁>y ₂，故选A.二、填空题（每题4分，共24分）13、13【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有1种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是31=93，故答案为13．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．错因分析中等难度题.失分的原因有两个：（1）没有掌握放回型和不放回型概率计算的区别；（2）未找全标号相同的可能结果.14、⊙O上或⊙O内【分析】直接利用反证法的基本步骤得出答案．【详解】解：用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．故答案为：在⊙O上或⊙O内．【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的解题方法是解题关键．15、3 4【分析】四根木条中，抽出其中三根的组合有4种，计算出能组成三角形的组合，利用概率公式进行求解即可．【详解】解：能组成三角形的组合有：4，8，10；4，10，12；8，10，12三种情况，故抽出其中三根能组成三角形的概率是3 4 .【点睛】本题考查了列举法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．16、4 5【分析】根据勾股定理及三角函数的定义直接求解即可；【详解】如图，22228610AB BC AC=+=+=，∴sin∠A84105 BCAB===，故答案为：4 5【点睛】本题考查了三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.17、80°或120°【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案为80°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．18、1 3【分析】依据3a＝4b，即可得到a＝43b，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵3a＝4b，∴a＝43b，∴a bb-＝43b bb-＝13bb＝13．故答案为：13．【点睛】本题主要考查了比例的性质，求出a＝43b是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）32x±=；（2）x＝﹣5或x＝1．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵a=2，b=﹣6，c=﹣1，∴△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44＞0，则x==（2）∵(x+5)2﹣6(x+5)=0，∴(x+5)(x﹣1)=0，则x+5=0或x﹣1=0，解得：x=﹣5或x=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．20、（﹣12）【分析】由于二次项系数为1，所以右边加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，化简，即可得出结论．【详解】∵y＝x2+6x﹣3＝（x2+6x）+3＝（x2+6x+32﹣32）﹣3＝（x+3）2﹣9﹣3＝（x+3）2﹣12，故答案为：（﹣12）．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式的互化，掌握配方法是解本题的关键．21、（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π-．【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=43422⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．22、（1）见解析；（2）254π．【分析】（1）分别作出点B、C绕点A按顺时针方向旋转90︒得到的对应点，再顺次连接可得；（2）根据扇形的面积公式列式计算可得．【详解】（1）解：如图所示：△AB′C′即为所求（2）解：∵AB= 2234+=5， ∴线段AB 在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：2905360π⨯=254π【点睛】本题主要考查作图以及旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．23、（1）抛物线的解析式为248y x x 433=-++；（2）PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）；（3）存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 【解析】（1）将A （3，0），C （0，4）代入2y ax 2ax c =-+，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长．（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC ∽△AEM ，②△CFP ∽△AEM ；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4），∴，解得4a {3c 4=-=． ∴抛物线的解析式为248y x x 433=-++． （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，∵A （3，0），点C （0，4），∴3k b 0{b 4+==，解得4k {3b 4=-=． ∴直线AC 的解析式为4y x 43=-+． ∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，4m 43-+）． ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线248y x x 433=-++上， ∴点P 的坐标为（m ，248m m 433-++）． ∴PM=PE －ME=（248m m 433-++）－（4m 43-+）=24m 4m 3-+． ∴PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）． （3）在（2）的条件下，连接PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=4m 43-+，CF=m ，PF=248m m 4433-++-=248m m 33-+， 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况： ①若△PFC ∽△AEM ，则PF ：AE=FC ：EM ，即（248m m 33-+）：（3－m ）=m ：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=2316． ∵△PFC ∽△AEM ，∴∠PCF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠PCF=∠CMF ．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．∴△PCM 为直角三角形．②若△CFP ∽△AEM ，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3－m ）=（248m m 33-+）：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP ∽△AEM ，∴∠CPF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠CPF=∠CMF ．∴CP=CM ．∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 24、（1）k 1＝8，k 1＝1，b ＝1；（1）2；（3）x≤﹣4或0＜x≤1． 【解析】（1）由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出反比例函数解析式，再结合点B 的横坐标即可得出点B 的坐标，根据点A 、B 的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数解析式；（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求出一次函数图象与y 轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB 的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集．【详解】（1）∵反比例函数y ＝1k x 与一次函数y ＝k 1x+b 的图象交于点A （1，4），B （﹣4，m ）， ∴k 1＝1×4＝8，m ＝8-4＝﹣1， ∴点B 的坐标为（﹣4，﹣1）．将A （1，4）、B （﹣4，﹣1）代入y 1＝k 1x+b 中，222442k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：212k b =⎧⎨=⎩， ∴k 1＝8，k 1＝1，b ＝1．（1）当x ＝0时，y 1＝x+1＝1，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，1），∴S △AOB ＝12×1×4+12×1×1＝2． （3）观察函数图象可知：不等式1k x≥k 1x+b 的解集为x≤﹣4或0＜x≤1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）根据待定系数法求出函数解析式；（1）利用分割图形法求出△AOB 的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．25、能，5=9P ． 【分析】根据平均数的定义求解可得后两次数字之和为8或9；根据题意画出树状图，再利用概率公式求其概率．【详解】能设第4次、第5次转出的数字分别为a 和b ，根据题意得：()13.6433 3.85a b ≤++++≤， 解得：89a b ≤+≤，所以后两次数字之和为8或9；画出树状图：共有9种等情况数，其中“两次数字之和为8或9”的有5种，所以()5 3.6 3.859P =这次指针所指数字的平均数不小于且不大于． 【点睛】本题考查用列表法或树状图的方法解决概率问题；求一元一次不等式组的方法以及概率公式的运用．求出事件的所有情况和符合条件的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．26、（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）根据旋转的规律，将点A 、B 围绕O 逆时针旋转90°，得到A 1、B 1，连接O 、A 1、B 1即可； （2）连接OA 并延长到A 2，使OA 2=2OA ，连接OB 并延长到B 2，使OB 2=2OB ，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；【详解】解：（1）如图，△OA 1B 1即为所求作三角形；（2）如图，△OA 2B 2即为所求作三角形；【点睛】本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．。
2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为( )A. B.C. D.2. 点关于原点对称的点的坐标为( )A. B. C. D.3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为( )A. B.C. D.4. 如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作，点C与的位置关系为( )A. 点C在外B. 点C在内C. 点C在上D. 无法确定5. 若点，在抛物线上，则m的值为( )A. 2B. 1C. 0D.6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为( )A. B.C. D.7. 如图，过点A作的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接过上一点D作的切线，交AB，AC于点E，若，的周长为4，则BC的长为( )A. 2B.C. 4D.8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是( )A. B. C. D.9. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为_____________.10. 半径为3，圆心角120度的扇形面积为__________.11. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数n50100150200300400500投中次数m284978102153208255投中频率根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________.12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为__________.13. 二次函数的图象如图所示，则ab__________填“>”“<”或“=”14. 如图，是的内接三角形，于点E，若的半径为，，则__________.15. 对于二次函数，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y 随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围__________.X…0123…y…1331…16. 如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC 平分；④连接BC，CD，则与的面积比为1：，所有正确结论的序号是__________.17. 解方程：18. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．19. 已知a为方程的一个根，求代数式的值．20. 如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，若，求的度数．21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．小明抽到甲训练场的概率为____；用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．22. 已知：如图，AP是的切线，A为切点．求作：的另一条切线PB，B为切点．作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交于点B；作直线直线PB即为所求．根据上面的作法，补全图形保留作图痕迹；完成下面证明过程．证明：连接OA，OB，是的切线，A为切点，在与中，( )≌于点是的半径，是的切线____填推理的依据23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B 两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．24. 如图，AB是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点求证：BC 平分；连接OD，若，，求OD的长．25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字如图，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面米．请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点求用含a的式子表示；抛物线过点，，，①判断：____填“>”“<”或“=”；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．27. 如图，在中，，是AB边上一点，交CA的延长线于点用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；连接BE，延长BE至F，使连接DC，CF，①依题意补全图形；②判断的形状，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．已知，，①在点，，中，线段AB的融合点是____；②若直线上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；对称线段为若对于实数a，存在直线l，使得上有的融合点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】A【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是故选：3.【答案】D【解析】【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：，将二次函数的图象在平面直角坐标系中向左平移1个单位长度所得函数解析式为：，故选：4.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：正方形ABCD的对角线，点C在外，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【解答】解：因为点，的纵坐标相同，都是5，所以对称轴为直线，故m的值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】由于是等边三角形，那么，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为，由此即可求出绕中心旋转的角度．【解答】解：如图，连接OA、OB、是等边三角形，，它们都是旋转角，而它们的和为，将该勒洛三角形绕其中心O旋转后能与自身重合．故选：7.【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：、AC为的切线，，、FC为的切线，，同理，，的周长，，故选：8.【答案】B【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，该赛车从F口驶出的概率为，故选：9.【答案】【解析】【分析】将代入解析式求解．【解答】解：将代入得，抛物线与y轴交点坐标为，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为，故答案为：12.【答案】【解析】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：方程有两个不相等的实数根，，，，解得，故答案为：13.【答案】<【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象可知：，，，故答案为：14.【答案】1【解析】【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接AO，BO，，，，，，，，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合x、y的值确定答案即可．【解答】解：观察表格知：二次函数的图象经过点和，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故答案为：16.【答案】①③④【解析】【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，是圆内接正六边形的一边，的度数，是等边三角形，，该圆的半径为是圆内接正方形的一边，的度数，的度数，是圆内接正三边形的一边，的度数，的度数，，，平分的长，，，中，，，平分，，，，：：正确的有①③④．故答案为：①③④．17.【答案】解：，，即，，，【解析】利用配方法求解即可．18.【答案】解：抛物线过点和，，解得，所以，该二次函数的解析式为【解析】将，代入求得b，c的值，得到此函数的解析式．19.【答案】解：原式为方程的一个根，，原式【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把已知数据整体代入得出答案．20.【答案】解：如图，连接，，，为直径，，【解析】【分析】连接AC，根据圆周角定理得到，再利用AB为直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算的度数．21.【答案】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率为【解析】【分析】直接由概率公式求解即可；画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，再由概率公式求解即可.22.【答案】解：如图，PB为所作；；经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；先根据切线的性质得再证明≌得到，然后根据切线的判定定理得到PB是的切线．23.【答案】解：连接OB，若，在中，，，，，解得答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为【解析】【分析】连接OB，根据垂径定理求出BD，在中，根据勾股定理即可求出24.【答案】证明：连接，是的切线，OC是的半径，，，，，平分解：连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，在中，，设，，则，，在中，根据勾股定理得：【解析】【分析】连接OC，由题意可证，进而证明BC平分；连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，可得，由勾股定理求出OB的长，再由勾股定理可得出答案．25.【答案】解：以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系.设抛物线解析式为，抛物线过点，，解得，抛物线解析式为能实现，由知抛物线解析式为，设“之”的坐标为，则“星”的坐标为，，，，解得，，，能实现，【解析】【分析】建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a 的值即可．26.【答案】解：将代入抛物线表达式得：，解得：由得，抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为直线，将点M 、N 、P 的坐标代入抛物线表达式得：，，，①，故答案为：②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，即且，解得：当时，同理可得：点N、P在x轴上方，即且，解得：；综上所述，a的取值范围的为：或【解析】【分析】将代入抛物线表达式得：，即可求解；①，即可求解；②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当时，同理可解．27.【答案】解：结论：理由：，，，，，①图形如图所示：②结论：是等边三角形．证明：延长BA至点H使，连接CH，FH，如图.，，是等边三角形.，，，，，，，≌，是等边三角形.【解析】【分析】结论：利用直角三角形30度角的性质证明即可；①根据要求作出图形即可；②结论：是等边三角形．延长BA至点H使，连接CH，FH，.证明≌，推出，，可得结论．28.【答案】解：①，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，，，，当与圆相切时，或，当时，直线上存在线段AB 的融合点．由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，，，上有的融合点，圆O 与圆、有交点，圆O 与圆、圆的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当时，a 的最大值为，最小值为，；当时，a 的最大值为，最小值为，综上所述：a 的取值范围为或【解析】【分析】①，，的线段垂直平分线与x 轴的交点为，是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，不是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，是线段AB的融合点．故答案为：，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段AB的融合点；由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当时，a的最大值为，最小值为，当时，a的最大值为，最小值为，由此可求a的取值范围为或。
北京市海淀区中学国人民大附属中学2022年数学九年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．方程x （x ﹣1）＝0的解是（ ）．A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝0D ．没有实数根 2．O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 3．如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB ＝3，BC ＝5，DF ＝12，则DE 的值为（ ）A ．94B ．4C ．92D ．1524．在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好点”共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为( )A ．14B ．16C ．12D ．34 6．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④ 7．对于二次函数()212y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴1x =C ．顶点坐标是()1,2D ．与x 轴有两个交点8．下列事件属于随机事件的是（ ）A ．抛出的篮球会下落B ．两枚骰子向上一面的点数之和大于1C ．买彩票中奖D ．口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球9．如图等边△ABC 的边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 沿A ﹣B ﹣C 以2cm /s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停止运动，若△APQ 的面积为S （cm 2），点Q 的运动时间为t （s ），则下列最能反映S 与t 之间大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．据路透社报道，中国华为技术有限公司推出新的服务器芯片组，此举正值中国努力提高芯片制造能力，并减少对进口芯片的严重依赖.华为技术部门还表示，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积20.00000065mm .其中0.00000065用科学记数法表示为（ ）A ．86.510-⨯B ．76.510-⨯C ．66.510-⨯D ．76.510⨯11．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x 2-13x +40=0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．15或12B ．12C ．15D ．以上都不对12．如图，在正方形网格中，线段A ′B ′是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A ′与A 对应，则角α的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题（每题4分，共24分）13．某学生想把放置在水平桌面上的一块三角板ABC (90ACB ∠=，30A ∠=)，绕点C 按顺时针方向旋转θ角，转到A B C '''∆的位置，其中A '、B '分别是A 、B 的对应点，B 在A B ''上(如图所示)，则θ角的度数为______．14．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC =60°，AB =2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）15．把二次函数245y x x =+-变形为2()y x h k =++的形式，则h k +=__________．16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （53，0）、B （0，4），则点B 2020的横坐标为_____．17．函数y=31x x -+的自变量x 的取值范围是_______________． 18．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是4，sinB=14，则线段AC 的长为 ．三、解答题（共78分）19．（8分）计算：（1）20192(1)sin 30cos 45tan 60-+︒+︒+︒（2）解方程：2232x x -=20．（8分）把一根长为4米的铁丝折成一个矩形，矩形的一边长为x 米，面积为S 米2，(1)求S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围(2)x 为何值时，S 最大？最大为多少？21．（8分）在平面直角坐标系中，函数图象G 上点(),P x y 的横坐标x 与其纵坐标y 的和x y +称为点P 的“坐标和”，而图象G 上所有点的“坐标和”中的最小值称为图象G 的“智慧数”．如图：抛物线2y x 上有一点()2,4M ，则点M的“坐标和”为6，当0x ≥时，该抛物线的“智慧数”为1．（1）点(),2N x 在函数4y x=的图象上，点N 的“坐标和”是 ； （2）求直线()13122y x x =-+-≤≤的“智慧数”； （3）若抛物线2y x bx c =++的顶点横、纵坐标的和是2，求该抛物线的“智慧数”；（4）设抛物线2y x px q +=+顶点的横坐标为m ，且该抛物线的顶点在一次函数22y x =-+的图象上；当12132m x m -≤≤+时，抛物线2y x px q +=+的“智慧数”是2，求该抛物线的解析式． 22．（10分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 为AB 上一点，以AE 为直径作⊙O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：AE ＝AF ；（2）若AE ＝5，AC ＝4，求BE 的长．23．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E ．（1）求证：∠BCO=∠D ；（2）若CD=42，AE=2，求⊙O 的半径．24．（10分）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问：①应将每件售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？②店主想要每天获得最大利润，请你帮助店主确定商品售价并指出每天的最大利润W 为多少元？25．（12分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(6,0)A ，点(0,8)B ．以A 点为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点,,O B C 的对应点分别为,,D E F ，记旋转角为(090)αα︒︒＜＜．(1)如图①，当30α︒＝时，求点D 的坐标；(2)如图②，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；(3)当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．26．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是事件；（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是；（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】根据因式分解法解方程得到x=0或x﹣1=0，解两个一元一次方程即可.【详解】解：x（x﹣1）＝0x=0或x﹣1=0∴x1＝1，x2＝0，故选C.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键.2、A【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．3、C【分析】由a b c ∥∥，利用平行线分线段成比例可得DE 与EF 之比，再根据DF ＝12，可得答案．【详解】a b c ，AB DE BC EF∴=， 35AB BC ==∵，，DE 3=EF 5∴， 12DF =，39=82DE DF =∴， 故选C.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键．4、C【分析】分x≥0及x ＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】当x≥0时，()31x x -=，即：2310x x --=，解得：132x +=，232x -=(不合题意，舍去)， 当x ＜0时，()31x x --=，即：2310x x ++=，解得：332x -+=，432x -=， ∴函数3y x =-的图象上的“好点”共有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分x≥0及x ＜0两种情况，找出关于x 的一元二次方程是解题的关键．5、A【分析】列举出所有情况，看两位数中是奇数的情况占总情况的多少即可．【详解】解：在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数有：12，10，21，20四个，是奇数只有21，所以组成的两位数中是奇数的概率为14． 故选A ．【点睛】数目较少，可用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6、D 【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题．7、C【分析】根据抛物线的性质由a=2得到图象开口向上，再根据顶点式得到顶点坐标，再根据对称轴为直线x=1和开口方向和顶点，从而可判断抛物线与x 轴的公共点个数．【详解】解：二次函数y=2（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴没有公共点．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，其顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下．8、C【解析】根据随机事件,必然事件,不可能事件概念解题即可.【详解】解：A. 抛出的篮球会下落,是必然事件,所以错误,B. 两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是不可能事件,所以错误,C. 买彩票中奖.是随机事件,正确,D. 口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球, ,是不可能事件,所以错误,故选C.【点睛】本题考查了随机事件的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.9、C【分析】根据等边三角形的性质可得，然后根据点P的位置分类讨论，分别求出S与t的函数关系式即可得出结论．【详解】解：∵△ABC为等边三角形∴∠A=∠C=60°，AB=BC=AC=4当点P在AB边运动时，根据题意可得AP=2t，AQ=t∴△APQ为直角三角形S＝12AQ×PQ＝12AQ×（AP·sinA）＝12×t×2t×32＝32t2，图象为开口向上的抛物线，当点P在BC边运动时，如下图，根据题意可得PC=2×4－2t=8－2t，AQ=tS＝12×AQ×PH＝12×AQ×（PC·sinC）＝12×t×（8﹣2t）×32＝32t（4﹣t）=-32t2+23t，图象为开口向下的抛物线；故选：C．【点睛】此题考查的是根据动点判定函数的图象，掌握三角形面积的求法、二次函数的图象及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．10、B【分析】把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中10a ≤<1∣∣，n 是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.【详解】0.00000065=76.510-⨯,故选：B.【点睛】此题考察科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，整数等于原数左起第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解.11、B【解析】试题分析：将方程进行因式分解可得：（x －5）（x －8）=0，解得：x=5或x=8，根据三角形三边关系可得：这个三角形的第三边长为5，则周长为：3+4+5=1．考点：（1）解一元二次方程；（2）三角形三边关系12、C【详解】分析：先根据题意确定旋转中心，然后根据旋转中心即可确定旋转角的大小．详解：如图，连接A ′A ，BB ′，分别A ′A ，BB ′作的中垂线，相交于点O .显然，旋转角为90°，故选C ．点睛：考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心，难度不大．先找到这个旋转图形的两对对应点，连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线的交点就是旋转中心.二、填空题（每题4分，共24分）13、60°【分析】根据题意有∠ACB ＝90︒，∠A ＝30︒，进而可得∠ABC ＝60︒，又有∠ACA ′＝BCB ′＝∠ABA ′＝θ，可得∠CBB ′＝12（180︒−θ），代入数据可得答案． 【详解】∵∠ACB ＝90︒，∠A ＝30︒，∴∠ABC ＝60︒，∴∠ACA ′＝BCB ′＝∠ABA ′＝θ，∠CBB ′＝12（180︒−θ）， ∴θ＝∠ABC ＝60︒．故答案为：60︒．【点睛】 本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点是旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．14、23π- 【解析】根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，∠AB0=12∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，根据直角三角形的性质求出AC 、BD ，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠AB0=12∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°∴AO=12AB=1，由勾股定理得，OB =又∵AC=2，，∴调影部分的面积为：21120122223603ππ⨯⨯⨯⨯=故答案为：23π-【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.15、7-【分析】利用配方法将二次函数变成顶点式即可.【详解】22245449(2)9y x x x x x =+-=++-=+-,∴h=2,k=-9,即h+k=2-9=-7.故答案为:-7.【点睛】本题考查二次函数顶点式的性质,关键在于将一般式转换为顶点式.16、1【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B2020在第一象限，∵OA=53，OB=4，∠AOB=90°，∴AB2222513433 OB OA⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=10，∴B2的横坐标为：10，同理：B4的横坐标为：2×10=20，B6的横坐标为：3×10=30，∴点B2020横坐标为：2020102⨯=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．17、x≥3【分析】分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【详解】根据二次根式有意义，分式有意义得：x-3≥0且x+1≠0，解得：x≥3故答案为x≥3【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，基础知识扎实是解题关键18、1．【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=14，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．【详解】解：连结CD，如图，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B ，∴sinD=sinB=14， 在Rt △ACD 中，∵sinD=AC AD =14， ∴AC=14AD=14×8=1． 故答案为1．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．三、解答题（共78分）19、（1（2）1212,2x x ==- 【分析】（1）由题意利用乘方运算法则并代入特殊三角函数值进行计算即可；（2）根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可.【详解】解：（1）20192(1)sin 30cos 45tan 60-+︒+︒+︒11(1)22=-++=（2）2232x x -=22320x x --=，(2)(21)0x x -+= 解得1212,2x x ==-. 【点睛】本题考查实数的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握乘方运算法则和特殊三角函数值以及利用因式分解法解方程是解题的关键.20、 (1) S =-2x +2x (0<x <2) ；(2) x =1时，面积最大，最大为1米2【分析】（1）根据矩形周长为4米，一边长为x ，得出另一边为2-x ，再根据矩形的面积公式即可得出答案;（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法进行整理，可求出函数的最大值，从而得出答案．【详解】解：（1）∵矩形的一边长为x 米，∴另一边长为2-x 米，∴S=x （2-x ）=-x 2+2x(0<x<2)，即S=-x 2+2x(0<x<2)；（2）根据（1）得：S=-x 2+2x =-（x-1）2+1，∴矩形一边长为1米时，面积最大为1米2，【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用以及矩形面积的计算公式，关键是根据矩形的面积公式构建二次函数解决最值问题．21、（1）4；（2）直线(3)1122y x x =-+-≤≤“智慧数”等于52；（3）抛物线2y x bx c =++的“智慧数”是74；（4）抛物线的解析式为242y x x =-+或2141216y x x =++ 【分析】（1）先求出点N 的坐标，然后根据“坐标和”的定义计算即可；（2）求出132y x x +=+，然后根据一次函数的增减性和“智慧数”的定义计算即可； （3）先求出抛物线的顶点坐标，即可列出关于b 和c 的等式，然后求出()21y x x b x c +=+++，然后利用二次函数求出y ＋x 的最小值即可得出结论；（4）根据题意可设二次函数为()222y x m m =--+，坐标和为w ，即可求出w 与x 的二次函数关系式，求出w 与x 的二次函数图象的对称轴，先根据已知条件求出m 的取值范围，然后根据12132m x m -≤≤+与对称轴的相对位置分类讨论，分别求出w 的最小值列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）将y=2代入到4y x=解得x=2 ∴点N 的坐标为（2,2）∴点N 的“坐标和”是2＋2=4故答案为：4； （2）113322y x x x x +=-++=+， ∵10,122x >-≤≤， ∴当1x =-时，y x +最小， 即直线(3)1122y x x =-+-≤≤，“智慧数”等于()151322⨯-+=（3）抛物线的顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴24224b c b --+=，即2428c b b --= ()221y x x bx c x x b x c +=+++=+++∵10a =>，∴y x +的最小值是()22414218174444c b c b b -+----=== ∴抛物线2y x bx c =++的“智慧数”是74； （4）∵二次函数2y x px q +=+的图象的顶点在直线22y x =-+上，∴设二次函数为()222y x m m =--+，坐标和为w()()222221222x m m x x m x m m w --++=+-+-+= 对称轴212m x -= ∵12132m x m -≤≤+ ∴83m ≤①当21212m m -<-时，即1823m <≤时，“坐标和”随x 的增大而增大 ∴把()21,2m -代入()221222w x m x m m =+-+-+，得()()()22221122122m m m m m =-+--+-+，解得10m = (舍去)，22m =，当2m =时，()22222242y x x x =--⨯+=-+ ②当21121322m m m --≤≤+，即12m ≤时， 2424ac b -=，即()()224221224m m m -+--=， 解得14m =-， 当14m =-时，22111412244216y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③当211322m m ->+时，7m > ∵83m ≤，所以此情况不存在 综上，抛物线的解析式为242y x x =-+或2141216y x x =++ 【点睛】此题考查的新定义类问题、二次函数、一次函数和反比例函数的综合题型，掌握新定义、利用二次函数和一次函数求最值是解决此题的关键．22、（1）证明见解析；（2）53． 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD ⊥BC ，根据平行线的判定定理得到OD ∥AC ，求得∠ODE ＝∠F ，根据等腰三角形的性质得到∠OED ＝∠ODE ，等量代换得到∠OED ＝∠F ，于是得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：（1）连接OD ，∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC ，∴∠ODC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴OD ∥AC ，∴∠ODE ＝∠F ，∵OE ＝OD ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠OED ＝∠F ，∴AE ＝AF ；（2）∵OD ∥AC∴△BOD ∽△BAC ，∴BO OD AB AC=， ∵AE ＝5，AC ＝4， 即2.5 2.554BE BE +=+， ∴BE ＝53． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23、（1）见解析；（2）1．【解析】试题分析：根据OC=OB 得到∠BCO=∠B ，根据弧相等得到∠B=∠D ，从而得到答案；根据题意得出CE 的长度，设半径为r ，则OC=r ，OE=r －2，根据Rt △OCE 的勾股定理得出半径．试题解析：（1）证明：∵ OC=OB ，∴ ∠BCO=∠B ∵AC AC =， ∴ ∠B=∠D ， ∴ ∠BCO=∠D ．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴ CE=1122CD =⨯= 在Rt △OCE 中，OC 2=CE 2+OE 2， 设⊙O 的半径为r ，则OC=r ，OE=OA －AE=r －2，∴222(2)r r =+-，解得：r=1， ∴⊙O 的半径为1考点：圆的基本性质24、①应将每件售价定为12元或1元时，能使每天利润为640元；②当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．【分析】①根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式．②根据①中的函数关系式求得利润最大值．【详解】①设每件售价定为x 元时，才能使每天利润为640元，（x ﹣8）[200﹣20（x ﹣10）]＝640，解得：x 1＝12，x 2＝1．答：应将每件售价定为12元或1元时，能使每天利润为640元．②设利润为y ：则y ＝（x ﹣8）[200﹣20（x ﹣10）]＝﹣20x 2+560x ﹣3200＝﹣20（x ﹣14）2+720，∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．25、（1）点D 的坐标为()633,3﹣；（2）点D 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点E 的坐标为()12,8． 【分析】(1) 过点D 作DG x ⊥轴于,G 根据已知条件可得出AD=6，再直角三角形ADG 中可求出DG ，AG 的长，即可确定点D 的坐标.(2) 过点D 作DG x ⊥轴于,G DH AE ⊥于H 可得出,GADH HA DG ＝＝，根据勾股定理得出AE 的长为10，再利用面积公式求出DH ，从而求出OG ,DG 的长，得出答案(3) 连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转性质得到,DAE AOC AD AO ∠∠＝＝，从而可证AEG AED AAS ≌（），继而可得出结论.【详解】解：(1)过点D 作DG x ⊥轴于,G ，如图①所示：点6,0A （），点0,8B （）．6,8OA OB ∴＝＝，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，6,30,8AD AO OAD DE OB α∴∠︒＝＝＝＝＝＝，在Rt ADG 中，13,3332DG AD AG DG ＝＝＝＝， 633OG OA AG ∴--＝＝∴点D 的坐标为()633,3﹣；(2)过点D 作DG x ⊥轴于,G DH AE ⊥于H ，如图②所示：则,GADH HA DG ＝＝， 8,90DE OB ADE AOB ∠∠︒＝＝＝＝， 22226810AE AD DE ∴++＝＝＝，1122AE DH AD DE ⨯⨯＝， 6824105AD DE DH AE ⨯⨯∴＝＝＝， 246655OG OA GA OA DH ∴---=＝＝＝，22222418655DG AD AG ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭＝， ∴点D 的坐标为618,55⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，如图③所示：由旋转的性质得：,DAE AOC AD AO ∠∠＝＝，OAC ADO ∴∠∠＝，DAE ADO ∴∠∠＝，//AE OC ∴，GAE AOD ∴∠∠＝，DAE GAE ∴∠∠＝，在AEG △和AED 中，90AGE ADE GAE DAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEG AED AAS ∴≌（）， 6,8AG AD EG ED ∴＝＝＝＝，12OG OA AG ∴+＝＝，∴点E 的坐标为()12,8．【点睛】本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个问题做出不同的辅助线是解题的关键.26、（1）必然，不可能；（2）35；（3）此游戏不公平． 【解析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案； （2）直接利用概率公式求出答案；（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【详解】（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件； 故答案为必然，不可能；（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：35； 故答案为35； （3）如图所示：，由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82205=； 则选择乙的概率为：35， 故此游戏不公平．【点睛】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．。
2022-2023学年北京市海淀区中学国人民大附属中学数学九上期末联考试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内切圆的圆心B．CE⊥ABC．△ABC的内切圆经过D，E两点D．AO＝CO2．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．3．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6（1+x）＝8.64B．6（1+2x）＝8.64C．6（1+x）2＝8.64D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.644．如图，在△ABC中，DE∥BC，若ADAB＝25，则AEEC的值为（）A．2B．2C．3D．35．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，其对称轴是x ＝﹣1，且过点(﹣3，0)，说法：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③﹣a +c ＜0；④若(﹣5，y 1)、(52，y 2)是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中说法正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．46．在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为M ，P 为圆上一点，坐标为（3，1），则cos ∠POM=（ ）A ．32B ．12C ．33D ．227．如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y=3x（x>0）上的一个动点，当点B 的横坐标系逐渐增大时，△OAB 的面积将会( )A ．逐渐变小B ．逐渐增大C ．不变D ．先增大后减小 8．函数()221y x ++＝-的顶点坐标是（ ）A ．()21，﹣B ．()21-，C ．()2-，-1D ．()21，9．下列说法正确的是（ ）A ．所有菱形都相似B ．所有矩形都相似10．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的点，过点B 作BN AM ⊥于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ．若6AB =，4=AD ，则DP 的长的最小值为( )A ．2B ．121313C ．4D ．5二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AD ∥BC ，DE 与AB 交于点F ，已知AD ＝4，DF ＝2EF ，sin ∠DAB ＝35，则线段DE ＝_____．12．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．13．计算sin 245°+cos 245°=_______． 14．若关于x 的一元二次方程 20x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是________．15．二次函数y =ax 2+bx +3的图象经过点A (-1，0)，B (3，0)，那么一元二次方程ax 2+bx =0的根是_____．16．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．17．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CE BD ⊥，垂足为点E ，5CE =，且2OE DE =，则DE 的长为_______.18．九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F 两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，CD＝5，求FG的长．20．（6分）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．21．（6分）已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求△AOC的面积；（3）求不等式kx+b-mx<0的解集(直接写出答案)．22．（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m ，竹标顶端离地面2.4m ，小明到竹杆的距离2m DF =，竹杆到塔底的距离32m DB =，求这座古塔的高度．23．（8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点E ．（1）求证：四边形OCED 是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD 的面积是 ．24．（8分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量(个)与y 销售单价x(元)有如下关系:60(3060)y x x =-+≤≤，设这种双肩包每天的销售利润为w 元．(1)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元25．（10分）如图，已知点D 是ABC 的边AC 上的一点，连接BD.ABD C ∠∠=，AB 6=，4AD =． ()1求证：ABD ∽ACB ；()2求线段CD 的长．26．（10分）阅读下列材料：小辉和小乐一起在学校寄宿三年了，毕业之际，他们想合理分配共同拥有的三件“财产”：一个电子词典、一台迷你唱机、一套珍藏版小说.他们本着“在尊重各自的价值偏好基础上进行等值均分”的原则，设计了分配方案，步骤如下（相应的数额如表二所示）：①每人各自定出每件物品在心中所估计的价值；②计算每人所有物品估价总值和均分值（均分：按总人数均分各自估价总值）；③每件物品归估价较高者所有；④计算差额（差额：每人所得物品的估价总值与均分值之差）；⑤小乐拿225元给小辉，仍“剩下”的300元每人均分.依此方案，两人分配的结果是：小辉拿到了珍藏版小说和375元钱，小乐拿到的电子词典和迷你唱机，但要付出375元钱.（1）甲、乙、丙三人分配A，B，C三件物品，三人的估价如表三所示，依照上述方案，请直接写出分配结果；（2）小红和小丽分配D，E两件物品，两人的估价如表四所示（其中0＜m-n＜15）.按照上述方案的前四步操作后，接下来，依据“在尊重各自的价值偏好基础上进行等值均分”的原则，该怎么分配较为合理？请完成表四，并写出分配结果.（说明：本题表格中的数值的单位均为“元”）参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】由∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，得出点O是△ABC的内心即可．【详解】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，∴点O是△ABC的内切圆的圆心；故选：A．【点睛】本题主要考察三角形的内切圆与内心，解题关键是熟练掌握三角形的内切圆性质.2、D【解析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5，解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，1m=-（n-1）1+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+52=12．3、C【分析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据今年8月份与10月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：6（1+x）2＝8.1．此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率的问题.4、A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：∵AD AB ＝25， ∴23AD DB =， ∵DE ∥BC ， ∴23AE AD EC BD ==， 故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5、D【分析】由抛物线开口方向得到a ＞0，根据抛物线的对称轴得b ＝2a ＞0，则2a ﹣b ＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c ＜0，则abc ＜0，于是可对①进行判断；由于x ＝﹣1时，y ＜0，则得到a ﹣2a +c ＜0，则可对③进行判断；通过点(﹣5，y 1)和点(52，y 2)离对称轴的远近对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣2b a＝﹣1， ∴b ＝2a ＞0，则2a ﹣b ＝0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；∵x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，∵b ＝2a ，∴a ﹣2a +c ＜0，即﹣a +c ＜0，所以③正确；∵点(﹣5，y 1)离对称轴要比点(52，y 2)离对称轴要远， ∴y 1＞y 2，所以④正确．本题考查了二次函数图象与系数的关系，灵活运用二次函数解析式和图像是解答本题的关键．.6、A【解析】试题分析：作PA ⊥x 轴于A ，∵点P 的坐标为（3，1），∴OA=3，PA=1，由勾股定理得，OP=2，cos ∠POM=OA OP =32， 故选A ．考点：锐角三角函数7、A【解析】试题分析：根据反比例函数的性质结合图形易知△OAB 的高逐渐减小，再结合三角形的面积公式即可判断．要知△OAB 的面积的变化，需考虑B 点的坐标变化，因为A 点是一定点，所以OA （底）的长度一定，而B 是反比例函数图象上的一点，当它的横坐标不断增大时，根据反比例函数的性质可知，函数值y 随自变量x 的增大而减小，即△OAB 的高逐渐减小，故选A.考点：反比例函数的性质，三角形的面积公式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成.8、B【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵函数()221y x ++＝-， ∴该函数的顶点坐标是()21-，，故选：B ．【点睛】9、C【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可．【详解】A ．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A 错误；B ．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B 错误；C ．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C 正确；D ．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10、A【分析】由BN AM ⊥可得∠APB =90°，根据AB 是定长，由定长对定角可知P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点是DP 的长为最小值时的位置，用DO 减去圆的半径即可得出最小值．【详解】解：∵BN AM ⊥，∴∠APB =90°，∵AB=6是定长，则P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 得中点为O ，连结DO ，DO 与半圆的交点P'是DP 的长为最小值时的位置，如图所示：∵6AB =，4=AD ，∴'3==P O AO ，由勾股定理得：DO =5，∴''2=-=DP DO P O ，即DP 的长的最小值为2，故选A ．【点睛】本题属于综合难题，主要考查了直径所对的角是圆周角的应用：由定弦对定角可得动点的轨迹是圆，发现定弦和定角是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、210 【分析】作DG ⊥BC 于G ，则DG ＝AC ＝6，CG ＝AD ＝4，由平行线得出△ADF ∽△BEF ，得出AD BE ＝DF EF ＝2，求出BE ＝12AD ＝2，由平行线的性质和三角函数定义求出AB ＝53C ＝10，由勾股定理得出BC ＝8，求出EG ＝BC ﹣BE ﹣CG ＝2，再由勾股定理即可得出答案．【详解】解：作DG ⊥BC 于G ，则DG ＝AC ＝6，CG ＝AD ＝4，∵AD ∥BC ，∴△ADF ∽△BEF ，∴AD BE ＝DF EF＝2， ∴BE ＝12AD ＝2， ∵AD ∥BC ，∴∠ABC ＝∠DAB ，∵∠C ＝90°，∴sin ∠ABC ＝AC AB＝sin ∠DAB ＝35， ∴AB ＝53AC ＝53×6＝10， ∴BC ＝22106-＝8，∴EG ＝BC ﹣BE ﹣CG ＝8﹣2﹣4＝2，∴DE ＝22DG EG +＝2262+＝210；故答案为：210．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及解直角三角形等知识；证明三角形相似是解题的关键． 12、1【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h=0代入h=30t-5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h=0代入h=30t-5t 2得：5t 2-30t=0，解得：t 1=0（舍去），t 2=1．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间1s ．故答案为：1【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解． 13、1【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．【详解】原式=(2)2+(2)2=12+12=1． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，需要熟记，比较简单．14、1【解析】设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−x+k=0的两个根，∵关于x 的一元二次方程x 2−x+k=0的一个根是0，∴由韦达定理，得x 1+x 2=1，即x 2=1，即方程的另一个根是1.故答案为1.15、0，2【分析】将点A ，B 代入二次函数解析式，求得,a b 的值，再代入20ax bx +=，解出答案．【详解】∵23y ax bx =++经过点A （-1,0），B （3,0） ∴309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩∴20ax bx +=即为220x x -+=解得：0x =或2x =故答案为：0x =或2x =．【点睛】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，及提取公因式法解一元二次方程是解题的关键．16、直线x ＝2【解析】试题分析：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x==1考点: 二次函数的性质175【解析】设DE=x，则OE=2x，根据矩形的性质可得OC=OD=3x，在直角三角形OEC中：可求得5，即可求得5DE5【详解】∵四边形ABCD是矩形∴OC=12AC=12BD=OD设DE=x，则OE=2x，OC=OD=3x，∵CE BD⊥，∴∠OEC=90°在直角三角形OEC中225CE OC OE x-==5∴5即DE55【点睛】本题考查的是矩形的性质及勾股定理，掌握矩形的性质并灵活的使用勾股定理是解答的关键.18、（x﹣1）x＝2256【分析】根据题意得：每人要写（x-1）条毕业感言，有x个人，然后根据题意可列出方程．【详解】根据题意得：每人要写(x−1)条毕业感言，有x个人，∴全班共写：(x−1)x=2256，故答案为：(x−1)x=2256.【点睛】此题考查一元二次方程，解题关键在于结合实际列一元二次方程即可.三、解答题(共66分)19、（1）FG与O相切，证明见详解；（2）125 FG=【分析】（1）如图，连接OF，DF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由CD为直径，得到DF⊥BC，得到F为BC中点，证明OF∥AB，进而证明GF⊥OF，于是得到结论；（2）根据勾股定理求出BC，BF,根据三角函数sinB的定义即可得到结论．【详解】解：（1）答：FG与O相切．证明：连接OF，DF，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD=BD=12 AB，∵CD为⊙O直径，∴DF⊥BC，∴F为BC中点，∵OC=OD，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，∴FG为O的切线；（2）∵CD为Rt△ABC斜边上中线，∴AB=2CD=10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC8==，∴BF=142BC=，∵FG⊥AB，∴sinB=GF AC BF AB=，∴6 410 GF=，∴125 FG=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．20、32.2m．【详解】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=25°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形，∴CE=AB=12m，在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE，∴BE=CE•cot30°=12×3=123，在Rt△BDE中，由∠DBE=25°，得DE=BE=123．∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.2．答：楼房CD的高度约为32.2m．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．21、（1）反比例函数关系式：4yx；一次函数关系式：y=1x+1；（1）3；（3）x<-1或0<x<1.【分析】（1）由B点在反比例函数y=mx上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；（1）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；（3）由图象观察函数y=mx的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．【详解】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=mx上，∴m=4，又∵A（n，-1）在反比例函数y=mx的图象上，∴n=-1，又∵A（-1，-1），B（1，4）是一次函数y=kx+b的上的点，联立方程组解得，k=1，b=1，∴y＝4x，y=1x+1；（1）过点A作AD⊥CD，∵一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，A（-1，-1），B（1，4），C（0，1），∴AD=1，CO=1，∴△AOC的面积为：S=12AD•CO=12×1×1=1；（3）由图象知：当0＜x＜1和-1＜x＜0时函数y=4x的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，∴不等式kx+b-mx＜0的解集为：0＜x＜1或x＜-1．【点睛】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．22、古塔的高度是16.8m．【分析】根据题意即可求出EG 、GH 和CG ，再证出EGCEHA ∆∆，列出比例式，即可求解．【详解】解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH AB ⊥ ∴ 1.5m BH DG EF === 2,32EG DF m GH DB m ====∵小明眼睛离地面1.5m ，竹杆顶端离地面2.4m∴ 2.4 1.50.9m CG CD EF =-=-=∵//CD AB∴EGCEHA ∆∆， ∴EG CG EH AH= 即20.9232AH=+ 解得：15.3m AH =∴15.3 1.516.8m AB AH BH =+=+=答：古塔的高度是16.8m ．【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．23、（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）欲证明四边形OCED 是矩形，只需推知四边形OCED 是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠COD=90°． ∵CE ∥OD ，DE ∥OC ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∠COD=90°， ∴平行四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC=2OC=1，BD=2OD=2，∴菱形ABCD 的面积为：12AC•BD=12×1×2=1， 故答案为1．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.24、（1）当x=45时，w 有最大值，最大值是225;（2）获得200元的销售利润，销售单价应定为40元【分析】（1）根据销售利润=单件利润⨯销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大值即可；（2）根据二次函数与一元二次方程的关系可计算得，同时要注意考虑实际问题，对答案进行取舍即可．【详解】解:(1)(30)w x y =-⋅(60)(30)x x =-+-230601800x x x =-++-2901800x x =-+-w 与x 之间的函数解析式2901800w x x =-+-根据题意得: 22901800(45)225w x x x =-+-=--+w ，∵10-<，当x=45时，w 有最大值，最大值是225(2)当200w =时，2901800200x x -+-=，解得1240,50x x ==， 25042,50x >=不符合题意，舍去，答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【点睛】本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是能够根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求解实际问题．25、（1）参见解析；（2）1．【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD 长．【详解】（1）∵∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A （公共角），∴△ABD ∽△ACB ；（2）由（1）知：△ABD ∽△ACB ，∵相似三角形的对应线段成比例 ，∴AD AB =AB AC ，即46＝64cD +， 解得：CD ＝1．26、（1）甲：拿到物品C 和200元；乙：拿到:450元；丙：拿到物品A 、B ，付出650元；（2）详见解析.【分析】（1）按照分配方案的步骤进行分配即可；（2）按照分配方案的步骤进行分配即可. 【详解】解:（1）如下表：故分配结果如下:甲:拿到物品C和现金:750-100-350100=2003+元.乙:拿到现金750-100-350350=4503+元.丙:拿到物品A，B,付出现金：750-100-350750-=6503元.故答案为：甲:拿到物品C和现金: 200元. 乙:拿到现金450元.丙:拿到物品A，B,付出650元. （2）因为0<m-n<15所以1515300,15 2222m n n m--+<<<<所以3022 n m m n -+->即分配物品后，小莉获得的“价值"比小红高.高出的数额为:30-=n-m+15 22n m m n-+-所以小莉需拿（n-m+15）元给小红.所以分配结果为:小红拿到物品D和（152n m-+）元钱，小莉拿到物品E并付出（152n m-+）元钱.【点睛】本题考查了代数式的应用，正确读懂题干，理解分配方案是解题的关键.。
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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．对于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．y 的值随x 值的增大而增大B ．y 的值随x 值的增大而减小C ．当0x >时，y 的值随x 值的增大而增大D ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小3．下列函数中， y 是x 的反比例函数（ ）A ．34y x= B ．212y x = C ．13y x = D ．21y x = 4．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ） A ．2210x x += B ．220x x --= C ．2320x xy -= D ．240y -= 5．下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ） A ．21y x = B ．1y x -=- C ．23y x =+ D ．223y x x =+-6．一件产品原来每件的成本是1000元，在市场售价不变的情况下，由于连续两次降低成本，现在利润每件增加了190元，则平均每次降低成本的（ ）A ．10%B ．9.5%C ．9%D ．8.5%7．作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ，甲、乙两人的作法分别是：甲：第一步：在⊙O 上任取一点A ，从点A 开始，以⊙O 的半径为半径，在⊙O 上依次截取点B ，C ，D ，E ，F. 第二步：依次连接这六个点.乙：第一步：任作一直径AD ．第二步：分别作OA ，OD 的中垂线与⊙O 相交，交点从点A 开始，依次为点B ，C ，E ，F. 第三步：依次连接这六个点.对于甲、乙两人的作法，可判断( )A ．甲正确，乙错误B ．甲、乙均错误C ．甲错误，乙正确D ．甲、乙均正确8．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB a =，宽BC b.=将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b (= )A ．2：1B ．2：1C ．3：3D ．3：29．如图，在菱形ABCD 中，120,BAD CE AD ∠=︒⊥，且,CE BC =连接,BE 则ABE ∠=（ ）A ．45B ．50C ．35D ．15 10．将抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．2y 2(x 1)3=++B ．22(1)3y x =--C ．22(1)3y x =+-D ．2y 2(x 1)3=-+ 二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，A 、B 两点在双曲线y ＝4x上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1+S 2＝_____．12．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.13．.甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3，3.8，5.2，6.2，则成绩最稳定的同学是______.14．已知二次函数y ＝x 2﹣bx （b 为常数），当2≤x≤5时，函数y 有最小值﹣1，则b 的值为_____．15．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，若∠ABC=50°，则∠D 的度数为______．16．计算：sin30°=_____． 17．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m 2，则道路的宽为 ．18．抛物线()222y x =-+的顶点坐标是____________三、解答题(共66分)19．（10分）已知二次函数y ＝2x 2+bx ﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，求出△ABC 的面积．20．（6分）如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C(0，﹣3)，对称轴为x ＝1，点D 与C 关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上的一点，当△ABP 的面积是8时，求出点P 的坐标；（3）点M 为直线AD 下方抛物线上一动点，设点M 的横坐标为m ，当m 为何值时，△ADM 的面积最大？并求出这个最大值．21．（6分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）22．（8分）如图，在□ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．（1）求证：=AB BD；（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．23．（8分）先化简，再求值：22321122x x xx x--+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．24．（8分）某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．25．（10分）解方程：x2+11x+9＝1．26．（10分）解方程：（1）x2﹣2x+1=0 （2）2x2﹣3x+1=0参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．2、C【分析】根据反比例函数的增减性逐一分析即可.【详解】解：在反比例函数4yx=-中，﹣4＜0∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大∴A选项缺少条件：在每一象限内，故A错误；B选项说法错误；C选项当0x>时，反比例函数图象在第四象限，y随x的增大而增大，故C选项正确；D选项当0x<时，反比例函数图象在第二象限，y随x的增大而增大，故D选项错误.故选C.【点睛】此题考查的是反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键.3、A【分析】根据形如k y x=（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．分别对各选项进行分析即可．【详解】A ． 34y x =是反比例函数，正确； B ． 212y x =是二次函数，错误； C ． 13y x =是一次函数，错误； D ． 21y x=，y 是2x 的反比例函数，错误． 故选：A ．【点睛】 本题考查了反比例函数的定义．反比例函数解析式的一般形式为k y x =（k ≠0），也可转化为y =kx -1（k ≠0）的形式，特别注意不要忽略k ≠0这个条件．4、B【解析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（1）未知数的最高次数是1；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 1＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．【详解】解：A.2210x x+=,是分式方程, B.220x x --=,正确,C.2320x xy -=,是二元二次方程,D.240y -=,是关于y 的一元二次方程,故选B【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是1．5、B【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．【详解】A 、不符合反比例函数的一般形式y ＝k x，（k ≠0）的形式，选项错误； B 、1y x -=-是一次函数，正确；C、不符合反比例函数的一般形式y＝kx，（k≠0）的形式，选项错误；D、不符合反比例函数的一般形式y＝kx，（k≠0）的形式，选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝kx（k≠0）转化为y＝kx−1（k≠0）的形式．6、A【分析】设平均每次降低成本的x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设平均每次降低成本的x，根据题意得：1000-1000（1-x）2=190，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），则平均每次降低成本的10%，故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．7、D【分析】根据等边三角形的判定与性质，正六边形的定义解答即可.【详解】（1）如图1，由作法知，△AOB, △BOC, △COD,△DOE,△EOF,△AOF都是等边三角形，∴∠ABO=∠CBO=60°,∴∠ABC=120°,同理可证：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,∵AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六边形ABCDEF是正六边形，故甲正确；（2）如图2，连接OB，OF，由作法知，OF=AF，AB=OB，∵OA=OF=OB，∴△AOF，△AOB是等边三角形，∴∠OAF=∠OAB=60°,AB=AF,∴∠BAF=120°,同理可证，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六边形ABCDEF是正六边形，故乙正确.故选D.【点睛】本题考查了圆的知识，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，以及正六边形的定义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8、B【分析】根据折叠性质得到AF＝12AB＝12a，再根据相似多边形的性质得到AB ADAD AF＝，即12a bb a＝，然后利用比例的性质计算即可．【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝12AB＝12a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴AB ADAD AF＝，即12a bb a＝，∴a∶b2.所以答案选B.【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．9、D【分析】菱形ABCD属于平行四边形，所以BC//AD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BAD与∠ABC互补，已知∠BAD=120°，∠ABC的度数即可知，且∠BCE=90°，CE=BC可推BCE为等腰直角三角形，其中∠CBE=45°，∠ABE=∠ABC-∠CBE，故∠ABE的度数可得．【详解】解：∵在菱形ABCD中，BC//AD，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，又∵CE⊥AD，且BC//AD，∴CE⊥BC，可得∠BCE=90°，又∵CE=BC，∴BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15°，故选：D．【点睛】本题主要考察了平行线的性质及菱形的性质求角度，掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；菱形中，四条边的线段长度一样，根据以上的性质定理，从边长的关系推得三角形的形状，进而求得角度．10、D【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴得到的抛物线解析式为y=2（x-1）2+3，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的几何变换，熟练掌握二次函数的平移不改变二次项的系数得出新抛物线的顶点是解决本题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1．【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝4x的系数k，由此即可求解．【详解】∵点A、B是双曲线y＝4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S 1+S 2＝4+4﹣1×2＝1．故答案为1．【点睛】本题主要考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k 的几何意义求出矩形的面积．12、y=2(x+2)2-3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．13、甲【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,∴2222甲乙丁丙<<<S S S S ，∴成绩最稳定的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查了方差的概念，正确理解方差所表示的意义是解题的关键.14、52【分析】根据二次函数y =x 2﹣bx (b 为常数)，当2≤x ≤5时，函数y 有最小值﹣1，利用二次函数的性质和分类讨论的方法可以求得b 的值．【详解】∵二次函数y =x 2﹣bx =(x 2b -)224b -，当2≤x ≤5时，函数y 有最小值﹣1， ∴当52b＜时，x =5时取得最小值，52﹣5b =﹣1，得：b 265=(舍去)， 当22b ≤≤5时，x 2b =时取得最小值，24b -=-1，得：b 1=2(舍去)，b 2=﹣2(舍去)， 当2b＜2时，x =2时取得最小值，22﹣2b =﹣1，得：b 52=，由上可得：b的值是52．故答案为：52．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15、40°．【解析】根据直径所对的圆心角是直角，然后根据直角三角形的两锐角互余求得∠A的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求解．【详解】∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC=90°-50°=40°．∴∠D=∠A=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，理解定理是关键．16、【解析】根据sin30°=直接解答即可．【详解】sin30°=.【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.17、2m【解析】试题分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍．本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．试题解析：解：设道路宽为x 米（32-x ）(20-x)=540解得：x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去）∴x=2答：设道路宽为2米考点：1、一元二次方程的应用；2、数形结合的思想．18、(2,2)【分析】根据顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：∵()222y x =-+，∴抛物线的顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ）是解题的关键．三、解答题(共66分)19、1．【分析】如图，把（0，6）代入y ＝2x 2+bx ﹣6可得b 值，根据二次函数解析式可得点C 坐标，令y=0，解方程可求出x 的值，即可得点A 、B 的坐标，利用△ABC 的面积＝12×AB×OC ，即可得答案． 【详解】如图，∵二次函数y ＝2x 2+bx ﹣6的图象经过点(2，﹣6)，∴﹣6＝2×4+2b ﹣6， 解得：b ＝﹣4，∴抛物线的表达式为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6；∴点C （0，﹣6）；令y ＝0，则2x 2﹣4x ﹣6=0，解得：x 1＝﹣1，x 2=3，∴点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），∴AB=4，OC=6，∴△ABC 的面积＝12×AB×OC ＝12×4×6＝1．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0，即可得出抛物线与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积．20、（2）y ＝x 2﹣2x ﹣3，D(2，﹣3)；（2）P(2﹣2，4)或2，4)或(2，﹣4)；（3）m ＝12时，△AMD 的最大值为278【分析】（2）由抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =2，求出b 的值，再由点C 的坐标求出c 的值即可；（2）先求出点A ，点B 的坐标，设点P 的坐标为(s ，t )，因为△ABP 的面积是8，根据三角形的面积公式可求出t 的值，再将t 的值代入抛物线解析式即可；（3）求出直线AD 的解析式，过点M 作MN ∥y 轴，交AD 于点N ，则点M 的坐标为(m ，m 2﹣2m ﹣3)，点N 的坐标为(m ，﹣m ﹣2)，用含m 的代数式表示出△AMN 的面积，配方后由二次函数的性质即可得出结论．【详解】（2）∵抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =2，∴2b -=2， ∴b ﹣=2．∵抛物线与y 轴交于点C (0，﹣3)，∴c =﹣3，∴抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x =2．∵点D 与C 关于抛物线的对称轴对称，∴点D 的坐标为(2，﹣3)；（2）当y =0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得：x 2=﹣2，x 2=3，∴点A 的坐标为(﹣2，0)，点B 的坐标为(3，0)，∴AB =3﹣(﹣2)=4，设点P 的坐标为(s ，t )．∵△ABP 的面积是8， ∴12AB •|y P |=8， 即12⨯4|t |=8，∴t =±4，①当t =4时，s 2﹣2s ﹣3=4，解得：，s 2=1-s 2=1+∴点P 的坐标为(1-4)或(1+4)；②当t =﹣4时，s 2﹣2s ﹣3=﹣4，解得：，s 2=s 2=2，∴点P 的坐标为(2，﹣4)；综上所述：当△ABP 的面积是8时，点P 的坐标为(1-4)或(1+4)或(2，﹣4)；（3）设直线AD 的解析式为y =kx +b 2，将A (﹣2，0)，D (2，﹣3)代入y =kx +b 2，得：11023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：111k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 的解析式为y =﹣x ﹣2，过点M 作MN ∥y 轴，交AD 于点N ．∵点M 的横坐标是m (﹣2＜m ＜2)，∴点M 的坐标为(m ，m 2﹣2m ﹣3)，点N 的坐标为(m ，﹣m ﹣2)，∴MN =﹣m ﹣2﹣(m 2﹣2m ﹣3)=﹣m 2+m +2，∴S △AMD =S △AMN +S △DMN12=MN •(m +2)12+MN •(2﹣m )32=MN 32=(﹣m 2+m +2) 32=-(m 12-)2278+， ∵32-＜0，﹣212＜＜2， ∴当m 12=时，S △AMD 278=， ∴当m 12=时，△AMD 的最大值为278．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，函数的思想求最值等，解答本题的关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．21、（1）见解析；（2）169π（cm 2）．【分析】（1）根据垂径定理，即可得BC ＝BD ，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC ＝∠BCD ，再根据等边对等角，即可得到∠BAC ＝∠ACO ，从而证出∠ACO ＝∠BCD ；（2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积.【详解】解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC ＝BD ．∴∠BAC ＝∠BCD ．∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ．∴∠ACO ＝∠BCD ；（2）∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴CE＝12CD＝12×24＝12（cm）．在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2解得r＝1．∴S⊙O＝π×12＝169π（cm2）．【点睛】此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.22、（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为25 6【分析】(1)连接OB，根据题意求证OB⊥AD，利用垂径定理求证；(2)根据垂径定理和勾股定理求解.【详解】解：（1）连接OB,交AD于点E.∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴OB⊥BC．∴∠OBC＝90°∵四边形ABCD是平行四边形∴AD// BC∴∠OED＝∠OBC =90°∴ OE⊥AD又∵ OE过圆心O∴=AB BD（2）∵ OE⊥AD ,OE过圆心O∴ AE=12AD=4 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，BE ＝3，设⊙O 的半径为r ，则OE=r －3在Rt △ABE 中，∠OEA ＝90°，OE 2+AE 2 = OA 2即(r －3)2+42= r 2 ∴r=256 ∴⊙O 的半径为256 【点睛】掌握垂径定理和勾股定理是本题的解题关键.23、11x -，-1. 【解析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后选择使原式有意义的数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】原式()2x 12x 3x 2x 2x 2x 2---⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭ =()2x 1x 2x 2x 1--⋅-- 1x 1=-， 由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x ≠2且x ≠1，所以x=0，当x 0=时，原式1=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键.24、43 m. 【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出AE EC AD BD=，进而得出答案． 【详解】解 由题意可得△AEC ∽△ADB ， 则AE AD ＝EC BD， 故 4.84.8115.2+＝1.72BD ，解得DB＝43，答：小雁塔的高度为43 m.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AEC∽△ADB是解题的关键．25、x1＝﹣1，x2＝﹣2【分析】利用因式分解法进行解答即可.【详解】解：方程分解得：（x+1）（x+2）＝1，可得x+1＝1或x+2＝1，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确的因式分解是解答本题的关键.26、（1）x1=x2=1 ；（2）x1=1，x2=1 2【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得出答案；（2）利用十字相乘法解一元二次方程即可得出答案. 【详解】解：（1）x2﹣2x+1=0(x-1)2=0∴x1=x2=1（2）2x2﹣3x+1=0(2x-1)(x-1)=0∴x1=1，x2=1 2【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解一元二次方程主要有以下几种解法：直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.。