八年级数学上册做轴对称图形DE应用导学案
新人教版八年级数学上册：13.1轴对称 导学案
新人教版八年级数学上册：13.1轴对称 导学案教学目标：1通过观察实物图形 及折纸游戏，得到轴对称图形的概念。
2掌握图形轴对称的性质。
3掌握线段垂直平分线的性质。
重点：上面的两条性质。
难点：性质的应用。
教学过程： 一． 知识频道1观察并填空：请同学们欣赏图片4阅读课本并填空：经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 ______所连线段的。
轴对称图形的 ，是任何一对对应点所连 的 。
2这些图形有什么共同特点？ 请你利用手中的工具制作一个具有轴对称特征的图形 。
轴对称图形：如果 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
练习:下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗? 请大家仔细观察两个图形是否也有这样的特征呢？ 你观察到了什么？ 3、试一试：标出图中点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1。
ＮA B CCB二：方法频道：先自学课本例题，再小组讨论疑难问题。
三：习题频道：1．找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来。
2．以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形：3．如图，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗？实际中这个算式是什么？（写出即可）4复习巩固：课本124页练习，125页1至8题5拓展延伸：课本9至12题6中考链接：⑴如图，△ABC与△A1B1C1关于直线L对称，将△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2。
由此得出下列判断：①AB∥A2B2；②∠A=∠A2；③AB=A2B2；其中正确的是（）。
A①② B②③ C①③ D①②③⑵如图，已知直线L及同旁的两点A、B，在直线L取一点C，使AC+BC最小。
••••⑶如图，两条公路交汇于点O，公路旁有两个小镇C、D，现修建一个加油站到两条公路的距离相等，到两个小镇C、D的距离也相等，请你找出符合条件的加油站位置。
新人教版八年级数学上册：13.2.1 作轴对称图形导学案
新人教版八年级数学上册：13.2.1 作轴对称图形导学案学习目标：1.认识轴对称变换的特征。
2.能够作出简单图形经过一次或两次轴对称变换的图形.3.能够利用轴对称变换进行简单的图案设计，感受数学美.4.体会轴对称变换在现实生活中的应用.重点：能够作出简单图形经过一次或两次轴对称变换的图形.难点：体会轴对称变换在现实生活中的应用.学习过程：一知识频道（交流与发现）1.想一想在一张半透明的纸的左半部分画一张笑脸，把纸对折后描图，就会得到相应的笑脸。
这时两张笑脸成（），（）就是它们的对称轴，连接任意一对对应点的线段被对称轴（）.2. 试一试同理，可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程可以得到美丽的图案.3.议一议对称轴方向和位置发生变化时，得到图形的（）和（）也会变化.4.悟一悟像上面，（）叫轴对称变换.轴对称变换是一种变换，是由一个图形得到与他轴对称的图形的运动过程. 理解两点：一是轴对称变换前后两个图形（）二是对应点连线被对称轴（）.二方法频道1.作出简单图形经过一次或两次轴对称变换的图形.例已知：△ABC和直线L。
求作：△A/B/C/与△ABC关于直线L成轴对称。
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线L的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形。
归纳：几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出特殊点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。
感悟：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过（）得到的。
2．补图例2．把下图补成以L为对称轴的轴对称图形。
感悟：一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经（）扩展而成的。
三．思维频道要在管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供汽，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输汽管线最短？lA B分析：首先把数学问题转化为实际问题，把管道近似看成直线L ，两个小镇看作A ，B 两点，问题就是要在l 上找一点C ，使AC+BC 和最小。
新人教八年级数学上册13.1轴对称导学案
新人教八年级数学上册13.1轴对称导学案【学习目标】1、（知识与技能）：通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
2、（过程与方法）：通过独立思考、小组合作、展示质疑发展学生的观察、归纳、想象能力3、（情感、态度与价值观）：激情投入，快乐学习，感受对称美，培养良好的动手试验能力、归纳能力和语言表述能力【重点难点】重点：对轴对称图形与轴对称概念的理解。
难点：轴对称图形与轴对称的联系与区别。
【学法指导】采用“观察——实践——自主探究——合作探究”的方法.指导学生学会观察事物，善于把握事物规律与本质的学习方法.通过自主探究、合作探究导学过程方法导引课前导学案【自主学习，基础过关】一、课前准备每小组准备若干张干净整洁能折叠的纸，剪刀,墨水。
二、动手、观察实验，探究结论观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征共同特征：___________________________________________________________<一> 轴对称图形1、做一做把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？2、想一想日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？3、轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。
就是它的对称轴。
鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念，引导学生由观察得到的感性认识。
由学生通过作图，通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线<二> 轴对称1、做一做: 折纸印墨迹问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？2、想一想: 教材P59-----思考1(最上面一个)3、轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
八年级数学上册导学案全册含答案
八年级数学上册导学案第一章轴对称与轴对称图形1.1我们身边的轴对称图形教学目标：1、观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。
2、能判断一个图形是否是轴对称图形。
3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。
4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。
5、理解并能应用轴对称的有关性质。
教学重点：1、能判断一个图形是否是轴对称图形。
2、轴对称的有关性质。
难点：1、判断一个图形是否是轴对称图形。
2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。
教学过程：一、情境导入教师展示图片：五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。
学生欣赏，思考：这些图形有什么特点？二、探究新知1、生活中有许多奇妙的对称，如从镜子里看到自己的像;把手掌盖在镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起；这些都是对称，你还能举出例子吗？学生分组思考、讨论、交流，选代表发言。
教师巡回指导、点评。
2、动手做一做：用直尺和圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯形剪下来，沿上底和下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能完全重合吗？学生活动：观察、小结特点。
3、教师给出轴对称图形的定义。
问题：⑴“完全重合”是什么意思？⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗？⑶圆的直径是圆的对称轴吗?学生分组思考、讨论、交流，选代表发言,教师点评。
⑴指形状相同，大小相等。
⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则必然经过这个图形的本身。
⑶不是，因为圆的直径是线段，而不是直线，应说直径所在的直线或经过圆心的直线。
4、猜想归纳：正三角形有几条对称轴？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？从中可以得到什么结论？学生思考、讨论、交流。
5、你还能举出生活中轴对称图形的例子吗？6、教科书第五页图1-6⑴⑵两个图，问题：想一想，每组图形中，左边图形沿虚线对折后与右边的图形有着怎样的关系？7、教师给出两个图形关于某条直线成轴对称的定义。
8、你还能举出生活中两个图形关于某条直线成轴对称的例子吗？思考：轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称有什么异同？学生思考、分组讨论、交流。
12 《轴对称》导学案21-30
情境导入明晰目标任务驱动学习目标：通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
学习重点：由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．学习难点：理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．学法指导：1、学生独立阅读课本P29—P31，探究课本基础知识，提升自己的阅读理解能力。
2、完成导学案设置的问题，由组长组织对学与群学，进行知识汇报，展示讨论。
3、教师巡视，及时指导、帮助学生解决疑难问题。
导学流程：一、创设情境，感受新知新课标第一网观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征二、基础知识探究<一> 轴对称图形1、做一做把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？2、想一想日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？3、轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。
就是它的对称轴。
<二> 轴对称 1、做一做: 折纸印墨迹问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？2、想一想: 教材P30-----思考3、轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做。
三、综合应用探究1、想一想：教材P31 ---思考2、轴对称图形和关于某直线成轴对称的区别和联系：㧀轴对称图形两个图形成轴对称区别指个图形的性质指个图形的位置关系联系１、沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够．２、都有一条．３、如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形．四、达标反馈1．下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，有几条对称轴？大小口中朋木2．在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴3、判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.xkb1.4、观察规律并填空：合作交流展示互动达标反馈反思与评价：A 1B 1C 1 图1情境导入明晰目标任务驱动 学习目标：1、 理解线段的垂直平分线的概念；理解成轴对称的两个图形全等。
八年级数学上轴对称全章导学案
A B C D.1 轴对称一、学习目标1、认识轴对称和轴对称图形,并能找出对称轴；2、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系;3、掌握轴对称的性质； 二、自主探究 合作展示探究一 自学课本58页,完成以下问题;1、 什么是轴对称图形你能举几个轴对称图形的例子吗2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗 如果是,画出它的对称轴;1 2 3 4 5探究二 自学课本59页完成以下问题;1、什么叫做两个图形成轴对称你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗探究三成轴对称的两个图形全等吗如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗这两个图形对称吗 归纳：区别：轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相_________;轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠 ,这个图形能够与另一个图形_________; 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条直线对称简称轴对称练习1、我国的文字非常讲究对称美,下面四个图案中不是轴对称图形的是 ．2、下列图形中不是轴对称图形的有A 1个B 2个C 3个D 4个3、以下汽车标志中,和其他三个不同的是 A B C D4、下列图形中对称轴最多的是A.圆B.正方形C.角D.线段5、写出英文26个大写字母中是轴对称图形的字母,写出三个是轴对称图形的汉字:6、美国哈佛大学在一次数学考试中,有这样一道填空题：要求在横线上填上适当的图形．你能完成吗 探究四 轴对称的性质1、如图1,△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称,点A ′、 B ′、C ′分别是点A 、B 、C 的对称点,线段AA ′、BB ′、CC ′ 与直线MN 有什么关系（1） 设AA ′交对称轴MN 于点P,将△ABC 和△A ′B ′C ′沿 MN 折叠后,点A 与A ′重合吗图1于是有PA ＝ ,∠MPA ＝ ＝ 度2对于其他的对应点,如点B,B ′；C,C ′也有类似的情况吗3那么MN 与线段AA ′,BB ′,CC ′的连线有什么关系呢2、垂直平分线的定义：经过线段 并且 这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 3、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称,那么 是任何一对对应点所连线段的 ;类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的 ; 练习1、 教材60页1、2在教材上完成2、如图是我国几家银行的标志,在这几个图案中是轴对称图形的有哪些它们各有几条对称轴,你能画出来吗小组讨论完成学习小结与反思：线段垂直平分线的性质一、学习目标1、掌握线段垂直平分线的性质2、掌握线段垂直平分线的判定3、运用线段垂直平分线的性质解决问题二、复习右面的图形是轴对称图形吗 如果是,画出它的对称轴; 三、探究一探究教材61页探究问题1、 量出AP 1、AP2、AP3、与BP 1、BP 2、BP 3…讨论发现什么样的规律： ;总结线段垂直平分线的性质 ： 2、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗如图1,直线l AB ⊥,垂足是C ,AC=BC,点P 在l 上;求证： PA PB =探究二反过来,如果PA=PB,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢 说明理由. 1已知： 2求证：3需要作辅助线吗 写出证明过程：图1总结线段垂直平分线的性质判定：四、练习1．如右图所示,△ABC 中,BC ＝10,边BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 、D,BE ＝6,求△BCE 的周长;2、如图,△ABC 中,AB ＝AC ＝18cm,BC ＝ 10cm,AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点,求：△BCD 的周长;3,如图,在△ABC 中,BC =8,AB 的中垂线交BC 于D,AC的中垂线如交BC 与E,则△ADE 的周长等于___ ___．4、如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC, DE 丄AB 于E,求证：AD 是CE 的垂直平分线.5、如图,AD ⊥BC,BD =DC,点C 在AE 的垂直平分线上,⑴AB,AC,CE 的长度有什么关系⑵AB+BD 与DE 有什么关系6、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,沿着过点B 的一条直线BR 折叠△ABC 使点C 恰好落在AB 边的中点D 处,则∠A 的大小等于 . 7、如图,△ABC 中,AD 垂直平分边BC交BC 于D,AE 丄BE 于E, AF 丄CF 于F,AE= AF,求证：∠BAE =∠BAF.8题图8、2013年泰州市如图,△ABC 中,AB+AC=6 cm, BC 的垂直平分线L 与AC 相交于点D,则△ABD 的周长为cm.五、9、如图,在△ABC 中,E,F 分别为AB,AC 上的点,∠B=40°且EF 小结与反思:轴对称2一、学习目标1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法,即线段垂直平分线的尺规作图;3、运用线段垂直平分线的性质解决实际问题ECD BADBCAE二、复习1、设A、B两点关于直线MN对称,则______垂直平分________．2、轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系3、如图：不通过折叠的方法,你能验证出这两个四边形是否关于直线MN对称吗二、预习新知P62—P631、成轴对称的两个图形其对称轴是所连接的 ;2、作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段的_____________ ;三、探究新知预习63页例2思考：1为什么要分别以点A、B为圆心,大于1/2AB的长为半径画弧2为什么直线CD就是AB垂直平分线也是线段AB的对称轴四、练习1、画出下边两个轴对称图形的对称轴;2、课本P64练习题1、2、33、下面是我们学过的一些几何图形,说出下面图形是不是轴对称图形,并完成下表;长方形正方形三角形等腰三角形等边三角形平行四边形任意梯形等腰梯形圆图形长方形正方形三角形等腰三角形等边三角形平行四边形任意梯形等腰梯形圆对称轴的条数4、如图,已知线段AB. 1用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线L保留作图痕迹,不要求写出作法；2在1中所作的直线L上任意取两点M,N线段AB的上方,连接AM, AN, BM,BN,求证：∠MAN=∠MBN.5、如图,在中,∠C=90°,用直尺和圆规在AC上作点P,使P到A,B的距离相等保留作图痕迹,不写作法和证明.6、如图,△ABC的周长为30 cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合, 折痕交BC边于点D,交AC边于点E,连接AD,若AE=4cm, 求△ABD的周长;7、如图,已知,△ABC中,AD是角平分线,DE丄AB于E,DF丄AC于F,求证：AD是EF的垂直平分线.8、已知△ABC中,BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于E,EF丄AB于F,EH丄AC于H,求证：BF=CH.小结与反思：画轴对称图形一、学习目标1、认识轴对称图形,探索并了解它的基本性质；2、能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形;二、温故知新1、什么是轴对称图形2、请画出下列图形的对称轴;三、自主探究合作展示探究一自学：认真阅读教材67页图;1、操作：自己动手在纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么2、归纳：1由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的、完全相同；2新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的点；3连接任意一对对应点的线段被对称轴 ;探究二1、请同学们尝试解决以下问题；如图1,实线所构成的图形为已知图形,虚线为对称轴,请画出已知图形的轴对称图形; 问题：1你可以通过什么方法来验证你画的是否正确2和其他同学比较一下,你的方法是最简单的吗图1ED CBA图2 2、如图2,已知点A 和直线l ,试画出点A 关于直线l 的对称点A ′;A ·3、如图,已知点A 和直线l ,试画出线段AB 关于直线l 的对称图形; BA ·4、如图已知△ABC,直线l ,画出△ABC 关于直线l 的对称图形;四、双基检测1、把下列图形补成关于l 对称的图形;2、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15,这时的实际时间应该是 ; 、以直线MN 为对称轴,画出△ABC 的对称图形△111C B A ;保留作图痕迹,不写画法,不要证明3、如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为A-3, 5, B-4, 3; C-l, 1. 1作出△ABC 向右平移6个单位长度的△111C B A 2作出关于x 轴对称的△222C B A ,并写出点2C 的坐标.4、完成课本62页练习及65页第6题,66页第10、12、13题五、学习反思用坐标表示轴对称一、学习目标1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称；2、掌握关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特点;二、温故知新如图：1观察图1中两个圆脸有什么关系 2若已知图1中圆脸右眼的坐标为4,3,左眼 的坐标为2,3,嘴角两个端点,右端点的坐标为4,1, 左端点的坐标为2,1．你能根据轴对称的性质写出左边圆 脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗三、自主探究 合作展示探究一1、 在如图2所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点,并把坐标填在表格中,你能发现坐标间有什么规律已知点 A 2,－3 B －1,2 C －6,－5 D ,1 E 4,0关于x 轴对称的点 'A 'B 'C 'D 'E 关于y 轴对称的点 'A'B'C'D'E2、归纳：点x ,y 关于x 轴对称的点的坐标是 ； 点x ,y 关于y 轴对称的点的坐标是探究二例题：如图3,四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A －5,1,B －2,1,C －2,5,D －5,4,分别作出四边形ABCD 关于y 轴和x 轴对称的图形;在教材中完成图3图1lABCy xABC四、双基检测1、分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标;-2,6 1,-2 -1,3-4,-21,0关于x 轴对称的点关于y 轴对称的点2、已知点P 2a+b,-3a 与点'P 8,b+2.1若点P 与点'P 关于x 轴对称,则a=_____;b=_______. 2若点P 与点'P 关于y 轴对称,则a=_____;b=_______.3、如图4,△AOB 关于x 轴对称,点A 的坐标为1,-2,标出点B 的坐标．3、如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别作出与△ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形．4. 已知点P-2, 3关于y 轴的对称点Qa,b,则a+b 的值是A. 1B. -1C. 5D. -55、点M-2, 1关于x 轴对称的点的坐标是A. -2, -1B. 2, 1C. 2, -1D. 1, -26、平面内点A-1,2和点B-1,6的对称轴是A. x 轴B. y 轴C. 直线y= 4D 直线y= -17、点P-3, 2关于y 轴对称的点是A. 3,2B. -3,2C. 3,-2D. -3,-28. 点A -3, 4关于z 轴的对称点的坐标是 ,关于y 轴的对称点的坐标是 ;9、点M-2,1关于x 轴对称的点N 的坐标是 ,直线MN 与x 轴的位置关系是 10、 已知点Aa,-2和B3, 6,当满足条件： 时,点A 和点B 关于y 轴对称. 11、如图,在平面直角坐标系中,先把梯形向左平移6.个单位长度得到梯形1111D C B A⑴请你在平面直角坐标系中画出梯形1111D C B A ⑵以x 轴为对称轴,画出⑴中梯形1111D C B A 的对称梯形2222D C B A ,并写出顶点的坐标.五、学习反思等腰三角形1图4 DyxCBA一、学习目标1、了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质；2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题;二、温故知新1、下列图形不一定是轴对称图形的是 A 、圆 B 、长方形 C 、线段D 、三角形2、怎样的三角形是轴对称图形 答：3、有两边相等的三角形叫 ,相等的两边叫 ,另一边叫 两腰的夹角叫 ,腰和底边的夹角叫4如图,在△ABC 中,AB=AC,标出各部分名称三、自主探究 合作展示一操作、实践：取一等腰三角形纸片,照图折叠,找出其中重合的线段和角,填入下表：A A AB C D BC B D C1 2 3问题1根据上表你能得出哪些结论 并将你的结论与同学交流;问题2你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗 要求:选择以教材不同的证明方法二新知应用例1：填空：1如图1所示,根据等腰三角形性质定理在△ABC 中,AB=AC 时,①∵AD ⊥BC ,∴∠_____ = ∠_____,____= ____. ② ∵AD 是中线,∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____. ③ ∵AD 是角平分线,∴____ ⊥____ ,_____ =_____.2等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.3等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为重合的线段重合的角图1例2：如图2所示,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 上,且BD=BC=AD ,求△ABC 各角的度数． 分析：根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=______,∠ABC=______=______,•再由∠BDC =∠A +______,就可得到∠ABC =______=______=2______．再由三角形内角和为180°,•就可求出△ABC 的三个内角． 解：例题反思：四、双基检测1、在△ABC 中,AB =AC ,1如果∠A ＝70°,则∠C ＝_________,∠B ＝___________ 2如果∠A ＝90°,则∠B ＝_________,∠C ＝___________ 3如果有一个角等于120°,则其余两个角分别是多少度4如果有一个角等于55°,则其余两个角分别是多少度2、如图3所示,△ABC 是等腰直角三角形AB =AC ,∠BAC =90°,AD 是底边BC 上的高,标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数,图中有哪些相等线段3、如图4,在△ABC 中,AB =AD =DC ,∠BAD =26°,求∠B 和∠C 的度数．4、如图,点D,E 在△ABC 的边BC 上,AB=AC,BD= CE,求证：AD=AE.5、如图,△ABC 与△DCB 中,AC 与BD 交于点E 且∠A =∠D,AB=DC 1求证：△ABE ≌△DCE; 2当∠AEB=50°,求∠EBC 的度数.五、学习反思请你对照学习目标,谈一下这节课的收获及困惑;等腰三角形2一、学习目标1、理解等腰三角形的判定方法；2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题;二、温故知新1、等腰三角形的两边长分别为6,8,则周长为2、等腰三角形的一个角为70°,则另外两个角的度数是3、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是 三、自主探究 合作展示 一思考DCAB DCAB图3图41如图1,位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,•能不能大约同时赶到出事地点不考虑风浪因素2我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,•那么它们所对的边有什么关系已知：在△ABO 中,∠A=∠B求证：AO=AO 要求:选择以教材不同的证明方法 证明：归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的也相等简写成 二新知应用1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形． 请同学们完成下列问题1、已知：如图2, 是△ABC 的外角,∠1= ,AD ∥ 求证： ．分析：要证明AB=AC,可先证明∠B= ,因为∠1= ,所以可设法找出 ∠B 、∠C 与∠1、∠2的关系． 2、请同学们完整的写出解题过程证明：四、双基检测1、如图5,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1、∠2的度数,•并说明图中有哪些等腰三角形．2、如图6,把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗为什么3、求证如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形;4、如图7,AC 和BD 相交于点O,且AB ∥DC,OA=OB,求证：OC=OD ．5、如图,已知AC ⊥BC,BD 丄AD ,AC 与BD 交于O, AC =BD, 求证：⑴BC=AD; ⑵△OAB 是等腰三角形.6、如围,DE7、如图,在△ABC 中,ACB=90°,CD 丄AB 于D, AE 平分∠BAC交BC 于F,交CD 于F,FG5、如图,分别以Rt △ABC 的直角边AC, BC 为边,在Rt △ABC外作两个等边三角形△ACE 和△BCF,连接BE,AF, 求证：BF=AF.2、⑴如图1,在等边△ABC 中,点 M 是BC 上的任意一点不含端点 B, C,连接AM,以AM 为边作等边△AMN,连接CN,求证：∠ABC=∠ACN;2如图2, 在等边∠ABC 中,点M 是BC 延长线上的任意一点不含端点C,其他条件不变,1中结论∠ABC=∠ACN 还成立吗请说明理由.21EDCAB图2A B图1 图521DCAB 图621图5 EDCAB E DC AB图1图4ED CABFD CAB0图7五、学习反思等边三角形2一、学习目标1、理解含30°锐角的直角三角形的性质；2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题;二、温故知新口答1、等边三角形三边 ,三个角都等于 ,2、等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴,它的对称轴 ;三、自主探究 合作展示探究一1、如图1,将两个含有30°角的三角形放在一起,你能借助这个图形,找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗2、你能用所学的知识验证以上结论吗方法1：如图2,△ABC 是等边三角形,AD ⊥BC 于D,∠BAD= °,BD= BC= AB;方法2：如图3,△ABC 中,延长BC 到D 使BD=AB,连接AD,则△ABD 是 三角形,BC=12 =12; 归纳：如图：在直角三角形中,如果有一个角是030,那么：探究二例题：如图4是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB=,∠A=30°,立柱BC 、DE 要多长分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中,由于∠A=30°,所以DE= ,BC= ,又由D 是AB 的中点,所以DE= ．四、双基检测1、等腰三角形中,一腰上的高与底边的夹角为30°,则此三角形中腰与底边的关系A 、腰大于底边B 、腰小于底边C 、腰等于底边D 、不能确定 2、在Rt △ABC 中,∠C=90度,∠A=30°,CD ⊥AB 于点D,AB=8cm,则BC= ,BD= , AD=D CAEB 图4AC B D图2 B C D图1C 图33、如图6,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于M,且BD=8㎝,求AC 之长.4、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高,∠B=30°, 求证：AB=4AD.5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB,交CB 于点D,过点D 作DE 丄AB,于点E.⑴求证：△ACD ≌△AED ；⑵若∠B=30°,CD = 1,求BD 的长.6、如图,在Rt △ABC 中,∠C = 90°,∠A=30°. 1迹,不写作法；2在已作的图形中,若直线L 分别交AB,AC 及EF=2DE.五、学习反思第十三章 轴对称复习一认清目标,明确要求 本章的课程学习目标是：1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的基本性质,理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质;2.探索简单图形之间的轴对称关系,能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形,认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用,能应用轴对称进行简单的图案设计;3.了解线段的垂直平分线的概念,探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,探索并掌握它们的性质以及判定方法;4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展空间观念,激发学习兴趣; 二自主复习,盘点知识基本概念1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线 ,两侧的图形能够 ,这个图形就是轴对称图形;折痕所在的这条直线叫做______;图形上能够重合的点叫 ;2.轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成 ,这条直线叫做 ;两个图形中的对应点叫 ;3.轴对称的性质：图6 M CBDA MDBC AB如果两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是任何一对对应点连线段的 ,其中对应线段 ,对应角 ;4.角的平分线的性质1性质：角的平分线上的点到的距离相等;2判定：到角两边距离相等的点在上;5.线段垂直平分线的性质1经过的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫 ;2性质：线段垂直平分线上的点到的距离相等;3判定：与一条线段两个端点距离相等的点,在上;4线段垂直平分线可以看作是的集合;6.用坐标表示对称点x,y关于x轴对称的点的坐标为 ;点x,y关于y轴对称的点的坐标为 ;7.等腰三角形的性质：1等腰三角形是图形,它的对称轴是 ,2等腰三角形的两腰 ;3等腰三角形的两个底角 ;简称： ;4等腰三角形的“三线合一”是指 ;8.等腰三角形的判定1定义边: .2从角上: .简称: 9.等边三角形的性质：1对称性： ;2边： ;3角： ;4等边三角形的“三线合一”是指 ;10. 等边三角形的判定1定义边: .2从角上: .3有一个角的是等边三角形.11.三角形三个内角平分线的交点到距离相等;12.三角形三边垂直平分线的交点到距离相等;13.在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么它所对的直角边等于的 ;三方法归纳1、证明线段相等的方法：1全等三角形 2角平分线性质定理 3线段垂直平分线性质定理 4等角对等边2、证明角相等的方法：1全等三角形 2平行线的性质 3余角补角的性质 4等边对等角三、误区警示1．注意分类讨论思想在解决等腰三角形的边和角的问题时要注意分类讨论,如等腰三角形的周长为20,有一边为8,这时就必须讨论所给的这条边是腰还是底;如已知等腰三角形一角度数求另外两个角的度数, 这时就必须讨论所给的这个角是顶角还是底角;再比如涉及三角形的高时,通常需要考虑高在三角形的外部还是内部;2．应用“三线合一”性质作辅助线时,所作的辅助线不能同时满足两线的性质如过点A 作EF ⊥BC,并使EF 平分BC;3．不要认为：有一个角等于300,那么它所对的边就一定等于另一条边的一半,前提条件是在直角三角形中;二、知识再现1 、如图1, 下列图形是轴对称图形的有 填序号.2、 如图3所示,已知△ABC 和直线MN.求作：△A ′B ′C ′,使△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线MN 对称.不要求写作法,只保留作图痕迹3、 如图4所示,有一块三角形田地,AB=AC=10m,作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D,交AB 于E,量得△BDC 的周长为17m,请你替测量人员计算BC 的长.4.如图5所示,AB=AC=12,BC=7,AB 的垂直平分线交AB 于D,交AC 于E,求△BCE 的周长.图3图4图1图55、某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图6所示点M,N 表示大学,AO,BO 表示公路.现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.1你能确定仓库应该建在什么位置吗 在所给的图形中画出你的设计方案；2阐述你设计的理由.6、已知点Am+2,3、B-5,n+6关于y 轴对称,则m= ,n= ; 8、如图,分别作出△ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形;9、1画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△其中A B C '''，，分别是A B C ，，的对应点,不写画法；2直接写出(_____)(_____)(_____)A B C '''，，三点的坐标． 3△ABC 的面积为10、如图：要在燃气管道L 上修建一个泵站,分别向A 、B 两镇供气,泵站修在管道什么地方,可使所用的输气管道线最短·B ·AL 11、1作出△ABC 关于y 轴对称的A 1B 1C 1,并写出△ A 1B 1C 1各顶点的坐标；2将△ABC 向右平移6个单位,作出平移后的△A 2B 2C 2,并写出△A 2B 2C 2各顶点的坐标； 3观察△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2,它们是否关于某直线对称 若是,请在图上画出这条对称12. 已知等腰三角形的一个内角是110°,求另外两个角的度数；图6 y 1 2O1 -1 ABC ABCxyOO图7C B O A图6已知等腰三角形的一个内角是40°,求另外两个角的度数.13、1如果等腰三角形的两边长分别是4cm,7cm,那么它的周长是 ； 2如果等腰三角形的两边长分别是5cm,10cm,则它的周长是 . 14.如图1所示,在△ABC 中,AB=AC=CD,AD=DB,求∠BAC 的度数.15.如图2所示,B,C,D 三点在一条直线上,△ABC 和△ECD 是等边三角形.求证BE=AD.16.如图3所示,在△ABC 中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB 的垂直平分线交AB 于D,交BC 于E,若CE=3cm,求BE 的长.17、如图4所示,在△ABC 中,BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,MN ∥BC,MN 经过点O,若AB=12,AC=18,则△AMN 的周长是18、如图5所示,∠1=∠2,BD=CD,试证明△ABC 是等腰三角形.19、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB=OC. O(1) 如图6,若点O 在边BC 上,求证：AB=AC;(2) 如图7,若点O 在△ABC 的内部,求证：AB=AC; (3) 若点O 在△ABC 的外部,AB=AC 成立吗 请画图表示;第十三章 轴对称检测题一、选择题1、下列图案是几种名车的标志,在这几个图案中不是轴对称图形的是A ：B ：C ：D ： 2、点M1,2关于x 轴对称的点的坐标为图1图2图3图4 CBA图5A ：－1,－2B ：－1,2C ：1,－2D ：2,－13、下列图形中对称轴最多的是A ：等腰三角形B ：正方形C ：圆D ：线段 4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝,则斜边的长为A ：2 ㎝B ：4 ㎝C ：6 ㎝D ：8㎝ 5、下列说法正确的是A ：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ：顶角相等的两个等腰三角形全等C ：等腰三角形的两个底角相等D ：等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 6、若等腰三角形的周长为26cm,一边为11cm,则腰长为A ：11cmB ：C ：11cm 或D ： 以上都不对 7、如图：DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则∆EBC 的周长为 厘米A ：16B ：18C ：26D ：288、如图：∠EAF=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF 等于A ：90°B ： 75°C ：70°D ： 60°9、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是A ：75°或15°B ：75°C ：15°D ：75°和30°10、如图所示,l 是四边形ABCD 的对称轴,AD ∥BC,现给出下列结论：①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有 A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 二、填空题11、在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ； 12、等腰三角形一个底角是30°,则它的顶角是__________度；13、等腰三角形的一边长是6,另一边长是3,则周长为________________；14、等腰三角形的一内角等于50°,则其它两个内角各为 ；15、如图：在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB ＋BC=12㎝,则AB= ㎝；16、如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针,此时的实际时刻是________； 17、如图：点P 为∠AOB 内一点,分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1,P 2C E BDAlOCBDA DCBAF E CBAP2P 1PNMOBA连接P 1P 2交OA 于M,交OB 于N,P 1P 2=15,则△PMN 的周长为 ； 18、点Ea,－5与点F －2,b 关于y 轴对称,则a= ,b= ；19、等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°,则顶角的度数为 ；20、如图：是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE 等于 ； 三、解答题21、如图：A 、B 是两个蓄水池,都在河流a 的同侧,为了方便灌溉作物,•要在河边建一个抽水站,将河水送 到A 、B 两地,问该站建在河边什么地方,•可使所修的渠 道最短,试在图中确定该点保留作图痕迹22、如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路, 点M,N 表示大学,AO,BO 表示公路.现计划修建 一座物资仓库,,到两条公路的距离也相等;你能确定仓库应该建在什么 位置吗 在所给的图形中画出你的设计方案；23、如图,写出△ABC 的各顶点坐标,并画出△ABC 关于Y 轴对称的△A 1B 1C 1,写出 △ABC 关于X 轴对称的△A 2B 2C 2的各点坐标;24、若3230a b -+-=,求P －a,b 关于y 轴的对轴点P ′的坐标; 25、如图：在△ABC 中,∠B=90°,AB=BD,AD=CD,求∠CAD 的度数;26、如图所示,在等边三角形ABC 中,∠B 、∠C 的平分线交于点O,OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F,试用你所学的知识说明BE=EF=FC 的道理;27、如图：△ABC 和△ADE 是等边三角形,AD 是BC 边上的中线;求证：BE=BD;28、如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上,D 点在AB 边上,DE 交BC 于点F,DF=EF,BD=CE;求证：△ABC 是等腰三角形;BANMOBABA DCEDCBAFEEF CBAO。
人教版八年级数学上册第十三章《画轴对称图形》学习任务单(公开课导学案)及作业设计
人教版八年级数学上册第十三章
《画轴对称图形》学习任务单及作业设计
【学习目标】
1.依据轴对称的概念和性质，能作出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形．
2.能利用轴对称进行简单的图案设计.
重点：画轴对称图形.
难点：利用轴对称性质解决问题.
【课前学习任务】
1.准备铅笔，三角尺等作图工具.
2.回顾近期学过的两个图形成轴对称的概念和性质.
【课上学习任务】
学习任务一：作一个图形关于某条直线的对称图形.
求作△ABC 关于直线l对称的△A′B′C′.
归纳作一个图形的轴对称图形的一般方法：
如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形.
学习任务二：应用
如图，有一个英语单词，三个字母都关于直线l对称，请补全字母，补全后的单词是 .
如图，把一个正方形纸片三次对折后沿虚线剪下，则展开平纸片所得的图形是（）
【作业设计】
1.把下面的图形补成关于直线l对称的图形.
2.将一张长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片展开铺平，则所得到的图案是（）
【参考答案】
1.
2.按图中的顺序进行操作，选 C.。
八年级上册数学13.2作轴对称图形导学案
13.2画轴对称图形第1课时作轴对称图形一、新课导入1.导入课题：你们会利用轴对称进行简单的图案设计吗？今天我们就一起来学习怎样作轴对称图形.2.学习目标：(1)知道轴对称变换前后的两个图形是全等的，并且任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.(2)已知一个图形和一条直线，会作出与这个图形关于这条直线对称的图形.3.学习重、难点：重点：已知一个图形和一条直线，会作出与这个图形关于这条直线对称的图形.难点：能进行简单的轴对称变换设计对称性图案.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第67页到本页思考上面部分.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：通过观察、动手操作、总结出成轴对称的两个图形的有关性质.(4)自学参考提纲：①结合图13.2-1，阅读教材第67页第一段，把重点语句做上记号.②将下列图案沿直线l折叠，用针尖沿着玉米图案扎出，再打开看看，得到了什么？连接对应点(找三对)，看所连线与l有何位置关系？测量对应点所连线段被l分成的两段有何关系？解：得到一个与玉米图案一样的图形，所连线段被l垂直平分、相等.图1 图2③将你实验得出的结论用几何方法论证一下.④结论：a.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；b.新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；c.连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：八年级学生已经具备一定观察能力，了解学生能否将实验操作得出的结论完整地用语言表达出来.②差异指导：结合学生画出的图形，引导学生表述实验发现的结论.(2)生助生：互助交流关于直线对称的两个图形的对应点与对称轴存在的关系.4.强化：(1)填空：①由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；②新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；③连接任意一对对应点的线段都被对称轴垂直平分.④两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.(2)交流学习成果：①轴对称前后两个图形的关系；②对应点连线与对称轴的关系.(3)总结：①轴对称前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分.1.自学指导：(1)自学内容：探究如何作出一个图形关于某直线的对称图形.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：作一个图形关于某条直线的对称图形，应根据轴对称的性质作对称点.(4)探究提纲：①作已知一点关于某条直线的对称点的方法是怎样的？过点P作直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OP′=OP，P′即为所求作的点.②作已知一条线段关于某条直线的对称线段的方法是怎样的？分别作点A，B关于直线l的对称点A′，B′，连接A′B′,A′B′即为所求作的线段.③作已知一个三角形关于某条直线对称的三角形的方法是怎样的？分别作点A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′，顺次连接A′B′、A′C′、B′C′，△A′B′C′即为所求作的三角形.④作已知图形关于某条直线对称的图形的方法是怎样的？分别作点A，B，C，D关于直线l的对称点A′，B′，C′，D′，顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形.⑤改变对称轴的位置，然后画一画.2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生是否掌握画图的依据和方法.②差异指导：由点、线段、三角形再到复杂图形，一步一步引出关于直线对称的图形的画法，并让学生观察改变对称轴后图形的变与不变之处.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)交流及总结：作一个图形关于某条直线的对称图形的方法.(2)结论：分别作出这些点关于对称轴的对应点再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形(3)教材第68页“练习”.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生之间相互交流学习收获和学习体会.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和学习成果进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.一、基础巩固（第1、2题每题10分，第3题20分，第4题30分，共70分）1.已知：直线AB与直线A′B′交于点P，并且这两条直线关于直线l成轴对称，下列说法正确的是（C ）A.直线AB与直线A′B′的长度不相等B.直线AB、A′B′与直线l不一定能交于同一点C.直线AB、A′B′与直线l一定交于P点D.点P关于直线l的对称点不存在2.下列说法：①关于某直线对称的两个图形的面积相等；②平面内两个完全相同的图形一定关于某直线对称；③两个图形成轴对称，其对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴；④关于某直线对称的两个图形，对称点一定在该直线的两旁；其中正确的是（B）A.①②B.①③C.①②③D.①②③④3.如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形.4.已知△ABC及点A的对称点A′，请作出对称轴直线l，并画出△ABC关于直线l的对称图形.(1)直线l就是AA′的垂直平分线；(2)作出B、C关于直线l的对称点B′、C′.(3)连接A′B′、B′C′、C′A′，即得△ABC关于直线l的对称图形△A′B′C′.二、综合应用（15分）5.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合.解：一般三角形：沿中线折，没有重合的；沿高线折，底边重合，沿角平分线折，两邻边重合.等腰三角形：沿底边上的中线折，底边重合，两邻边也重合；沿底边上的高线折，底边重合，两邻边重合；沿顶角角平分线折，底边重合，两邻边也重合.三、拓展延伸（15分）6.如图所示，∠AOB内一点P，P1P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2=交OA于M，交OB于N.若P1P2=8cm，则△PMN的周长是多少？解：∵P1、P关于OA对称，P2、P关于OB对称，∴OA垂直平分P1P，OB垂直平分P2P.∴MP1=MP，NP2=NP.∴C△PMN=PM+MN+NP.=P1M+MN+NP2= P1P2==8cm.。
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八年级数学上册导学案（九）
杨成超
做轴对称图形DE应用
【教学目标】：
研究轴对称性及其相关性质，进行实际问题的应用。
【师生共同探讨，总结】：
一、学生看P39---P42 师生共同探讨，总结：
常用知识点：
①线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
②三角形两边之和大于第三边。
一、两点一线问题
1. 如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为，且
，若到河岸CD的中点的距离为500m。
（1）牧童从处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短?在图中作出该处，并说明理由；
（2）最短路程是多少?
解：（1）已知直线同侧两点、。
求作：上一点，使最小。
作法：①作点关于的对称点；
②连结交于点，则点即为所求的点。
证明：在上任取一点，连结，
∵直线是、的对称轴，、在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，即最小。
（2）由（1）可得：，
∴≌，∴，
即为的中点且，
∵
，
∴最短路程为。
练习：
如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A ，使主球A 撞击桌边MN 后反弹，
击中白球B ．请在图中标明，黑球撞在MN 上哪一点才能达到目的？(以球心A 、B 来代表两
球)?
二、一点两线问题
2. 如图，OA 、OB 是两条相交的公路，点P 是一个邮电所，现想在OA 、OB 上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？
作法：①作点P 关于直线AO 的对称点M ，作点P 关于直线BO 的对称点N ； ②连结MN 分别交AO 、BO 于E 、F ；
③连接EF 、PE 、PF ，△PEF 即为所求三角形。
证明：在AO 上任取一点E'，连结ME'、FE'、PE'。
∵M 是P 关于直线AO 的轴对称点， ∴PE=ME ，PE'=ME'。
在中，
∴
即
的周长
的周长。
同理，在BO 上任取一点F'亦可证
的周长
的周长。
M
N
图1
B A
∴的周长最小。
练习：
在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?
三、同类变式
3如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b
彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？
作法：设a 、b 的距离为r 。
①把点B 竖直向上平移r 个单位得到点B'； ②连接AB'，交a 于C ； ③过C 作CD
b 于D ；
④连接AC 、BD 。
证明：∵BB'∥CD 且BB'＝CD ，
∴四边形BB'CD 是平行四边形，∴CB'＝BD ∴AC ＋CD ＋DB ＝AC ＋CB'＋B'B ＝AB'＋B'B 在a 上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B ，C'B' 同理可得AC'＋C'D'＋D'B ＝AC'＋C'B'＋B'B 而AC'＋C'B'>A B' ∴AC ＋CD ＋DB 最短。
4 在正方形ABCD 上，P 在AC 上，E 是AB 上一定点，则当点P 运动到何处时，△PBE 的周长最小?
小
观测点
图3
作法：连接DE交AC于Q，当P运动到Q点处时，△PBE的周长最小。
证明：连接BQ。
∵P、Q都在正方形对角线AC上，
∴PB=PD，QB=QD
∴BP+PE=DP+PE，BQ+QE=DQ+QE=DE
而DP+PE> DE
∴BP+PE> BQ+QE
又△PBE的周长=BE+ BP+PE，△QBE的周长=BE+ BQ+QE
∴△PBE的周长>△QBE的周长
即当P运动到Q点处时，△PBE的周长最小。