高二物理 有关简谐运动的几个问题(一)知识精讲 人教版

高二物理 有关简谐运动的几个问题（一）知识精讲 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：有关简谐运动的几个问题（一）（一）学习简谐运动重点应掌握的几个概念：对简谐运动的学习，重点应搞清以下几个概念：1. 平衡位置：指物体做简谐运动的中心位置，亦是物体不振时，相对静止的位置，如： 图1弹簧振子的装置中，振子不振时，应处在1O 点，从1O 点拉开后释放，振子将以1O图2球将以2O 图3球将以3O 图42. 位移：指振子偏离平衡位置的位移x ，应由平衡位置指向振子所在位置。

位移是矢量。

如图1中，当振子从B A →经C 和从A B →经C 时的位移相等，均为有向线段C O 1。

3. 回复力：指振动过程中，使振子返回平衡位置的力，亦即振子在振动方向上的合外力，但不一定是振子所受的合外力，回复力的方向时刻指向平衡位置，与位移方向相反。

图1中，振子在振动过程中，受三个力：重力G ，支持力N F ，弹簧的弹力F ，振子在振动方向的合外力为F ，此力即为振子的回复力，亦为振子的合外力。

图3中，摆球在摆动过程中受两个力：拉力T F 和摆球重力G （如图5），将球沿摆动方向（切线方向）和垂直摆动方向（法线方向）分解为两个分力切G 和法G ，切G 即为回复力回F ，而法G F T -恰为摆球的向心力心F ，而摆球的合外力应为回F 和心F 的合力。

振子在平衡位置时，回复力一定为零，但合外力不一定为零。

如图5中，当摆球摆至平衡位置时，受两个力作用：重力G 和绳的拉力T F '，切线方向上不受力，即0=回F ，而法线方向上：R mv F G F T 2==-'心。

图54. 简谐运动：指物体在与偏离平衡位置的位移大小成正比并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动。

要证明一个振动是简谐运动，需证明两点：（1）回复力与位移大小成正比；（2）回复力与位移方向相反。

（二）对简谐振动回复力的理解1. 给回复力完整的定义回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力。

从此定义中让学生认识到：（1）回复力是合外力，不单纯是指某一个力。

它是根据力的作用效果命名的，类似于向心力。

（2）回复力的方向是“指向平衡位置”。

做简谐振动的单摆，受重力和绳的拉力作用，绳的拉力和重力的法向分力的合力提供圆周运动的向心力；指向平衡位置的合外力是重力的切向分力，它提供了单摆振动的回复力。

2. 加强对回复力公式的理解和应用简谐振动的回复力公式为kx F -=。

（1）式中“－”号表示回复力的方向与物体对平衡位置的位移方向相反，亦即指向平衡位置。

计算时为避免发生错误，将“－”号省去，直接判断回复力的方向。

（2）式中k 是指回复力与位移成正比的比例系数，不能与弹簧的劲度系数相混淆。

单摆的振动中αsin mg F =，若 5<α，有l x =αsin ，则l x mg F =，即lmg k =。

一般而言，弹簧振子的振动中k 表示弹簧的劲度系数，但也不能一概而论。

[例1] 一个竖直弹簧连着一个质量为M 的薄板，板上放一木块，木块质量为m 。

现使整个装置在竖直方向做简谐振动，振幅为A 。

若要求在整个过程中小木块m 都不脱离木板，则弹簧的劲度系数k 应不小于多少？分析：m 随M 一起做简谐振动，以m 为研究对象，提供其做简谐振动的回复力是m 的重力和M 对m 的支持力的合力。

当支持力为零时，m 获得向下的最大回复力mg ，即获得向下的最大加速度g 。

若以整体为研究对象，根据牛顿第二定律g m M a m M F )()(+=+=根据回复力公式kA F =，以上两式相等得Ag m M k )(+=，若以m 为研究对象，由牛顿第二定律mg ma F ==，由回复力公式kA F =，则Amg k = 后一种答案是错误的。

问题出在哪里？以m 为研究对象时，其回复力公式中的比例系数k 不再是弹簧的劲度系数。

我们不妨推导一下，由牛顿第二定律ma F =，从整体出发有mM kx a +=代入上式得m M kx m F +=，即此时的比例系数应为mM k m + 同理，若以M 为研究对象，不难得出其回复力公式中的比例系数为mM Mk +。

所以，我们要充分认识回复力公式中k 值的意义。

（3）式中x 是指振子对平衡位置的位移，不是弹簧的伸长量或压缩量。

因而即使是对弹簧振子也不能把kx 理解为弹簧的弹力。

[例2] 一倔强系数为k 的轻弹簧，上端固定，下端吊一质量为m 的物体，让其上下做简谐振动，振幅为A ，当物体运动到最高点时，其回复力大小为（ ）A. kA mg +B. kA mg -C. mg kA -D. kA 如果弹簧振子是在水平方向做简谐振动，所有同学会很快选择答案D ，但遇到竖直方向的弹簧振子，大部分同学认为必须要考虑竖直方向的重力，因而会把D 答案排除。

问题的关键是学生错把kA 当作弹力，而再去求它和重力的合力。

（三）巧用简谐振动的特征解题做简谐振动的物体，在运动中有许多重要的特征：周期性、双向性、对称性和守恒性。

深刻理解并灵活运用这些重要特征，可巧解简谐振动问题。

1. 周期性[例1] 一弹簧振子做简谐振动，周期为T 。

下列说法正确的是（ ）A. 若t 时刻和)(t t ∆-时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t ∆一定等于T 的整数倍；B. 若t 时刻和)(t t ∆-时刻运动速度的大小相等、方向相反，则t ∆一定等于2T 的整数倍；C. 若T t =∆，则在t 时刻和)(t t ∆+时刻振子运动的加速度一定相等；D. 若2T t =∆，则在t 时刻和)(t t ∆+时刻弹簧的长度一定相等。

解析：画出振动的位移时间图象如图1所示，两虚线与图象的交点处对应的时间的位移大小都相等。

设1t 、2t 的时间间隔为t ∆，则1t 、2t 时刻的位移大小相等、方向相同，但1t 、2t 的时间间隔t ∆不等于T 的整数倍，所以A 不正确。

同理，1t 、2t 时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，但t ∆小于2T ，也不等于2T 的整数倍，所以B 不正确。

若T t =∆，如图中的1t 、3t 两个时刻，根据简谐运动的周期性、重复性可判断C 正确。

而2T t =∆，即相差半个周期，弹簧在这两个时刻可能分别处于伸长状态和压缩状态，故弹簧的长度一定相等是错误的，所以D 不正确。

图12. 双向性做简谐振动的物体，以平衡位置为中心来回往复运动，具有双向性的特点。

忽视这一特点往往容易造成漏解。

[例2] 一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O 点开始计时，经过s 3质点第一次经过M 点，再继续运动，又经过s 2它第二次经过M 点，则该质点第三次经过M 点还需的时间是（ ）A. s 8B. s 4C. s 14D. s 310 解析：画出质点振动过程的示意图如图2，设图中a 、b 两点为质点振动过程的最大位移处。

若开始计时时刻质点从O 点向右运动，M O →运动过程历时s 3，M b M →→过程历时s 2，则由对称性可知b M →历时s 1，显然s T 44=，故s T 16=，质点第三次经过M 点还需时间s s T t 1423=-=∆。

故选项C 正确。

图2若开始时质点从O 点向左运动，M O a O →→→运动过程历时s 3，M b M →→过程历时s 2，显然有s T T 442=+，s T 316=，质点第三次经过M 点还需要时间s s T t 31023=-=∆。

故选项D 正确。

3. 对称性做简谐振动的物体，在通过以平衡位置为中心两侧相对称的某两点时，质点的回复力、位移、加速度大小相等，方向相反；速率、动能、机械能相等。

[例3] 如图3所示，质量为m 和M 的两木块由轻弹簧相连接，置于水平桌面上，试分析：在m 上加多大压力F ，才能在F 撤去后，上板弹起时刚好使下板对桌面的压力为零？图3解析：撤去外力F 后，m 将在回复力的作用下做简谐振动，依题意当m 运动到最上端时，下板对桌面恰好无压力，故此时回复力为g M m )(+，由对称性可知，当m 在最下端时，回复力大小也为g M m )(+，故所施外力大小为g M m )(+。

4. 守恒性[例4] 如图4所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，振子的质量为M ，振子最大速度为0v ，当振子运动到最大位移A 的时刻，把质量为m 的物体轻放其上，则（ ）（1）要保持物体和振子一起运动，二者间的动摩擦因数至少多大？（2）一起振动时，二者过平衡位置时的速度多大？振幅多大？图4解析：（1）放物体前振动系统的最大回复力为kA F =，放上物体m 后，二者一起振动的最大加速度为m M kA m M F a +=+=对物体m 而言，所需要的回复力是M 施于它的静摩擦力，则放上物体m 时加速度最大，所需的静摩擦力亦最大。

设最大静摩擦力大小为mg μ，则当满足ma mg ≥μ时，两者可一起振动，可见二者间动摩擦因数的最小值为g m M kA g a )(+==μ。

（2）当二者一起振动时，机械能守恒，过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹性势能为零，则20221)(21Mv v m M =+，解得m M M v v +=0。

（四）机械振动知识在实际问题中的应用1. 测凹透镜的凹面半径[例1] 如图1所示，为了测一凹透镜的凹面半径R ，让一半径为r 的光滑钢球在凹面内做振幅很小的振动，若测出它完成N 次全振动的时间为t ，则此凹透镜的凹面半径=R ____。

（重力加速度为g ）图1解析：小球的运动情况和受力情况与单摆很相似，并且r R >>，摆角5<θ，满足单摆周期公式的使用条件，其运动可看成类单摆运动，可用单摆知识处理，其等效摆长为r R l -=，其振动周期为N t T =，由单摆的周期公式gl T π2=， 得2222244N gt gT r R ππ==-，有r Ngt R +=2224π。

2. 了解汽车、火车振动系统的固有频率[例2] 支持列车车厢的弹簧固有频率为Hz 2，若列车行驶在每根长为m 5.12的钢轨连成的铁道上，则当列车运行速度多大时，车厢振动的剧烈程度最大？解析：列车运行时，车轮每通过相邻的两根铁轨的连接处时，就会受到一次撞击，所以车厢和弹簧构成的振动系统就在这个周期性变化的撞击力——驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的周期为v 1，故由共振条件可知，当驱动力的频率Hz f lv f 2===固驱时，列车车厢发生共振，解得s m v /25=。

当火车以这一速度行驶时车厢振动最剧烈，对车的破坏性最大，为了延长车的使用寿命，火车行驶时应远离这一速度。

[例3] 卡车在水平道路上行驶，货物随车厢底板上下振动而不脱离底板。

设货物的振动为简谐运动，以向上的位移为正，其振动图象如图2所示，在图象中取a 、b 、c 、d 四点，则下列说法中正确的是（ ）A. a 点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最小B. b 点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大C. c 点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大D. d 点对应的时刻，货物对车厢底板的压力等于货物重力图2解析：重力与车厢底板的支持力的合力充当货物振动的回复力，在a 点对应时刻，位移为正向最大，则加速度为负向最大。