初中数学竞赛专题选讲 解三角形(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________.（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，分别以AB ，AC 为边在△ABC 的外侧DCBC作等边△ABE 和等边△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF ＝FD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD 为Rt △FAD 的斜边，因此需作辅助线，构造以EF 为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ，求证：222BD AB BC +=（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】斯特瓦尔特定理：如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a ，b ，c 为△ABC 三边长，则222b BDc DC AD BD DC a+=-⋅.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A 级1.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，则BC ＝_____________.BACCBB2.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1cm ，则AC ＝_____________cm.3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，则∠DAB ＝_____________.（上海市竞赛试题）4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，边BC 上的中线AD ＝6，则BC 的长为_____________.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D.不能确定（山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）第1题D 第2题第3题ABC第4题DBB.C.D.（福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ） A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米8.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，那么BC CD等于（ ） A.1 B. 2C.D.549. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ.（北京市竞赛试题）第6题C第7题第8题AC10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC.（1）若P 是BC 边上中点，连结AP ，求证：22BP CP AB AP ⋅=-（2）P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB ，AP ，BP ，CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB 是一次函数2y x =图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积.（山西省中考试题）B 级1.若△ABC 的三边a,b,c 满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 是△ABC 内的一点，PA ＝1，PB ＝3，PC，则∠CPA ＝_____________.BD3. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____________.4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ） A. CF ＞GB B. CF ＝GB C. CF ＜GB D. 无法确定5. 在△ABC 中，∠B 是钝角，AB ＝6，CB ＝8，则AD 的范围是（ ） A. 8＜AC ＜10 B. 8＜AC ＜14 C. 2＜AC ＜14 D. 10＜AC ＜14（江苏省竞赛试题）6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个（浙江省竞赛试题）7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5，求△DEF 的面积.（四川省联赛试题）8.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222EF BE CF =+第2题A第4题D ABDBCDB（江苏省竞赛试题）9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 面积.（天津市竞赛试题）11.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间数量关系，并说明理由.12.已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠MCN ＝45°. （1）如图1，当M ，N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕点C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）BCA C图1NAB M图2N BM参考答案例1 （1）12或30；6或30； 提示：()22125x x ++=，得3x =；由()22251x x +=+，得12x =，（2）103提示：作DE ⊥AB 于E ，设CD =x ，则BE =13-5=8，DE =x ，BD =12-x ，由()222812x x +=-，得103x =． 例2 B 提示：过B 作BD ⊥AC 延长线于D 点，设CD =x ，BD =y ，可求得：x =y ，则∠BCD =45°，故∠BCA =135°．例3 ∠ACB =75° 提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连接BQ ，则AQ =BQ =CQ ．例4 提示：过E 作EG ⊥AB 于G ，先证明Rt △EAG ≌Rt △ABC ，再证明△EFG ≌△DF A ．例5 连接AC∵AD =DC ，∠ADC =60°，∴△ADC 是等边三角形，DC =CA =AD ，以BC 为边向四边形外作等边三角形BCE ，即BC =BE =CE ， 则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°，∴∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°，连接AE ，则22222AE AB BE AB BC =+=+，易证△BDC ≌△EAC ，得BD =AE ，故222BD AB BC =+． 例6 过A 作AE ⊥BC 于E ，设DE =x ，BD =u ，DC =v ，AD =t ，则()()2222222AE b v x c u x t x =--=-+=-，故2222t b v ux =-+，2222t c u ux =--，消去x 得222b u c v t uv u v +=-+，即222b BD c CDAD BD DC a+=-⋅． A 级1．14 2．3 3．135°4． 提示：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，则△ACD ≌△EBD ，∴BE =AC =13，AE =12，又AB =5，则∠BAD =90°，5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC ≌△BEA ，∠BPQ =60°． 10．（1）（2）略 （3）提示：AB ，AP ，BP ，CP ，之间的关系是22AP AB BP CP -=⋅ 11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：8161,,,,,1552⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 12．10．B 级1．60132．135° 提示：将△P AC 绕A 点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。
初中数学竞赛专题：三角形
初中数学竞赛专题：三角形§9. 1全等三角形1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。
，过C作CE与a）垂直且交8。
延长线于邑求证：BD = 2CE.解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。
,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。
,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。
= NQFG . 又QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以2 2PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。
，于是PQ = 0PG = y/2 .10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。
£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.= = AD 2AA f E11.1.4★★△ABC 内,44。
= 60。
,/4(78 = 40。
初中数学竞赛辅导讲义：第17讲--解直角三角形(含习题解答)
第十七讲 解直角三角形利用直角三角形中的已知元素 (起码有一条是边 )求得其他元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下双方面的应用：1．为线段、角的计算供给新的门路．解直角三角形的基础是三角函数的观点，三角函数使直角三角形的边与角得以转变，打破纯粹几何关系的限制．2．解实质问题．丈量、航行、工程技术等生活生产的实质问题，很多问题可转变为解直角三角形获解，解决问题的重点是在理解相关名词的意义的基础上，正确把实质问题抽象为几何图形，从而转变为解直角三角形．【例题求解】【例 1】 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰巧照在土坡的坡面CD和地面BC上，假如CD与地面成45°，∠A ＝ 60°， CD ＝ 4m ， BC ＝ ( 4 62 2 )m ，则电线杆AB的长为．思路点拨延伸AD交 BC 于 E ，作 DF ⊥BC于 F ，为解直角三角形创建条件．【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中， AB= 4 2 ，BC-1 ，CD= 3 ，∠ B=135 °，∠ C ＝90°，则∠ D 等于 ()A ． 60°B ． 67．5°C ． 75°D ．没法确立思路点拨 经过对内切割或向外补形，结构直角三角形．注：因直角三角形元素之间有好多关系，故用已知元素与未知元素的门路常不唯一，选择如何的门路最有效、最合理呢？请记着：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常经过作垂线结构直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，常常先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最后可解．【例 3】 如图，在△ ABC 中，∠ =90°，∠ BAC=30 °， BC=l ，D 为 BC 边上一点， tan ∠ ADC 是方程 3(x 21) 5(x 1 ) 2 的一个较大的根 ?求 CD 的长． x 2 x思路点拨 解方程求出 tan ∠ ADC 的值，解 Rt △ABC 求出 AC 值，为解 Rt △ ADC 创建条件．【例 4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形 ABCD ，AB=3 米，BC=0 ．5 米 ，车厢底部距离地面 1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度 θ =60°．问此时车厢的最高点 A 距离地面多少米 ?(精准到 1 米 ) 思路点拨 作协助线将问题转变为解直角三角形，如何作协助线结构基本图形，睁开空间想象，就能获得不一样的解题寻路【例 5】 如图，甲楼楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至正午12 时太阳光芒与水平面的夹角为 30°，此时，求：(1) 假如两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2) 假如甲楼的影子恰巧不落在乙楼上，那么两楼的距离应该是多少米?思路点拨 (1) 设甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，则图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高； (2)设点 A 的影子落在地面上某一点 C ，求 BC 即可．注：在解决一个数学识题后， 不可以只知足求出问题的答案， 同时还应付解题过程进行多方面剖析和观察，思虑一下有没有多种解题门路，每种门路各有什么长处与缺点，哪一条门路更合理、更简捷，从中又能给我们带来如何的启示等． 若能养成这类优秀的思虑问题的习惯，则可逐渐培育和提升我们剖析探究能力．学历训练1．如图，在△ ABC 中，∠ A=30 °， tanB= 1， BC= 10 ，则 AB 的长为．32．如图，在矩形 ABCD 中． E 、 F 、 G 、 H 分别为 AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点，若 tan ∠AEH= 4，四边形 EFGH 的周长为 40cm ，则矩形 ABCD 的面积为 ．33．如图，旗杆 AB ，在 C 处测得旗杆顶 A 的仰角为 30°，向旗杆前北进 10m ，达到 D ，在 D 处测得 A的仰角为 45°，则旗杆的高为 ．4．上午 9 时，一条船从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行， 9时30分抵达 B 处，从A 、B 两处罚别测得小岛 M 在北偏东 45°和北偏东 15°方向，那么 B 处船与小岛 M 的距离为 ( )A ．20 海里B ． 20 海里C ． 15 3 海里D ．20 35．已知 a 、 b 、 c 分别为△ ABC 中∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边，若对于 x 的方程 (b c)x 2 2ax c b 0有两个相等的实根，且sinB ·cosA —cosB · sinA ＝ 0，则△ ABC 的形状为 ()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝ 135°，∠ B= ∠ D=90 °， BC= 2 3 ，AD=2 ，则四边形 ABCD 的面积是()A ．4 2B ．4 3C ． 4D ．67．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD ⊥ AB 于 D ， CD=1 ，已知 AD 、 BD 的长是对于 x 的方程x 2 px q 0 的两根，且 tanA — tanB=2，求 p 、 q 的值．8．如图，某电信部门计划修筑一条连接 B 、 C 两地的电缆，丈量人员在山脚角分别为 30°、 45°，在 B 地测得 C 地的仰角为60°．已知 C 地比 A 地高 多少米 ?(精准到 0.1 米 )A 点测得B 、C 两地的仰200 米，则电缆 BC 起码长9．如图，在等腰Rt △ ABC中，∠C=90 °，∠CBD ＝ 30，则AD=．DC10．如图，正方形ABCD中， N是DC的中点．M 是AD上异于D 的点，且∠NMB=∠ MBC ，则tan∠ABM ＝．11．在△ ABC 中，AB= 6 2 ，BC=2 ，△ ABC 的面积为 l ，若∠ B 是锐角，则∠ C 的度数是．12 ．已知等腰三角形的三边长为 a 、 b 、c ，且 a c ，若对于 x 的一元二次方程 x 2 2bx c0 的两根之差为 2 ，则等腰三角形的一个底角是()A ． 15°B ． 30°C ．45°D ． 60°13 ．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，若AD= 1 AC ，CE= 1BC ，则∠ 1 和∠ 2 的大小关系是 ()33A ．∠ 1>∠2B ．∠ 1<∠2C ．∠ 1＝∠ 2D ．没法确立14 ．如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 上一点， AE ⊥ AF ，点 E 在 CB 的延伸线上， EF 交 AB 于点 G ． (1)求证： DF ×FC ＝BG × EC ；(2)当 tan ∠ DAF=1时，△ AEF 的面积为 10，问当 tan ∠DAF= 2时，△ AEF 的面积是多少 ?3315．在一个三角形中，有一边边长为 16，这条边上的中线和高线长度分别为10 和 9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾祸，它以台风中心为圆心在四周数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的损坏力．据气象观察，距沿海某城市A 的正南方向 220 千米B 处有一台风中心，此中心最狂风力为12 级， 每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以 15 千米／时的速度沿北偏东30°方神往 C 处挪动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超出四级，则称为受台风影响．(1) 该城市能否会遇到此次台风的影响 ?请说明原因．(2) 若会遇到台风影响，那么台风影响该城市的连续时间有多长?(3) 该城市遇到台风影响的最狂风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD ，且建筑物四周没有宽阔平坦地带．该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A 、 D 、 C 三点可看到塔顶端 H ．可供使用的丈量工拥有皮尺、测角器．(1) 请你依据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个丈量塔顶端到地面高度HG 的方案．详细要求如下：①丈量数据尽可能少；m ②在所给图形上，画出你设计的丈量平面图，并将应测数据标志在图形上(假如测 A 、 D 间距离，用表示；假如测 D 、 C 间距离，用n 表示；假如测角，用α、β 、γ等表示．测角器高度不计)．(2)依据你丈量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG( 用字母表示 )．参照答案。
八年级数学竞赛例题专题讲解17：等腰三角形的判定(含答案)
专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识(附答案)
八年级数学竞赛专题训练13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：图4图3图2图1CDBAD CBADCBA DCOBA例题与求解【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A .17cmB .5cmC .5cm 或17cmD .无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.GC DBEF A【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm 的铁丝，要截成)2(>n n 小段，每段的长不小于1cm 的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a ，b ，c ，且c b a <<，由条件及三角形三边关系定理可确定c 的取值范围，从而可以确定整数c 的值. 对于（2），因n 段之和为定值150cm ，故欲使n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A 级1.设a ，b ，c 是△ABC 的三边，化简c b a c b a --+++=____________.2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）EDCBAHDCMG BAEC BA（第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.T ED GHCBA F21AC EDB（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ）A .)90(21A ∠-︒ B .A ∠+︒2190 C .)180(21A ∠-︒ D .A ∠-︒21180 7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =21（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C . 其中正确的是（ ）A .①②③B .①③④C .①②③D .①②③④8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A .6个 B .7个 C .8个 D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ） A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =21（∠1+∠2）C .∠A =31（∠1+∠2） D .∠A =41（∠1+∠2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A .1个 B .3个 C .5个 D .7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°.（河南省竞赛试题）321EG FDCBA12.平面内，四条线段AB ，BC ，CD ，DA 首尾顺次连接，∠ABC =24°，∠ADC =42°. （1）∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M （如图1），求∠AMC 的大小.（2）点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N （如图2），求∠ANC .CDBAEND CBA图1 图213.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E 位于线段CA 上，D 位于线段BE 上.（1）证明：AB +AE ＞DB +DE ； （2）证明：AB +AC ＞DB +DC ；（3）AB +BC +CA 与2（DA +DB +DC ）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB +BC +CA 与DA +DB +DC 哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）E DCBAB 级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形.3.△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且有2∠B =5∠A ，若∠B 的最大值是m ，最小值是n ，则=+n m ___________.（上海市竞赛试题）4.如图，若∠CGE =α，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =_______.（山东省竞赛试题）αGFEDCBADA 2A 1CBA（第4题） （第5题）5.如图，在△ABC 中，∠A =96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线相交于2A 点，依此类推，BC A 4∠与CD A 4∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的大小是（ ）A .3°B .5°C .8°D .19.2°6.四边形ABCD 两组对边AD ，BC 与AB ，DC 延长线分别交于点E ，F ，∠AEB ，∠AFD 的平分线交于点P .∠A =64°，∠BCD =136°，则下列结论中正确的是（ ）①∠EPF =100°； ②∠ADC +∠ABC =160°； ③∠PEB +∠PFC +∠EPF =136°； ④∠PEB +∠PFC =136°.A .①②③B .②③④C .①③④D .①②③④FEDPCBA7.三角形的三角内角分别为α，β，γ，且γβα≥≥，βα2=，则β的取值范围是（ ） A .4536≤≤β B .6045≤≤β C .9060≤≤β D .3245≤≤β（重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ） A .4个 B .5个 C .6个 D .7个（山东省竞赛试题）9.不等边△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设m ，n ，p 均为自然数，满足p n m ≤≤且15=++p n m ，试问以m ，n ，p 为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的41，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，C （0，-2），D （-2，-2）. （1）求△BCD 的面积；（2）如图2，若∠BCO =∠BAC ，作AQ 平分∠BAC 交y 轴于P ，交BC 于Q .求证：∠CPQ =∠CQP ；（3）如图3，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线交直线AD 于E ，DF ∥AC交y 轴于F ，FM 平分∠DFC 交DE 于M ，EDMFBCF ∠∠-∠2的值是否发生变化？证明你的结论.x图313.如图1，),0(m A ，)0,(n B .且m ，n 满足0)42(32≤-+-n m.图1 图2（1）求A ，B 的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一动点，D 为△BCO 中∠BCO 的外角平分线与∠COB 的平分线的交点，问是否存在点C ，使∠D =41∠COB .若存在，求C 点坐标； （3）如图2，C 为y 轴正半轴上A 的上方一动点，P 为线段AB 上一动点，连CP 延长交x 轴于E ，∠CAB 和∠CEB 平分线交于F ，点C 在运动过程中FECOABO ∠∠+∠的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.专题13 三角形的基本知识例1130°或50°例2 B 例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC例4设∠C＝x°，则∠A＝(47 x)°，∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－117x°由∠A＜∠B＜∠C，得47x＜180－117x＜x．解得70＜x＜84．∵47x是整数，∴x＝77．故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．例5（1）不妨设a＜b＜c，则由30a b ca b c+=-⎧⎨+>⎩，得10＜c＜15．∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．当c＝11时，b＝10，a＝9．当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，故n的最大值为10.共有以下7种方式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.例6 解法1一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017（个）.解法2 整体核算法设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形.A 级1. 2（b ＋c ）2. －5＜a ＜－23. 钝角4. 180°5. 90°6. C7. D8. B9. B 10. B 11. 提示：过G 作GH ∥EB ，可推得BE ∥CF . 12. （1）∠AMC ＝12（∠ABC ＋∠ADC ）＝12×（24°＋42°）＝33° （2）∵AN 、CN 分别平分∠DAE ，∠BCD ，∴可设∠EAN ＝∠DAB ＝x ，∠BCN ＝∠DCN ＝y ，∴∠BAN ＝180°－x ，设BC 与AN 交于S ，∴∠BSA ＝∠CSN ，∴180°－x ＋∠B ＝y ＋∠ANC ，① 同理：180°－2x ＋∠B ＝2y ＋∠D ，②由①×2－②得：2∠ANC ＝180°＋∠B ＋∠D . ∴∠ANC ＝12（180°＋24°＋42°）＝123°. 13. （1）（2）略 提示：（3）DA ＋DB ＞AB ，DB ＋DC ＞DC ，DC ＋DA ＞CA ，将三个不等式相加，得2（DA ＋DB ＋DC ）＞AB ＋CB ＋CA .（4）由（2）知AB ＋AC ＞DB ＋DC ，同理BC ＋BA ＞DC ＋DA ，CA ＋CB ＞DA ＋DB ， 故AB ＋BC ＋CA ＞DA ＋DB ＋DCB 级1. 82. 193. 175 提示：设∠A ＝（2x ）°，∠B ＝（5x ）°，则∠C ＝180°－（7x ）°，由∠A ≤∠C ≤∠B 得15≤x ≤204. 2a5. A6. D7. D8. B9. 提示：设长度为4和12的高分别是边a ，b 上的，边c 上的高为h ，△ABC 的面积为S ， 则24S a =，212S b =，2S c h =，由22222412412S S S S S h -<<+得36h <<，故5h =. 10. 711. 设锐角三角形最小角的度数为x ，最大角的度数为4x ，另一角为y ，则41804490x x y x y xx ++=︒⎧⎪⎨⎪<︒⎩，解得20≤x ≤22.5，故x ＝20或21或22. 所有锐角三角形的度数为：(20°，80°，80°)，(21°，75°，84°)，(22°，70°，88°). 12. （1）S △BCD ＝2 （2）略（3）设∠ABC ＝x ，则∠BCF ＝90°＋x ，可证：∠E ＝12x ，∠DMF ＝45°. ∴2(90)245212BCF DMF x E x ∠-∠︒+-⨯︒==∠。
全等三角形竞赛试题精选及答案
八年级数学《全等三角形》竞赛试题精选注: 此卷试题有一定难度,可能每题都不会轻松做下来,你需要提高能力,而且要学会思考难题,这样你才能在考试中得心应手,一定要认真思考,并学会总结,把一类题型掌握透彻,望认真做. 一.选择题与填空题:1. 如图，已知AB ∥CD,AD ∥BC ，AC 与BD 交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中全等的三角形有【 】 A.5对 B.6对 C.7对 D.8对2. 在△ABC 和A B C '''∆中, AB A B ''=,B B '∠=∠,补充件后仍不一定能保证ABC ∆≌A B C '''∆,则补充的条件是【 】A.BC B C ''=B.A A '∠=∠C.AC A C ''=D.C C '∠=∠3. 如图,在等边△ABC 中,AD ＝BE ＝CF,D 、E 、F 不是中点,连结AE 、BF 、CD,构成一些三角形.如果三个全等的三角形组成一组,那么图中全等的三角形的组数是【 】A.3个B.4个C.5个D.6个 4. 若在ABC ∆中,∠ABC 的平分线交AC 于D,BC ＝AB ＋AD,∠C ＝300，则∠B 的度数为【 】A.450B.600C.750D.9005. 如图，AD 是ΔABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上且DE ⊥DF ，则（ ） A ．BE+CF ＞EF B.BE+CF=EFC ．BE+CF ＜EF D.EF 与BE+CF 大小关系无法确定6. (黄冈市中考题)在△ABC 和A B C '''∆中, AB A B ''=,B B '∠=∠,补充条件后仍不一定能保证ABC∆≌A B C '''∆,则补充的条件是( )A.BC B C ''=B.A A '∠=∠C.AC A C ''=D.C C '∠=∠7. (2001,北京市初二竞赛题)下面四个命题:①两个三角形有两边及一角对应相等,则这两个三角形全等;②两个三角形有两角及一边对应相等,则这两个三角形全等; ③两个三角形的三条边分别对应相等,则这两个三角形全等;④ 两个三角形的三个角分别对应相等,则这两个三角形全等.其中真命题是( )A. ② ③B. ① ③C. ③ ④D. ② ④8. (第十五届江苏初二竞赛题)已知三角形的每条边长是整数,且小于等于4,这样的互不全等的三角形有( ) A.10个 B.12个 C.13个 D.14 9. 如图,D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E,给出3个论断:①DE ＝FE;②AE＝CE;③FC ∥AB. 以其中一个论断为结论,其余两个论断为条件,可作出3个命题.其中正确的命题个数是_______.10. 如图,如果正方形ABCD 中,CE ＝MN,∠MCE ＝350,那么∠ANM 的度数是________. 11. 如图,在ABC ∆中,过A 点分别作AD ⊥AB,AE ⊥AC,且使AD ＝AB,AE ＝AC,BE 和CD相交于O,则∠DOE 的度数是_____.二.证明题:1. 如图，在ΔABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。
初中数学 八年级竞赛培优训练 直角三角形 含解析
直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是() A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－13．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为______cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－35．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为____°.图1－5－57．如图1－5－6，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝______．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 延长线相交于点M . (1)求证：∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．图1－5－79．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝()图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画____个．图1－5－1012．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，则∠ACB的度数是____．图1－5－1113．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝____．图1－5－1214．如图1－5－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是∠CAB的平分线AL的中点，延长CM交AB于K，BK＝BC，则∠CAB＝____，∠ACK∠KCB＝____．图1－5－1315．如图1－5－14，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M为AN的中点；(2)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14第5讲直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D) A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C) A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－1【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.3．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5____cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－3解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，CF平分∠DCE，∴∠DCF ＝45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠DCF ，∴CF ∥AB ； (2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.5．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，EB ＝DB ，∴△ABE ≌△CBD ；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°. 由①知∠BDC ＝∠BEA . ∴∠BDC ＝75°.【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为__45__°.图1－5－5【解析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.7．如图1－5－6，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC ＝__45°____．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB延长线相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．图1－5－7解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.9．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB的中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD的中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC的中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.第9题答图【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝(D)图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画__3__个．图1－5－10【解析】如答图．①AC为直角边时，符合的等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合的等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，12．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是__75°__．图1－5－11【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP＋∠ACD＝75°.13．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝__22.5°__．第11题答图图1－5－12 第13题答图【解析】 延长AE ，BC 交于点F .∵AE ⊥BE ， ∴∠BEF ＝90°，又∵∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠AFC ＝∠F AC ＋∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠F AC ， 在△ACF 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠DBC ，∴△ACF ≌△BCD (ASA )， ∴AF ＝BD . 又∵AE ＝12BD ，∴AE ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∴AB ＝BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线． ∴∠ABD ＝22.5°.14．如图1－5－13，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是∠CAB 的平分线AL 的中点，延长CM 交AB 于K ，BK ＝BC ，则∠CAB ＝__45°__，∠ACK ∠KCB＝__13__．图1－5－13【解析】 设∠CAB ＝2α.∵AM ＝ML ，且∠ACB ＝90°，∴CM ＝MA ， ∴∠ACM ＝∠MAC ＝α.∴∠CKB ＝∠CAK ＋∠ACM ＝3α， ∠KCB ＝90°－∠ACM ＝90°－α. ∵BK ＝BC ， ∴∠CKB ＝∠KCB .∴3α＝90°－α，即α＝22.5°. ∴∠CAB ＝45°，∠ACK ∠KCB ＝22.5°67.5°＝13.15．如图1－5－14，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE ＝90°，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N .(1)当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M 为AN 的中点； (2)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN 为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME . ∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM ，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点；(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形．(3)由(2)可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°＋∠BDE＋∠BED＝90°＋∠ADM－45°＋∠BED＝45°＋∠MEN＋∠BED ＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立.。
初中数学竞赛解三角形(含答案)
18．解三角形A 卷1．如果tan α·tan32°=1，那么α=____________。
2．化简1cos 2cos 2+-αα=_____________ .3．已知在△ABC ，∠C=90°，a ：b=3，则sinA = _________, cosA = ___________, tanA = ________, cotA =___________。
4．若0°≤α≤90°，41cos sin 66=+αα，则α等于__________。
5．若D 、E 分别是直角△ABC 的斜边AB 上的三等分点，且CD=cos α,CE=sin α，如图，则斜边AB=____________。
6．已知在△ABC 中，有一个角为60°，310ABC S ∆，周长为20，则三边长分别为_________。
7．在△ABC 中，若,0)(242242224=++++-b b a a c b a c 则∠C=___________。
8．若三角形三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为____________。
9．如果在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 8, b = 15，则sinA + sinB + sinC= _____________。
10．已知在一段坡面上，铅直高度为3，坡面长为23，则坡度等于_________，坡角等于_________。
B 卷1．在△ABC 中，A 、B 都是锐角，且SinA = cosB 那么△ABC 一定是___________。
2．在直角三角形ABC 中，各边的长度都扩大两倍 ，那么锐角A 的各三角函数值__________。
3．在△ABC 中，已知sinA ·cosA=0，那么这个三角形是_____________。
4．设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若方程0sin )1(sin 2sin )1(22=-+++C x B A x 有不等实根，那么∠A 为___________。
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初中数学竞赛专题选讲（初三.16）解三角形一、内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠). ① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c 2=a 2+b 2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=c a ， CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab. ④ 互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)= CosA ， Cos(90－A)= SinA ， tan(90 －A)= CotA, Cot(90 －A)= tanA. ⑤；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理：SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA ， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA ， cotA(180－A)=－tanA. ④ S △ABC ＝21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等. 二、例题例1. 已知：四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.求：AC 的长.解：延长AD 和BC 相交于E ，则∠E ＝30 .在Rt △ECD 中，∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21＝2. EB ＝4. 在Rt △EAB 中， ∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。
=334.根据勾股定理AC ＝223342）＋（＝2132. 又解：连结BD ，设AB 为x ，AD 为y.根据勾股定理 AC 2＝x 2+22=y 2+12.根据余弦定理BD 2＝x 2+y 2－2xyCos60 =22＋12－2×2×1Cos120 .得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-.07032222xy y x y x ，解这个方程组， 得 x=334. (以下同上一解) 例2. 已知：如图，要测量山AB 的高，在和B 同一直线上的C ，D 处,分别测得对A 的仰角的度数为n 和m ，CD=a. 试写出表示AB 的算式. 解：设AB 为x ，BD 为y.在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧=+=.cot cot n x a y m x y ，xCotm=xCotn －a .∴ x=CotmCotn a-.答：山高AB ＝CotmCotn a-.B例3. 已知：四边形ABCD 中，∠ABC ＝135 ，∠BCD ＝120 ，CD ＝6，AB ＝6，BC ＝5－3.求：AD 的长. （1991年全国初中数学联赛题） 解：作AE ∥BC 交CD 于E ， BF ⊥AE 于F ， CG ⊥AE 于G..在Rt △ABF 中，BF ＝6Sin45 =3, AF ＝BF ＝3. 在Rt △CGE 中， GE ＝CGtan30 =3×33＝1, ∴CE ＝2， ED ＝4.∴AE=3+5－3+1=6， ∠AED ＝120 . 在△AED 中，根据余弦定理，得 AD 2＝62＋42－2×6×4Cos120 =76. ∴AD ＝219.例4. 如图，要测量河对岸C ，D 两个目标之间的距离，在A ，B 两个测站，测得平面角∠CAB ＝30 ，∠CAD ＝45 ，∠DBC ＝75 ，∠DBA ＝45 ，AB ＝3. 试求C ，D 的距离.解：在△ABC 中，∵∠ACB ＝∠CAB ＝30 ，∴BC ＝AB ＝3, ∴AC ＝23cos30 =3. 在△ABD 中，∠ADB ＝60 由正弦定理，45sin AD ＝60sin AB，AD ＝60sin AB ×sin45=3÷23×22＝2.在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝32＋（2）2－2×3×2Cos45=5∴CD ＝5.例5. 已知：O 是凸五边形ABCDE 内的一点且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8. 求证：∠9和∠10相等或互补(1985年全国初中数学联赛题)证明：根据正弦定理，得5sin 4sin 3sin 2sin 1sin 10sin OA OD OC OC OB OB ===== =9sin 8sin 7sin 6sin OA OE OE OD ===. ∴sin10=sin9∴∠9和∠10相等或互补.例6. 已知：二次方程mx 2－(m －2)x+41(m －1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比. 解：作Rt △ABC 斜边上的高CD.则sinA=AC CD , sinB=BCCD.∵sinA 和 sinB 是方程的两根，根据韦达定理，得sinA+ sinB=m m 2-； (1)sinA sinB=mm 41- . (2)即AC CD BC CD =mm 41-. （3） (1)2－2(2)得： (sinA)2+(sinB)2=(mm 2-)2－m m 21-.∵sinB=cosA, 且 (sinA)2+( cosA)2=1， ∴(mm 2-)2－m m 21-=1，m 2+7m －8=0,∴m=1， m=－8.由（3）AC CD BC CD＝AB CD ABCD CD 2＝＝mm 41-.∴CD AB ＝14-m m. 当 m=1 时，没有意义； 当m=-8时，CD AB =932. 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9.三、练习 1. 填空：① 如果从点A 对着点B 测得仰角是60 ，那么从点B 对着点A 测得的俯角是＿＿度. ② 点C 在点D 的南偏东25，那么点D 在C 的方向是＿＿＿＿＿＿. ③ 斜坡AB 的坡角是30 ，那么AB 的坡度i=1∶＿＿＿. ④ 锐角A ＞45 ，那么下列函数的取值范围是：SinA_____， CosA_____， tanA_______，cotA________. ⑤ 已知：30 ＜∠A ＜60 ，那么如下的函数的取值范围是∠A 的余弦＿＿＿＿＿＿＿＿，∠A 的正切＿＿＿＿＿＿＿.2. 已知：△ABC 中，∠B ＝45 ，AC ＝7，点D 在BC 上，CD ＝3， D ＝5. 求AB 的长.3. 如图观测塔AB 的高为a 米，从塔顶A 测得地面上 同一方向上的两个目标C ，D 的俯角分别是30 和45 ，求CD 的距离.4. 船A 在船B 的正北，它们同时向东航行，时速分别是15和20海里，3小时后，船B 在船A 的东南，问这时两船相距多远？5. 一只船向南航行，出发前在灯塔A 的北偏东30 ，相距15海里，2小时后，灯塔在船的北偏西60 ，求船的航行速度.6. 如图要测量建筑物AB 的高，先在楼下C 测得对顶端A 的 仰角为45，然后在楼上D 测得对A 的仰角为30，已知 楼高CD=m 米，求AB.7. 已知：△ABC 中，a=21, b=17, c=10. 求：S △ABC .8. 已知：△ABC 中，SinA ∶ SinB ∶SinC=3∶5∶7.求：△ABC 的最大角的度数.9. 船B 在艇A 的方位角120，相距24海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角240的方向前进，速度是每小时9海里. A 艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向，要经过几小时才能靠近船B ？ 10. 已知：锐角三角形ABC 的外接圆直径AE 交BC 于D. 求证：tanB ×tanC=AD ∶DE提示：作BC 边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GEj3045A BDA BCED A B C F G11. 已知：△ABC 中，∠A=45 ，AB=6，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形.(1981年福建省初中数学联赛题)12. 如图已知：ABCD 为圆内接四边形，过AB 上一点M 引MP ，MQ ，MR 分别垂直于BC ，CD ，AD ，连结PR 和MQ 交于N.求证：MABMNR PN =. (1983年福建省初中数学联赛题)13. 如图已知：锐角△ABC 中，AC=1，AB=c ，△ABC 的外接圆半径R ≤1.求证： Cos<c ≤CosA+3SinA . (1984年全国初中数学联赛题)练习题参考答案1①60 ②北偏西25 ③3 ④大于221；小于221；大于1；小于1 ⑤21<CosA<23,33<tanA<3. 2．由余弦定理得∠ADC=120度，再由正弦定理得AB=265. 3. CD=(3-1)a 4. 152 5. 536.2)33(m+ 7. 用公式S △=))()(-S(S c S b S a --，其中S=2cb a ++或先求最大边的高为8，S △=21×21×8=84 . 8. 由正弦定理得a ∶b ∶c=3∶5∶7 ，CosC=-21,∠C=120度 9. 应沿方位角141度48分的方向， 1小时可到达10. 左边==⋅=⋅=FGh h FC BF h FC h BF h 22…11.可由余弦定理求AC=3+1，∠C=120或60度……或AC=3-1，∠B=15或75度……4. 由正弦定理PN=① MA MR MNP S MP in ， NR=② MB MPMNP S MR in ，①÷②即可5. 由正弦定理1<2R 2B S 1≤=in ， 21≤SinB<1 ， 30 ≤B<900<CoOSB ≤23， 由余弦定理1-a 2-c 2+3ac ≥0①，a 2+c 2-1>0②……。