概率分布列含解析.

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高中数学-分布列10题解析

分布列 10 题
1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望．【答案】(1) 0.6 ；
(2)分布列见解析， E X 13 .
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知， X 的可能取值为 0,10, 20,30 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A, B,C ，所以甲学校获得冠军的概率为
中抽取
6
人，则男生､女生分别抽到
2
人和
4
人，所以
P
C
2 4
C62
6 15
2 5
，所以选中的
2
人都是女生的概率为 2 . 5
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学
校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以
(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“运动达标”与“性别”有关.
运动达标运动不达标总计
男生女生
总计 (2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中任选 2 人进行体育运动指导，求选中的 2 人都是女生的概率. 参考数据： P( 2 k0) 0.25 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001

2021-2022高二数学北师大版选修2-3单元测评：第二章概率 A Word版含解析

其次章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.离散型随机变量X则c 等于( )A.0.1B.0.24C.0.01D.0.76 解析:c=1-(0.2+0.3+0.4)=0.1. 答案:A2.已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3,…,n ,若P (1≤X ≤3)=15,则n 的值为( )A .3B .5C .10D .15 解析:由于X 等可能取值1,2,3,…,n ,∴P (1≤X ≤3)=P (X=1)+P (X=2)+P (X=3)=1n +1n +1n =3n =15.∴n=15. 答案:D3.正态分布N 1(μ1,σ12),N 2(μ2,σ22),N 3(μ3,σ32)(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图像如图所示,则下列说法正确的是( )A .μ1最大,σ1最大B .μ3最大,σ3最大C .μ1最大.σ3最大D .μ3最大,σ1最大解析:在正态曲线N (μ,σ2)中,x=μ为正态曲线的对称轴,结合图像可知,μ3最大;又参数σ确定了曲线的外形:σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.故由图像知σ1最大.故选D .答案:D4.设听从二项分布X~B (n ,p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454,则n ,p 的值分别是( )A.50,14 B.60,14C.50,34D.60,34解析:由(np =15,np (1-p )=454,得(p =14,n =60.答案:B5.若X 是离散型随机变量,P (X=x 1)=23,P (X=x 2)=13,且x 1<x 2.又已知EX=43,DX=29,则x 1+x 2的值为( ) A.53 B.73C.3D.113解析:∵EX=23x 1+13x 2=43,∴x 2=4-2x 1.DX=(43-x 1)2×23+(43-x 2)2×13=29.∵x 1<x 2, ∴{x 1=1,x 2=2. ∴x 1+x 2=3. 答案:C6.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,则恰有一人击中敌机的概率为( )A.0.9B.0.2C.0.7D.0.5解析:设大事A ,B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机,则P (A )=0.4,P (B )=0.5,大事恰有一人击中敌机的概率为P (A B +A B )=P (A )·(1-P (B ))+(1-P (A ))·P (B )=0.5.答案:D7.将三颗骰子各掷一次,设大事A 为“三个点数都不相同”,大事B 为“至少消灭一个6点”,则概率P (A|B )等于( )A .6091B .12C .518D .91216解析:由于P (B )=1-125216=91216,P (AB )=C 52A 33216=60216,所以P (A|B )=P (AB )P (B )=6091.答案:A8.假设每一架飞机的引擎在飞行中消灭故障的概率为1-p ,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机更平安,则p 的取值范围是( )A .(23,1) B .(13,1) C .(0,23)D .(0,13)解析:4引擎飞机正常运行的概率为C 43p 3(1-p )+p 4,2引擎飞机正常运行的概率为C 22p 2,由题意得C 43p 3(1-p )+p 4>C 22p 2,解得13<p<1.答案:B9.如图,三行三列的方阵中有9个数a ij (i ,j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个位于同行或同列的概率是( )(a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33) A .37 B .47 C .114 D .1314解析:从题图所示的9个数中任取三个数,取法有C 93=84种,这三个数中没有任何两个数同行或同列的取法有6种,故至少有两个位于同行或同列的概率为1-684=1314.答案:D10.一个盒子装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R 的函数:f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=x 3,f 4(x )=sin x ,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2.现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则连续进行,则抽取次数ξ的均值为()A .74B .7720C .34D .73解析:由于f 2(x ),f 5(x ),f 6(x )为偶函数,所以随机变量ξ可取1,2,3,4. P (ξ=1)=C 31C 61=12,P (ξ=2)=C 31C 31C 61C 51=310, P (ξ=3)=C 31C 21C 31C 61C 51C 41=320,P (ξ=4)=C 31C 21C 11C 31C 61C 51C 41C 31=120.所以ξ的分布列为4故E ξ=1×12+2×310+3×320+4×120=74.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.如图,A ,B ,C 表示3种开关,设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7,则系统中至少有1个开关能正常工作的概率是 .解析:∵系统中3个开关都不能正常工作的概率为(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=0.006, ∴系统中至少有1个开关能正常工作的概率为1-0.006=0.994. 答案:0.99412.将一颗骰子连掷100次,则6点消灭次数X 的均值EX= .解析:这是100次独立重复试验,X 符合二项分布,即X~B (100,16),故EX=100×16=503.答案:50313.某离散型随机变量X且EX=1.5,则a-b= .解析:∵{a +b =0.8,a +2b +0.3=1.5,∴{a =0.4,b =0.4. ∴a-b=0. 答案:014.某班有50名同学,一次考试后数学成果ξ(ξ∈N )近似听从正态分布N (100,102),已知P (90≤ξ≤100)=0.3,估量该班同学数学成果在110分以上的人数为 .解析:由题意知,P (ξ>110)=1-2P (90≤ξ≤100)2=0.2,所以估量该班同学数学成果在110分以上的人数为0.2×50=10.答案:1015.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则E ξ= (结果用最简分数表示).解析:由题意,ξ的可能取值为0,1,2,则P (ξ=0)=C 52C 72=1021,P (ξ=1)=C 51C 21C 72=1021,P (ξ=2)=C 22C 72=121. ∴ξ的分布列为2∴E ξ=0×1021+1×1021+2×121=1221=47.答案:47三、解答题(本大题共4小题,共25分)16.(6分)袋中有5个大小相同的小球,其中1个白球和4个黑球,每次从中任取一球,每次取出的黑球不再放回去,直到取出白球为止.求取球次数X 的分布列.解:取球次数X 是一个随机变量,X 的全部可能值是1,2,3,4,5.P (X=1)=15=0.2,P (X=2)=45×14=0.2,P (X=3)=45×34×13=0.2, P (X=4)=45×34×23×12=0.2, P (X=5)=45×34×23×12×11=0.2. 于是,我们得到随机变量X17.(6分):请小牛同学计算ξ的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,求小牛给出的正确答案E ξ.解:设P (ξ=1)=P (ξ=3)=a ,P (ξ=2)=b ,则2a+b=1. 于是,E ξ=a+2b+3a=2(2a+b )=2.18.(6分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:(1)至少有1株成活的概率; (2)两种大树各成活1株的概率.解:设A k 表示第k 株甲种大树成活,k=1,2;设B l 表示第l 株乙种大树成活,l=1,2,则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立,且P (A 1)=P (A 2)=56,P (B 1)=P (B 2)=45.(1)至少有1株成活的概率为1-P (A 1A 2B 1B 2)=1-P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2)=1-(16)2×(15)2=899900.(2)由独立重复试验中大事发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为p=C 21×56×16×C 21×45×15=1036×825=445.19.(7分)A ,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.依据市场分析,X 1和X 2的分布列分别为X511 % 0%P 0.80.2(1)在A ,B 两个项目上各投资100万元,Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润,求方差DY 1,DY 2; (2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目,(100-x )万元投资B 项目,f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和.求f (x )的最小值,并指出x 为何值时,f (x )取到最小值.〔注:D (aX+b )=a 2DX 〕解:(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为Y15 10 P 0.8.2EY 1=5×0.8+10×0.2=6,DY 1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4; EY 2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,DY 2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.(2)f (x )=D (x 100Y 1)+D (100-x100Y 2) =(x100)2DY 1+(100-x 100)2DY 2=41002[x 2+3(100-x )2] =41002(4x 2-600x+3×1002). 当x=6002×4=75时,f (x )=3为最小值.。

分布列知识点总结

分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。

对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。

1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。

（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。

二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。

根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。

2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。

这对于一些概率问题的求解非常有用。

三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。

设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。

3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。

设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。

四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。

专题八概率与统计第二讲概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)

专题八概率与统计第二讲概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ，试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。

新教材选择性必修二8.2.1随机变量及其分布列课件(60张)

2．概率分布列 (1)定义一般地，随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1，x2，…，xn，且 P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n，① 称①为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列．①也可以用下表的形式来表示．
X x1 x2 … xn P p1 P2 … pn 我们将上表称为随机变量 X 的概率分布表．它和①都叫作随机变量 X 的概率分布．
三、解答题 11．设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 X＝m2，求 X 的分布列．
【解析】(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即 S＝{x|－2≤x≤3}．由于 m，n∈Z，m，n ∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)， (0，0). (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，所以 X＝m2 的所有不同取值为 0，1，4，9，且有 P(X＝0)＝61 ，P(X＝1)＝26 ＝13 ，
【解析】选 BCD.抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4 的只有三种情况，故第一枚为 1 点、第二枚为 6 点，第一枚为 1 点、第二枚为 5 点，第一枚为 2 点、第二枚为 6 点．
8．(多选题)(2021·成都高二检测)已知随机变量 X 的分布列如表(其中 a 为常数)：
X0 1 2 34 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有( )
离散型随机变量及其分布列随机变量及其分布列
基础认知·自主学习
1．随机变量一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω 都有唯一的实数 X(ω)与之对应，则称 X 为随机变量．通常用大写字母 X，Y，Z(或小写字母 ζ，η，ξ)等表示，而用小写英文字母 x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．

分布律和分布列

分布律和分布列分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域，包括统计学、工程学、金融学等。

本文将详细介绍分布律和分布列的概念、性质及其在实际应用中的意义。

一、分布律的定义与性质分布律又称分布函数，通常用F(x)来表示。

假设随机变量X的取值范围为实数轴上的所有实数，F(x)表示X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。

分布律具有以下性质：1. F(x)是一个非降函数，即F(x)在定义域内具有单调性。

2. F(x)的取值范围在[0,1]之间。

3. F(x)是一个右连续函数，即对于任意的x，F(x)在右侧连续。

4. F(x)在x处的导数等于X=x处的概率密度函数f(x)，即F'(x) = f(x)。

二、分布列的定义与性质分布列是离散随机变量的分布函数，通常用p(x)来表示。

假设随机变量X的取值范围为{x1,x2,…,xn}，则p(x)表示X等于x的概率，即：p(xi) = P{X=xi}分布列具有以下性质：1. 对于所有的i，有0 ≤ p(xi) ≤ 1。

2. ∑_i=1^n p(xi) = 1。

3. p(x)是一个非降函数。

三、分布律与分布列的区别分布律用来描述连续随机变量的概率分布，而分布列则用来描述离散随机变量的概率分布。

因为连续随机变量可以取无限多个值，所以概率密度函数f(x)是用来表示概率分布的。

分布律F(x)是f(x)的积分，表示随机变量小于等于某个值的概率。

而离散随机变量只能取有限个取值，所以概率可以用一个列表来表示。

分布列p(x)就是这个列表，它表示随机变量取某一特定值的概率。

四、分布律与分布列的应用分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域。

例如，在统计学中，分布律和分布列常常用来描述样本数据的概率分布，从而进行统计推断；在工程学中，分布律和分布列常常用来描述工程系统的性能分布，从而进行系统设计和优化；在金融学中，分布律和分布列常常用来描述金融资产的风险分布，从而进行投资决策和风险控制等。

概率论分布列期望方差习题及答案

概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。

高中理科数学各类型概率统计、分布列解答题

高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率．3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次． (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．附：（其中为样本容量）3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。

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概率分布列练习题1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(A. B. C. D. 答案：D2．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为(A. B. C. D．不确定答案：A3．已知P(A＝0.3，P(B＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B＝________，P(A|B＝________.答案0.650.34．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．答案：5．在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．答案：6．事件A、B、C相互独立，若P(A·B＝，P(·C＝，P(A·B·＝，则P(B＝________，P(·B＝________，P(B＋C＝__________，P(B|C＝________.答案：7．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．8．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是(A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75 答案：D解析：令事件A、B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A＝0.6，P(B＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C＝1－P(P(＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C＝＝＝0.75.9.设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，在所取得的产品中发现有一件不合格品，则另一件也是不合格品的概率为．答案：10．已知随机变量ξ～B(6，，则P(ξ≥2＝(A. B. C. D. 答案C11．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是(A. B. C. D. 答案B12．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3的值为(A．C(2× B． C(2× C．(2× D．(2×答案C13．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}：a n＝如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为( A．C×(2×(5 B．C×(2×(5 C．C×(2×(5 D．C×(2×(514．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4＝________.答案15．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立，则一天内至少3人同时上网的概率为________．答案16.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．解析(1设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A＝＝＝，P(B＝＝＝17．2013年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是.(1求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析(1记“该考生正确做出第i道题”为事件A i(i＝1,2,3,4，则P(A i＝，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为P(A1A2＝P(A1·P(A2·P(＝××＝.(2记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P(B＝C×(3×＋C×(4＝.18．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。

（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3 次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分。

记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列。

解：（1）设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~在5次射击中，恰有2次击中目标的概率；（2）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i=1，2，3，4，5）；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则；（3）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，，，，，19．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率；(3用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．解析记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1C＝A·＋·B.P(C＝P(A·＋·B＝P(A·＋P(·B＝P(A·P(＋P(·P(B＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2＝·，P(＝P(·＝P(·P(＝0.5×0.4＝0.2，P(D＝1－P(＝0.8.(3ξ～B(3,0.8，故ξ的分布列为P(ξ＝0＝0.23＝0.008，P(ξ＝1＝C×0.8×0.22＝0.096，P(ξ＝2＝C×0.82×0.2＝0.384，P(ξ＝3＝0.83＝0.512.ξ的分布列为ξ0123P0.0080.0960.3840.51220.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：(1该顾客中奖的概率；(2该顾客获得的奖品总价值X(元的分布列和均值E(X．解析(1方法一：设“该顾客中奖”为事件A，则P(A＝1－P(＝1－＝1－＝.方法二：P(A＝＝＝.(2X的所有可能值为0,10,20,50,60，且P(X＝0＝＝，P(X＝10＝＝，P(X＝20＝＝，P(X＝50＝＝，P(X＝60＝＝.故X的分布列如下.即该顾客中奖的概率为.21．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列；(2设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；(3求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．思路分析正确求得变量取各值的概率是解题的关键，找出(1、(3问中概率的区别与联系．解析(1将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果相互独立，故ξ～B(6，．所以ξ的分布列为P(ξ＝k＝C6.(k.(6－k(k＝0,1,2， (6)(2η＝k(k＝0,1,2，…，5表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(η＝k＝(k·，η＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(η＝6＝(6.所以η的分布列为η0123456 P··(2·(3·(4·(5(6 (3所求概率即P(ξ≥1＝1－P(ξ＝0＝1－(6＝.22．(12分某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人中，任选3人参加学校的义务劳动．(1设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2求男生甲或女生乙被选中的概率；(3设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B和P(B|A．解：(1X的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(X＝0＝＝，P(X＝1＝＝.P(X＝2＝＝.所以X的分布列为X012P(2设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C＝＝；所以所求概率为P(＝1－P(C＝1－＝.(3P(B＝＝＝；P(B|A＝＝＝.23．(12分甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“入市”．若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同．(1求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率；(2求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率．解：(1三人恰好买同一支股票的概率为P1＝10×××＝.(6分(2方法一：三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P2＝10×C×2×＝.由(1知，三人恰好买到同一支股票的概率为P1＝，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.(12分方法二：至少有两人买到同一支股票的概率为P2＝1－＝.(12分24．某市环保局举办2012年“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．(1活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“绿色环保标志”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率；(2现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽．用ξ表示获奖的人数．求ξ的分布列及E(ξ，D(ξ．解：(1设“环保会徽”卡有n张，由＝，得n＝6.故“绿色环保标志”卡有4张．抽奖者获奖的概率为＝.(6分(2ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k＝C k4－k(k＝0,1,2,3,4.ξ01234P4C··3C22C314所以E(ξ＝4×＝，D(ξ＝4××＝.(12分。