随机变量及其分布练习题

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随机变量及其分布习题

第二章随机变量及其分布习题一、填空题1. 设随机变量ξ的分布律为NaK P ==)(ξ（K=1,2, N ）,则常数=a 。

2. 盒内有5个零件，其中2件次品，从中任取3件，用ξ表示取出的次品数，则ξ的概率分布为。

3.设)(x F 是离散型随机变量的分布函数，若______)(==b P ξ，则)()()(a F b F b a P -=<<ξ成立。

4.设离散型随机变量ξ的分布函数为 ⎝⎛≥+<≤-<≤--<=221321110)(x b a x a x ax x F ，且21)2(==ξP ，则___________________,______,的分布律为ξ==b a5. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00)(2x x kex f x则 ____)2(____,)2(____,)21(___,=<===≤<=ξξξP P P k6. 设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，则需要进行的测试次数ξ是一个随机变量，则________)2(______,)5(=≤==ξξP P7. 设随机变量ξ的概率密度为8)1(2)(--=x kex f （+∞<<∞-x ），则=k 。

8. 两个随机变量ηξ，相互独立的充要条件是______9. 设连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0)(x x e x f x，则ξ的函数ξη=的概率密度________)(=y ηϕ 10. 设随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧>><<=其他)0,0(,10)(k b x kx x f b，且________________,,75.0)21(===>b k P 则ξ 二、选择题1 .kk p x P 2)(==ξ)2,1( =k 为一随机变量ξ的分布律的必要条件是（）（A ）k x 非负（B ）k x 为整数（C ）20≤≤k p （D ）2≥k p 2 . 若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则（）一定成立（A ）)(x f 的定义域为[0，1] （B ）)(x f 的值域为[0，1] (C) )(x f 非负(D) )(x f 在），（∞∞-内连续 3.如果)(x F 是（），则)(x F 一定不可以是连续型随机变量的分布函数（）（A ）非负函数（B ）连续函数（C ）有界函数（D ）单调减少函数 4.下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的分布函数(A))(x F = ⎩⎨⎧≥<010x x e x（B ）G(x)= ⎩⎨⎧≥<-01x x e x(C)=Φ)(x ⎩⎨⎧≥-<0100x ex x(D) H(x)= ⎩⎨⎧≥+<-0100x ex x5 . 设）（ηξ, 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他11),(22y x y x f π则ηξ与为（）的随机变量（A ）独立同分布（B ）独立不同分布（C ）不独立同分布（D ）不独立也不同分布三、计算题1. 掷两颗骰子，用ξ表示点数之和，求ξ的概率分布。

《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X xdy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ.8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π 解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数:))2,(m i n (1))2,(m i n ()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m i n (1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m i n (1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m i n(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====P P A P A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p13101311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dxX P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时⎰⎰∞--=-==xdt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤= 当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。

专题练第22练随机变量及其分布

第22练随机变量及其分布1．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p 等于()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3答案 B解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)<P(X＝6)，所以C410p4(1－p)6<C610p6(1－p)4，所以p>0.5，所以p＝0.6.2．(2019·浙江)设0<a<1，则随机变量X的分布列是X 0 a 1P 131313则当a在(0,1)内增大时，() A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案 D解析由题意可知，E(X)＝13(a＋1)，所以D (X )＝(a ＋1)227＋(1－2a )227＋(a －2)227＝6a 2－6a ＋627＝29⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122＋34，所以当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．3．(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等答案 D解析对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误．4．(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 答案 1.96解析由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.6．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P (ξ＝2)＝________，E (ξ)＝________. 答案1635 127解析由题意知ξ的可能取值为1,2,3,4， P (ξ＝1)＝C 26C 37＝1535＝37，P (ξ＝2)＝C 12C 24＋C 22C 14C 37＝1635， P (ξ＝3)＝C 23C 37＝335，P (ξ＝4)＝1C 37＝135，所以ξ的分布列为E (ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与均值．解 (1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ，B ，C ，所以甲学校获得冠军的概率为P ＝P (ABC )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2 ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30，所以P (X ＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P (X ＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P (X ＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P (X ＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06. 则X 的分布列为E (X )＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.8．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与均值E (X )．解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1425211021521142E (X )＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.9．(2022·温州模拟)已知随机变量X 的分布列是X －1 0 1 Pa13b若E (X )＝0，则D (X )等于( ) A ．0 B.13 C.23 D ．1答案 C解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋13＝1，E (X )＝－a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝13，因此，D (X )＝13[(－1－0)2＋(0－0)2＋(1－0)2]＝23.10．(2022·常州模拟)俄国著名飞机设计师埃格·西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了在远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障相互独立．已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则A340飞机引擎的故障率应控制的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫0，23D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析由题意得，飞机引擎正常运行的概率为p ，则A310飞机能成功飞行的概率为C 22p 2＝p 2，A340飞机能成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋C 44p 4＝－3p 4＋4p 3，令－3p 4＋4p 3>p 2，即－3p 2＋4p >1，解得13<p <1.所以0<1－p <23，所以A340飞机引擎的故障率应控制的范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 11．(多选)(2022·重庆质检)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产量已经实现1 100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ，η)均服从正态分布，其中ξ～N (μ1，σ21)，η～N (μ2，σ22)．如图，已知μ1＝1 150，μ2＝1 130，σ21＝2 500，σ22＝1 600，两正态密度曲线在直线x ＝μ2左侧交于点M (x 0，y 0)，则下列说法正确的是( )A ．P (ξ<μ1)<P (ξ<μ2)B ．P (η<μ1)>P (η<μ2)C ．P (ξ>x 0)<P (η>x 0)D ．P (ξ>1 250)>P (η<1 050) 答案 BC解析由图可知P (ξ<μ1)>P (ξ<μ2)，故A 错误；由图可知P (η<μ1)>P (η<μ2)，故B 正确； ∵P (ξ>x 0)＝1－P (ξ≤x 0)，P (η>x 0)＝1－P (η≤x 0)，由图可知P (ξ≤x 0)>P (η≤x 0)， ∴P (ξ>x 0)<P (η>x 0)，故C 正确； μ1＝1 150，σ1＝50，μ2＝1 130，σ2＝40， P (ξ>1 250)＝P (ξ>μ1＋2σ1)， P (η<1 050)＝P (η<μ2－2σ2) ＝P (η>μ2＋2σ2)，根据正态密度曲线的性质和3σ原则，应该有P (ξ>1 250)＝P (η<1 050)，故D 错误． 12．(多选)(2022·唐山模拟)下列说法正确的是( )A ．某投掷类游戏闯关规则是参加游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为12，则闯关成功的概率为3132B ．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为C 15C 314C 415C ．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a i (i ＋1)(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝29D ．若随机变量η～N (2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P (η<2)＝0.5，E (δ)＝6 答案 AC解析选项A,5次都没投中的概率为⎝⎛⎭⎫125＝132.所以闯关成功的概率为1－132＝3132，故A 正确；选项B ，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生分为1名女生、3名男生，2名女生、2名男生，3名女生、1名男生，4名都是女生4种情况．共有C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45＝1 155(种)情况．而C 15C 314＝1 820，所以其中至少有1名女生的概率为C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45C 415≠C 15C 314C 415，故B 不正确；选项C ，由P (X ＝i )＝ai (i ＋1)(i ＝1,2,3)，则a ⎝⎛⎭⎫12＋16＋112＝1，解得a ＝43，所以P (X ＝2)＝43×12×3＝29，故C 正确；选项D ，随机变量η～N (2，σ2)，则P (η<2)＝0.5，E (η)＝2，所以E (δ)＝E (3η＋1)＝3E (η)＋1＝7，故D 不正确．13．(2022·咸阳模拟)经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为________．答案 0.35解析 ∵学生成绩X 服从正态分布X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3， ∵P (X ≥90)＝12[1－P (80<X <90)]＝12(1－0.3)＝0.35， ∴从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35.14．(2022·绍兴模拟)袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立．设此过程中取到红球的个数为ξ，则P (ξ＝1)＝______，E (ξ)＝______. 答案1225 45解析有放回地取球，每次取一球，则每次取到红球的概率为C 12C 15＝25，P (ξ＝1)＝C 12×25×35＝1225，在此过程中取到的红球个数为ξ，ξ的可能取值为0,1,2. 则ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，25，则E (ξ)＝2×25＝45. 15．(2022·武汉模拟)某校高三年级非常重视学生课余时间的管理，进入高三以来，倡导学生利用中午午休前40分钟，晚餐后30分钟各做一套试卷．小红、小明两位同学都选择做数学或物理试卷，对两位同学过去100天的安排统计如下：假设小红、小明选择科目相互独立，用频率估计概率：(1)请预测在今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率；(2)记X 为两位同学在一天中选择科目的个数，求X 的分布列和均值E (X )；(3)试判断小红、小明在晚上做物理试卷的条件下，哪位同学更有可能中午选择做数学试卷，并说明理由．解 (1)由表格数据知，小红中午和晚上都选数学的概率为25100＝14，∴今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率P ＝C 35×⎝⎛⎭⎫143×⎝⎛⎭⎫342＝45512. (2)由表格数据知，小红选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为14，选择物理1科的概率为110；选择2科的概率为1120；小明选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为15，选择物理1科的概率为310；选择2科的概率为25；则X 所有可能的取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×⎝⎛⎭⎫15＋310＋110×⎝⎛⎭⎫14＋110＋14×15＋110×310＝33200， P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－1100－33200＝3340，∴X 的分布列为E (X )＝0×1100＋1×33200＋2×3340＝363200.(3)记事件A 1：小红晚上做物理试卷；事件A 2：小明晚上做物理试卷；事件B 1：小红中午做数学试卷；事件B 2：小明中午做数学试卷；由表格数据可得 P (A 1)＝30100＝310，P (A 2)＝55100＝1120，P (A 1B 1)＝20100＝15，P (A 2B 2)＝25100＝14；∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝15310＝23，P (B 2|A 2)＝P (A 2B 2)P (A 2)＝141120＝511，∵23>511，即P (B 1|A 1)>P (B 2|A 2)， ∴在晚上做物理试卷的条件下，小红更有可能中午选择做数学试卷．16．(2022·桂林模拟)某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化、精细化管理，使得葡萄产量有较大提高．葡萄采摘并去掉残次品后，随机按每箱10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量(单位：kg)，将称量结果分成5组：[1.0，1.2)，[1.2,1.4)，[1.4,1.6)，[1.6,1.8)，[1.8，2.0]，并绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x (残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表)；(2)若这批葡萄每串葡萄的质量X 服从正态分布N (μ，0,04)，其中μ的近似值为每串葡萄质量的平均值x ，请估计10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数；(3)规定这批葡萄中一串葡萄的质量超过1.8 kg 的为优等品，视频率为概率，随机打开一箱，记优等品的串数为ξ，求ξ的均值．附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解 (1)由频率分布直方图可知，0.2(0.4＋1.0＋2a ＋2.0)＝1，解得a ＝0.8. 估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x ＝1.1×0.4×0.2＋1.3×1.0×0.2＋1.5×2.0×0.2＋1.7×0.8×0.2＋1.9×0.8×0.2＝1.524. (2)由题意可知，μ＝1.524，σ＝0.2，所以μ－2σ＝1.124，μ＋2σ＝1.924， μ－σ＝1.324，μ＋σ＝1.724.所以P (1.124<X <1.724)＝P (μ－2σ≤X ≤μ＋σ)＝12[P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＋P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)]≈0.818 6. 所以10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数的估计值为 10 000×0.818 6×10＝81 860.(3)在这批葡萄中随机抽取一串，葡萄的质量超过1.8 kg 的频率为0.8×0.2＝0.16，因此随机打开一箱，再从中随机抽取一串，这串葡萄为优等品的概率为P ＝0.16＝425，依题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…，10，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，425，所以ξ的均值为E (ξ)＝10×425＝85.[考情分析] 高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上．一、分布列的性质及应用核心提炼1．离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n离散型随机变量X 的分布列具有两个性质： (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．2．E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝∑i ＝1nx i p i ；D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i .3．均值、方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )． (2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． (3)X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．练后反馈题目 2 4 7 9 正误错题整理：二、随机变量的分布列核心提炼1．n 重伯努利试验与二项分布X ～B (n ，p )，P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m ＋1，m＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ， m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．练后反馈题目 1 5 6 8 10 12 14 15 正误错题整理：三、正态分布核心提炼正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π.(3)曲线与x 轴之间的区域的面积总为1.(4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．练后反馈题目 3 11 13 16 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下表：ξ 1 a 9 Pb1－2bb其中1<a <9,0<b <12，则下列说法正确的是( )A ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而增大B ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而减小C ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最小值D ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最大值答案 C解析若a ＝5，则E (ξ)＝1×b ＋5×(1－2b )＋9b ＝5，故A ，B 均错误；若b ＝13，则E (ξ)＝1×13＋a ×13＋9×13＝a ＋103，D (ξ)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－a ＋1032＝127(6a 2－60a ＋438)，其对称轴为直线a ＝6012＝5，则a ＝5时，D (ξ)有最小值，故C 正确，D 错误．2．[T12补偿]某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析设小王正确完成的面试题数为X ，则X 的可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 22·C 14C 36＝420＝15；P (X ＝2)＝C 12·C 24C 36＝1220＝35；P (X ＝3)＝C 02·C 34C 36＝420＝15.∴E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.3．[T10补偿](2022·重庆模拟)通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低(低于0.1%)时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.000 5.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当0<p <0.001时，(1－p )n ≈1－np (n ∈N *)，据此计算E (X )∶E (Y )的近似值为( ) A.12 B.1427 C.611 D.59 答案 B解析由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行“10合1”混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为(1－p )10和1－(1－p )10，故10人组检测次数的均值为11－10(1－p )10，相当于每个个体平均检测[1.1－(1－p )10]次，同理，采用“5合1”混检，每个个体平均检测 [1.2－(1－p )5]次，∴E (X )∶E (Y )＝1.1－(1－p )101.2－(1－p )5≈1.1－(1－10p )1.2－(1－5p )＝0.1＋10p 0.2＋5p ＝0.1＋0.0050.2＋0.002 5＝1427.4．[T6补偿]盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案 131解析当ξ＝0时，有两种情况：第一种为第一次拿到红球，第二种为第一次拿到绿球，第二次拿到红球，故P (ξ＝0)＝14＋14×13＝13.当ξ＝1时，有三种情况，即黄红、绿黄红、黄绿红，故P (ξ＝1)＝24×13＋14×23×12＋24×13×12＝13.当ξ＝2时，有四种情况，即黄黄红、黄绿黄红、绿黄黄红、黄黄绿红，故P (ξ＝2)＝24×13×12＋24×13×12＋14×23×12＋24×13×12＝13.所以E (ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.5．[T8补偿]某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响． (1)当p ＝15时，①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X ，求X 的分布列和均值；(2)乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p (0<p <1)的最小值．解 (1)①记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲自己答对”，则P (A )＝12＋12×15＝35，P (AB )＝12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1235＝56.②根据题意得，X 的可能取值为0,1,2,3,4，甲答对某道题的概率P (A )＝12＋12×15＝35，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35， P (X ＝k )＝C k 4×⎝⎛⎭⎫35k ×⎝⎛⎭⎫254－k (k ＝0,1,2,3,4)，故随机变量X 的分布列为E (X )＝4×35＝125.(2)记事件A i 为“甲答对了i (i ＝0,1,2)道题”，事件B i 为“乙答对了i (i ＝0,1,2)道题”，其中甲答对某道题的概率为12＋12p ＝12(1＋p )，答错某道题的概率为1－12(1＋p )＝12(1－p )，则P (A 1)＝C 12×12(1＋p )×12(1－p ) ＝12(1－p 2)， P (A 2)＝⎣⎡⎦⎤12(1＋p )2＝14(1＋p )2， P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫132＝19， P (B 1)＝C 12×23×13＝49，所以P (A 1B 0∪A 2B 1∪A 2B 0)＝12(1－p 2)×19＋14(1＋p )2×49＋14(1＋p )2×19＝136×(3p 2＋10p ＋7)≥1536，又0<p <1，所以23≤p <1，则p 的最小值为23.。

第二章《随机变量及其分布》作业

第二章《随机变量及其分布》作业班级学号姓名一、单项选择题1. 设连续随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，；,020,2)(x x x f 则P {－3≤X ≤1}＝ ( ) (A). 0(B). 0.25(C). 0.5(D). 12.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}21===X P X P , 则λ=( )(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3; (D) 4. 3.设随机变量),(~2σμN X ，则=≤≤)(b X a P （）).(A )()(b a Φ-Φ； ).(B )()(b a Φ+Φ； ).(C )()(σμσμ-Φ--Φb a ； ).(D )()(σμσμ-Φ--Φa b .4. 若4重伯努利试验中，事件A 至少发生一次的概率为8165，则在一次试验中，事件A 发生的概率为（）).(A 1； ).(B 32； ).(C 41； ).(D 43.5. 设随机变量，且，则c=（）．0 ；；；．二 .填空题1.已知随机变量只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是，则2.则X 的分布函数为=)(x F .),(~2σμN X )()(c X p c X p >=≤)(A )(B μ)(C μ-)(D σX c c c c 161,81,41,21=c3.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它021)2(10)(x x k x kx x f ,则k= ; ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2321X P = .4.某高速公路一天的事故数X 服从参数3=λ的泊松分布,则一天内没有发生事故的概率是5.设离散型随机变量X 的分布列为则随机变量函数 Y =()21+X 的分布列是6．设随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,求方程012=++x x ξ有实根的概率 .7.已知ξ服从)4,150(2N ，则140(P ＜=≤)160ξ ，=≤)150(ξP 。

随机变量及其分布_真题(含答案与解析)-交互

随机变量及其分布(总分102, 做题时间90分钟)一、单项选择题(每题的备选项中，只有1个最符合题意)1.下列关于“右偏分布”的表述错误的是( )。

SSS_SINGLE_SELA 右偏分布是正态分布的形式之一B 符合右偏分布的随机变量大量取值在左边，少量分布在右边C 符合右偏分布的随机变量少量取值在左边，大量分布在右边D 随机变量的分布很散分值: 1答案:B[解析] 对数正态分布的特点之一就是“右偏分布”，符合右偏分布的随机变量的取值大量在左边，少量取值在右边，并且很分散。

2.对于产品的某个质量特性X的不合格品率，在计算之前需要知道的条件有( )。

SSS_SINGLE_SELA产品质量特性X的分布，在过程受控情况下X的分布常为正态分布(μ，σ2)，这是稳定过程的概括B 某个公认标准对产品特性的要求C 企业对产品下达的任务书D X低于下规范限的概率和X高于上规范限的概率分值: 1答案:A[解析] 产品某个质量特性X的不合格品率的计算要知道两件事：①质量特性X 的分布，在过程受控情况下，X的分布常为正态分布N(μ，σ2)，这是稳定过程的概括；②产品的规格限，包括上规格限TU 和下规格限TL。

3.设某二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数P=( )。

SSS_SINGLE_SELA 0.1B 0.3C 0.7D 0.9分值: 1答案:A[解析] 此二项分布记为b(n，p)，则E(X)=np，Var(X)=np(1-p)，根据题意，代入数据可得np=3，np(1-p)=2.7，所以p=0.1。

4.对下列常见密度函数所对应的方差的形式正确的一项是( )。

SSS_SINGLE_SELA 两点分布b(1,的方差：np(1-B 超几何分布h(n，N，的方差：n(N-/(N-1)•(M/(1-(M/)C均匀分布U(a，的方差：(b+ 2/12D对数正态分布LN(μ，σ2)的方差：分值: 1答案:B[解析] A项两点分布的方差为p(1-p)；C项均匀分布的方差为(b-a)2/12；D项对数正态分布的方差为。

第二章随机变量及其分布习题

第二章随机变量及其分布习题(1)随机变量及其分布1.一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律2.分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数.（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.0,1,02,21,2,0)(x x x x F （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,sin ,0,0)(ππx x x x x F （3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=.21,1,210,21,0,0)(x x x x x F 3.盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取1个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数.4.已知随机变量X 的概率密度为||1()2x f x e -=，x -∞<<+∞.求X 的分布函数.5.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01,1)(2x x c x f ，试求：（1）常数c ；（2）}210{≤≤X P ；（3）X 的分布函数.6.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，求（1）P (X<2),P {0<X ≤3},P (2<X<25)；（2）求概率密度f X (x ).7.设随机变量X 的概率密度)(x f 为（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π，（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f 求X 的分布函数F (x )，并作出（2）中的f (x )与F (x )的图形。

8.设随机变量X 的分布律为（0>α为参数）2,1,1)(===k ak X P k 求（1）(5)P X ≥；（2）(3)P X 为的倍数。

随机变量及其分布函数习题

第2章随机变量及其分布习题 21．设有函数⎩⎨⎧≤=其它，,0,0,sin )(πx x x F试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。

解：不能，易知对21x x <，有：),()(}1{}{}{12221x F x F x X P x X P x X x P -=<-<=<<又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。

然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。

2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。

在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。

解：X 的可能值为3，4，5，6，7。

在7只篮球中任取3个共有37C 种取法。

}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37=⋅⋅⋅⋅===C X P}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C 种取法，故35356732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C 种取法，故3565673212134)5(3724=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有25C 种取法，故35105673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ，}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C 种取法，故35155673212156)7(3726=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。

3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1kkp p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布函数，并作出其图形。

专题10计数原理、概率、随机变量及其分布

专题10计数原理、概率、随机变量及其分布一、单选题1．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A ．14B ．13C ．12 D ．232．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（）A ．6B ．6-C ．12D ．12-二、多选题3．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><三、填空题4．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.5．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数中的最大值为． 6．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为． 7．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为． 8．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．四、解答题9．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 10．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）。

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随机变量及其分布练习
题
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第二章随机变量及其分布练习题
1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是，乙击中目标的概率是，则两人都击中目标的概率是（）Ａ．
Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
2．设随机变量1
~62X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，则(3)P X =等于（）
Ａ．
516
Ｂ．
316
Ｃ．5
8
Ｄ．
716
3．设随机变量X 的概率分布列为
X 1
2
3
P
则E (X ＋2)B ．
4．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（）Ａ．ab
Ｂ．a b +
Ｃ．1ab -
Ｄ．1a b --
5．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是,,，则三人中至少有一人达标的概率为( )
A ．
B ．
6．设随机变量~()X B n p ，，则2
2
()()DX EX 等于（）
Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p -
7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出
2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )．
8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()．
9．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()．
p B．1－p C．1－－p
10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝.若μ＝4，σ＝1，则P(5<X<6)＝()
A．B．
C．D．
11．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为，则本次比赛甲获胜的概率是()．
A．．．．
12．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x 12 3
P(ξ＝x)！
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“”
处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________．
13．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接
正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件
“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇
形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________．
14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为个，方差为．
15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________．16．在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球．如果不放回地依次取两个球，求在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率．
17．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．
(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学
期望．
18．某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：
电话
同时
打入个
数x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
概率p 0．1
3
0．3
5
0．2
7
0．14 0．08 0．02 0．01 0 0
（1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）
①求至少一路电话不能一次接通的概率；
②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．
（2）求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数X的均值．
19．某仪表厂从供应商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行质量检测，若3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批元器件逐个检查．
(1)若该批元器件的不合格率为10%，求需对这批元器件逐个检查的概率；
(2)若该批元器件的不合格率为20%，求3件中不合格元器件个数的分布列
与期望．
20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
该商品3件，当天营业结束后检查存货．若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数．求X的分布列和数学期望．21.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为,,,,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.。