2019届南师附中 天一中学 海门中学 淮阴中学高三下学期期初四校联考 数学试题 附加题 含答案

得：

x1 x2

m m

x1 x2
所以


x1 m x1
x2 m

x2
所以 x1 m x2 m 2x1x2 m(x1 x2 )
x1
x2
x1x2
由题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB : y k (x m)
点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cosθ，求线段 PC 长的最大值．
C．[选修 45：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知 x＞0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y．
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【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x2＝2py(p＞0)，过点 P(m，0)(m≠0)的直线 l 与抛
数学Ⅱ（附加题）第 3页 （共 4 页）
【必做题】
22．解：（1）∵直线 l 的方程为 y 1 x 1 3
令 x 0 ，则 y 1，即 Q(0,1) ∴ p 1得： p 2
2
∴抛物线 C 的标准方程为 x2 4 y
…………………………… 4 分
（2）设 A(x1,y1),B(x2, y2) 由 PA QA, PB QB(, R)
（2）由（1）得：
A

1

2
1 0
所以 det( A) 1 1 2 0 20
0
所以逆矩阵
A1


2

1 2



0
1
2


2 2
1 2
1
1 2
………………10 分
B．解：由 2 cos 得： 2 2 cos ∴ x2 y2 2x 0 ，即 (x 1)2 y2 1 ∴ C(1, 0) 设点 P(cos , 2 2 cos ) ，
当 n≤503，成立；当 504≤n≤1008 时，不成立； 当 n≥1009 时，不成立；即 a1＜a2＜a3＜…＜a503＜a504＞a505＞…＞a2018，
即 (an )max
a504

C 504 2019
31515 1 2
．
…………………………… 10 分
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21

C2019n 2019n

20

Cn 2019
32019n 2
1
…………………………… 6 分
数学Ⅱ（附加题）第 4页 （共 4 页）
②
an1 an

C n1 2019
Cn 2019
32018n 2
32019n 2
1 1

(2019 n)(32018n 1) (n 1)(32019n 1)
∴ | PC | (cos 1)2 (2 2 cos)2 ∴当 cos 1 时， PC 有最大值 4.
5cos2 6 cos 5
………………3 分 ………………10 分
C．证明：因为 x＞0，所以 x3＋2 ＝ x3＋1＋1 ≥ 33 x3×1×1 ＝ 3x，

x2 2 py( p y k(x m)
0)
得：
x2

2
pkx

2
pkm

0
0
所以
x1

x2

2 pk
x1x2 2 pkm
故 2x1x2 m(x1 x2 ) 4 pkm 2 pkm 1
x1x2
2 pkm
即 为定值为 1.
写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
21．【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．
A．[选修 42：矩阵与变换] （本小题满分 10 分） 已知 m∈R，矩阵 A＝ －1 1 的一个特征值为－2．
m0 （1）求实数 m； （2）求矩阵 A 的逆矩阵 A－1．
B．[选修 44：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E: {x＝cosθ， y＝2＋2cosθ（θ为参数）上的一
…………………………… 10 分
23．解：（1） a1 3 4 12, a2 3 ；
…………………………… 2 分
（2）
①
an
Cn 2019来自C (2 02019n
2019n
1)

C1 2019n
22018n

...

Ck 2019n
2
22019kn

...

C2018n 2019n
2019 届期初数学学科调研测试试卷
数学 II（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 2 页，均为解答题（第 21~23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分
钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填
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江苏省海门中学 2019 年期初数学学科调研测试试卷
数学 II（附加题）参考答案
21．【选做题】
21．A．解析：（1）
f
()

1 m
1
=(
+1)

m
因为 2 是一个特征值，所以 f (2) 0
所以 m 2 ．
……………………………5 分
→ →→ → 物线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 Q，设 PA ＝λQA， PB ＝μQB (λ，μ∈R)． （1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y＝1x＋1，求抛物线 C 的标准方程；
3 （2）求证：λ＋μ为定值．
（第 22 题） 23．（本小题满分 10 分） 设集合 M＝{1，2，3，…，m}，集合 A，B 是 M 的两个不同子集，记|A∩B|表示集合 A∩B 的元 素个数．若|A∩B|＝n，其中 1≤n≤m－1，则称(A, B)是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A，B）与（B， A）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 an． （1）当 m＝3 时，求 a1，a2； （2）当 m＝2019 时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项．

1，
化简，得 (1008 2n) 32018n 1009 n ，
当 n 503 ，成立； 当 504 n 1008 时，不成立； 当 n 1009 时，不成立；
即 a1 a2 a3 ... a503 a504 ．
a504 a505 a506 ... a2018
当且仅当 x3＝1，即 x＝1 时取“＝”．
…………… 4 分
因为 y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以 y2＋1≥2y，
当且仅当 y＝1 时取“＝”．
…………… 8 分
所以 (x3＋2)＋(y2＋1)≥3x＋2y，
即 x3＋y2＋3≥3x＋2y，当且仅当 x＝y＝1 时，取“＝”．
…………… 10 分