高一数学简单的三角恒等变换1 (2)
高一数学简单的三角恒等变换1 (2)
三
幸福的时光总在指尖溜走。而随着时间的推移，看着人们由忙碌的喧嚣到静寂的安详，人们重又拾起劳作的农具，地里的身影开始多了，人们脸上的笑容少了。我纳闷地发现，暗暗地忧伤，难道只 是年走了吗？！有道是年好过春难捱。春长着呢，过年把钱花得差不多了，只能紧巴巴过日子。母亲的脸上堆着忧愁。何时儿子长大，替母亲拂去这忧愁。
分家后，我家和二叔过年轮流款待客人。而父亲准备好饭菜，必多买几样海鲜让姑父和姑们尝尝。虽然我知道他并没有钱。父亲为人实在，未说话先带笑，很得同村的人缘。
大年里没有烦恼，没有压力，没有孤独，没有想念，没有触不可及。灵魂常常在忙碌中被忽略，需要这样的日子来总结我们灵魂里的一切，继往开来承前启后。期待新年的风，会吹醒大地山川，带 来及时雨，吹开诗情画意。
爷爷是个好酒场的人，今朝有酒今朝醉，明日有愁明日忧。每逢过年五个女婿一起来看他。他必醉，舌头拉得老长，非要每个女婿喝酒，必须要尽兴。为此奶奶没少和他吵架，喝醉酒的爷爷总把奶 奶痛骂。女婿们如果不喝，爷爷准不高兴，说这个批那个，惹得大家不欢而散。爷爷总面对着众人说我，以后等你有钱了，买了肉还是你自己吃，别人能沾上多少光。而我在一边想，爷爷怎么把我当外 人呢？一种只赢不输的赌法
高一数学简单的三角恒等变换1 (2)
对一个卑微地活在世界上的残障人，有时候，世人的目光和话语如一把利刃插在别人的胸口，鲜血淋漓，汩汩而流，惨不忍睹。
为什么？身体已经备受药物的摧残，而心灵的深处却得不到点滴的安慰呢？
经历过无数次的悲伤哭泣和无声呐喊之后。我发现这丝毫也起不了作用，唯有自强自立，唯有战胜病魔，战胜自己，才是唯一的出路。如同祥林嫂一般的絮絮叨叨，只能令人生厌，成为人家的笑谈。
在这里，不禁想起以前看到的一段话:“每个人被命运碾压的疼痛感是一样的，对生活的无可奈何也是一样的。庆幸的是我们每个人独自在黑暗中行走时，你的隐忍，你的积极，你努力抵抗世界的姿 态。都会成为一抹阳光，照亮自己的人生。只要清醒而不盲目，知足而不满足，你定能抵达你想去的地方”。
走过尘明明灭灭的灯火，越过人间山重水复的流年。我已告别昨日的伤与痛，抹去脸上的泪水，拍去身上的灰尘，再一次勇敢的站起来了。破碎重生过那么多次，才能走到今天，当然要足够珍惜 自己，珍惜当下。做一个快乐而坚强的劫后余生的傻瓜。
简单的三角恒等变换
即
1 sin cos sin sin 2
证明（２）：由（１）得
sin sin 2sin cos
①
设 那么
,
2
,
2
把 , 的值代入①式中得
解： y sin x 3 cos x 这种形式我们在前面见过，
1 3 y sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin x 2 2 3
所以，所求的周期 T
2
2
最大值为２，最小值为-2
2
1 cos tan 2 1 cos
2
例2、求证 :
1 ( 1 ) sin cos [sin( ) sin( )]; 2 ( 2 ) sin sin 2 sin cos . 2 2
证明：（１）因为
sin
§ 3.2 简单的三角 恒等变换
引入
学习和（差）公式，倍角公式以后，我
们就有了进行变换的性工具，从而使三角
变换的内容、思路和方法更加丰富，这为
我们的推理、运算能力提供了新的平
台．下面我们以习题课的形式讲解本节内
容．
举例
例1、试以 cos 表示 sin .
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
1 cos 1 cos 2 sin cos 2 2 2 2
和Leabharlann sin 是我们所学习过的知识，因此我们从等式
高一数学简单的三角恒等变换1 (2)
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高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.(12分)（１）求的值．（２）若，,，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】(1)原式……6分（2），①②①-②得，. ……12分【考点】本小题主要考查利用和差角公式、同角三角函数基本关系式等求三角函数值，考查学生的运算求解能力.点评：解决给值求值问题时，要尽量用已知角来表示未知角.2.设－3π<α<－，则化简的结果是()A．sin B．cosC．－cos D．－sin【答案】C【解析】∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.3.已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－B．C．－a D．a【答案】C【解析】法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.4.若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.【答案】【解析】∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝＝＝.5.求sin42°－cos12°＋sin54°的值．【答案】【解析】sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝＝＝＝＝.6.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.7.的值为()A．2＋B．C．2－D．【答案】C【解析】sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.8.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.9.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是() A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.10.若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝()A．－1B．1C．－D．【答案】B【解析】∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，选B.11.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.12.若π<α<，化简＋.【答案】－cos【解析】∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝＋＝－＋＝－cos.13. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.14.已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为() A．－1B．－1或－C．－D．±【答案】C【解析】∵0<α<， <β<π，∴<α＋β<π，∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－，故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.＝________.【答案】【解析】＝cos cos－sin sin＝cos cos＋sin sin＝cos＝cos＝.17.已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α为锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.18.函数y＝cos x＋cos的最大值是________．【答案】【解析】法一：y＝cos＋cos＝cos·cos＋sin sin＋cos＝cos＋sin＝＝cos＝cos≤.法二：y＝cos x＋cos x cos－sin x sin＝cos x－sin x＝＝cos，当cos＝1时，y＝.max19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。
高中数学简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、三角恒等式的证明例1 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sinθ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练1 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．二、三角恒等变换的综合问题例2 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 三、三角函数的实际应用例3 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 连接OB (图略)，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. 反思感悟 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 答案 D解析 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.3．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.4．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.5．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， ∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.1．知识清单： (1)半角公式； (2)辅助角公式；(3)三角恒等变换的综合问题； (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：换元思想，化归思想．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4.6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.7．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.答案 ±35解析 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 tan x2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x2.9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．解 因为θ∈(π，2π)， 所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin θ2＝1－cos θ2＝45， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35， 所以sin θ2＋cos θ2＝15.10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.32 D ．3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.12．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________. 答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.13．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0， 即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1， 所以－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π.14．函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递增区间是________． 答案 π ⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z 解析 y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．15．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 答案 12解析 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2， 所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13， 所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12， 即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解 如图所示，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC的中点，在Rt △ONC 中，CN ＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3CN ＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2CN ＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3. 因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3. 故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值， 此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
简单的三角恒等变换 课件
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
高中数学三角恒等变换
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1
知识梳理
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ，(C(α＋β))
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，(S(α－β))
7 － 5
.
答案
解析
2 2 cos α － sin α cos 2α ＝ ＝cos α－sin α， π 2 2 2sinα＋ 2 sin α＋ cos α 4 2 2 3 π ∵sin α＝ ，α∈( ，π)， 5 2 4 7 ∴cos α＝－ ，∴原式＝－ . 5 5
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(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为 答案
2 A.－ 2 2 B. 2 1 C. 2 1 D.－ 2
解析
由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
tan A＋tan B 可得 ＝－1，即 tan(A＋B)＝－1， 1－tan Atan B 3π 又 A＋B∈(0，π)，所以 A＋B＝ ， 4 π 2 则 C＝ ，cos C＝ . 4 2
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引申探究
θ θ 1＋sin θ－cos θsin －cos 2 2 化简： (0<θ<π). 解答 2－2cos θ
θ π θ ∵0< < ，∴ 2－2cos θ＝2sin ， 2 2 2
例2 2 5 A. 25 5 3 (1)设 α、β 都是锐角，且 cos α＝ ，sin(α＋β)＝ ，则 cos β 等于 5 5
答案 解析
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好男儿志在四方。为穷人打天下，胡发坚策马扬鞭。无奈，身在外，信难通，英雄碧血战苏南，捐驱赴国难，视死忽如归。当时的境况，家中无从留下胡发坚的只字半信，甚至解放后多年，关于胡 发坚烈士的英雄事迹仍然尘封。幸有历史对死难烈士的尊重，幸有共产党人的不忘初心和使命，幸有两位与胡发坚过命而念念不忘的战友。 新2备用网址
画册为解放军出版社2010年12月出版的《杨得志画传》，史书为解放军出版社1992年出版的《杨得志回忆录》。地方党史和军史资料记载，1930年，胡发坚和同村的胡发鑫等六名青年一起参加吉泰 游击队。数月后，游击队编入红四军第十一师第二团。胡发坚随部队转战赣西南，参加中央苏区粉碎国民党军“围剿”作战，因多次勇敢而机智地完成任务，很快由班长升任排长、连长。是年冬，一手 举枪、一手攀扶峭石杂树的胡发坚带领连队向敌展开反复拼杀，火速夺回被敌占领的九寸岭、观音崖制高点，此山就在他的家乡富田和邻乡东固之间。有学者研究，胡发坚祖上三代务农，原本他也会是 一个农民，然而，他的命运却因为共产党而改变了。虽然没有上过正规军校，但军事能力不俗，常常以少胜多，立下赫赫战功，在短短的一年之内，胡发坚便升为团政委，这在当时也是非常罕见的。在 战争中成长才干，在战争中学会战争，胡发坚堪为军中典范。