人教版初中数学不等式与不等式组知识点及习题总汇

初中数学七年级知识点总结09不等式与不等式组

【编者按】本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。

一．知识框架

二、知识概念

1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

6.不等式：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x ＜3，5x≠5等。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

7.解不等式可遵循的一些同解原理

主要的有：

①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）

③如果不等式F（x）0，那么不等式F(x)H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解

8.定理与性质

不等式的性质：

①如果x>y，那么yy；（对称性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法则）

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz

⑤如果x>y，z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y，z<0,那么x÷z

⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)

⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn

⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）

x

x D

C B A 3③

□▲○○○一、 选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）

1.下列不等式是一元一次不等式的是（ ）

A. x 2－9x ≥x 2＋7x －6

B. x ＋ ＜0

C. x ＋y ＞0

D. x 2＋x ＋9≥0

2.x 的2倍减3的差不大于1，列出不等式是（ ）

A. 2x －3≤1

B. 2x －3≥1

C. 2x －3＜1

D. 2x －3＞1

3.根据下列数量关系，列出相应的不等式，其中错误的是（ ）

A. a 的与2的和大于1：a ＋2＞1

B. a 与3的差不小于2：a －3＞2

C. b 与1的和的5倍是一个负数：5（b ＋1）＜0

D. b 的2倍与3的差是非负数：2b －3≥0

4.如图，在数轴上表示－1≤x ＜3正确的是（ ）

5.若a 为有理数，则下列结论正确的是（ ）

A. a ＞0

B. －a ≤0

C. a 2＞0

D. a 2＋1＞0

6.下列四个命题中，正确的有（ ）

①若a ＜b ，则a ＋1＜b ＋1；②若a ＜b ，则a －1＜b －1；③若a ＜b ，则－2a ＞－2b ； ④若a ＜b ，则2a ＞2b.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

7.设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次

情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）

A.○□△

B.○△□

C.□○△

D.△□○

8.若不等式ax ＞b 的解集是x ＞ ，则a 的取值范围是（ ）

A. a ≥0

B. a ≤0

C. a ＞0

D. a ＜0

9.若a ＞b ，且c 是有理数，则下列各式正确的是（ ）

① ac ＞bc ②ac ＜bc ③ac 2＞bc 2 ④ac 2≥bc 2 ⑤ ＞

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

10.3x －7≥4（x －1）的解集是（ ）

A. x ≥3

B. x ≤3

C. x ≥－3

D. x ≤－3

11.若不等式组 的解集为x ＞a ，则a 的取值范围是（ ）

A. a ＜3

B. a ＝3

C. a ＞3

D. a ≥3

12.已知不等式①、②、③的解集在数轴上表示如图所示，则它们公共部分的解集是（ ）

A.－1≤x＜3

B. 1≤x＜3

C. －1≤x＜1

D. 无解

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

13.不等式1－2x＜6的负整数解为.

14.若mx＞my，且x＞y成立，则m 0.

15.下列结论：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ac＞bc，则a＞b；③若a＞b，且c＝d，则

ac＞bd；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中正确的有（填序号）.

16.三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是.

17.不等式5x－9≤3（x＋1）的解集是.

18.不等式1≤3x－7＜5的整数解是.

19.一次数学基础知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣

1分，在这次竞赛中，某同学获得优秀（90分或90分以上），则这位同学至少答对了道题.

20.如果一元一次不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是.

三、解答题（本大题共52分）

21.（本小题5分）x是什么值时，代数式5x＋15的值不小于代数式4x－1的值？

22.（每小题3分，计12分）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

⑴3（2x＋5）＞2（4x＋3）⑵10－4（x－4）≤2（x－1）

26.（本小题5分）星期天，小华和7名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮

料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完.有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？

27.（本小题4分）先阅读，再练习.

⑴①如果a－b＜0，那么a＜b；

②如果a－b＝0，那么a＝b；

③如果a－b＞0，那么a＞b.

⑵由⑴中的结论你能归纳比较a，b大小的方法吗？请你用文字语言叙述出来.

⑶试用⑴中的方法比较3x2－2x＋7与4x2－2x＋7的大小.

1、不等式组

1

2

x

x

<

?

?

>-

?

的解集是

2、将下列数轴上的x的范围用不等式表示出来

3、

34125x +-<≤的非正整数解为 4、a>b,则－2a －2b.

5、3X ≤12的自然数解有 个.

6、不等式12

x ＞－3的解集是 。 7、用代数式表示，比x 的5倍大1的数不小于x 的2

1与4的差 。 8、若(m-3)x<3-m 解集为x>-1,则m .

9、三角形三边长分别为4，a ，7，则a 的取值范围是 10、某次个人象棋赛规定：赢一局得2分，平一局得0分，负一局得反扣1分。在12局比赛中，积分超过15分就可以晋升下一轮比赛，小王进入了下一轮比赛，而且在全部12轮比赛中，没有出现平局，问小王最多输 局比赛

二、选择题 11、在数轴上表示不等式x ≥－2的解集，正确的是（ ）

A B C D

12、下列叙述不正确的是( )

A 、若x<0，则x 2>x

B 、如果a<-1，则a>-a

C 、若43-<-a a ，则a>0

D 、如果b>a>0，则b

a 11-<- 13、设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小．．．．

的顺序排列为（ ）

A 、 ○□△

B 、 ○△□

C 、 □○△

D 、 △□○

14、天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A

的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ）

15、代数式1-m 的值大于-1，又不大于3，则m 的取值范围是( )

.13.31.22.22A m B m C m D m -<≤-≤<-≤<-<≤

16、不等式

45111

x -<的正整数解为( ) A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 0 0 1 2 B 0 A A 0 1 2 A 2 1 C 1 D

17、不等式组2.01x x x >-??>??

的解集是( )

.1.0.01.21A x B x C x D x >-><<-<<

18、如果关于x 、y 的方程组322x y x y a +=??-=-?

的解是负数，则a 的取值范围是( )

A.-4

B.a>5

C.a<-4

D.无解

19、若关于x 的不等式组()202114x a x x ->???+>-??

的解集是x>2a,则a 的取值范围是( )

A. a>4

B. a>2

C. a=2

D.a≥2

20、若方程组2123

x y m x y +=+??+=?中，若未知数x 、y 满足x+y>0,则m 的取值范围是

( )

.4.4.4.4A m B m C m D m >-≥-<-≤-

三、解答题

1、解下列不等式(或不等式组)，并在数轴上表示解集。

（1）2x －3<6x ＋13； （2）2（5x －9）≤x+3（4－2x ）.

（3） ???>-+->-01243273x x x （4）()43321311522

x x x x -<+???->-??

2、在下列解题过程中有错，请在出错之处打个叉，并给予纠正。

x x 416)1(3+>+--

解： x x 4163+>+-- 6314-+>--x x

25->-x

5

2

参考答案：

一、1.A；2.A；3.B；4.D；5.D；6.C；7.A；8.C；9.A；10.D；11.D；12.B；

二、13. －2，－1；14.m＞0；15. ④；16.3＜a＜11；17.x≤6；18. 3；19. 24；20.a≥3；

三、21. x≥16；22.①x≤－，②x≥，③x＞1，④x≤；

23.①x＞1，②1≤x≤3，③－4＜x＜，④0＜x＜1；

24.不等式组的解集是－2＜x≤1，整数解为－1，0，1；

25. ＜k＜；

26.解：设购买可乐x杯，奶茶y杯

则2x＋3y＝20

整数解为: ，，

∴有三种购买方式. 一种是购买1杯可乐和6杯奶茶，二种是购买4杯可乐和4

杯奶茶，三种是购买7杯可乐和2杯奶茶.

27.⑵我们通常把两个要比较的对象数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的

大小.

⑶（3x2－2x＋7）－（4x2－2x＋7）＝－x2≤0

∴3x2－2x＋7≤4x2－2x＋7.