2-3 数据的拟合及积分微分方程求解2解析
微分方程的数值解法
法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础： 数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
第一部分 常微分方程初值问题的数值解法
自然界与工程技术中的许多现象，其数学表 达式归结为常微分方程定解问题。 一些偏微分方程问题可以转化为常微分方程 问题来（近似）求解。 常微分方程的数值解法为偏微分方程的数值 解法提供了可供借鉴的思路。 常微分方程数值解法主要分为两大部分：
三 线性多步公式建立的基本思想
利用前面多步的信息计算 un k，以获得较 高精度的数值公式。
设 t n t0 nh ，u (t n ) 的近似值为 u n ,并记 f n f (t n , un )，k步线性多步方法一般形式为
0un 1un 1 k un k h( 0 f n 1 f n 1 k f n k )
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 , x ˆ2 ) 若 4 A( x1 , x2 )C ( x1 , x2 ) B ( x 为椭圆型偏微分方程
二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含 有两个以上自变量的非线性高阶偏微分方程。
初值问题的数值方法 边值问题的数值方法
这里只介绍初值问题。
目的：建立一阶常微分方程初值问题的数值解法。 模型
du f (t , u (t )) dt u (t0 ) u0 t0 t T
设初值问题的解析解 (理论解) 用 u (t n ) 表 示，数值解法的精确解用 u n 表示。其中n=1, 2, ，t n t n 1 hn 。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解u(t)在点列 t n t n 1 hn 上的近似值 u n (n 0, 1, ) 。 以下设 hn不变，记为h。
微分方程的解析解和数值解
微分方程的解析解和数值解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了物理、工程、经济等领域中许多现象和过程。
解析解和数值解是求解微分方程的两种常见方法。
本文将从解析解和数值解两个方面介绍微分方程的求解方法，并分析它们的优缺点。
解析解是指能够用已知的数学函数表达出来的微分方程的解。
它通过变量分离、直接积分、常数变易等方法求得。
解析解具有形式简洁、具有普适性和精确性等特点。
例如，二阶线性常系数齐次微分方程可以通过特征方程的求解得到解析解。
解析解的求解过程通常需要运用复杂的数学技巧和方法，因此对于一些复杂的微分方程，可能难以求得解析解。
数值解是指通过数值计算的方法求解微分方程的解。
数值解的求解过程通常基于离散化方法，将微分方程转化为差分方程，并利用数值计算的方法进行求解。
数值解具有计算简单、适用范围广和可自动化计算等特点。
例如，常见的数值解方法有Euler方法、Runge-Kutta方法等。
数值解的求解过程通常需要选择合适的步长和计算精度，以保证计算结果的准确性。
解析解和数值解在求解微分方程时各有优势和适用范围。
解析解适用于形式简单、已知解的微分方程，能够给出精确的解析结果，有助于深入理解微分方程的性质和规律。
然而，随着微分方程的复杂度增加，求解解析解的难度也会增加，有时甚至无法获得解析解。
这时就需要借助数值解的方法来求解微分方程。
数值解适用于各种类型的微分方程，无论是线性方程还是非线性方程，无论是常微分方程还是偏微分方程。
数值解方法可以通过逐步逼近的方式来求得近似解，可以通过调整步长和计算精度来控制计算结果的准确性。
数值解方法的实现相对简单，只需要编写相应的计算程序即可。
然而，数值解方法的计算结果通常是近似解，存在一定的误差。
此外，数值解方法的计算量较大，对计算资源的要求较高。
解析解和数值解是求解微分方程的两种常见方法。
解析解适用于形式简单、已知解的微分方程，能够给出精确的解析结果；而数值解适用于各种类型的微分方程，能够通过数值计算的方式求得近似解。
微分方程的解析解、数值解和图形解
缺点
线性多步法的稳定性较差，对初值敏感，需要选择合适的步长和算法参数以保证计算稳定 性。
线性多步法
线性多步法
一种通过利用前面多个步长的信息来预测下一个步长的数值解方法。其基本思想是将微分 方程转化为差分方程进行求解。
应用
相平面法常用于分析微分方程的平衡点、稳定性、周期解 等问题。通过观察相平面图，可以判断微分方程的解是趋 于稳定还是发散，以及是否存在周期解等。
相平面法
01
定义
相平面法是研究一阶和二阶常微分方程的一种图解法，通 过在相平面上绘制微分方程的解曲线，可以直观地了解解 的性质和动态行为。
02 03
原理
步骤
将微分方程化为可分离变量的形式，对两边同时积分， 解出未知函数。
分离变量法
原理
通过把微分方程中的变量进行分离，使得方程两边分 别只含有一个变量，然后对两边同时积分求解。
适用范围
适用于一阶线性微分方程、齐次微分方程等可分离变 量的微分方程。
步骤
将微分方程化为可分离变量的形式，对两边同时积分， 解出未知函数。
目录
PART 01
微分方程基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
PART 01
微分方程基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
微分方程定义与分类
微分方程定义
描述未知函数与其导数之间关系的数 学方程。
分类
根据方程中未知函数的最高阶导数， 可分为一阶、二阶等；根据是否线性， 可分为线性与非线性微分方程。
然后利用全微分的性质求解。
拟合及微分方程数值解法 ppt课件
26
3、关于矩阵的提取，:运算
取矩阵a第三行
取矩阵a第1、2行与第2、 3列交叉点的数
将矩阵a所有元素作一列
2021/2/5
27
Matlab使用
1、matlab使用环境
2、四则运算与一些常用函数
3、关于矩阵提取
4、图形功能
5、M-文件编写
2021/2/5
28
二维图形功能（一）
plot: x轴和y轴均为线性刻度 注： 1、图形颜色：y(黄) k(黑) w(白) b(蓝) g(绿) 2、线条形状：-(实线） -.（点虚线） --（虚线） 3、数轴范围调整：axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) 3、图形的各种注解与处理：
5、定义函数: function y=new_fun(x)
2021/2/5
33
用Logistic模拟水稻叶伸长生长
生长观测记录数据
时间 重量 时间 重量
1
1.8
2.6
3.4
4.1
4.8
5.4
6.1
6.8
7.4
8.1
0.3
0.5
0.9
1.4
2.5
3.2
4.3
积分方程的数值解法
dy = − 2 g (h − y ) sin β ， dt
因此
dt = −
上式两边从 0 到 h 积分，并记
dy . 2 g (h − y ) sin β
2
ϕ ( y) =
就有
1 ， sin β
∫
h
0
ϕ ( y) dy = − 2 g f1 (h) . h− y
记- 2 g f1 (h) = f (h) ,最后得到
Abstract ： This paper describes two numerical solution methods of integral equations ,namely,successive approximation method and the use of any nuclear degenerate kernel approximation method. This paper is structured as follows.first briefly introduces the basic knowledge of integral equations, then discusses whether the solutions of four common equations exist and how to slove a special kind of equation (Degenerate equation) , finally since for the majority of the integral equations we can not find out their exact analytical solutions,therefore we turn to introducing the two numerical solution methods of integral equations. Key words： integral equation of integral equations equations with degenerate kernel numerical solution
数值计算中的常微分方程求解和数值积分
数值计算中的常微分方程求解和数值积分数值计算是一门非常重要的学科，它在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
在数值计算中，常微分方程求解和数值积分是两个基础性的问题，它们的解法对于数值计算的其他问题具有重要的指导意义。
本文将就这两个问题进行探讨。
一、常微分方程求解常微分方程是描述自然界中许多过程的重要工具，它们由一个或多个未知函数及其一定数量的导数组成。
例如，牛顿第二定律和斯托克斯方程等经典物理学方程中均包含了一阶常微分方程。
近年来，生物过程的数学建模也成为常微分方程的热点研究领域，例如病毒扩散、癌症生长和人口增长等都可以用常微分方程来描述。
在解常微分方程的过程中，我们通常会使用数值方法。
常用的数值方法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
以欧拉法为例，令 $y\left( t_0 \right) = y_0$，则在 $t_0$ 到 $t_1$ 的时间段内，有：$y_{n+1} = y_n + hf\left( t_n,y_n \right)$，其中 $y_{n+1}$ 表示 $t=T_{n+1}$ 时的函数值，$f\left( t_n,y_n \right)$ 表示 $t_n$ 时刻的导数值，$h$ 表示步长。
欧拉法是一种一阶方法，即误差的大小与步长成线性关系，因此需要选择足够小的步长以确保精度。
对于高阶常微分方程，我们通常需要将其转化为等价的一阶方程组进行求解。
例如，二阶常微分方程 $y'' + q\left( t \right)y' +p\left( t \right)y = g\left( t \right)$ 可以转化为以下一阶方程组：$z_1^\prime = z_2$$z_2^\prime = -q\left( t \right)z_2 - p\left( t \right)z_1 + g\left( t\right)$其中 $y = z_1$，$y' = z_2$。
微分方程的解析与数值解法
微分方程的解析与数值解法微分方程既是数学分析的重要分支，也是许多学科领域的基础。
在实际问题的求解中，我们常常需要寻找微分方程的解析解或者数值解。
本文将围绕微分方程的解析和数值解法展开讨论。
一、微分方程的解析解解析解指的是通过代数计算得到的方程的解。
对于某些简单的微分方程，我们可以通过分离变量、变量代换等方法得到解析解。
下面以一阶线性常微分方程为例，讨论解的求解过程。
考虑一阶线性常微分方程形式如下：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$为已知函数。
我们可以通过以下步骤求解该微分方程：1. 将方程改写为标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y - Q(x) = 0$2. 求解齐次线性微分方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$。
记其解为$y_h$，即$y_h = Ce^{-\int P(x)dx}$，其中$C$为常数。
3. 利用常数变易法，假设原方程的解为$y = u(x)y_h$，其中$u(x)$为待定函数。
4. 将$y = u(x)y_h$代入原方程，得到关于$u(x)$的方程。
5. 求解$u(x)$的方程，得到$u(x)$的表达式。
6. 将$u(x)$代入$y = u(x)y_h$，得到原方程的解析解。
上述过程就是一阶线性常微分方程求解的一般步骤。
对于其他类型的微分方程，也有相应的解析解求解方法。
但并非所有微分方程都存在解析解。
二、微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法找到解析解，此时我们需要借助数值方法求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是一种较为简单的数值解法，其基本思想是通过离散化微分方程，将微分方程转化为差分方程。
具体步骤如下：将求解区间$[a, b]$等分成$n$个小段，步长为$h = \frac{b-a}{n}$。
利用微分方程的导数定义，将微分方程转化为差分方程，即$y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i, y_i)$，其中$f(x, y)$为微分方程右端的函数。
微分方程的解析解和数值解
微分方程的解析解和数值解解析解和数值解在微分方程中的应用微分方程是数学中一个重要的分支，它描述了许多自然现象，如物理、化学和生物学等。
微分方程的解析解和数值解是解决微分方程的两种不同方法。
本文将探讨这两种方法的应用。
解析解是指能够用一组公式或函数表达式精确地表示出微分方程的解。
它通常用于简单的微分方程，如一阶线性微分方程和二阶常系数齐次微分方程等。
解析解的优点是计算精度高，但它只能解决某些简单的微分方程，而对于更复杂的非线性微分方程，几乎不可能得到解析解。
数值解是通过数值计算方法得到微分方程的近似解。
它通常用于复杂的非线性微分方程，如偏微分方程和随机微分方程等。
数值解的优点是可以解决各种类型的微分方程，并且计算精度可以通过增加计算量来不断提高。
但是，数值解的计算过程比解析解复杂，需要使用计算机进行计算。
解析解和数值解在微分方程中的应用是相互补充的。
对于简单的微分方程，解析解是最好的选择。
例如，对于一阶线性微分方程y'+ay=b，可以使用分离变量法得到解析解y=b/a+(C/a)e^(-at)，其中C是任意常数。
对于二阶常系数齐次微分方程y''+by'+cy=0，可以使用特征方程法得到解析解y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)，其中r1和r2是特征方程的根。
对于复杂的非线性微分方程，数值解是最好的选择。
例如，对于一般的非线性微分方程y'=f(x,y)，可以使用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等数值计算方法来获得近似解。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后使用迭代计算的方法逐步得到近似解。
在实际应用中，解析解和数值解常常需要相互配合使用。
例如，在生物学中，通过建立动力学模型可以得到微分方程，然后使用解析解来分析模型的稳定性和动态行为；同时，使用数值解来模拟生物系统的时间演化过程。
在物理学中，通过微分方程描述物理现象的规律，然后使用解析解来推导出物理规律的数学表达式；同时，使用数值解来计算物理过程中的复杂变化。
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m
y
i 1
m
i m
a xi b xi2
i 1 i 1
x y
i 1 i
i
称为一元线性最小二乘法的正规方程组。它是一 个二元线性方程组，可以通过求解得到ａ和ｂ。
b Lxy / lxx a y bx
Lxx为x的 离 差 平 方 和 1 2 Lxx ( xi x ) x ( xi ) m i 1 i 1 i 1
(2)能化为线性拟合的非线性拟合；
(3)非线性拟合
(1)和(2)这两种方法可以归结为线性拟合，从数学处理的
角度就是建立线性代数方程组并求解而获得体系的模型参
数值。第(3)种方法的实质是反复调整体系的模型参数值，
使理论曲线与实验曲线达到最大限度吻合。一旦实现这个 目标，就将此时的一组参数定为体系的模型参数。拟和得 到的参数还可以用作进一步的数据处理。
一、一元线性拟合 一般介绍： 设物理量x与y之间存在着线性关系: y＝a＋bx
当x取值为x1，x2，…xm时，测得的y值分
别为y1，y2，…，ym。现在要根据这m对
（x，y）数据求出 y＝a＋bx中的截距a和斜
率b，建立y与x之间的这种线性关系。这个
问题就是一个一元线性拟合问题。
如果把上述数据画在x--y直角坐标图中，这 些原始数据散点一般不会刚好分布在一条直线 上。这是因为尽管y与x之间在理论上存在线性 关系，但由于实验误差不可避免，散点必然要 偏离直线。为了确定a和b，只能寻找这样一条 直线，它在所有直线中最靠近测量数据(xi， yi)(i=1,2,...m)通常称这样一条特殊的直线为回归 线，与之相应的直线方程称为回归方程。
Q 0 b 2 Q 0 2 b
m m Q 2 yi 2m a 2b xi 0 a i 1 i 1 m m m Q 2 2 xi yi 2a xi 2b xi 0 b i 1 i 1 i 1
整理可得
m a b xi
•
在非线性拟合过程中要反复对参数进行 调整与修改，并反复将算得的理论值与实 验数据进行比较，直到满足给定的允许误 差条件为止。此法的优点是可以求解含多 个参数、模型复杂以及难以用解析法求解 的一些问题。原则上，它仅要求被观测物
理量之间有明确的数学关系式，并有足够
的实验数据，不论模型的形式怎样复杂，
2 2 i m m m
Lxy为x的 离 差 与 y的 离 差 乘 积 之 和 Lxy ( xi x )( yi y )
i 1 m
相关系数： r
Lxy Lxy 平 方 和
m 1 2 2 2 Lyy ( yi y ) yi ( yi ) m i 1 i 1 i 1 m
• 一元线性最小二乘法原理 m m Q i2 ( yi a bxi ) 2
由上式可知，当一组实验观测值给定以后残差平方和 Q是ａ，ｂ的函数，要求得Q为最小值的“ａ和ｂ”， 按微积分中求极值的原理，也就是要满足以下方程：
i 1 i 1
极值条件 极小条件
Q 0， a 2 Q 0， 2 a
都可以用非线性拟合法求待定参数。
• 当然，非线性拟合也不是万能的。首先， 实验数据必须有足够的精度和足够的数量， 这是拟合的根本依据，其次，所用的数学 模型和推导过程必须是合理的，否则只能 在形式上达到最佳拟合，而所得结论是错 误的。另外，有些参数的稳定性很差，拟 合的结果也是靠不住的。 • 由于计算机数值方法的兴起，拟合方法 在各方面得到了广泛应用，以上几点务必 引起注意。
二、多元线性拟合：
简要介绍：在一元回归方程中只有一个自变量， 但实际上影响体系性质y的因素往往是多个，这 时就必须考察应变量y与多个自变量x1,x2,x3,...xn 之间的关系。假设它们之间仍保持线性关系：
这就是—个多元线性回归方程，其解法与一元 线性回归方程的解法十分相似。一元线性回归系 数a和b通过解二阶线性代数方程组求得的，类似 地，n元线性回归系数b1,b2,b3,b4...bn，将通过解 n+1阶线性方程组求得。多元线性回归方程可以通 过调用任何一种高斯消去法函数来求解。
怎样判断一条直线与各原始数据的散点最为靠 近呢？常用的判断标准是“残差平方和最小”。 第i点的残差为
则残差平方和可以表示为:
m i 1 2 i
Q ( yi a bxi )
i 1
m
2
“平方”也称为二乘，因此按照残差平方和最小的 原则求回归线的方法称为最小二乘法。当回归线 是只有一个自变量x和一个应变量y的直线时，该 法称为一元线性最小二乘法。
可以看出，b与r的符号相同，都取决于Lxy。当b>0 和r＞0时称为正相关，当b＜0和r＜0时称为负相关。r的 绝对值愈靠近1．表明y与x的线性相关程度愈为密切。
推荐的一元线性拟和函数：
void lisql(float x[],float y[],int m) { float x0=0,y0=0,lxx=0,lxy=0, lyy =0; int i; for(i=0;i<=m-1;i++) { x0+=x[i];y0+=y[i]; } x0= x0/m;y0= y0/m; for(i=0;i<=m-1;i++) { lxx+=(x[i]-x0)*((x[i]-x0)); lyy+=(y[i]-y0)*((y[i]-y0)); lxy+=(x[i]-x0)*((y[i]-y0)); } b=lxy/lxx; a=y0-b*x0; r=lxy/sqrt(lxx*lyy); }
2.3 实验观测数据的拟合及模型参数的确定 • 一个体系的性质通常可以用包含若干参数 描述体系的参数个数就越多．用参数描述
的数学模型来描述。一般讲，体系越复杂， 体系性质往往比数据列表和图表等更具有
因此，求解体系数学模型的参数是化学实 验数据处理的重要手段。
普遍意义，能够更深刻地反映体系的性质。
•根据实验数据求解模型参数的方法大致可以分为3 类: (1)线性拟合；