浅谈伴随矩阵的性质及其应用【文献综述】
伴随矩阵运算法则
伴随矩阵运算法则
（最新版）
目录
1.伴随矩阵的定义与性质
2.伴随矩阵的运算法则
3.伴随矩阵的应用
4.总结
正文
一、伴随矩阵的定义与性质
伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。
伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。
伴随矩阵的性质包括：
1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。
2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。
3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。
二、伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：
1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。
2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。
3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。
三、伴随矩阵的应用
伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：
1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。
2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。
3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。
四、总结
伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。
伴随矩阵的性质论文2
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一六届）题目：伴随矩阵的性质及其应用院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：吉宗银学号08120412指导教师：王志华南京师范大学泰州学院教务处制摘要：在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种意义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样，不仅在理论很有研究价值而且在实践上也有广泛的应用. 本文主要对伴随矩阵以及一些特殊矩阵(比如上三角矩阵、对称矩阵等）的伴随矩阵所具备的若干性质进行了系统的研究，利用这些性质简化了一些伴随矩阵的计算.关键词：伴随矩阵；若当标准型；可逆矩阵Abstract: As a special matrix, adjoint matrix has many special properties in linear algebra. In a sense, it is like a positive definite matrix and orthogonal matrix, and not only has great research value in theory but also has wide application in practice. In this article we focus on various properties of adjoint matrices, including the properties of adjoint matrices of some special matrices (the upper triangular matrices, symmetric matrices, etc.), and use these properties to calculate the adjoint matrices of some matrices. As we shall see, this simplifies the calculation and avoid a large amount of complicated calculations.Keywords:adjoint matrix; Jordan standard form; invertible matrix目录1 绪论 (3)1.1研究目的 (3)1.2研究意义 (3)1.3国内外研究现状 (3)2基础知识 (4)2.1伴随矩阵的定义 (4)2.2伴随矩阵的基本性质及运算性质 (4)2.2.1伴随矩阵基本性质及证明 (4)2.2.2伴随矩阵运算性质及证明 (5)2.3某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质 (11)2.3.1对称矩阵 (11)2.3.2上（下）三角矩阵 (11)2.2.3正定和半正定矩阵 (12)2.2.4正交矩阵 (12)谢辞 (14)参考文献 (15)1 绪论1.1研究目的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关计算问题及拓宽它在各领域中的应用。
伴随矩阵的性质
伴随矩阵的性质1. 什么是伴随矩阵在线性代数中, 对于一个n阶方阵A, 定义其伴随矩阵(adjugate matrix)为矩阵A的伴随矩阵是一个与A的行列式相差一个符号的转置矩阵, 记作adj(A)。
伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。
2. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下性质：2.1 行列式的关系伴随矩阵和原始矩阵的行列式之间有以下关系：det(adj(A)) = det(A)^(n-1)其中A是一个n阶方阵。
2.2 逆矩阵的关系如果A是一个可逆矩阵, 则其伴随矩阵与其逆矩阵满足以下关系：adj(A) = (1 / det(A)) * A^(-1)其中A是一个可逆矩阵。
2.3 转置矩阵的关系两个方阵的伴随矩阵的转置矩阵之间存在以下关系：(adj(A))^T = adj(A^T)其中A是一个方阵。
2.4 伴随矩阵的乘积对于任意两个方阵A和B, 它们的伴随矩阵的乘积满足以下关系：adj(AB) = adj(B) adj(A)2.5 伴随矩阵和幂对于一个方阵A和正整数k, 其伴随矩阵的k次幂满足以下关系：(adj(A))^k = adj(A^k)3. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。
3.1 矩阵方程的求解对于一个给定的矩阵方程Ax = b, 其中A是一个可逆矩阵, b 是一个列向量, 则可以通过伴随矩阵来求解方程的解x。
具体的求解方法为：x = A^(-1) * b = (1/det(A)) * adj(A) * b3.2 逆矩阵的计算对于一个可逆矩阵A, 可以利用伴随矩阵来计算其逆矩阵。
具体的计算方法为：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)3.3 线性方程组的求解对于一个线性方程组Ax = b, 其中A是一个系数矩阵, x和b 都是列向量, 可以利用伴随矩阵来求解方程组的解。
具体的求解方法为：x = A^(-1) * b = (1/det(A)) * adj(A) * b4. 总结伴随矩阵是一个与原始矩阵相关的重要概念, 具有许多重要的性质和应用。
伴随矩阵的性质探讨
第二章 伴随矩阵的性质探讨前言伴随矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，但教材中及大学学习中所给出的主要应用是在求方阵的逆矩阵上，而关于伴随矩阵本身的性质及其与原矩阵之间的关联，没有系统的讨论和研究．本文主要通过查找现有资料，整理归纳出伴随矩阵的一系列性质．主要研究内容：n 阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式与秩；n 阶矩阵A 的伴随矩阵的可逆性，对称性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其与原矩阵的关联；伴随矩阵之间的运算性质以及各性质在题目中的综合应用．一．伴随矩阵的定义设ij A 是ｎ阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn a a a a a a a a a A ... (22)12222111211 中元素ija 的代数余子式，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnnn A A A A A A A A A A A 321222121n 2111*.................. 为A 的伴随矩阵．相关内容：《高等代数》（王萼芳 石生明版）定义９在一个ｎ阶行列式Ｄ中任意选定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），当Ｋ＜ｎ时，在Ｄ中划去这Ｋ行Ｋ列后余的元素按原来的次序组成的ｎ－ｋ级行列式'M 称为Ｋ级子式Ｍ的余子式，其中Ｋ级子式Ｍ为选定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的2K 个元素按照原来的次序组成的一个Ｋ级行列式．如果在'M 前面加上符号)......()......(21211k k j j j i ii ++++++-）（后称作Ｍ的代数余子式．二．伴随矩阵的性质设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n a a a a a a a a a A ... (22)12222111211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnnn A A A A A A A A A A A 321222121n 2111*.................. 2.1 伴随矩阵的基本性质定理2.1 ｎ阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化（即0≠A ），当A 可逆时，AAA*1-=，其中*A 为A 的伴随矩阵．性质１设*A 为A 的伴随矩阵，则E A A A AA ==** 证明：由行列式按一行（列）展开的公式∑=⎩⎨⎧=≠=n1k ,,0ji A j i A a jkik∑=⎩⎨⎧=≠=n1k k j k i ,,0ji A j i A a可得E A A A AA A AA =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==..............................0...0**注：A 可逆时，1*-=A A A 证毕．2.2 伴随矩阵的行列式*A性质21n *-=AA证明:(i)若A 可逆，则0≠A ，由性质１得，E A AA =*,两边同时取行列式得nA E A AA==*，即nA A A =*，又0≠A , 则1*-=n AA（ii ）若A 不可逆，则0*==A A 综上所述，1n *-=A A ．证毕．2.3伴随矩阵的秩的性质研究矩阵的秩是矩阵的重要特征定义：设在矩阵A 中有一个不等于0的ｒ阶子式Ｄ，且所有ｒ＋１阶子式（如果存在的话）全等于0，那么Ｄ称为矩阵A 的最高阶非零子式，数ｒ称为矩阵A 的秩，记做)(r R ．如以下例题：求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=842421321A 的秩． 解：由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=842421321A ＝0，A 的一个二阶子式04131≠故2)(=A R ．定理2.3 n n ⨯矩阵A 的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .(《高等代数》王萼芳 石生明版)性质3若用)(A R 表示矩阵A 的秩,则有以下结论:设A 是n 阶矩阵,则⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0;1)(,1;)(,)(*n A R n A R n A R n A R 证明:① )(A R n =时,显然，0≠A 由性质2知01*≠=-n AA ,故.)(*n A R =② 1)(-=n A R 时,由定理知0=A ,性质1知0*==E A AA , 即0*=AA 和*A 的列向量全都为方程组0=AX 的解,又1)(-=n A R , 则其次方程组0=AX 的解向量组的和为1)1(=--n n . 知*A 的列秩为1,即1)(*=A R .③ 1)(-<n A R ,*A 中任一元素）（n j i A ,......2,1,ij=都是0, 因为A 中不存在非零的1-n 阶子式,故.0)(*=A R 证毕．2.4 伴随矩阵的伴随矩阵的性质性质4A为n 阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,则有A AA n 2**-=）（,特别情况有:当2=n 时,A A =**）（.证明:()i)当A 可逆时,0≠A ;又由性质1E A A A AA ==**知E A A A ****)(=）（,所以,1****)(-=A A A ）（ (两边同时左乘1*-）（A )11*)(--=A A A )(*A A A =AA A n ⋅=-1A A n 2-=(ii)当A 不可逆时,0=A ,0)(**=A .综上所述,A A A n 2**-=）（.证毕．2.5 n 阶矩阵的伴随矩阵的可逆性 可逆的定义:n 阶矩阵A称为可逆的,如果有n 阶矩阵B使得EBA AB ==.)(为单位矩阵E ．伴随矩阵可逆性与原矩阵的可逆性有以下联系： 性质５A可逆的充分必要条件是*A 可逆．证明：必要性．由性质１知，E A A A AA ==**．若A 可逆，则A 非退化，即0≠A .两边同时消去A ,得E AA A A AA ==)(**）（.由以上的可逆定义可知 *A 是可逆的． 充分性．即证*A 可逆，则A 可逆，此命题与其逆否命题 ＂若A 不可逆，则*A 也不可逆＂是等价的．由矩阵不可逆可知0=A ,则变为证明若0=A ,则0*=A ． 这里我们用反正法．假设0*≠A ,则*A 可逆．由性质１知==E A AA *０ （两边同时右乘()1*-A ）有=-1**)(A AA ０得A ＝0，所以*A =0，所以0*=A 与假设的0*≠A 矛盾． 故假设不成立，原命题成立．综上所述，A 可逆的充分必要条件是*A 可逆． 证毕．2.6 n 阶矩阵A 的伴随矩阵的对称性对称定义：矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn a a a a a a a a a A ... (22)12222111211为对称矩阵，如果jiij a a =，n j i ,......2,1,=，且有'AA =．性质６．若ｎ阶矩阵A 是对阵矩阵，则其伴随矩阵*A 也为对称矩阵． 证明如下： 设A为对称矩阵，可知'A A =,ji ij a a =，且ji ij A A =，可知'**)(A A =.即证得*A 为对称矩阵． 证毕．性质７．设A 非退化，若*A 为对称矩阵，则A 也为对称矩阵．即证'A A =． 证明如下：*A 对称可知'**)(A A =． 1'*11*111])([)()(------===A AA A A A 1'*1])[(--=A A'11'1*1))((])[(----==A A A'A =即A 为对称矩阵． 证毕．2.7 伴随矩阵 *A 与原矩阵A 的正定性之间的联系矩阵正定的定义：实对称矩阵A 为正定的，如果二次型AX X '正定．又有，实二次型()n x x x f ,......,21正定，如果对于任意一组不全为零的实数()n c c c (2)1都有()0,......,21=n c c c f ．性质８ 若ｎ阶矩阵A 是正定的，则*A 也是正定的． 证明：因为A 是正定的，所以存在可逆矩阵B ，使得 E AB B =', 则E E AB B ==**')(又E B A B B A B AB B ==='****'***')()(）（由正定的定义知*A 也是正定矩阵． 证毕．2.8 伴随矩阵*A 的正交性与其原矩阵n 阶矩阵A 的正交性的关系 矩阵正交的定义：n 阶实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='． 性质9 若A 为正交矩阵，则*A 也为正交矩阵．证明：A 为正交矩阵，知E A A ='， E E A A A A A A ====**'*'*'**)()()( 由正交的定义知，*A 也为正交矩阵． 证毕．2.9 伴随矩阵*A 的特征值的性质性质10 设λ为n 阶矩阵A （A 可逆）的特征值，则其伴随矩阵*A 的特征值1λ与λ的关系为λλA=1．证明：设λ是A 的特征值，ζ是A 的属于特征值A 的特征向量． 则有λζζ=A两边同时左乘*A 有ζλλζζ***A A A A == 由性质１E A AA =*知上式变为ζλζ*A A = 得ζλζAA =*由A 的特征值的性质可知 λA即为*A 的特征值．证毕．推广： 性质11 若ｎ，．．．．．．，λλλ21为ｎ阶矩阵A （A 可逆）的特征值，则其伴随矩阵的特征值为ｎ，．．．．．．，λλλAAA21．）（n i ,......2,1= 证明：由题意知有),2,1(．．．．．．ｎ==i A i i i ζλζ．（ζ是A 的特征向量）两边左乘*A ，知i i i A A A ζλζ**= 即i i i A A ζλζ*= ，得i i iA Aζζλ*=即iAλ为*A 的特征值．即*A 的特征值是ｎ，．．．．．．，λλλAAA21．）（n i ,......2,1= 证毕．2.10 伴随矩阵的运算性质 性质12 '**')()(A A =.证明：设ｎ阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn a a a a a a a a a A ... (22)12222111211则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnnn A A A A A A A A A A A 321222121n 2111*.................. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n nn A A A A A AA A A A .....................)(212222111211'*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n a a a a a a a a a A ... (2122212)12111' ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n nn A A A A A AA A A A .....................)(212222111211*'其),......2,1,(n j i A ij =是A 中元素ij a 的代数余子式，由结果分析知 '**')()(A A =． 证毕．性质13 设A 为()1>n n 阶方阵，k 为任意非零常数,则()*1*AkkA n -=.证明 设()ij a A =，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n ka ka ka ka kA1111，可知 ().*111111111*A kA k A kA kA k kA n nn n nn n n n -----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=证毕．性质14 ***)(A B AB = 证明：由性质１知，1*-=AA A ,知**1*111*)()(A B A B A A B B A AB AB AB ====---- 证毕．推广 性质15 ｎ阶矩阵)2(......,21≥m A A A m ，，则 *1*2*1**21......)()(),......,(A A A A A A A m m m -=,证明过程同性质１３的过程．证毕．推广 性质16 m m A A )()(**= 证明：令A A A A m ===......21，则mmA A A A......21=mm m m A A A A A A A A )(......)()()......(**1*2*1**21==-．证毕．性质１7 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.证明 设()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn n n n n nn ij a a a a a a a a a a A212222111211,当j i >时，0=ij a .直接计算得，()0=ijA ,j i <.即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A A A A022212111*, 则*A 亦为上三角矩阵.同理可证，若A 为下三角矩阵，则*A 也为下三角矩阵. 证毕．性质18 若矩阵A 与B 合同，且A 与B 可逆，则*A 与*B 也合同.证明 因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P 使B AP P T =.又A 与B 可逆，则有()()()11111111--------===BP APP APAPPTTT,即11--=B C CA T .其中1-=P C .又B A P AP P T ==2,则()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵.故*A 与*B 也合同.证毕．三.伴随矩阵的性质在题目中的综合应用例3.1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50041104A 求1)3(--E A 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-2001110130030003500411043E A2201101012011113=-==-E A 又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-20020002)3(*E A ()E EA E A EA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=--100100012200020002333*1例3.2 设三阶实数矩阵A (A 非退化)的特征值为1,4,1321-=-==λλλ. 求①*213)(2A A -- ②2*2A A +的值.此题目应用知识:*1),(,A A f A -与A 的特征值的关系． 解:由题目条件先知λ为A 的特征值,则λ1为1-A 特征值,)(λf 为)(A f 的特征值．性质10可知，*A 的特征值为λA.①设x 为A 的特征向量，则知x Ax λ=，得x x x A 22212122λλ==-）（，x Ax Ax A λλ333*==．则x Ax A A )32()3)(2(2*21λλ-=--．又有4)1()4(13,21=-⨯-⨯==λλλA . 然后将４代入)32(2λλA-，得到式子)(*)122(2λλ-将321λλλ，，分别代入(*)得*213-)(2A A -的特征向量分别是1482510'3'2'1==-=λλλ，，②设x 为A 特征向量，则x Ax A x A λλ22)2(*==，x x A 22λ=所以x x Ax A A )2()2(22*+=+λ4=A ，可知2282λλλλ+=+A，可知)2(2*A A +的特征值分别为９，１４，－７．故，882-7-14922*=⨯⨯=+）（A A ．。
关于伴随矩阵性质的探讨
关于伴随矩阵性质的探讨1引言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前．2伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵的基本性质 性质1[]2(5253)P P - E A AA A A ==**性质2 若0=A ,则0*=AA . 性质3 1*-=n AA .证明 由性质E A AA =*得E A AA =*， 从而 nA A A =*，两边同时左乘1-A得1*-=n AA ，即为所证．2.2可逆性质性质4 若A 可逆，则1*-=A A A （或*11A A A--=）.证明 由性质1，E A AA =*两边同时左乘1-A 得E A A AA A 1*1--=，即 *111*A A AA A A ---==．性质5 若A 可逆，则*A 可逆且()A A A11*--=.证明 若A 可逆，即0,01*≠=≠-n AA A ，从而*A 可逆又有性质4得()()A A A A A1111*----==．性质6[3](124)P 若A 可逆，则()A A An 2**-=.证明 由性质1得()E A AA ****=，A 可逆，*A 也可逆，两边同时左乘()1*-A 得()()A AAA AA A A n n 2111****----===．性质7[4](181183)P P - 若A 可逆，则()()*11*--=A A .证明 由性质5得()A A A 11*--=, 由性质1得()E A A A 1*11---=. 两边同时左乘A 得()()1*1*1---==A A A A ．2.3运算性质性质8 若A 可逆，k 为非零常数，则()*1*A k kA n -=．证明 由性质1得()()E kA kA kA =*,两边同时左乘()1-kA 得()()()*111111*A k A A k A k A k kA kA kA n n n ------====．性质9 若,A B 均为n 阶可逆方阵，则()***A B AB =．证明 由已知条件可得0≠A ，0≠B ．从而可得0≠AB 也就是AB 可逆得()()()*11*11AB BAAB ABAB ----==，又因为()*1*1111A A B B A B AB -----==，由以上可得()***.AB B A =推论 若1321,,,,-t t A A A A A 均为同阶可逆矩阵,则()*1*2*3*1**1321A A A A A A A A A A t t t t --=．2.4特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 若A 对称，则*A 亦对称．证明 因为A 是对称的，即,TA A =从而可得()()()()()**111*A A A A A A A A A TTTTT=====---,所以*A 是对称的．性质11 A 可逆，若*A 为对称矩阵，则A 为对称矩阵． 证明由题中所给条件可得()()()()T TT A A A A AA AA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===--------11*11*1111.性质12 单位矩阵E 和零矩阵O 的伴随矩阵均为本身，即00,**==E E ． 性质13 若A 可逆，则()()TT A A **=．证明 由性质1得()E A A A T T T=*，又由A 可逆，故T A 也可逆，两边同时左乘()1-T A 得()()()()()TTTT T T A A A A A A A A *111*====---．性质14 A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为奇数时，*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，*A 为反对称矩阵.证明 因()()*1*1A A n --=-,A A T -=由上一性质可知，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==，所以，当n 为奇数时，()**A A T=，此时*A 是对称矩阵；当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称矩阵．2.5伴随矩阵秩的性质性质14 设A 为n ()2≥n 阶方阵，证明 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r nA r n A r ．证明 当秩n A =时，即A 为非奇异时，由于01*≠=-n AA ,故*A 也是非奇异的,即秩 n A =*；当秩1A n =-时，有0A =,于是*0AA A E ==，从而，秩1*≤A ．又秩1A n =-,所以至少有一个代数余子式0,ij A ≠ 从而又有秩* 1.A ≥于是，秩*1.A =当秩1A n <-时, 0*=A ，即此时秩*0A =．性质15 设n 阶方阵A 是可逆的，那么*A 可表示为A 的多项式.证明 A 的多项式为()0111a a a f n n n ++++=--λλλλ ．因A 可逆，所以()010≠-=A a n由哈密顿－凯莱定理知()0=A f ，即00111=++++--E a A a A a A n n n ，故()E A E a A a A a n n n =+++----12111 ， 右乘*A ,得()*1211A E a A a A a A n n n =+++---- ， 故()()E a A a AA n n n n 12111*1+++-=---- ．2.6伴随矩阵特征值的性质性质16 若λ为n n A ⨯的一个特征值，则1A λ-为*A 的特征值．证明 由条件知，有非零向量X 满足X AX λ=．则111,X A X A X X λλ---==. 从而11A A X A X λ--=，*1A X A X λ-=，也就是1A λ-为*A 的一个特征值． 2.7自伴随矩阵定义 若*A A =,则称A 为自伴随矩阵.性质17[]5()15P 关于自伴随矩阵的性质：(1) 零矩阵，单位矩阵均为自伴随矩阵；(2) 两自伴随矩阵之积为自伴随矩阵的充分条件为两矩阵可换； (3) 若A 为自伴随矩阵,则()21≥=-n A An ；(4) 若A 为自伴随矩阵,则(1,2,)kA k =也为自伴随矩阵；(5) 若A 为非奇异自伴随矩阵,则1A -也为自伴随矩阵；(6) 若A 为自伴随矩阵，则TA 也为自伴随矩阵． 2.8 伴随矩阵的继承性性质18 设,A B 为n 阶矩阵，则有 （1）若A 与B 等价,则*A 与*B 也等价；（2）若A 与B 合同,且A 与B 可逆,则*A 与*B 也合同；证明 因为矩阵A 与B 合同,则存在可逆矩阵P ,使B AP P T =,又A 与B 可逆,则()1111----=B P A P T,即11--=B C A C T ,其中()TP C 1-=，又B A P =2,则()()11**--=B B C P A A CP T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵，故*A 与*B 也合同．（3）若A 与B 相似,则*A 与*B 也相似；证明 当A 可逆时,因为A 与B 相似,则B A =,且存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.又A 与B 可逆,上式两边取逆,得111---=B P A P ,则有()111---=BB P A A P,即**1B P A P =-,说明*A 与*B 相似.当A 不可逆时,由B AP P =-1知,B 也不可逆,所以必存在0>δ,当()δ,0∈t 时,使0,0≠+≠+B tE A tE ,令.,11B tE B A tE A +=+=那么0,011≠≠B A ,且()()PA PP A tE PAP P P tE P AP P tE B tE B 1111111-----=+=+=+=+=则又由,*11*1P A P B -=即()()P A tE P B tE *1*+=+-,上式两端矩阵的元素都是关于t 的多项式,由于当()δ,0∈t 时,对应的元素相等,所以对于任意t 上式都成立.取0=t 时,**1B P A P =-,即*A 与*B 相似.（4）若A 能相似对角化,则*A 也能相似对角化； （5）若A 是正交矩阵,则*A 也是正交的．证明 因为A 为正交矩阵,则E A A A T==,12,于是()()()()()()EE AA AA A AA A A A A A A A T T TTT======--------1111211211**故*A 也是正交矩阵．3 相关例题例1设A 为三阶矩阵,A 的特征值为1,3,5．试求行列式*2A E -． 解 因为135,A =⨯⨯由性质16知道,*A 的特征值分别为1553.，， 于是*2A E -的特征值分别为15213523,32 1.-=-=-=， 故*2133139A E -=⨯⨯=．例2 求矩阵A 的伴随矩阵*A ，其中110430103A -=-． 解 矩阵A 的特征多项式为：()25423-+-=-=λλλλλA E f因 020a =-≠,所以A 可逆.由性质知()()11302826541213*---=+--=-E A AA ．例３ 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解 由性质５得()A A A11*--=，由()11A A --=用伴随矩阵法或初等行变换易求得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2102101121125A ,又因为23111211111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A，从而可得()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===---101022125111*A A A A A .例4 若A ,B 均为偶数阶同阶可逆矩阵，且有相同的伴随矩阵，试证A B =.证明 由性质4得，1*-=A A A , 1*-=B B B ,可知11A A B B --=, 也就是11--=B B A A ,11n n A A B B --=, 由11n n AB --=（n 为偶数可得1n -为奇数）从而B A =.例5 已知三阶矩阵()33⨯=ij a A 满足条件:(1)()3,2,1,==j i A a ij ij ,其中ij A 是ij a 的代数余子式;（2）011≠a ，求A .解 由条件（1）和性质3知,T A A =*,则2*A A AA T===,所以0=A 或1=A .又0212132122111112121111≠++++=+++=n n n a a a a A a A a A a A ，故1=A ．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京:高等教育出版，1988 [2] 同济大学数学教研室．线性代数3版[M]．北京：高等教育出版，1999 [3] 钱吉林，高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002[4] 蔡剑芳，钱吉林，李桃生．高等代数综合题解[M].武汉：湖北科技出版社,1986 [5] 王航平，伴随矩阵的若干性质．中国计量学院学报[J].2004,03 [6] 张禾瑞，高等代数[M]．北京：人民教育出版社,1979 [7] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社,2001 [8] 卢刚,线性代数2版[M].北京：高等教育出版社,2004 [9] 王品超，高等代数新方法[M]．济南：山东教育出版社,2001 [10] 扬子胥，高等代数习题解[M]．济南：山东科学技术出版社,2003 [11] Farkas L,Farkas M.线性代数及其应用[M]．北京：人民教育出版社,1981。
浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】
开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等.矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A). 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义.正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质, 并提出了自伴随矩阵的定义及其性质, 归纳了伴随矩阵较强的继承性; 郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系, 探讨了伴随矩阵的性质, 并且将伴随矩阵推广到了m重; 徐淳宁也探究了m重伴随矩阵的定义及其性质, 得到了一些有意义的结果, 使伴随矩阵的内涵更加丰富. 上述结论都是在A为方阵的前提下提出来的, 对于Am 矩阵的伴随矩阵的定义与一些性不为方阵的情况又有许多种性质. 贾美娥提出了关于n质的证明. 这一主张的提出, 更加完善了伴随矩阵的性质. 伴随矩阵的性质还有很多, 在此不一一举例.尽管前人的研究很多, 但是目前对伴随矩阵的性质还没有一套完整的证明. 在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 但是在后继的课程的学习中经常用伴随矩阵来解决很多问题, 为此我们常常不知所措. 为了解决更多的问题, 有必要探讨它的性质及其一些应用. 本文将对伴随矩阵的性质和应用进行探讨, 这不仅有利于教师的教学, 还有助于学生的学习, 以便我们更得心应手地运用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关问题及拓宽它在各领域中的应用.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:研究的基本内容: 本文主要研究伴随矩阵的性质及其各领域上的应用.拟解决的主要问题: 证明伴随矩阵的性质和探究它的应用, 并作推广.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤: 1. 明确任务, 查阅相关资料, 做好笔记.2. 在老师指导下, 撰写开题报告, 翻译英文资料, 撰写文献综述.4. 上交开题报告、文献综述、英文资料; 确定整个论文的思路, 列出论文提纲.5. 确定论文提纲, 撰写毕业论文.6. 上交论文初稿.7. 反复修改论文.8. 论文定稿.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同学研究讨论, 用推理论证的方法来解决问题.四、参考文献:[1]R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press, 1986.[2]蔡建乐. 用特征矩阵的伴随矩阵求解惯量主轴方向[J]. 大学物理, 1995, 14(9): 21~22.[3]杨闻起. 伴随矩阵的性质[J]. 宝鸡文理学院学报, 2004, (3):20~25.[4]王航平. 伴随矩阵的若干性质[J]. 中国计量学院学报, 2004, 15(3): 247~249.[5]郑茂玉. 伴随矩阵的性质[J]. 南方冶金学院学报, 1991, 12(3):55~60.[6]徐淳宁. 关于伴随矩阵的推广[J]. 长春邮电学院学报, 1997, 15(4): 63~64.m 矩阵的伴随矩阵[J]. 赤峰学院学报, 2009, 25(9): 16~17.[7]贾美娥. 关于n[8]北京大学数学系几何与代数小组编. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003, 9.[9]韩成茂. 伴随矩阵性质研究[D]. 山东: 山东大学, 2008.[10]刘佑林. 伴随矩阵若干性质[J]. 湘南学院学报, 2009, 30(5): 31~32.[11]肖翔, 许伯生. 伴随矩阵的性质[J]. 上海工程技术大学教育研究, 2007, (3):48~49.[12]吕兴汉. 关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J]. 2006, 22: 322~323.[13] C. M. Han. Some operation properities of Adjoint Matrices for Block Matrices[J]. Journalof Mathematics Reseearch, 2009, 1(2): 119~122.[14]苗宝军, 赵艳敏. 高等代数中伴随矩阵性质的研究及其应用[J]. 考试周刊, 2009, 31: 61.。
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用伴随变换与伴随矩阵是线性代数中重要的概念，它们在矩阵论和线性变换的理论中有着广泛的应用。
本文将探讨伴随变换与伴随矩阵的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、伴随变换的定义与性质伴随变换是指在线性空间中，给定一个线性变换T，其伴随变换T*是一个线性变换，满足对于任意的向量u和v，有内积的性质：（T(u), v）= （u, T*(v)）其中（，）表示内积。
伴随变换的性质包括：1. 线性性质：对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，有T*(au+bv) = aT*(u) + bT*(v)。
2. 对偶性质：如果存在一个向量w，使得对于任意的向量u，有（T(u), v）= （u, w），则称w为T的伴随向量，记作w=T*(v)。
伴随变换的作用是根据给定的线性变换T，求解其对应的伴随向量。
二、伴随矩阵的定义与性质对于一个线性变换T，如果存在一个矩阵A，使得对于任意的向量u和v，有 T(u) = Av，则称矩阵A为线性变换T的矩阵表示。
伴随矩阵B是指对于给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得（AB）^T =BA^T，其中（）^T表示矩阵的转置。
伴随矩阵的性质包括：1. 转置性质：伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即（A^T）^T = A*。
2. 乘法性质：对于两个线性变换T和S，其伴随矩阵分别为A和B，则对应的复合变换的伴随矩阵为BA，即（TS)* = B*A。
三、伴随变换与伴随矩阵的应用伴随变换与伴随矩阵在实际问题中有各种各样的应用。
下面以几个例子来说明其应用。
1. 线性变换的正交性判断：对于给定的线性变换T，可以通过求解其伴随变换T*，再判断T和T*的关系来确定T是否是正交变换。
如果T和T*相等，则T是正交变换；如果T和T*互为逆变换，则T是酉变换。
2. 矩阵的相似性判断：对于给定的两个矩阵A和B，可以通过求解其伴随矩阵A*和B*，再判断A*和B*的关系来确定A和B是否相似。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
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文献综述
数学与应用数学
浅谈伴随矩阵的性质及其应用
高等代数是最具有生命力的数学分支之一, 从它诞生起即日已成为人类认识并进而改造自然的有力工具, 成为数学科学联系实际的主要途径之一. 在长期不断的发展过程中, 它一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断地以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以它的问题和方法越来越显得丰富多彩[1].
线性代数是高等代数的重要组成部分, 是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科. 它在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用, 因而它在各种代数分支中占居首要地位. 在计算机广泛应用的今天, 计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分. 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系, 还要进一步研究多个变量之间的关系, 各种实际问题在大多数情况下可以线性化, 而由于计算机的发展, 线性化了的问题又可以计算出来, 线性代数正是解决这些问题的有力工具[2].
矩阵, 是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的, 并形成了矩阵代数这一系统理论. 在实际生活中, 很多问题可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等[2-3].
数学上, 一个矩阵乃一行列的矩形阵列. 矩阵由数组成, 或更一般的有某环n m m n 中元素组成, 矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析、解析几何, 以及组合数学等. 矩阵在微积分、图论、对策、数据拟合等模型中也有着非常广泛的应用. 如数学建模是把现实世界中的实际问题抽象成数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性后，用它的解来解释现实问题，这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具，在数学模型中具有重要的作用, 从数学规划模型和线性代数模型中分析矩阵应用, 通过分析来提高数学建模的技巧, 可以使数学建模更好地服务于各个领域[ 4]. 又如在图论中应用于顶点覆盖问题、最短路径问题、哈密顿回路问题和最大团问题等[2].
矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵[5]、幂等矩阵[7]、Hankel 矩阵[8]等等, 近
E3227号问题[18]. 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具了. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法[19], 这有利于刚体力学的发展, 更体现伴随矩阵的物理意义.
在《高等代数》和《线性代数》的各种教材中, 伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的, 并没有进行深入的研究. 所以对伴随矩阵的研究是十分必要的, 本课题将进一步探讨伴随矩阵的性质和应用, 特别在一些特殊矩阵的基础上, 以便进一步发掘伴随矩阵的作用.
参考文献
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