因式分解的八个注意事项及课本未拓展的五个的方法

因式分解的“八个注意”事项及
“课本未拓展的五个的方法”
一、“八个注意”事项
（一）首项有负常提负
例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号第一项系数是正的。

防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。

（二）各项有公先提公
例2因式分解8a4－2a2
解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)
这里的“公”指“公因式”。

如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。

防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误.
（三）某项提出莫漏1
例3因式分解a3-2a2+a
解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2
这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号切勿漏掉1。

防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a) 的错误。

（四）括号里面分到“底”。

例4因式分解x4－3x2－4
解：x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）＝（x 2＋4）（x ＋1）（x －1）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

即分解到底，不能半途而废的意思。

其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号的多项式都不能再分解。

如上例中许多同学易犯分解到x 4+3x 2－4＝（x 2＋4）（x 2－1）而不进一步分解的错误。

因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。

（五）各式之间必须是连乘积的形式
例5 分解因式x 2
－9+8x= 解：x 2－9+8x=x 2
+8x －9=(x －1)(x+9) 这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。

有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x －3)+8x 。

结果从形式上看右式不是乘积形式，显然是错误的。

正解应是：原式= x 2
+8x －9=(x －1)(x+9) （六）数字因数在前，字母因数在后；
例6因式分解 x x x 2718323+-
解：x x x 2718323+-=3x(x 2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式中不能写成x x x 2718323+-=x3(x 2-6x+9)= x3(x-3)2
（七）单项式在前，多项式在后；
例7因式分解33xy y x -
解：33xy y x -=xy(x 2-y 2
)=xy(x+y)(x-y) 这里的“单项式在前，多项式在后”，指分解因式中不能把单项式写在后面，即不能写成33xy y x -= (x 2-y 2) xy = (x+y)(x-y) xy
（八）相同因式写成幂的形式；
例8因式分解x 4y-x 2y 3
解：x 4y-x 2y 3=x 2y(x 2-y 2)=x 2y(x+y)(x-y) 这里的“相同因式写成幂的形式”，指分解因式中不能相同的因式写成乘的形式，而应该写成幂的形式，即不能写成x 4y-x 2y 3=x 2y(x 2-y 2)= xxy(x+y)(x-y)；
二、课本未拓展的五个的方法 以下五个方法是因式分解中比较难的一些，需要大家熟练掌握因式分解基本方法：（1）提公因式；（2）公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；（3）十字相乘。

只有熟练掌握了以上三种方法，你才能更好的理解这五种拓展方法。

（一）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 32422+++-b a b a
解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），
则32422+++-b a b a =)12()44(14242222+--++=-+++-b b a a b a b a
=)3)(1()1()2(22+-++=--+b a b a b a
例2、因式分解 611623+++x x x
解析：根据多项式的特点,把26x 拆成2242x x +；把x 11拆成x x 38+
则611623+++x x x =)63()84()2(2
23+++++x x x x x =)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(2
2+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x （二）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解4
44y x +
解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项， 则444y x +=2
222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++ =)22)(22(2
222y xy x y xy x +-++
例4、因式分解 4323+-x x
解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则 4323+-x x =4444223+-++-x x x x x
=)1)(44()44()44(2
22++-=+-++-x x x x x x x x
=2)2)(1(-+x x （三）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例5、因式分解24)6)(43(2
2+---+x x x x
解析：24)6)(43(22+---+x x x x =24)3)(2)(4)(1(+-++-x x x x
=24)12)(2(24)4)(3)(2)(1(22+-+-+=++-+-x x x x x x x x
设22-+=x x y ，则10122-=-+y x x
于是，原式= )62)(42()6)(4(241024)10(222--+--+=--=+-=+-x x x x y y y y y y
=)8)(3)(2()8)(6(2
22-++-=-+-+x x x x x x x x
例6、因式分解2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x
解析：设n xy m y x ==+,，则 2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x =2)1()2)(2(-+--n m n m
=1)(2)(12222
22+---=++-+-n m n m n m n mn m
=[]222
22)1()1()1)(1()1()1(--=--=--+=--y x y x xy y x n m （四）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例7、因式分解 )()(2
222n m xy y x mn +++
解析：将多项式展开再重新组合，分组分解 )()(2222n m xy y x mn +++=2222xyn xym mny mnx +++
=))(()()()()(2
222ny mx my nx my nx ny my nx mx xyn mny xym mnx ++=+++=+++
例8、因式分解 22)()(my nx ny mx -++
解析：22)()(my nx ny mx -++=2222222222y m mnxy x n y n mnxy x m +-+++
=)()()()(22222222222222n m y n m x y n y m x n x m +++=+++
=))((2222y x n m ++ （五）巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例9、因式分解xy x y x x x 2232
234-++-
解析：将多项式以y 为主元，进行整理 xy x y x x x 2232234-++-=)23()2(2342x x x y x x +-+-
=))(2()1)(2()2(2
2y x x x x x x x y x x +--=--+-
例10、因式分解abc bc c b ac c a ab b a 2222222++++++ 解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a 为主元进行整理
abc bc c b ac c a ab b a 2222222++++++
=)()2()(2
22c b bc c bc b a c b a ++++++
=)()()(22c b bc c b a c b a +++++
=))((])()[(22bc ac ab a c b bc c b a a c b ++++=++++ =))()(()]()()[(c b c a b a b a c b a a c b +++=++++。