关于主成分分析的几种常用改进方法

数据标准化， 但是标准化在消除量纲或数量级影响的同时，
也抹杀了各指标变异程度的差异信息， 在此种情况下， 我们 通 常 可 采 用 对 原 始 数 据 进 行 均 值 化 处 理［２］， 该 方 法 已 得 到 广
泛采用。另外， 主成分分析对于处理线性结构有很好的效果，
然而对于许多实际问题， 其观测数据阵并非线性结构而呈非
４ 加强实践教学， 激发学生数据分析能力
结合市场经济背景， 加强概率统计的应用实践环节， 这 无疑是提高学生概率统计兴趣的有效途径， 更是弥补概率统 计理论知识教学不足的有效途径。
一方面， 我们利用概率统计讨论课， 分析数据建模中的
一些经典示例， 再次强化数据建模的思想方法， 数据建模步 骤。另一方面， 我们发动学生参与社会实践活动， 深入实际、 调查研究， 收集实验数据的素材， 并鼓励他们通过建立相应 的概率统计模型来解决一般性问题。
参考文献： ［１］余 锦 华，杨 维 权．多 元 统 计 分 析 与 应 用［Ｍ］．广 州 ； 中 山 大 学 出 版 社 ，
２００５． ［２］徐 雅 静 ， 汪 远 征．主 成 分 分 析 应 用 方 法 的 改 进［Ｊ］．数 学 的 实 践 与 认
识，２００６，（６）． ［３］候 文．应 用 主 成 分 分 析 进 行 综 合 评 价 的 一 种 改 进 方 法［Ｊ］，辽 宁 师 范
Ｚｊ＝ｌｊ＇ｌｏｇ（Ｘ ／ｇ（Ｘ）） ＝ｌ１ｊｌｏｇＸ１＋ｌ２ｊｌｏｇＸ２＋…＋ｌｄ＋１ｊｌｏｇＸｄ＋１
（ 注： ｌｊ＇·（－ ｌｏｇｇ（Ｘ））＝－ ［ｌ１ｊ＋ｌ２ｊ＋…＋ｌｄ＋１ｊ］·ｌｏｇｇ（ｘ）＝０）
３ 其它改进方法
除了上述改进方法之外， 近来不少学者又提出了新的改 进方法， 如主成分聚类法。主成分聚类即先做主成分分析， 再 取若干主成分对样品进行聚类分析， 结合第一主成分得分排 序对样品进行分类排名。由此得到一种新的综合评价方法， 具 体 操 作 方 法 详 见 文 献［２］。另 外 还 有 分 组 主 成 分 分 析 方 法［５］等 。 在实际应用当中， 如果不考虑具体问题条件， 一味采取同一 个模式， 难免有失偏颇， 甚至与现实大相径庭。因此， 根据不 同的问题采用不同的改进方法， 对解决具体问题是很有必要 的。
知识丛林
关于主成分分析的几种常用改进方法
李莉娟， 张 娜
（ 洛阳理工学院 数理部， 河南 洛阳 ４７１００３）
摘 要： 针对传统主成分分析方法的缺点和应用当中可能出现的误区， 总结几种常用的主成分
分析改进方法。
关键词： 主成分改进； 综合评价
中图分类号： Ｆ２２４．７
文献标识码： Ａ 文章编号： １００２－ ６４８７（２００７）２１－ ０１６７－ ０２
大学学报（ 自然科学版） ， ２００４，（１２）． （ 责任编辑 ／亦 民）
１６８ 统计与决策 ２００７ 年第 ２１ 期（ 总第 ２４９ 期）
对数—比（ ｌｏｇｒａｔｉｏ） 变换
Ｙｉ＝ｌｏｇ（Ｘｉ ／ｇ（Ｘ））， ｉ＝１，２，…， ｄ＋１ 亦 即 Ｙ＝ｌｏｇ（Ｘ ／ｇ（Ｘ）），其 中 ｇ（Ｘ）为 成 分 向 量 的 任 一 恒 正 函
数。为简便起见， 一般可取
ｇ（Ｘ）＝（Ｘ１Ｘ２…Ｘｄ＋１）１ ／ｄ＋１（即各指标之几何平均）， 这时
ｄ＋１
主成分分析是一种常用的多元统计分析（ 即多指标的统 计方法） 方法。是一种化繁为简， 将指标数尽可能压缩的降维 （ 即空间压缩） 技术， 也是一种综合评价方法。目前已广泛应 用于许多领域， 如： 城市生态系统可持续发展的分析， 工业企 业经济效益的分析， 公司财务评价， 学习成绩的比较评价等 等。但是， 传统的主成分分析法在综合评价当中已暴露出很 多缺陷， 很多学者也提出了不同的改进方法， 这些改进方法 是与一定的现实条件相关联的， 因此也不乏出现误用。本文 将对常用的改进方法作进一步探讨。
线性结构。这时， 若采用线性方法， 效果往往很差。这就需要
进 一 步 的 改 进 。本 文 将 介 绍 几 种 简 单 的 对 原 始 数 据 进 行 处 理
的 方 法 以 及 “对 数 — 线 性 比 ”［１］主 成 分 方 法 。
改进方法操作如下：
２．１ 对原始数据的处理
２．１．１ 数据的均值化
Ｍｏｄｅｌ
５
５５４
１１０．８
６．１６ ０．０２３
Ｅｒｒｏｒ
６
１０８
１８
Ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ Ｔｏｔａｌ １１
６６２
表３ Ｓｏｕｒｃｅ Ａ Ｂ
方差分析
ＤＦ Ｓｕｍ ｏｆ Ｓｑｕａｒｅｓ Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅ Ｆ Ｖａｌｕｅ Ｐｒ ＞ Ｆ
３
４９８
１６６
９．２２ ０．０１２
２
５６
２８
１．５６ ０．２８６
输 出 的 表 ２ 表 明 两 个 因 子 方 差 分 析 模 型 是 显 著 的 ，Ｆ＝ ６．１６，ｐ＝０．０２３＜０．０５； 表 ３ 中因素 Ａ 的效应平方和为 ４９８， 因 素 Ｂ 的效应平方和为 ５６， 两者的 Ｆ 值 分 别 为 ９．２２ 和 １．５６， 显 著 性 水 平 分 别 为 ０．０１２ 和 ０．２８６， 结 果 表 明 ， 施 肥 种 类 对 产 量 的 影响显著； 而三个小麦品种对产量的影响不显著。
ｊ＝１
ｊ＝１
定 ｋ， 从而建立前 ｋ 个主成分：
Ｚｊ＝ｌｊ＇ Ｚ＝ｌ１ｊＹ１＋…＋ｌｐｊＹｐ，ｊ＝１，２，…，ｋ
１．６ 计算前个主成分的样本值
ｐ
( Ｚｉｊ＝ Ｙｉｔｌｔｊ ｉ＝１，２，…，ｎ， ｊ＝１，２，…，ｋ ｊ＝１
２ 运用传统主成分分析方法易出现的误区 及改进方法
在实际应用中， 为了消除变量量纲的影响， 往往对原始
得标准化数据阵 Ｙ＝（Ｙｉｊ）ｎ×ｐ
ｎ
" ｒｉｊ＝
１ ｎ
Ｙｉ·ｊ Ｙｉｋ
ｉ＝１
" ＝ １ ｎ Ｘｉｊ－ Ｘ!ｊ ·Ｘｉｋ－ Ｘ!ｋ
ｎ ｉ ＝ １ Ｓｊ
Ｓｋ
Ｒ＝（ｒｉｊ）ｐ×ｐ （其中 ｒｉｊ＝１， ｒｉｋ＝ｒｋｊ）
表２
方差分析过程
Ｓｏｕｒｃｅ
ＤＦ Ｓｕｍ ｏｆ Ｓｑｕａｒｅｓ Ｍｅａｎ Ｓｑｕａｒｅ Ｆ Ｖａｌｕｅ Ｐｒ ＞ Ｆ
( Ｙｉ＝ｌｏｇＸｉ－
１ ｄ＋１
ｊ
ｌｏｇＸｉ
＝１
相应的 Ｙ 的“观测数据阵”
ｄ＋１
( Ｙｉ＝（ｌｏｇＸｉ－
１ ｄ＋１
ｌｏｇＸｉｊ）ｎ×（ｄ＋１）
ｊ＝１
为“对数－ 中心化”协方差阵。
可以证明 Ｄ（ Ｙ） 为奇异阵， 至多有 ｄ 个非零特征值。对其
作谱分解：
ｄ
( Ｄ（Ｙ）＝ λｉｌｊｌｊ＇ ｊ＝１
便可以求得其广义主成分
若散点图呈现抛物线特征时， 令 ｙｉｊ＝ )ｘｉｊ 然后以 ｙｉｊ 作为新的数据代替原始数据进行分析即可。 当上述三种变换仍然不能很好的解决问题， 而原始数据
又明显呈现非线性特征时， 还可以采用下述方法。
２．２ “对数—线性比”主成分方法
原香港大学统计系主任 Ａｉｔｃｈｉｓｏｎ 教授（ １９８１ 年） 提 出 用
２０００，２９（９）． （ 责任编辑 ／浩 天）
统计与决策 ２００７ 年第 ２１ 期（ 总第 ２４９ 期） １６７
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１．４ 求 Ｒ 的 Ｐ 特征值 λ１，λ２，…，λｐ 及对应的特征向量
"ｌｉｊ % ｌｊ＝##┇&&，ｊ＝１，２，…，ｐ
$ｌｐｌ ’
１．５ 建立主成分
ｋ
ｐ
( ( 按累积方差贡献率 λ１ ｒｊｊ＞８５％（或 ８０％）的 准 则 ， 确
设原始数据： Ｘ＝（ｘｉｊ）ｎ×ｐ， 令
Ｙｉｊ＝
Ｘｉｊ Ｘｊ
， ｉ＝１，２，…，ｎ； ｊ＝１，２，…，ｐ
ｎ
( 其中
Ｘｊ＝
１ ｎ
Ｘｋｊ， ｊ＝１，２，…，ｐ， 得均值化数据阵
ｋ＝１
Ｙ＝（ｙｉｊ）ｎ×ｐ
２．１．２ 对数变换法
描绘原始数据 ｘｉｊ 的散点图， 若散点图呈现对数曲线特征 时， 令
ｙｉｊ＝ｌｎｘｉｊ 或 ｙｉｊ＝ｌｇｘｉｊ ２．１．３ 平方根变换法
在概率统计教学中应跟时代背景， 注重实际应用。在日 常教学中， 在使学生获得系统的概率统计概念和方法推理的 基础上， 引入统计实验， 把概率统计教学与统计实验有机地 结合起来， 同时在教学的各个环节中注意加强学生实际应用 能力的培养， 这样能使学生主动应用概率统计概念和推理方 法去观察、分析、解决实际生活中的许多问题， 并掌握一种实 用 的 技 能 ， 让 课 堂 教 学 能 “回 归 ”到 实 践 中 ， 进 一 步 提 高 学 生 的综合素质。
参考文献： ［１］张德培，罗蕰玲．应用概率统计［ Ｍ］ ．北京： 高等教育出版社， ２０００． ［２］胡 良 剑 ， 孙 晓 君 ．ＭＡＴＬＡＢ 数 学 实 验 ［Ｍ］． 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ，
２００６． ［３］邓华玲． 概率统计方法与应用［ Ｍ］ ．北京： 中国农业出版社， ２００６． ［４］冯 珍 珍．数 学 实 验 教 学 新 路 初 探［Ｊ］．上 海 师 范 大 学 学 报（教 育 版 ），
１ 传统 ＰＣＡ 评价模型的算法：
１．１ 输入样本观测值： Ｘ＝（Ｘｉｊ）ｘ×ｐ
１．２ 计算各指标的样本均值和样本标准差：
ｎ
ｎ
" # " Ｘ!ｊ＝
１ ｎ
Ｘｉｊ，
ｉ＝１
Ｓｊ＝
１ ｎ－ １
（Ｘｉｊ－ Ｘ!ｊ）２
ｉ＝１
，
ｊ＝１，２，…，ｐ
１．３ 对标准化 ， ｉ＝１，２，…，ｎ， ｊ＝１，２，…，ｐ Ｘ!ｊ