电力系统谐波分析的高精度FFT算法
基于FFT的高精度谐波检测算法_薛蕙
基于FFT的高精度谐波检测算法_薛蕙谐波检测是一种在电力系统中广泛应用的技术，用于检测电力系统中的谐波成分。
目前，基于快速傅里叶变换（FFT）的谐波检测算法已经成为主流。
本文将介绍一种基于FFT的高精度谐波检测算法。
首先，我们需要对信号进行采样。
在电力系统中，交流电信号通常以周期函数的形式存在，所以我们可以通过对信号进行周期采样来获得原始数据。
然后，我们可以将采样得到的数据通过FFT变换到频域，通过FFT变换将信号从时域转换到频域后，我们可以使用谱分析的方法来检测谐波成分。
在进行FFT变换之前，我们需要对采样数据进行预处理。
通常情况下，我们需要对信号进行加窗处理，以减小泄漏误差。
加窗处理可以通过乘以一个窗函数来实现，常用的窗函数有矩形窗、汉明窗、哈宁窗等。
加窗处理后，我们可以使用FFT算法将信号从时域转换到频域。
在频域中，我们可以通过计算每个频率分量的幅值和相位来确定谐波的存在。
根据电力系统的特点，我们通常只关心低次谐波（如2次和3次谐波）。
对于每个频率分量，我们可以根据其幅值和相位来判断是否存在谐波成分。
如果幅值超过一个预先定义的阈值，并且相位满足一定的条件，那么我们可以认为存在谐波成分。
为了提高谐波检测的精确性，我们可以对检测到的谐波成分进行进一步的处理。
一种常用的方法是通过对谐波成分进行插值来获得更精细的频率分辨率。
插值可以通过对频谱曲线进行多项式拟合实现。
通过插值可以进一步提高谐波检测的精度和稳定性。
此外，为了避免对非谐波成分的误判，我们还可以对检测到的谐波成分进行验算。
通过检测谐波成分的幅值和相位的稳定性，我们可以判断是否存在谐波成分。
如果幅值和相位均稳定，则可以判断为谐波成分；否则，则可能是噪声或其他非谐波成分。
综上所述，基于FFT的高精度谐波检测算法是一种在电力系统中广泛应用的谐波检测方法。
通过对信号进行采样和预处理，然后使用FFT变换将信号从时域转换到频域，我们可以通过分析频谱曲线来检测谐波成分。
电力系统谐波分析的高精度FFT算法_张伏生
电力系统谐波分析的高精度FFT算法_张伏生传统的频谱分析方法是采用快速傅里叶变换（FFT）算法，但是由于快速傅里叶变换算法有一定的精度限制，无法准确地分析高次谐波。
为此，研究人员提出了一系列的高精度FFT算法来解决这个问题。
高精度FFT算法主要分为两大类：精确计算和加速计算。
精确计算方法包括：重叠块法、级联法、金数法等；加速计算方法包括：快速局部乘法法、快速选择法、快速准换法等。
这些算法的目的都是提高FFT算法的计算精度，从而更准确地分析电力系统中的谐波。
其中，重叠块法是一种较为常用的高精度FFT算法。
它通过将输入序列划分为若干个重叠的子序列，对每个子序列进行快速傅里叶变换，最后将结果进行累加。
这种方法可以准确地分析高次谐波，但是计算复杂度较高，效率相对较低。
另外，级联法也是一种常用的高精度FFT算法。
它将输入序列进行分段，每一段的长度为FFT的一半，然后将每一段的结果进行级联，最后得到整段序列的结果。
这种方法可以准确地分析高次谐波，同时计算复杂度相对较低，效率较高。
除了以上两种方法，金数法也是一种常用的高精度FFT算法。
它通过引入特定的数学运算，来减小FFT算法中的数值误差，从而提高计算精度。
金数法在计算精度方面有一定的优势，但是计算复杂度较高，效率相对较低。
综上所述，高精度FFT算法是电力系统谐波分析中的重要技术手段。
通过采用适当的高精度FFT算法，可以准确地分析电力系统中的谐波问题，保证系统的稳定运行。
未来，随着计算机技术的不断发展，高精度FFT算法将进一步完善和提高，为电力系统谐波分析提供更好的支持。
基于FFT算法的电力谐波检测技术研究
基于FFT算法的电力谐波检测技术研究随着电力负荷的增加和各种新能源设备的接入，电力系统中出现的谐波问题越来越严重。
谐波是一种频率与基波频率成整数倍关系的电信号，它们在电力系统中会引起各种问题，例如使电力设备产生热损失、影响电力设备的寿命、降低电力质量、损坏电力设备、以及干扰其他电子设备等。
因此，电力谐波检测技术的研究变得越来越重要。
电力谐波检测技术的目的是检测电力系统中的谐波，并对其进行分析和处理，以避免对电力系统以及其他电子设备造成损坏。
其中，谐波分析是电力谐波检测技术中的一个重要环节。
传统的谐波分析方法主要依赖于滤波技术，这种方法无法满足大数据量、高速实时性、转速变化、载重变化等作业要求。
因此，基于FFT（快速傅里叶变换）算法的电力谐波检测技术应运而生。
FFT算法是现代信号处理中最基本、最常用的算法，它可以将信号从时域变换到频域，使得信号的谱密度直观地呈现在频谱中。
在电力谐波分析中，FFT算法可以将复杂单相或三相的谐波信号进行频域分解，使得谐波频率成分和各种畸变因素在频域上清晰明了地表现出来。
此外，FFT算法在处理谐波时具有处理速度快、精度高、适应性强等优点。
电力谐波检测技术中，FFT算法的关键在于选取合适的采样频率。
采样频率是指采样时间内所进行的采样次数，采样频率越高，则谐波检测的精度越高。
然而，采样频率太高会导致计算复杂度增加，从而降低谐波分析的速度。
因此，如何选取合适的采样频率就变得至关重要。
此外，在电力谐波检测技术中，还需要考虑到其他因素。
例如，应选择合适的DSP芯片进行信号处理，以保证计算速度和准确度；在设计硬件电路时，还需要考虑到电磁噪声、接口兼容等问题。
总之，基于FFT算法的电力谐波检测技术在电力质量监控、电流振动分析、噪声分析等方面具有广泛的应用前景。
随着大数据、云计算等技术的应用，电力谐波检测技术将会得到越来越广泛的应用。
因此，未来的电力谐波检测技术需要不断创新，才能更好地适应市场需求。
电力系统谐波分析的高精度FFT算法
电力系统谐波分析的高精度FFT算法摘要：大量电力电子装置的迅速普及使得电网的谐波污染日益严重，谐波影响电力设备的安全使用，也对周围的通信系统和电网以外的设备带来危害。
谐波危害的严重性已引起人们的高度关注，出现了一些针对谐波的分析方法。
在非同步采样情况下快速傅立叶变化存在较大的误差，特别是相位的误差，无法直接用于电力系统谐波分析。
为了减小非同步采样对快速傅立叶变换的影响，提高电力系统中的谐波分析精度，文中通过加窗和插值对原算法进行了改进。
仿真结果表明，改进后的算法在非同步采样时，分析精度有显著提高。
关键词：FFT；电力谐波；分析近年来，随着电力电子技术的广泛应用，电力系统谐波污染日益严重，已成为影响电能质量的公害，对电力系统的安全、经济运行造成极大的影响。
所以对电网中的谐波含量进行实时测量，确切掌握电网中谐波的实际状况，对于防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。
电力系统的谐波分析，通常都是通过快速傅立叶变换(FFT)实现的。
然而FFT存在栅栏效应和泄漏现象，使算出的信号参数即频率、幅值和相位不准，尤其是相位误差很大，无法满足准确的谐波测量要求。
为了提高FFT算法的精度，V.K.Jain等提出了一种插值算法，对FFT的计算结果进行修正，可以有效地提高计算精度。
在此基础上，T.Grandke又利用海宁(Haning)窗减少泄漏，进一步提高了计算精度。
海宁窗w(n)＝0.5－0.5cos(2πn/N)是一种余弦窗，它仅包括两项。
如果增加余弦项的项数，可进一步减少泄漏。
1 离散傅立叶变换的泄漏现象和栅栏效应在实际谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和A/D转换得到的有限长的数字信号，这相当于对原始信号乘以一个矩形窗进行截短。
信号同步和非同步采样的离散频谱见图1。
图1同步采样的频谱由图1可以看出，同步采样时，采样序列的离散傅立叶变换（DFT）谱是单一的位于wm处的谱线；非同步采样时，频谱变成了以wm为中心、其形状为振荡并逐渐衰减的谱线，即信号频谱的频率成分从wm“泄漏”到其他频率处。
一种高精度加窗插值FFT谐波分析方法
摊
０ 引言
电力系 统 中的频率 是 变化 的 ．但是 数字 化变 电
于这种窗函数的高精度谐波分析方法 ，利用曲线拟 合 方法 推 导 出简洁 的修 正公式 。对含 ２ １ 次谐波 的复 杂信号进行仿谐波分析 ， 试验结果表明： 在非同步采 样和非整周期截断的条件下 ，本文算法能显著提高 基波频率 、 各次谐波幅值和相位的计算精度 ， 提高信 号 分析 准确 性 ， 适 合 于高 精度 谐波 分析 ｏ １ 。
ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ ｏ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ａ ｓ ｔ Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｘ ｍ （ Ｆ Ｆ Ｔ ）ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ， ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｂ ｌ ｅ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｄ ｏ ｕ ｂ ｌ ｅ － ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ｕ ｍ － ｌ ｉ ｎ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ ｏ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
０ １
一
种 高精 度加 窗插值Ｆ Ｆ Ｔ 谐 波 分析方 法
汪 立， 刘 翠琳
（ 武汉 大 学 电气工程 学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ２ ）
摘
要： 非 同步采样和 非整数周期截断造成的频谱泄漏会影响谐波测量结果 的准确性。提 出了一种高精度加 窗
Ｆ Ｆ ｒ 插值谐波分析方法。介 绍了一种余弦组合窗函数， 讨论 了该余弦组合 窗的特性 ， 并首次将该 窗函数运用在谐
ｉ ｓ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｐ ｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｆ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． Ｔ ｈ ｅ ｔ ｅ ｓ ｔ ｓ ｈ ｏ ｗｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｈ ａ ｓ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ａ ｎ ｄ ｉ ｓ ｍｏ ｒ ｅ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ， ａ ｍｐ ｌ ｉ ｔ ｕ ｄ ｅ ａ ｎ ｄ ｐ ｈ ａ ｓ ｅ ．
一种高精度的电力系统谐波分析算法
一种高精度的电力系统谐波分析算法1 引言随着现代工业的高速发展，电力系统中的非线性负荷日益增多，电力系统谐波污染问题受到了广泛的重视。
及时、准确地掌握电网中谐波的实际状况对于电力系统的安全、经济运行具有重要的意义。
电力系统的谐波分析常采用快速傅立叶变换（FFT）实现。
然而，电力系统的频率并不是时刻都为额定工频这一恒定值，它会在额定工频左右的一个范围内发生变化。
这样就无法保证这个实时的频率是采样频率分辨率的整数倍，也就无法达到同步采样，这是产生栅栏效应和频谱泄漏现象的主要原因之一。
文［1］~［3］给出了栅栏效应和频谱泄漏现象的产生原理，并指出：插值算法可以消除栅栏效应引起的误差，频谱泄漏引起的误差则需要用加窗函数的方法来消除。
近年来，有关文献在加海宁（Hanning）窗插值算法的基础上提出了加布莱克曼-哈利斯（Blackman-Harris）窗的插值算法［2, 3］。
算法具有较高的精度，但布莱克曼-哈利斯窗有3项系数和4项系数2种形式，在求解每一次谐波的幅值、相角参数时都要解一个一元五次方程（对应3项系数）或一元七次方程（对应4项系数），在运用高级语言采用迭代算法编程实现时，计算量较大。
同时，在不同步采样较严重时，加布莱克曼-哈利斯窗的插值算法对偶次谐波相位的计算依然会存在较大的误差［3］。
近年来，随着人工智能技术的发展，人工神经网络已经被应用于电力系统谐波分析。
应用于电力系统谐波分析的人工神经网络模型有自适应线性人工神经网络［4,5］（Adaline ANN和多层前馈自适应人工神经网络⑹（MLFNN）,运用人工神经网络进行谐波分析具有较高的精度，然而这2种方法均不完美：Adaline ANN模型必须在知道系统精确的基波频率的前提下才能进行精确的谐波分析。
如果不知道系统的精确频率而以50Hz来进行神经网络的训练，误差则较大。
MLFNh网络由于其训练过程的不确定性，一般在应用之前需要大量的训练甚至可能出现完全不能训练和局部极小值的情况，因而无法很好地满足实际应用的要求。
基于FFT的电网谐波检测方法的研究
基于FFT的电网谐波检测方法的研究1. 本文概述随着现代工业和科技的发展，电网的稳定性和电能质量越来越受到重视。
电网中的谐波污染问题，已成为电力系统运行和电能质量控制的重要课题。
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）作为一种高效、精确的信号处理技术，已在电网谐波检测领域得到了广泛应用。
本文旨在研究基于FFT的电网谐波检测方法，以期为电力系统的稳定运行和电能质量的提升提供理论支持和技术参考。
本文首先对电网谐波产生的原因、危害及检测的必要性进行概述，明确研究的背景和意义。
随后，详细介绍FFT算法的基本原理及其在谐波检测中的应用，包括算法流程、计算精度和效率等关键问题。
在此基础上，本文将探讨不同类型的FFT算法及其在谐波检测中的适用性，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）及其改进算法等。
本文还将重点关注基于FFT的谐波检测技术在电网中的应用实例，分析其在实际检测中的性能表现和存在的问题。
通过对比不同方法的优缺点，本文将探讨如何优化FFT算法以提高谐波检测的准确性和实时性。
本文还将探讨现代智能算法在电网谐波检测中的应用前景，如神经网络、模糊逻辑等。
本文将总结基于FFT的电网谐波检测技术的最新研究进展，并对未来研究方向提出展望。
通过本文的研究，我们期望能为电力系统中的谐波检测提供新的理论视角和技术手段，为保障电网安全稳定运行和提升电能质量做出贡献。
2. 谐波检测的重要性与挑战随着现代工业与科技的发展，电网中非线性负载的使用日益广泛，如整流器、变频器、电弧炉等。
这些设备在运行过程中会产生大量的谐波电流，对电网造成污染，影响电能质量。
谐波不仅会增加电网的线路损耗，降低设备效率，还可能引发谐振，对电网造成危害。
准确、快速地检测电网中的谐波成分，对于维护电网的稳定运行、提高电能质量、保障设备的正常运行具有重要意义。
谐波检测面临着诸多挑战。
电网中的谐波成分复杂多变，且可能同时存在多种频率的谐波，这使得谐波检测需要具备高灵敏度和高分辨率。
基于电网谐波检测的FFT算法研究及应用
基于电网谐波检测的FFT算法研究及应用随着电力系统的发展和电子设备的普及，电网谐波成为影响电力质量的重要因素之一。
因此，准确检测和分析电网中的谐波成为电力系统稳定运行和电能质量提高的关键技术。
传统的电网谐波检测方法主要采用滤波器法，但由于电网的非线性和复杂性，这种方法往往无法满足实际应用的精度要求。
因此，基于快速傅里叶变换（FFT）的谐波检测方法逐渐成为研究的热点。
FFT算法是一种高效的频谱分析方法，通过对电网信号进行傅里叶变换，可以将时域信号转化为频域信号。
在电网谐波检测中，可以将电网信号输入FFT算法，得到电网的谐波频谱，并通过分析谐波频谱来检测电网中的谐波成分。
基于电网谐波检测的FFT算法研究主要包括两个方面：一是对电网信号的预处理，二是对谐波频谱的分析。
在电网信号的预处理中，常常需要对电网信号进行采样和滤波处理，以保证输入FFT算法的信号质量。
而在谐波频谱的分析中，则需要对FFT算法得到的频谱进行峰值检测和谐波成分提取。
基于电网谐波检测的FFT算法在电力系统中有着广泛的应用。
首先，它可以用于电网谐波污染的监测和分析，通过对谐波频谱的分析，可以确定谐波的类型、频率和幅值，从而找到谐波源并采取相应的措施进行补偿。
其次，它可以用于电力设备的故障诊断，通过对电网信号进行谐波分析，可以判断设备是否存在谐波产生或传播的问题，并及时进行维修和保养。
此外，基于电网谐波检测的FFT算法还可以用于电能质量监测和电力系统的优化运行。
总之，基于电网谐波检测的FFT算法是一种有效的电力质量分析方法。
通过对电网信号的傅里叶变换，可以实现电网谐波的检测和分析，为电力系统的稳定运行和电能质量的提高提供了可靠的技术支持。
未来，我们需要进一步研究和改进FFT算法，以适应电力系统的发展需求，并推动其在实际应用中的广泛推广和应用。
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FFT ALGORITHM WITH HIGH ACCURACY
FOR HARMONIC ANALYSIS IN POWER SYSTEM
Zhang Fusheng Xian Jiaotong University Xian,710049 China
当K＝1时，选用海宁窗，可以算出 代入公式(16)可以得出复幅值
(21)3)
当K＝2时，选用布莱克曼窗，可以得到
(24)
(25)
求出λ在0和1之间的根后，利用(14)式可算出频率fm，利用公式(16)可算出幅值Am，并利用公式(24)计算相位φm。 当K＝3时，选用布莱克曼-哈里斯窗，可以得到
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电力系统谐波分析的高精度FFT算法
2009-11-09 11:35
原文出处：/periodical/periodical.articles/zgdjgcxb/zgdj99/zgdj9903/990315.htm
以下提供一组计算实例，信号幅值为电力系统实测谐波参数，相位参数为自拟，基波为50Hz工频，采样频率为300 0Hz，数据长度为1024采样点：
Tab.1 Parameters of harmonic signal
表1 谐波信号参数
谐波fk 基波 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次 九次 十次 十一次 幅值Ak 240 0.1 12 0.1 2.7 0.05 2.1 0 0.3 0 0.6 相位φk 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° - 80° - 100°
(3) xm(t)的傅立叶变换为xm(ω)＝Am2πδωm(ω)，即在ωm处有一条单一的谱线。矩形窗的傅立叶变换为
(4) 根据傅立叶变换的乘积定理， m(t)的傅立叶变换为xm(ω)和WT(ω)的卷积
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若不计相位的变化， m(ω)的幅值如图1所示。可以看出 m(ω)已不再是单一的谱线，而是分布在整个频率轴上， 这就是说能量不再集中，即产生了泄漏现象。谐波分析中，各次谐波所泄漏的能量会相互影响，造成误差。
电力系统的谐波分析，通常都是通过快速傅立叶变换(FFT)实现的。然而FFT存在栅栏效应和泄漏现象，使算出的 信号参数即频率、幅值和相位不准，尤其是相位误差很大，无法满足准确的谐波测量要求。为了提高FFT 算法的精 度，V.K.Jain 等提出了一种插值算法，对FFT的计算结果进行修正，可以有效地提高计算精度。在此基础上，T.Grand ke 又利用海宁( Haning)窗减少泄漏，进一步提高了计算精度。
α＝－［－12.914＋1.223(λ2－1)－0.2836(λ－1)4］(λ＋3)/［(0.2836λ4－1.223λ2＋12.914)(λ－4)］(26)
其余参数计算过程同上。
6 模拟分析结果
加窗插值方法具有很高的精度，尤其是在以下两个方面：一是对于相位的计算。FFT所算出的相位误差很大，根本 无法用于谐波分析。而该方法使相位精度得到显著提高，因而使得谐波分析、阻抗计算有了切实的依据。二是能够有 效地抑制谐波之间，或杂波及噪声的干扰。即使对于幅值较小的偶次谐波，在FFT中经常被大幅值奇次谐波的泄漏所淹 没，该方法也能准确地算出其各项参数。
由于通常N都取得较大(N≥1024)，而且λ<1，因此可以做以下近似
利用公式(16)和(17)，即可求出K值时插值点的准确的λ值。 将λ代入公式(14)，即可得到准确的频率fm。将λ代入公式(16)，即可得到准确的复振幅Am，从而求出准确的幅值｜
Am｜和相位φm。
/zhaolinger%5F789/blog/item/5cdfb2c95d01571d7f3e6fcd.html
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为节省篇幅，表2仅列出了用FFT算法及用海宁窗（K＝1）和布莱克曼-哈里斯窗（K＝3）时的计算结果，图4 给出 了计算误差曲线。可以看出FFT的结果误差大，尤其是相位的计算结果根本是不可用的。加窗后精度提高了三、四个数 量级，而当K＝3时精度最高，尤其是相位计算准确，完全可以满足电力系统谐波分析的要求。
设信号为单一频率信号
xm(t)＝Amejωmt(1)
矩形窗为
(2)
持续时间为T的信号相当于xm与wT的乘积
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(10)
不同K值和系数ak决定了不同的窗，K＝1时，a0＝0.54，a1＝0.46，为哈明窗，a0＝a1＝0.5为海宁窗；K＝2，a0＝ 0.42，a1＝0.50，a2＝0.08时为布莱克曼窗。
图3给出了K＝0、…、3时窗的对数频谱。可以看出，当K增大时，旁瓣衰减增大，因而能够更好地抑制泄漏，同时 也可看到主瓣宽度随K值而增加，因而K值也不宜选得太大。 Fig.3 The logarithm spectrum of the window functions 选用余弦窗的一个主要原因在于它便于进行频 谱计算。通常信号加窗都是在时域进行的，即xw(t)＝x(t)w(t)，然后进行傅立叶变换。而对于余弦窗，可以先对信号 进行傅立叶变换，然后在频域进行处理。设离散信号x(n)的频谱为X(θ) ，则由公式(10)可以得出
KEY WORDS Fourier transform Electric power system Harmonic
1 引言
近年来，随着电力电子技术的广泛应用，电力系统谐波污染日益严重，已成为影响电能质量的公害，对电力系统 的安全、经济运行造成极大的影响。所以对电网中的谐波含量进行实时测量，确切掌握电网中谐波的实际状况，对于 防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。
插值算法可以消除栅栏效应引起的误差，而谐波间的泄漏引起的误差则需用加窗的方法来消除。
3 余弦窗的特性
余弦窗的一般表达式为
图2 x(n)的离散频谱
(7) 式中 K是余弦窗的项数。K＝0时，就是矩形窗。为了满足插值计算的需要，对系数ak有如下限制
设幅值为1的矩形窗为w0(n)＝1，n＝0，1，…，N－1，它的离散傅立叶变换DFT称为狄里克来核(Dirichlet)
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(9)
余弦窗的特点是它的DFT表达式很简单，可以表示为狄里克来核的代数和
fm＝(l＋λ)Δf 0≤λ<1 (14)
则当λ<0.5时，｜X(l)｜取得极大值；当λ>0.5时， ｜X(l＋1)｜取得极大值，并且由(13)式得到
Xm(l＋n)＝AmD(n－λ), n为整数 (15)
此式代入(11)，得到加窗信号的频谱在整数采样点的数值为
设定如下系数
(17) 式中 Xmw(l)和Xmw(l＋1)是相邻的两个峰值点。
Fig.1 The leakage of spectrum
对于离散傅立叶变换(DFT)来说，从频率的离散化得到
图1 泄漏的产生
(6) 式中 Δω＝2π/T。离散化的频谱如图2所示。
Fig.2 The discrete spectrum of x(n)
从图2可以看出，如果不是整周期采样，即信号ωm不是Δω的整倍数，那么即使信号只含有单一频率，DFT也不可能 求出信号的准确参数，这一现象通常叫做栅栏效应。
2009-11-12
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5 插值公式
下面讨论K＝0,…,3时的插值公式。 当K＝0时，由于窗系数ak不满足公式(8b)，我们须对公式(17)做些修正，令
从而可求出 频率仍用(14)式，幅值用(16)式得到
(18) (19)
相位计算可用下式
(20)
海宁窗w(n)＝0.5－0.5cos(2πn/N) 是一种余弦窗，它仅包括两项。如果增加余弦项的项数，可进一步减少泄漏。 本文分析了多项余弦窗的特性，并提出了对加窗后信号进行插值的算法。该算法能极大地提高FFT计算的精度，从而满 足谐波测量中对谐波参数的精度要求。文中给出了计算实例，实例表明该算法具有很高的计算精度，即使对于幅值很 小的偶次谐波也能准确地求出其各项参数，尤其是对于提高相位计算的精度更为明显。
2 离散傅立叶变换的泄漏与栅栏效应
在谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和A/D转换得到的数字信号。设待测信号为x(t)，采样间隔为Δt秒， 采样频率fs＝1/Δt 满足采样定理，即fs大于信号最高频率分量的两倍。则采样信号为x［n］＝x(nΔt)，并且采样信号 总是有限长度的，即n＝0，1，…，N－1。也就是说，所分析的信号的持续时间为T＝NΔt，这相当于对无限长的信号做 了截断，因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象。
图3 窗函数的对数频谱
(11)
这一特点便于我们导出下面的插值方法。
4 插值方法
为简便起见，设采样间隔Δt＝1，DFT的频率分辨率Δf＝1/T＝1/(Δt．N)＝1/N。对于单一频率信号
xm(t)＝Amej2πfmt(12)
可以得出
(13)
对于离散频谱，θ仅能取0…N－1 之间的整数值。设fm在频率lΔf和(l＋1) Δf之间，l为整数，即
Geng Zhongxing Research Center for Aviation Engineering and Technology,Beijing 100076 China