第四章 弯曲内力解析
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学课件04弯曲内力
影响线的绘制方法
静力法
通过平衡条件，将单位集中荷载作用 于简支梁上，绘制弯矩图或剪力图。
机动法
利用梁的微段运动特性，通过几何关 系绘制影响线。
影响线的应用实例
确定最不利荷载位置
通过比较不同位置的荷载值，确定最不利荷载位置，以便进行结 构设计。
校核承载能力
根据影响线确定最不利荷载位置的弯矩值，校核梁的承载能力是否 满足设计要求。
02
在桥梁、建筑、机械等领域中，需要根据剪力和弯矩的分布规律进行结构设计， 确保结构的承载能力和稳定性。同时，在设计过程中还需要考虑材料的力学性能 、施工方法等因素，以满足工程实际需求。
剪力和弯矩的分布规律实验验证
为了验证剪力和弯矩的分布规律，需 要进行相关的实验验证。通过实验可 以测量梁在不同弯曲程度下的剪力和 弯矩值，并与理论分析结果进行比较 。
集中载荷下的简化和计算
总结词
集中载荷作用下，弯曲内力可以直接通过载 荷和支撑反力计算。
详细描述
在集中载荷作用下，梁的弯曲内力可以通过 将载荷与支撑反力相乘得到。这种方法适用 于载荷作用点明确的情况，计算过程简单明 了。
特殊情况下的简化和计算
要点一
总结词
某些特殊情况下，可以利用梁的对称性和载荷特性简化弯 曲内力的计算。
03
弯曲内力的大小与梁的截面尺寸、形状、材料属性 以及外力矩的大小和方向有关。
弯曲内力的类型
正应力
垂直于截面的应力，主要引起梁的弯曲变形 。
剪应力
与截面相切的应力过程中，梁截面上同时存在正应力和 剪应力，其中对梁的强度和稳定性影响最大 的应力。
弯曲内力分析的重要性
弯矩
由于弯曲变形产生的内力矩，其分布规律与梁的截面形状和弯曲方式有关。在梁的中部，弯矩通常为 负值，表示梁的上侧受压、下侧受拉；在梁的支座处，弯矩通常为正值，表示梁的上侧受拉、下侧受 压。
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
工程力学(材料力学部分第四章)
特点：2
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
4-弯曲内力解析
B
B
P
a a
P
a
B
a
A
P 2
A l
B
R
A
R
B
P 2
b R P l
A
a R P l
B
A l
B
m2
A
l
a B
P
R
A
m l
R
B
m l
a R P l
A
R PR
B
A
第二节 梁的剪力和弯矩
一、截面法过程：截取、替代、平衡 F a
A B
弯曲内力
x
C
M
FS
F
F M
FB
y
B
计算简图
约束反力
FA A MA
q0
MR FRx
FRy
固定铰支座和可动铰支座
固定铰 支座 可动铰 支座
计算简图 约束反力
FRy FR
FRx
3.作用在梁上的荷载可分为:
F1 M
弯曲内力
(a)集中荷载
集中力
q(x)
集中力偶
q
(b)分布荷载
任意分布荷载 均布荷载
4.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。(判断方法略) (a)悬臂梁 (b)简支梁
C
1m
D
K
3m
Me=5kN· m B
1m
MA 50kN A E FAx FAy
0.5m
FCy' C FCx' D
3
M
q =20kN/m
C
0
Me=5kN· m
C FCx
M
C
0 20 10 3 2.5 5 10 FBy 5 0 FBy 29kN
第4章 弯曲内力
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截
面的位置而变化。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x), M M (x)
称为剪力方程和弯矩方程
x
AB段:
a
B a
Cx
FQ (x) 0 (0 x a)M (x) m a (0 x a)BC段:
m=Pa P
FQ (x) P (a x 2a) M (x) m P(x a)
A
xB a
a
2Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和M
max
max
第四章 弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q
P
A
B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
内力偶M是与横截面垂直的内力系的合
力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
剪力Q ：截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
第4章弯曲内力
第4章 弯曲内力杆件在外力作用下，横截面上将产生轴力、剪力、扭矩、弯矩等内力分量。
在很多情况下，内力分量沿杆件的长度方向分布不是均匀的。
研究强度问题，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面，内力分量最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。
为了确定内力分量最大的横截面，必须知道内力分量沿着杆件的长度方向是如何分布的，杆件的内力图就是表示内力分量变化的图形。
4.1 基本概念和基本方法4.1.1 整体平衡与局部平衡确定外力作用下杆件横截面上的内力分量，重要的是正确应用平衡的概念和平衡的方法。
这一点与静力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同，主要区别在于：在静力分析中只涉及整个系统或单个构件的平衡，不仅要涉及构件系统以及单个构件的平衡，而且还要涉及构件的局部平衡，因此，需要将平衡的概念加以扩展和延伸。
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。
前者称为整体平衡或总体平衡(overall equilibrium)，后者称为局部平衡(local equilibrium)。
整体是指杆件所代表的某一构件，局部是指可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分，也可是无限接近的两个截面所截出的一微段，还可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部。
这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件，而且适用于所有弹性体，因而可以称为弹性体平衡原理(equilibrium principle for elastic body)。
4.1.2 内力与外力的关系应用截面法，可以求出杆件任意截面上的内力，其内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡。
我们可以发现，当杆件上的外力(包括载荷与约束力)沿杆的轴线方向发生突变时，内力也将发生改变。
外力突变是指有集中力、集中力偶作用，或者分载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
外力改变，内力随之改变，如果两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的内力都一样，可以用一个数学方程或同一曲线描述。
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(b)简支梁
4.作用在梁上的荷载可分为:
(a)集中荷载
F1
集中力
q(x)
(b)分布荷载
任意分布荷载
(c)外伸梁
M
集中力偶
q
均布荷载
工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
§4-3 剪力和弯矩
一、截面法过程：切取、替代、平衡
a
F
Fy 0 : FA FS 0
第一章 绪论 第二章 拉伸、压缩与剪切 第三章 扭转 第四章 弯曲内力 第五章 弯曲应力 第六章 弯曲变形 第七章 应力和应变分析、强度
理论 第八章 组合变形 第九章 压杆失稳
第四章 弯曲内力
§4-1，2 弯曲的概念及梁的计算简图 §4-3 剪力和弯矩 §4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4-6 平面曲杆的弯曲内力
弯矩方程, 并作该梁的剪力图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
l
FA
ql / 2
B
由对称性知：
FB
FA
FB
ql 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
M
+
l/2
ql / 2
ql 2 8
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
FA FA
M 0
l
x Mx 0
l
x
x
a a
Ma l
+
CB段
:
FS
M
( (
x) x)
FB
FB l
M l
x
a x l
M l x a x l
l
由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯
Mb
l
矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。
例: 图示简支梁受均布荷载q的作用，试列剪力方程和
M
M M
M
弯矩为正
弯矩为负
例: 求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A
1
2m
1
2
B
2 1.5m
FA 1.5m
1.5m
3m
FB
解： 1、求支
MB
0
FA
6
F
4.5
q
3
3 2
0
FA
15kN
反力
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可 推知剪力图和弯矩图的形状:
1. 以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支 座截面处为界点将梁分段.
2．若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而 弯矩弯矩图为斜直线。
3．若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；而弯矩图为抛物线。 本书规定当 （ 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 （向下） 时，弯矩图为向上凸的曲线。
l
由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪 力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突 变方向沿集中力作用的方向。
例: 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试
列剪力方程和弯矩方程, 并作剪力图和弯矩图.
F
解 (1) 将坐标原点取在梁的 A
B
左端，列出梁的剪力方程 和
A
B
FS FA
x
CM
FA
x
FS
MC 0 : M FA x 0
M FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力：
①剪力—平行于横截面的内力，符号：FS ，正负号规定： 使梁顺时针转动剪为正，反之为负.
FS
FS
FS
FS
剪力为正
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲的概念
弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线
在变形后成为曲线的变形形式。
受力特点——作用于杆件上的外力或外力偶都垂直于杆的轴线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
F1
q
F2
M
纵向对称面
对称弯曲—— 构件几何特征
受力特征 变形特征
构件为具有纵对称面的等截面直杆 横向外力或外力偶均作用在杆的纵向对称面内 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线
工程实例:
跳板
摇臂钻的臂
立交桥梁
车刀
§4-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称
面内的平面力系。
1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支
座加到轴线上。
2.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
3.静定梁 (a)悬臂梁
RA
F
1
2
寸如图所示.试用本节所述关系作此 A
C
梁的剪力图和弯矩图.
F
FA
A
C
FB
B
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
a
b
2、建立剪力方程和弯矩方程
l
Fb l
+
AC段
:FSLeabharlann M (x) (x)
FA FA
Fb 0
l x Fbx
l
0
x a x a
Fa l
Fba
+
l
CB段
:
FS
M
(x) (x)
FB
FA l
Fa l
x
a x l
Fa l x a x l
x
弯矩方程
l
FS
FS( x) F (0 x l)
x
M ( x) Fx (0 x l)
F
M
例: 在图示简支梁AB的C点处作用一集中
力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。
FA
M
A
C
a
b
FB
B
解： 1、求支反力
FA
M； l
FB
M l
2、建立剪力方程和弯矩方程
l
M l
+
AC段
:
FS M
(x) (x)
2、计算1-1 截面的内力 FA 3、计算2-2 M2 截面的内力
F=8kN
FS1
q=12kN/m
FS2
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
FB
1.5
q
1.5 1.5 2
30kN
m
§4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图
4．在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩 图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变 （突变值等于集中力偶矩）
5．梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最 大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs = 0 的截面处.
例一简支梁受两个力F作用，如 图所示。已知 F= 25.3kN， 有关尺
1.剪力、弯矩方程：
MFS
FS ( x) M (x)
2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴
沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
例: 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，试列剪
力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。