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2017年数学市二模答案

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上海市杨浦区2017届高考数学二模试卷(详解版)

上海市杨浦区2017届高考数学二模试卷(详解版)

2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷一、填空题1．（4分）三阶行列式中，5的余子式的值是．2．（4分）若实数ω＞0，若函数f（x)=cos(ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω=．3．（4分）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．4．（4分）设向量=（2，3）,向量=（6,t），若与夹角为钝角,则实数t的取值范围为．5．（4分)集合A={1，3,a2｝,集合B=｛a+1，a+2}，若B∪A=A,则实数a=．6．（4分）设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则｜z1﹣z2|=．7．设f（x）是定义在R上的奇函数,当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x)＜﹣5的解为．8．若变量x、y满足约束条件,则z=y﹣x的最小值为．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2,0）,若满足|AF｜=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为．11．已知a＞0，b＞0,当（a+4b）2+取到最小值时，b=．12．设函数f a（x）=|x｜+｜x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a(x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．二、选择题13．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的(）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设等差数列｛a n}的公差为d，d≠0，若｛a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞015．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（）A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a16．对于定义在R上的函数f(x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f(x)+b 对一切x∈R均成立,则称f（x）是“控制增长函数”,在以下四个函数中：①f （x)=x2+x+1；②f（x）=; ③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数"的有（）A．②③B．③④C．②③④D．①②④三、解答题17．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4，P、Q分别是棱BC与B1C1的中点．(1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；(2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．18．（14分）已知函数f（x）=．（1)判断函数f(x）的奇偶性,并证明；(2）若不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，求c的取值范围．19．（14分)如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC上,现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直,街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．(1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因,三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元,问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）20．（16分）设数列｛a n｝满足a n=A•4n+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B ≠0．（1)若A=B=1，求{a n｝的前n项之和;（2）证明：{a n}不是等比数列;（3）若a1=a2，数列｛a n}中除去开始的两项之外,是否还有相等的两项？证明你的结论．21．（18分)设双曲线Γ的方程为x2﹣=1,过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点,直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积;（2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小,并说明理由；(3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解:由题意，去掉5所在行与列得:=﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．2．若实数ω＞0，若函数f(x)=cos(ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω=2．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解:实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx)+sin(ωx)=sin（ωx+）的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．3．已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1，∴母线长l为:=，∴圆锥的侧面积为:πrl=π×1×=π,故答案为：π．【点评】题考查了圆锥的侧面积的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．4．设向量=（2，3）,向量=(6，t），若与夹角为钝角，则实数t的取值范围为（﹣∞，﹣4）．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得＜0，且、不共线,即，由此求得实数t的取值范围．【解答】解：若与夹角为钝角，向量=（2，3），向量=（6，t）,则＜0,且、不共线，∴，求得t＜﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4）．【点评】本题主要考查两个向量的数量公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．集合A={1，3，a2},集合B=｛a+1，a+2｝，若B∪A=A，则实数a=2．【考点】18:集合的包含关系判断及应用．【分析】根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A,得到B⊆A，∵A=｛1,3，a2},集合B={a+1,a+2},∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3,a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案为2．【点评】此题考查了并集的意义,以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．6．设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2｜=2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】求出z,即可求出|z1﹣z2|．【解答】解:由题意，z=﹣1±i，∴|z1﹣z2|=｜2i|=2，故答案为2．【点评】本题考查复数的运算与球模,考查学生的计算能力，比较基础．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时,f（x）=2x﹣3，则不等式f（x)＜﹣5的解为（﹣∞，﹣3)．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0,解不等式即可．【解答】解:若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f(x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x)=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x)=2﹣x﹣3=﹣f(x),则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0,当x＞0时，不等式f(x）＜﹣5等价为2x﹣3＜﹣5即2x＜﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x)＜﹣5等价为﹣2﹣x+3＜﹣5即2﹣x＞8,得﹣x＞3，即x＜﹣3；当x=0时,f（0）=0，不等式f(x）＜﹣5不成立，综上,不等式的解为x＜﹣3．故不等式的解集为(﹣∞，﹣3）．故答案为（﹣∞，﹣3）．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解,根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．8．若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为﹣4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A（8，4),化目标函数z=y﹣x,得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A（8，4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数m=2×6+6×4﹣2×4=28，由此能求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率．【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子,两人相互独立地进行,基本事件总数n=6×6=36，小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数:m=2×6+6×4﹣2×4=28，∴小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为(﹣2，0），若满足｜AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为8＜a＜12．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=10的点A有且仅有两个，可得a ﹣2＜10＜a+2,即可得出结论．【解答】解：由题意，F是椭圆的焦点，∵满足｜AF|=10的点A有且仅有两个，∴a﹣2＜10＜a+2，∴8＜a＜12，故答案为：8＜a＜12．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知a＞0，b＞0，当(a+4b）2+取到最小值时，b=．【考点】7F:基本不等式．【分析】根据基本不等式，，a=4b时取等号，进而得出，进一步可求出a=1,时，取到最小值，即求出了此时的b的值．【解答】解:∵a＞0，b＞0；∴，当a=4b时取“=”；∴（a+4b)2≥16ab；∴=8，当，即，a=1时取“=”；此时，b=．故答案为：．【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．12．设函数f a(x)=｜x|+|x﹣a|,当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得函数f a（x）=｜x｜+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象，进而可得在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的，由圆的面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f a（x）=|x｜+｜x﹣a|，当a变化时，其图象为在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的,则其面积S=×π=；故答案为：．【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数f a(x）=｜x｜+|x﹣a|（当a在实数范围内变化)的图象．二、选择题13．设z∈C且z≠0,“z是纯虚数"是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R"，反之不成立,例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设等差数列｛a n}的公差为d,d≠0，若{a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞0【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由｛a n｝的前10项之和大于其前21项之和，得到a1＜﹣15d，由此得到a16=a1+15d＜0．【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵｛a n｝的前10项之和大于其前21项之和，∴10a1+＞21a1+d，∴11a1＜﹣165d，即a1＜﹣15d,∴a16=a1+15d＜0．故选:C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（)A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】L*:球面距离及相关计算．【分析】分别计算a，b，c,即可得出结论．【解答】解：设球的半径为R，球心角∠COD=2α，则b=πR，a=2αR,∵CD＜AB,∴c＜b,∵CD=2Rsinα，∴c=2πRsinα，∵0＜α＜，∴=＞1，∴c＞a,∴b＞c＞a,故选D．【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．16．对于定义在R上的函数f(x）,若存在正常数a、b,使得f(x+a)≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f(x）是“控制增长函数"，在以下四个函数中：①f（x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x)=sin(x2)；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数"的有(）A．②③B．③④C．②③④D．①②④【考点】3T:函数的值．【分析】假设各函数为“控制增长函数",根据定义推倒f（x+a）≤f(x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．【解答】解：对于①，f(x+a)≤f（x）+b可化为:（x+a)2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，由函数的定义域为R,故不存在满足条件的正常数a、b,故f（x)=x2+x+1不是“控制增长函数";对于②,若f（x）=是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为:≤+b,∴｜x+a｜≤｜x|+b2+2b恒成立，又｜x+a｜≤|x｜+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，显然当a＜b2时式子恒成立,∴f（x）=是“控制增长函数”;对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a)﹣f（x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数,使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“控制增长函数”；对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，∵（x+a）sin（x+a)≤x+a,∴x+a≤xsinx+b≤x+b,即a≤b，∴f（x）=xsinx是“控制增长函数"．故选C．【点评】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．三、解答题17．（14分)（2017•杨浦区二模）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4,P、Q 分别是棱BC与B1C1的中点．(1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；（2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以D为原点，DA,DC，DD1为x，y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线D1P和A1Q所成角．（2）以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积V=．【解答】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1为x,y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1（0，0，4），P（2，4，0）,A1（4,0,4）,Q（2，4,4），=(2，4，﹣4)，=(﹣2,4,0）,设异面直线D1P和A1Q所成角为θ，则cosθ===，∴θ=arccoa．∴异面直线D1P和A1Q所成角为arccos．(2）∵==8，PQ⊥平面A1D1Q，且PQ=4,∴以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积:V===．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查四面体的体积的求法，是中档题,考查推理论证能力、运算求解能力,考查转化化归思想、数形结合思想．18．（14分）（2017•杨浦区二模）已知函数f（x）=．(1）判断函数f(x）的奇偶性，并证明；（2）若不等式f（x）＞log9(2c﹣1）有解,求c的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用奇函数的定义，即可得出结论；(2）f（x）===﹣+∈（﹣，），不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解,可得＞log9（2c﹣1），即可求c的取值范围．【解答】解：(1）函数的定义域为R，f（x）==,f（﹣x）==﹣f（x），∴函数f(x）是奇函数；（2）f（x）===﹣+∈（﹣,）∵不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解,∴＞log9（2c﹣1），∴0＜2c﹣1＜3,∴．【点评】本题考查奇函数的定义，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．19．（14分）（2017•杨浦区二模）如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直,线段RQ表示第三条街道．（1）如果P位于弧BC的中点,求三条街道的总长度；（2)由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）【考点】HU：解三角形的实际应用；HS：余弦定理的应用．【分析】（1）由P为于∠BAC的角平分线上，利用几何关系，分别表示丨PQ 丨,丨PR丨，丨RQ丨，即可求得三条街道的总长度；(2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°,根据三角函数关系及余弦定理，即可求得丨PQ丨,丨PR丨，丨RQ丨，则总效益W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400，利用辅助角公式及正弦函数的性质,即可求得答案．【解答】解：(1）由P位于弧BC的中点,在P位于∠BAC的角平分线上，则丨PQ丨=丨PR丨=丨PA丨sin∠PAB=2×sin30°=2×=1,丨AQ丨=丨PA丨cos∠PAB=2×=，由∠BAC=60°,且丨AQ丨=丨AR丨,∴△QAB为等边三角形，则丨RQ丨=丨AQ丨=,三条街道的总长度l=丨PQ丨+丨PR丨+丨RQ丨=1+1+=2+；(2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，则丨PQ丨=丨AP丨sinθ=2sinθ，丨PR丨=丨AP丨sin（60°﹣θ）=2sin（60°﹣θ）=cosθ﹣sinθ,丨AQ丨=丨AP丨cosθ=2cosθ,丨AR丨=丨AP丨cos（60°﹣θ）=2cos（60°﹣θ）=cosθ+sinθ由余弦定理可知：丨RQ丨2=丨AQ丨2+丨AR丨2﹣2丨AQ丨丨AR丨cos60°, =(2cosθ）2+（cosθ+sinθ)2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos60°，=3,则丨RQ丨=,三条街道每年能产生的经济总效益W，W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ 丨×400=300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400，=200（2sinθ+cosθ)+400，=200sin(θ+φ）+400,tanφ=,当sin（θ+φ）=1时，W取最大值，最大值为200+400≈1222,三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．【点评】本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理,正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力,属于中档题．20．（16分）（2017•杨浦区二模）设数列{a n｝满足a n=A•4n+B•n,其中A、B是两个确定的实数，B≠0．(1)若A=B=1，求｛a n}的前n项之和；（2)证明:{a n}不是等比数列;（3）若a1=a2，数列{a n}中除去开始的两项之外,是否还有相等的两项？证明你的结论．【考点】8E:数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1)运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（2）运用反证法，假设{a n}是等比数列，由定义，设公比为q，化简整理推出B=0与题意矛盾,即可得证；(3）数列{a n}中除去开始的两项之外,假设还有相等的两项，由题意可得B=﹣12A，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，求出导数和单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）由a n=4n+n，可得{a n｝的前n项之和为（4+42+…+4n）+（1+2+…+n）=+n（n+1）=(4n﹣1）+（n2+n）；（2）证明：假设｛a n｝是等比数列，即有=q(q为公比),即为Aq•4n+Bq•n=A•4n+1+B•（n+1），即Aq=4A，Bq=B，B=0，解得q=4，B=0，这与B≠0矛盾,则{a n}不是等比数列；（3）若a1=a2,数列{a n｝中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，设为a k=a m,（k，m不相等），由a1=a2，可得4A+B=16A+2B,即B=﹣12A．则a n=A•4n+B•n=A（4n﹣12•n)，即有A(4k﹣12•k)=A（4m﹣12•m),即为4k﹣12•k=4m﹣12•m，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，f′(x)=4x ln4﹣12,由f′（x)=0可得x0=log4∈(1，2),当x＞x0时,f′（x）＞0,f（x）递增，故数列{a n}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项．【点评】本题考查数列的求和方法:分组求和,考查等比数列和等差数列的求和公式，同时考查反证法的运用，以及构造函数法,考查化简整理的运算能力,属于中档题．21．(18分）（2017•杨浦区二模）设双曲线Γ的方程为x2﹣=1，过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B 在直线l2上的射影分别为C、D．（1)当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积；（2)当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时,试比较和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数t∈（﹣1,1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．【考点】KC：双曲线的简单性质．（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1,可得c==2,可得右焦点F（2,0）．当【分析】l1垂直于x轴，t=﹣2时,由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．即可得出面积．（2)作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN,垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．利用双曲线的第二定义可得：=,==．（3)存在实数t∈(﹣1,1),t=时,定点．下面给出证明分析：设直线AB的方程为：y=k(x﹣2）,A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2))．则C（t，k（x1﹣2）），D（t,k（x2﹣2）)．直线方程与双曲线方程联立化为：（3﹣k2）x2+4k2x ﹣4k2﹣3=0，分别得出:直线AD与BC的方程，进而得出．【解答】解：（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1，可得c==2，可得右焦点F(2，0)．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．代入双曲线可得：22﹣=1，焦点y=±3．∴四边形ABDC的面积S=4×6=24．(2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．则==+．===．∵｜AF｜＞｜FB|，∴＜．∴＜1．（3)存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明:设直线AB的方程为：y=k（x﹣2）,A(x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2)）．联立，化为：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=，x1•x2=．直线AD的方程为:y﹣k(x1﹣2）=(x﹣x1），令y=0，解得x=．直线BC的方程为：y﹣k（x2﹣2)=（x﹣x2）,令y=0，解得x=．由=，可得：（2+t）（x1+x2)﹣2x1•x2﹣4t=0．∴（2+t）•﹣2•﹣4t=0．化为:t=，不妨取k=1，则2x2+4x﹣7=0,解得x=．不妨取x1=，x2=．定点的横坐标x===．∴定点坐标．【点评】本题考查了双曲线的第二定义、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

大连市2017年中考数学二模试卷及答案解析

大连市2017年中考数学二模试卷及答案解析

大连市2017年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．在下列实数中，是无理数的为（）A．0 B．﹣3.5 C．D．2．据统计，“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825400余人次，数825100用科学记数法表示为（）A．8251×102B．825.1×103C．82.51×104D．8.251×1053．下列几何体中，主视图是三角形的为（）A．B．C．D．4．把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+5 B．y=2x2﹣5 C．y=2（x+5）2D．y=2（x﹣5）25．如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣3，0）、B（0，2），则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜26．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A．15个B．20个C．30个D．35个7．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，量得它们的长度如下（单位：cm）：16、9、14、11、12、10、16、8、17、16则这组数据的中位数为（）A．9 B．11 C．13 D．168．一圆锥的底面直径为4cm，高为cm，则此圆锥的侧面积为（）A．20πcm2B．10πcm2C．4πcm2D．4πcm2二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）9．因式分解：x2﹣36= ．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是．11．一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是．12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则BD的长为．13．如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为m（精确到0.1m，参考数据≈1.73）14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B的坐标为（1，2），将△AOB沿x轴向右平移得到△A′O′B′，点B的对应点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上，此时点A移动的距离为．15．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，则点O′的坐标为．三、解答题（本题共39分）17．计算：（﹣）0+|4﹣|﹣．18．先化简，再求值：m（m﹣2）﹣（m﹣1）2+m，其中m=﹣．19．如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线与AD相交于点E，求DE的长．20．某区为了解七年级学生开展跳绳活动的情况，随机调查了该区部分学校七年级学生1分钟跳绳的次数，将调查结果进行统计，下面是根据调查数据制作的统计图表的一部分．分组次数x（个）人数A 0≤x＜120 24B 120≤x＜130 72C 130≤x＜140D x≥140根据以上信息，解答下列问题：（1）在被调查的学生中，跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为人，跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比为%；（2）本次共调查了名学生，其中跳绳次数在130≤x＜140范围内的人数为人，跳绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的百分比为%；（3）该区七年级共有4000名学生，估计该区七年级学生1分钟跳绳的次数不少于130个的人数．四、解答题（本题共28分）21．某车间加工1500个零件后，采用了新工艺，工作效率提高了50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？22．某商场销售一种商品，在一段时间内，该商品的销售量y（千克）与每千克的销售价x（元）满足一次函数关系（如图所示），其中30≤x≤80．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品每千克的成本为30元，当每千克的销售价为多少元时，获得的利润为600元？23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O 的切线，与AB的延长线相交于点F．（1）判断△ACD的形状，并加以证明（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．五、解答题（本题共35分）24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（7，0），点C在第一象限，AC ∥x轴，∠OBC=45°．（1）求点C的坐标；（2）点D在线段AC上，CD=1，点E的坐标为（n，0），在直线DE的右侧作∠DEG=45°，直线EG与直线BC相交于点F，设BF=m，当n＜7且n≠0时，求m关于n的函数解析式，并直接写出n的取值范围．25．阅读下面材料：小明遇到这样两个问题：（1）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为D，BC=﹣6，求OD的长；（2）如图2△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．对于问题（1），小明发现根据垂径定理，可以得出点D是AC的中点，利用三角形中位线定理可以解决；对于问题（2），小明发现延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可以得到全等三角形，通过计算可以解决．请回答：问题（1）中OD长为；问题（2）中AD的取值范围是；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（3）如图3，△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AC=mEC，AB=2 EC，AD=nDB．①当n=1时，如图4，在图中找出与CE相等的线段，并加以证明；②直接写出的值（用含m、n的代数式表示）．26．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣4）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，点D在线段CB上（点D不与B、C重合），过点D作CA的平行线，与抛物线相交于点E，直线BC 的解析式为y=kx+2．（1）抛物线的解析式为；（2）求线段DE的最大值；（3）当点D为BC的中点时，判断四边形CAED的形状，并加以证明．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．在下列实数中，是无理数的为（）A．0 B．﹣3.5 C．D．【考点】26：无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、0是有理数，故A选项错误；B、﹣3.5是有理数，故B选项错误；C、是无理数，故C选项正确；D、=3，是有理数，故D选项错误．故选：C．2．据统计，“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825400余人次，数825100用科学记数法表示为（）A．8251×102B．825.1×103C．82.51×104D．8.251×105【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：825100=8.251×105，故选D．3．下列几何体中，主视图是三角形的为（）A．B．C．D．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据主视图的观察角度，从物体的正面观察，即可得出答案．【解答】解：A、其三视图是矩形，故此选项错误；B、其三视图是三角形，故此选项正确；C、其三视图是矩形，故此选项错误；D、其三视图是正方形形，故此选项错误；故选：B．4．把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+5 B．y=2x2﹣5 C．y=2（x+5）2D．y=2（x﹣5）2【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（0，5），可设新抛物线的解析式为：y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2x2+5．故选A．5．如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣3，0）、B（0，2），则不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．【分析】根据图象和A的坐标得出即可．【解答】解：∵直线y=kx+b和x轴的交点A的坐标为（﹣3，0），∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3，故选A．6．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A．15个B．20个C．30个D．35个【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得=0.3，解得x=15，则白球可能有50﹣15=35个．故选D．7．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，量得它们的长度如下（单位：cm）：16、9、14、11、12、10、16、8、17、16则这组数据的中位数为（）A．9 B．11 C．13 D．16【考点】W4：中位数．【分析】根据中位数的定义即可得．【解答】解：这组数据重新排列为：8、9、10、11、12、14、16、16、16、17，则其中位数为=13，故选：C．8．一圆锥的底面直径为4cm，高为cm，则此圆锥的侧面积为（）A．20πcm2B．10πcm2C．4πcm2D．4πcm2【考点】MP：圆锥的计算．【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的底面直径为4cm，高为cm，则底面半径=2cm，底面周长=4πcm，由勾股定理得，母线长=5cm，侧面面积=×4π×5=10πcm2．故选B．二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）9．因式分解：x2﹣36= （x+6）（x﹣6）．【考点】54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：x2﹣36=（x+6）（x﹣6）．10．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣．【考点】E4：函数自变量的取值范围；72：二次根式有意义的条件．【分析】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．【解答】解：依题意，得2x+1≥0，解得x≥﹣．11．一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是18 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得（n﹣2）•180°=160°n，解得n=18，故答案为：18．12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则BD的长为 6 ．【考点】LB：矩形的性质．【分析】根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∵OA=3，∴BD=2OA=6，故答案为6．13．如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为17.1 m（精确到0.1m，参考数据≈1.73）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据题意：过点D作DE⊥AB，交AB与E；可得Rt△ADE，解之可得AE的大小；进而根据AB=BE+AE 可得旗杆AB的高．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．在直角△ADE中，有AE=DE×tan30°=9，那么旗杆AB的高为AE+EB=9+1.5≈17.1（m）．故答案为17.114．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B的坐标为（1，2），将△AOB沿x轴向右平移得到△A′O′B′，点B的对应点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上，此时点A移动的距离为 2 ．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】设A点向右移动的距离为a，由点B的坐标为（1，2）可知，B′（1+a，2），由点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上求出a的值即可．【解答】解：设A点向右移动的距离为a，∵点B的坐标为（1，2），∴B′（1+a，2）．∵点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上，∴2（1+a）=6，解得a=2．故答案为：2．15．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为（4，﹣2）．【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】由以原点O为位似中心，相似比为，根据位似图形的性质，即可求得答案．【解答】解：∵以原点O为位似中心，B（3，0）的对应点B′的坐标为（6，0），∴相似比为2，∵A（2，﹣1），∴点A′的对应点坐标为：（4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，则点O′的坐标为（，）．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】根据已知条件得到OA=2，OB=1，根据折叠的性质得到AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，延长AC交y轴于C，过O′作O′D⊥OA于D，根据相似三角形的性质得到BC=，CO′=，得到OC=，AC=，根据O′D∥OC，得到△ADO′∽△AOC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=2，∴A（2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，∵将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，∴AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，延长AC交y轴于C，过O′作O′D⊥OA于D，∴∠CO′B=∠AOC=90°，∵∠BCO′=∠ACO，∴△BCO′∽△ACO，∴，∴==，∴BC=，CO′=，∴OC=，AC=，∵O′D⊥OA，∴O′D∥OC，∴△ADO′∽△AOC，∴==，即==，∴DO′=，AD=，∴OD=，∴O′（，），故答案为：（，）．三、解答题（本题共39分）17．计算：（﹣）0+|4﹣|﹣．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．【分析】直接利用立方根和二次根式的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=1+2﹣4+3=2．18．先化简，再求值：m（m﹣2）﹣（m﹣1）2+m，其中m=﹣．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】根据单项式乘多项式、完全平方公式和合并同类项可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：m（m﹣2）﹣（m﹣1）2+m=m2﹣2m﹣m2+2m﹣1+m=m﹣1，当m═﹣时，原式==．19．如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线与AD相交于点E，求DE的长．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵BC=5，CD=AB=3，∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2．20．某区为了解七年级学生开展跳绳活动的情况，随机调查了该区部分学校七年级学生1分钟跳绳的次数，将调查结果进行统计，下面是根据调查数据制作的统计图表的一部分．分组次数x（个）人数A 0≤x＜120 24B 120≤x＜130 72C 130≤x＜140D x≥140根据以上信息，解答下列问题：（1）在被调查的学生中，跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为72 人，跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比为12 %；（2）本次共调查了200 名学生，其中跳绳次数在130≤x＜140范围内的人数为59 人，跳绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的百分比为22.5 %；（3）该区七年级共有4000名学生，估计该区七年级学生1分钟跳绳的次数不少于130个的人数．【考点】V7：频数（率）分布表；V5：用样本估计总体．【分析】（1）根据统计表可得跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为72人；根据A组的人数是24，所占的百分比是12%即可求得调查的总人数，然后根据百分比的定义求得跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比；（2）利用总人数减去其它组的人数求得绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的人数；（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）根据统计表可得跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为72人；调查的总人数是24÷12%=200（人）．则跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比为=12%；故答案是：71，12；（2）调查的总人数是200人；跳绳次数在130≤x＜140范围内的人数为200×29.5%=59（人），绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的人数是200﹣24﹣72﹣59=45（人），则所长的百分比是=22.5%．故答案是：200，59，22.5；（3）估计该区七年级学生1分钟跳绳的次数不少于130个的人数是：4000×=2080（人）．四、解答题（本题共28分）21．某车间加工1500个零件后，采用了新工艺，工作效率提高了50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设采用新工艺前每时加工x个零件，那么采用新工艺后每时加工 1.5x个零件，根据时间=，以此作为等量关系可列方程求解．【解答】解：设采用新工艺前每时加工x个零件．﹣10=，解得：x=50，经检验：x=50是原分式方程的解，且符合题意，答：采用新工艺之前每小时加工50个．22．某商场销售一种商品，在一段时间内，该商品的销售量y（千克）与每千克的销售价x（元）满足一次函数关系（如图所示），其中30≤x≤80．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品每千克的成本为30元，当每千克的销售价为多少元时，获得的利润为600元？【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；（2）根据每天可获得600元的利润列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）当30≤x≤80时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．由所给函数图象可知，，解得，故y与x的函数关系式为y=﹣x+100；（2）∵y=﹣x+100，依题意得∴（x﹣30）（﹣x+100）=600，x2﹣280x+18700=0，解得x1=40，x2=90．∵30≤x≤80，∴取x=40．答：当每千克的销售价为40元时，获得的利润为600元．23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O 的切线，与AB的延长线相交于点F．（1）判断△ACD的形状，并加以证明（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF=DE=4，CE=CF=2，根据切线的性质得到FC2=FB•AF，求得FB=1根据相似三角形的性质即可得到结论；【解答】解：（1）∵∠ABD=∠CBD=60°，∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，∴△ACD是等边三角形；（2）在△ACF与△DCE中，∴△ACF≌△DCE，∴AF=DE=4，CE=CF=2，∵CF是⊙O的切线，∴FC2=FB•AF，∴22=FB•4，∴FB=1∴AB=AF﹣BF=4﹣1=3，∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，∴△∠ABE∽∠DCE，∴===，∴=，解得：CD=3．五、解答题（本题共35分）24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（7，0），点C在第一象限，AC ∥x轴，∠OBC=45°．（1）求点C的坐标；（2）点D在线段AC上，CD=1，点E的坐标为（n，0），在直线DE的右侧作∠DEG=45°，直线EG与直线BC相交于点F，设BF=m，当n＜7且n≠0时，求m关于n的函数解析式，并直接写出n的取值范围．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）作CM⊥x轴于点M，利用等腰直角三角形和矩形的性质可求得OM和CM的长，可求得C 点坐标；（2）①当E在线段OB上时，连接OD，利用条件可证得△DOE∽△EBF，利用相似三角形的性质可得到m与n之间的关系；②当点E在线段BO的延长线上时，同样可证得△DOE∽△EBF，可得到m与n之间的关系．【解答】解：（1）作CM⊥x轴于点M，如图1，则∠CMB=∠AOM=90°，∴CM∥AO，∵AC∥x轴，∴四边形AOMC是矩形，∴CM=AO=3，AC=OM，∵∠OBC=45°，∴MB=MC=3，∴OM=7﹣3=4，∴C（4，3）；（2）①当点E在线段OB上时，即当0＜n＜7时，如图2，连接OD，∵CD=1，∴AD=3=AO，∴∠AOD=∠ADO=45°=∠DOB=∠OBC，∵∠OEF=∠EFB+∠EBF，即∠OED+∠DEF=∠EFB+∠EBF，∴∠OED=∠EFB，∴△DOE∽△EBF，∴=，即=，∴m=﹣n2+n；②当点E在线段BO的延长线上时，即n＜0时，连接OD，如图3，由（1）知∠DOB=∠OBC，∴∠DOE=∠EBF，∵∠DEF=45°=∠OBC，∴∠DEO+∠BEF=∠BFE+∠BEF，∴∠DEO=∠BFE，∴△DOE∽△EBF，∴=，即=，∴m=n2﹣n；综上可知m与n的函数关系式为m=．25．阅读下面材料：小明遇到这样两个问题：（1）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为D，BC=﹣6，求OD的长；（2）如图2△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．对于问题（1），小明发现根据垂径定理，可以得出点D是AC的中点，利用三角形中位线定理可以解决；对于问题（2），小明发现延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可以得到全等三角形，通过计算可以解决．请回答：问题（1）中OD长为 3 ；问题（2）中AD的取值范围是1＜AD＜5 ；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（3）如图3，△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AC=mEC，AB=2 EC，AD=nDB．①当n=1时，如图4，在图中找出与CE相等的线段，并加以证明；②直接写出的值（用含m、n的代数式表示）．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由三角形中位线定理可得OD=BC，由此即可解决问题；（2）如图2中，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，CM．在△ABM中，理由三边关系定理可得6﹣4＜AM＜6+4，即2＜2AD＜10，1＜AD＜5；（3）①结论：EF=CE．如图4中，延长CD到M使得DM=CD，连接BM．由△ADC≌△BDM，推出BM=AC，∠M=∠ACD，由BM∥AC，推出△CEF∽△MBF，可得=，推出==，推出BF=mEF，推出BE=（m+1）EF，在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，推出（m+1）EC=（m+1）EF，由此即可证明；结论： =．如图3中，作BM∥AC交CD的延长线于M．证明方法类似①；【解答】解：（1）如图1中，∵OD⊥AC，∴AD=DC，∵AO=OB，BC=6，∴OD=BC=3．（2）如图2中，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，CM．∵AD=DM，BD=CD，∴四边形ABMC是平行四边形，∴BM=AC=4，∵AB=6，∴6﹣4＜AM＜6+4，即2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5．（3）①结论：EF=CE．理由：如图4中，延长CD到M使得DM=CD，连接BM．∵AD=DB，∠ADC=∠BDM，∴△ADC≌△BDM，∴BM=AC，∠M=∠ACD，∴BM∥AC，∴△CEF∽△MBF，∴=，∴==，∴BF=mEF，∴BE=（m+1）EF，在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，∴（m+1）EC=（m+1）EF，∴EF=CE．②结论： =．理由：如图3中，作BM∥AC交CD的延长线于M．由△ADC∽△BDM，可得==n，∴BM=，∵=，∴=，∵AC=mEC，∴BF=EF，∴BE=（1+）EF，在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，∴（m+1）EC=（1+）EF，∴=．26．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣4）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，点D在线段CB上（点D不与B、C重合），过点D作CA的平行线，与抛物线相交于点E，直线BC 的解析式为y=kx+2．（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+2 ；（2）求线段DE的最大值；（3）当点D为BC的中点时，判断四边形CAED的形状，并加以证明．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先利用一次函数解析式确定C（0，2），然后把C点坐标代入y=a（x﹣1）（x﹣4）中求出a即可；（2）如图1，过点D、E分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点F，先解方程（x﹣1）（x﹣4）=0得A（1，0），B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E（m， m2﹣m+2），EF=n，则D（m﹣n，﹣ m+n+2），则DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，接着证明Rt△OCA∽Rt△FDE，利用相似比得到=2，则﹣m2+2m+n=2n，所以n=﹣m2+m，利用勾股定理得DE=﹣m2+m，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）利用两点间的距离公式得到AC=，BC=2，再利用点D为BC的中点得到D（2，1），CD=，易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2，接着求出直线DE的解析式为y=﹣2x+5，于是解方程组得E（3，﹣1），所以DE=，然后根据菱形的判定方法可判断四边形CAED为菱形．【解答】解：（1）当x=0时，y=kx+2=2，则C（0，2），把C（0，2）代入y=a（x﹣1）（x﹣4）得a•（﹣1）•（﹣4）=2，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+2；故答案为y=x2﹣x+2；（2）如图1，过点D、E分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点F，当y=0时，（x﹣1）（x﹣4）=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，2），B（4，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E（m， m2﹣m+2），EF=n，则D（m﹣n，﹣ m+n+2），∴DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，∵OC∥DF，∴∠OCB=∠FDB，∵DE∥CA，∴∠ACB=∠EDB，∴∠OCA=∠FDE，∴Rt△OCA∽Rt△FDE，∴=，∴===2，∴﹣m2+2m+n=2n，∴n=﹣m2+m，在Rt△DEF中，DE==EF=n=﹣m2+m，∵DE=﹣（m﹣2）2+，∴当m=2时，DE的长有最大值，最大值为；（3）四边形CAED为菱形．理由如下：AC==，BC==2，∵点D为BC的中点，∴D（2，1），CD=，易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2，设直线DE的解析式为y=﹣2x+p，把D（2，1）代入得1=﹣4+p，解得p=4，∴直线DE的解析式为y=﹣2x+5，解方程组得或，则E（3，﹣1），∴DE==，∴AC=DE，而AC∥DE，∴四边形CAED为平行四边形，∵CA=CD，∴四边形CAED为菱形．。

精品解析：2017年上海市青浦区中考数学二模试题(解析版)

精品解析：2017年上海市青浦区中考数学二模试题(解析版)

2017年上海市青浦区中考数学二模试卷一、单项选择题1. 下列运算中，正确的是（）A. 2a﹣a＝1B. a+a＝2aC. （a3）3＝a6D. a8÷a2＝a4【答案】B【解析】【分析】分别利用合并同类项法则以及结合幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则化简求出答案．【详解】A、2a﹣a＝a，故此选项错误；B、a+a＝2a，故此选项正确；C、（a3）3＝a9，故此选项错误；D、a8÷a2＝a6，故此选项错误．故选B．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的除法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．2. 不等式组23120xx+≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上可表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可.【详解】解不等式2x+3≥1，得：x≥﹣1，解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选B．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质和一元一次不等式组求解集是解题关键.3. 二次根式()23-的值是（ ） A. ﹣3B. 3或﹣3C. 9D. 3【答案】D【解析】【分析】 本题考查二次根式的化简， 2(0)(0)a a a a a ⎧=⎨-<⎩． 【详解】2(3)|3|3-=-=．故选D ．【点睛】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式2a 化简规律：当a ≥0时，2a ＝a ；当a ≤0时，2a ＝﹣a ．4. 在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（ ）A. 2B. 3C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】作AD ⊥BC ，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB ，再由余弦函数的定义求解.【详解】作AD ⊥BC 于点D ，则AD=5，BD=5，∴AB=22BD AD +=2255+=52，∴cos ∠B=BD AB =52= 2. 故选A .【点睛】本题考查锐角三角函数的定义.5. 某集团公司有9个子公司，各个子公司所创年利润的情况如下表所示．各子公司所创年利润的众数和中位数分别是（ ）A. 4千万元，3千万元B. 6千万元，4千万元C. 6千万元，3千万元D. 3千万元，3千万元【答案】D【解析】【分析】 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，4，4，3，3，3，3，2，2，3出现次数最多，则众数为：3千万元，中位数为：3千万元．故选D ．【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6. 如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A B C D →→→的路径匀速前进到D 为止，在这个过程中，APD ∆的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点P 的运动过程可知：APD ∆的底边为AD ，而且AD 始终不变，点P 到直线AD 的距离为APD ∆的高，根据高的变化即可判断S 与t 的函数图象．【详解】解：设点P 到直线AD 的距离为h ，APD ∴∆的面积为：1·2S AD h =， 当P 在线段AB 运动时，此时h 不断增大，S 也不端增大当P 线段BC 上运动时，此时h 不变，S 也不变，当P 在线段CD 上运动时，此时h 不断减小，S 不断减少，又因为匀速行驶且CD AB >，所以在线段CD 上运动的时间大于在线段AB 上运动的时间故选C ．【点睛】本题考查函数图象，解题的关键是根据点P 到直线AD 的距离来判断s 与t 的关系，本题属于基础题型．二、填空题7. 若x ∶y ＝2∶3，那么x ∶（x ＋y ）＝_____________．【答案】2∶5．【解析】【分析】试题分析：∵x∶y ＝2∶3，设，x=2k ，则y=3k ，∴x∶（x ＋y ）=2k:(2k+3k ）=2：5．故答案为2：5． 考点：比例的性质．【详解】请在此输入详解！8. 在实数范围内分解因式：x 2﹣3＝_____．【答案】((x x +-【解析】【分析】把3【详解】解：x 2﹣3＝x 22＝（x （x ．【点睛】本题考查平方差公式分解因式，把39. 已知函数1x f x x，那么1f _____． 【答案】2+【解析】【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】因为函数1x f x x， 所以当1x =时， 211()2221f x ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 10. 已知反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】k ＞1．【解析】【分析】 根据反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限得出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可． 【详解】∵反比例函数1k y x -=的图象经过一、三象限， ∴k ﹣1＞0，即k ＞1．故答案为k ＞1．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 11. 已知关于x 的方程220x x a -+=有两个实数根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】a≤1．【解析】试题分析：∵方程220x x a -+=有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为a≤1．考点：根的判别式．12. 1=的解为_____．【答案】x=2【解析】【分析】1=两边同时乘方，即可解答.【详解】方程两边平方得：x ﹣1＝1，解得：x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，故答案为x ＝2【点睛】本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.13. 抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3（a ≠0）的对称轴是_____．【答案】直线x ＝1．【解析】【分析】直接利用抛物线对称轴公式求出答案．【详解】抛物线y ＝﹣ax 2+2ax +3（a ≠0）的对称轴是：直线2a 12(a)x． 故答案为直线x ＝1．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键．14. 布袋中装有3个红球和n 个白球，它们除颜色外其它都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，所摸到球恰好是红球的概率是13，那么布袋中白球有_____个． 【答案】6.【解析】【分析】根据概率的概念建立等量关系：1133n，解方程即可．【详解】∵布袋中有n个白球，∴11 33n，解得：n＝6，则布袋中白球有6个；故答案为6．【点睛】本题考查了概率的概念：所有等可能的结果有n个，其中某事件占m个，则这个事件的概率mPn =．15. 化简：1233a a b_____．【答案】3a b+【解析】【分析】先利用去括号法则将整式去括号，再合并同类项即可完成.【详解】1233a a b，23a a b，3a b．故答案为3a b+．【点睛】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号法则以及合并同类项是解题关键.16. 如图，在菱形ABCD中，EF∥BC，AE1BE3，EF＝3，则CD的长为_____．【答案】12 【解析】【分析】根据题意可知△AEF∽△ABC，可得14AEAB，进而求得BC＝12，再根据菱形的性质，即可解答.【详解】∵EF∥BC，13AEBE，EF＝3，∴△AEF∽△ABC，14 AEAB，∴EF AE BC AB，∴314 BC，解得，BC＝12，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC＝12，故答案为12．【点睛】本题考点涉及三角形相似、菱形的性质等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.17. 在△ABC中，已知BC＝4cm，以边AC的中点P为圆心1cm为半径画⊙P，以边AB的中点Q为圆心x cm 长为半径画⊙Q，如果⊙P与⊙Q相切，那么x＝_____cm．【答案】1或3【解析】【分析】根据三角形的中位线的性质得到122PQ BC cm，①当⊙P与⊙Q相外切时，②当⊙P与⊙Q相内切时，列方程即可得出结论.【详解】∵BC＝4cm，点P是AC的中点，点Q是AB的中点，∴122PQ BC cm，①当⊙P与⊙Q相外切时，PQ＝1+x＝2，∴x＝1cm，②当⊙P与⊙Q相内切时，PQ＝|x﹣1|＝2，∴x＝3cm（负值舍去），∴如果⊙P与⊙Q相切，那么x＝1cm或3cm，故答案为1或3．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及相切两圆的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.18. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB．设BE＝a，DC＝b，那么AB＝_____．（用含a、b的式子表示AB）【答案】2222a b a b【解析】【分析】 只要证明△F AE ≌△DAE ，推出EF ＝ED ，∠ABF ＝∠C ＝45°，由∠EBF ＝∠ABF +∠ABE ＝90°，推出22ED EF a b ，可得22BC a b a b ，根据AB ＝BC •cos45°即可解决问题．【详解】证明：如图，∵△DAC ≌△F AB ，∴AD ＝AF ，∠DAC ＝∠F AB，∴∠F AD ＝90°，∵∠DAE ＝45°，∴∠DAC +∠BAE ＝∠F AB +∠BAE ＝∠F AE ＝45°，在△F AE 和△DAE 中，DA FA DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△F AE ≌△DAE ，∴EF ＝ED ，∠ABF ＝∠C ＝45°，∵∠EBF ＝∠ABF +∠ABE ＝90°，∴22ED EF a b ，∴BC ＝a +b 22a b +∴222cos 45()2AB BC a b a b ．故答案为222a b a b ．【点睛】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：19. 计算： 10120176cos30232． 【答案】1【解析】【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】10120176cos30|23|2 312623233323143 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20. 解方程： 24211422xx x x ． 【答案】x ＝1．【解析】分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：4x ﹣2x ﹣4＝x 2﹣4﹣x +2，即x 2﹣3x +2＝0，解得：x ＝1或x ＝2，经检验x ＝2是增根，所以，分式方程的解为x ＝1．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 21. 已知直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点． （1）求∠ABO 的正切值；（2）如果点A 向左平移12个单位到点C ，直线l 过点C 且与直线132y x =-+平行，求直线l 的解析式． 【答案】（1）tan 2ABO ；（2）132y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到A （6，0），B （0，3），求得OA ＝6，OB ＝3，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）将点A 向左平移12个单位到点C ，于是得到C （﹣6，0），设直线l 的解析式为12y x b =-+，把C （﹣6，0）代入12y x b =-+即可得到结论． 【详解】（1）∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （6，0），B （0，3）， ∴OA ＝6，OB ＝3， ∵∠AOB ＝90°， ∴6tan 23OAABOOB ；（2）将点A 向左平移12个单位到点C ， ∴C （﹣6，0），∵直线l 过点C 且与直线132y x =-+平行， 设直线l 的解析式为12y x b =-+， 把C （﹣6，0）代入12y x b =-+得1(6)2b ，∴b ＝﹣3，∴直线l 的解析式为132y x =--． 【点睛】本题考查了两直线平行或相交问题，坐标与图形变换﹣平移，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．22. 小明在海湾森林公园放风筝．如图所示，小明在A 处，风筝飞到C 处，此时线长BC 为40米，若小明双手牵住绳子的底端B 距离地面1.5米，从B 处测得C 处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE.(计算结果精确到0.1米，3≈1.732)【答案】此时风筝离地面的高度CE是36.1米．【解析】【分析】过点B作BD⊥CE于点D，由锐角三角函数的定义求出CD的长，根据CE=CD+DE即可得出结论．【详解】过点B作BD⊥CE于点D，∵AB⊥AE，DE⊥AE，BD⊥CE，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=1.5米．∵BC=40米，∠CBD=60°，∴CD=BC·sin 60°=40×3=203，∴CE=CD＋DE=203＋1.5≈20×1.73＋1.5≈36.1(米)．答：此时风筝离地面的高度CE是36.1米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23. 如图，在△ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，连接AD交线段PQ于点E，且CP QECD BD，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC ＝PE ；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出,QEAE PE AE BD AD CD AD ，等量代换得到PEQE CD BD ，推出CPPECD CD，于是得出结论；（2）根据平行线的性质得到∠PFC ＝∠FCG ，根据角平分线的性质得到∠PCF ＝∠FCG ，等量代换得到∠PFC ＝∠FCG ，根据等腰三角形的性质得到PF=PC ，得到PF=PE ，由已知条件得到AP=CP ，推出四边形AECF 是平行四边形，再证得∠ECF ＝90°，于是得出结论. 【详解】（1）证明：∵PQ ∥BC ， ∴△AQE ∽△ABD ，△AEP ∽△ADC ，∴,QE AE PE AEBD AD CD AD， ∴PE QECD BD ， ∵CP QECD BD ， ∴CP PECDCD， ∴PC ＝PE ； （2）∵PF ∥DG ， ∴∠PFC ＝∠FCG ， ∵CF 平分∠PCG ， ∴∠PCF ＝∠FCG ， ∴∠PFC ＝∠FCG ， ∴PF ＝PC ， ∴PF ＝PE ，∵P 是边AC 的中点，∴AP ＝CP ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∵PQ ∥CD ， ∴∠PEC ＝∠DCE ， ∴∠PCE ＝∠DCE ， ∴1()902PCEPCFPCD PCG ，∴∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质以及矩形的判定，还涉及了平行线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定等知识点，属于综合题，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键.24. 已知△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 在第一象限，点B 在x 轴正半轴上，OA ＝OB ＝6，∠AOB ＝30°．（1）求点A 、B 的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O 和点B ，设其顶点为E ，当△OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P 与直线OA 交于M 、N 两点，已知23MN =P （m ，2）（m ＞0），求m 的值． 【答案】（1）A 点坐标为(33,3)，B 点坐标为（6，0）；（2）2123y x x ；（3）m 的值为232或232- 【解析】 【分析】（1）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得AC 的长，再根据锐角三角函数，可得OC ，根据点的坐标，可得答案；（2）根据等腰直角三角形，可得E 点坐标，再根据待定系数法，可得答案；（3）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理求得OE 的长，根据点的坐标，可得N 点坐标，根据点的左右平移，可得点P 坐标.【详解】（1）如图1，作 AC ⊥OB 于C 点，由OB ＝OA ＝6，得B 点坐标为（6，0）， 由OB ＝OA ＝6，∠AOB ＝30°，得133,cos 3322ACOA OC OA AOCOA ，∴A 点坐标为(33,3)；（2）如图2，由其顶点为E ，当△OBE 为等腰直角三角形，得132OC BC CEOB ，即E 点坐标为（3，﹣3）．设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣3）2﹣3，将B 点坐标代入，解得13a =， 抛物线的解析式为21(3)33y x化简得2123yx x ；（3）如图3，PN ＝2， 3CN =PC ＝1，∠CNP ＝∠AOB ＝30°， NP ∥OB ，NE ＝2，得ON ＝4， 由勾股定理，得2223OEON NE ，即23,2N ．N 向右平移2个单位得232,2P ， N 向左平移2个单位，得232,2P ，m 的值为232+或232-．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，考点涉及含30°角的直角三角形、锐角三角形函数、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理等知识点，熟练掌握各个知识点是解题关键. 25. 如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ ＝k •AP （k ＞0），联接PC 、PQ ．（1）求⊙O 的半径长；（2）当k ＝2时，设AP ＝x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ 与△ABC 相似，且∠ACB ＝∠CPQ ，求k 的值． 【答案】（1）5；（2）y=234224(04)55x x x ;（3）720k【解析】 【分析】（1）首先证明∠ACB ＝90°，然后利用勾股定理即可解决问题； （2）如图2中，作PH ⊥BC 于H ．由PH ∥AC ，，推出PH PB AC AB ，推出10610PHx，得出3(10)5PH x ，根据12yCQ PH 计算即可； （3）因为△CPQ 与△ABC 相似，∠CPQ ＝∠ACB ＝90°，又因为∠CQP ＞∠B ， 所以只有∠PCB ＝∠B ，推出PC ＝PB ，由∠B +∠A ＝90°，∠ACP +∠PCB ＝90°，推出∠A ＝∠ACP ，得出P A ＝PC ＝PB ＝5，由△COQ ∽△BCA ，推出CO CQBC AB， 推出585810k，即可解决问题. 【详解】（1）∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝6，BC ＝8， ∴22226810ABAC BC ，∴⊙O 的半径为5．（2）如图2中，作PH ⊥BC 于H ．∵PH ∥AC ，∴PH PBAC AB ， ∴10610PH x， ∴3(10)5PH x ， ∴2113342(82)(10)24(04)22555y CQ PH x x x x x ．（3）如图2中，∵△CPQ 与△ABC 相似，∠CPQ ＝∠ACB ＝90°， 又∵∠CQP ＞∠B ， ∴只有∠PCB ＝∠B ， ∴PC ＝PB ，∵∠B +∠A ＝90°，∠ACP +∠PCB ＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴P A＝PC＝PB＝5，∴△COQ∽△BCA，∴CO CQ BC AB，∴585 810k，∴720 k．【点睛】本题为圆的综合题，难度较大，考点涉及圆的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握各个性质定理是解题关键.。

2017年高三数学二模(理科)答案

2017年高三数学二模(理科)答案

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。

2017年上海市宝山区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市宝山区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市宝山区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-4题每小题4分，第7-12小题，每小题4分，共60分）1．（4分）若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足i•z=1+i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程y=3x，则a=．5．（4分）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为．6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）设向量=（x，y），=（x﹣y），P为曲线•=1（x＞0）上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．12．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为．二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2两侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|=8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．916．（5分）若存在t∈R与正数m，使F（t﹣m）=F（t+m）成立，则称“函数F （x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，设f（x）=（x＞0），若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（）A．（0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．[1，4]三、解答题（本题共5题，70分）17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．18．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．19．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（m＜n），同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”；（2）已知f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．20．（16分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=a，a n+1=k（a n+a n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（这里a，k均为实数）（1）若{a n}是等差数列，求S n；（2）若a=1，k=﹣，求S n；（3）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）设T⊊R，若存在常数M＞0，使得对任意t∈T，均有|t|≤M，则称T为有界集合，同时称M为集合T的上界．（1）设A1={y|y=，x∈R}，A2={x|sinx＞}，试判断A1、A2是否为有界集合，并说明理由；（2）已知f（x）=x2+u，记f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x））（n=2，3，…），若m∈R，u∈[，+∞），且B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，求u的值及m 的取值范围；（3）设a，b，c均为正数，将（a﹣b）2、（b﹣c）2、（c﹣a）2中的最小值记为d，是否存在正数λ∈（0，1），使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-4题每小题4分，第7-12小题，每小题4分，共60分）1．（4分）若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）已知复数z满足i•z=1+i（i为虚数单位），则|z|=1．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由i•z=1+i，得=，则|z|=．故答案为：1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据行列式的计算法则，化简f（x），求出f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）==sin2x﹣cos2x=﹣cos2x；∴f（x）的最小正周期是：T==π．故答案为：π．【点评】本题考查了行列式的运算与三角函数的化简问题，是基础题．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程y=3x，则a=3．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=3，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线﹣=1，则其渐近线方程为y=±x，又由题意，双曲线﹣=1的一条渐近线方程y=3x，则有=3，解可得a=3；故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用标准方程表示出渐近线方程．5．（4分）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】由圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，知该圆柱的高h=4，底面周长2πr=4，底面半径r=，由此能求出该圆柱的体积．【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，∴该圆柱的高h=4，底面周长2πr=4，底面半径r=，∴该圆柱的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的体积的求法，解题时要认真审题，注意圆柱的侧面展开图的灵活运用．6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是3．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可【解答】解：由已知不等式组得到平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，此直线经过图中B时在y轴截距最大，由得到B（1，1），所以z的最大值为2+1=3；故答案为：3．【点评】本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是2．【考点】QJ：直线的参数方程；QL：椭圆的参数方程．【专题】17：选作题；34：方程思想；4G：演绎法；5S：坐标系和参数方程．【分析】直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与曲线（θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，△=（﹣18）2﹣4×13×（﹣27）＞0，∴交点个数是2，故答案为：2．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，考查方程思想，比较基础．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=﹣1．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，x≤0，2x=，求出x，即可得出结论．【解答】解：由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1，∴f﹣1（）=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查分段函数，考查反函数，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分析可得，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…C n1，进而可求得则T n，代入，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n中x的系数分别为1、C21、C31、…C n1，则T n=1+C21+C31+…+C n1=1+2+3+…+n=；则，故答案为．【点评】本题考查二项式的系数性质、数列求和与极限的计算，有一定难度，要灵活运用这几方面知识．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=0.03．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出p的值．【解答】解：∵生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，∴由题意得：（1﹣0.01）（1﹣p）=0.9603，解得p=0.03．故答案为：0.03．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．11．（5分）设向量=（x，y），=（x﹣y），P为曲线•=1（x＞0）上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出•得出双曲线x2﹣y2=1（x＞0），根据双曲线的渐近线与直线x﹣y+1=0平行，转化为λ的最大值是直线x﹣y+1=0与渐近线的距离，求出即可．【解答】解：向量=（x，y），=（x﹣y），∴•=x2﹣y2=1（x＞0），又双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，由点P到直线x﹣y+1=0的距离大于λ恒成立，∴λ的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即λ的最大值为=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的性质与应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题．12．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为512．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】利用归纳推理求出n的最大值分别为2，3，4时的排列个数，然后推出本题的结果．【解答】解：如果n=2时，满足题意的排列个数是2，即1，2或2，1；即21．如果n的最大值为3，则排列个数为4；分别为：1，2，3；2，1，3；1，3，2；3，2，1；4个．即22．如果n的最大值为4，则满足题意的排列个数为8；分别为：1，2，3，4；2，1，3，4；2，1，4，3；1，3，2，4；1，2，4，3，；3，1，2，4；1，4，3，2；4，3，2，1；共8个，即23．如果n的最大值为5，则满足题意的排列个数为16；分别为：1，2，3，4，5；2，1，3，4，5；2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；2，1，5，4，3；1，2，4，3，5；1，2，3，5，4；1，2，5，4，3；1，3，2，4，5；1，3，2，5，4；1，4，3，2，5；1，5，4，3，2；3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；4，3，2，1，5；5，4，3，2，1；即24．…所以：设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为：29=512．故答案为：512．【点评】本题考查排列组合的数据应用，归纳推理的应用，解题的关键是：1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的理解，本题是难题．二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．即可判断出结论．【解答】解：由a＞1且b＞3，⇒a+b＞4；反之不成立，例如取a=﹣1，b=6．∴“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【专题】15：综合题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．【解答】解：由题意知，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，则从上向下投影时，点P的影子落在对角线AC上，故△PAC在下底面上的射影是线段AC，是第一个图形；当从前向后投影时，点P的影子应落在侧面CDC1D1的中心上，A点的影子落在D 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P的影子应落在侧面BCB1C1的中心上，A点的影子落在B 上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形．故选：C．【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．15．（5分）如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2两侧，且P到l1，l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1，l2上，|+|=8，则•的最大值为（）A．15B．12C．10D．9【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量、，根据|+|=8求出•的解析式，再求其最大值．【解答】解：由点P位于两平行直线l1，l2的同侧，且A到l1，l2的距离分别为1，3，可得平行线l1、l2间的距离为2；以直线l2为x轴，以过点P且与直线l2垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示：由题意可得点P（0，﹣1），直线l1的方程为y=2，设点M（a，0）、点N（b，2），∴=（a，1）、=（b，3），∴+=（a+b，4）；∵|+|=8，∴（a+b）2+16=64，∴a+b=4，或a+b=﹣4；当a+b=4时，•=ab+3=a（4﹣a）+3=﹣a2+4a+3，它的最大值为﹣+4×2+3=15；当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣4﹣a）+3=﹣a2﹣4a+3，它的最大值为﹣﹣4×（﹣2）+3=15；综上可得，的最大值为15．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，是综合题．16．（5分）若存在t∈R与正数m，使F（t﹣m）=F（t+m）成立，则称“函数F （x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，设f（x）=（x＞0），若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是（）A．（0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．[1，4]【考点】3T：函数的值．【专题】23：新定义；35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】哟题意可得代入函数式，化简整理，可得λ=t2﹣m2有解，结合函数f（x）可得λ＞0（否则单调），求得m的范围，即可得到所求范围．【解答】解：若对于任意t∈（，），总存在正数m，使得“函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点”，则对于任意t∈（，），=有解，即=有解，即1=有解，即λ=t2﹣m2有解，∵f（x）=（x＞0）具有对称性，故λ＞0，即有m＜t，即有0＜m≤，由于t∈（，），故t2﹣m2∈（0，2]．故选：A．【点评】本题考查新定义的理解和运用，注意运用对勾函数的性质，以及恒成立思想的运用，不等式的性质，属于中档题．三、解答题（本题共5题，70分）17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点．（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5G：空间角．【分析】建立如图所示的坐标系，利用向量方法，即可求出所求角．【解答】解：（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则E（1，2，0），F（0，1，1），A（2，0，0），A1（2，0，2），∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，2），∴异面直线EF与AA1所成角的余弦值为|=，∴异面直线EF与AA1所成角的大小为arccos；（2）平面AA1B1B的法向量为（1，0，0），∴直线EF与平面AA1B1B所成角的正弦值为||=，∴直线EF与平面AA1B1B所成角的大小为arcsin．【点评】本题考查空间角，考查向量方法的运用，正确求出向量的坐标是关键．18．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知p=2，求得抛物线方程，当直线斜率存在时，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）利用点到直线的距离公式及二次函数的性质即可求得|PT|的最小值，求得d（t）的解析式．【解答】解：（1）由题意可知：准线方程x=﹣1，则﹣=﹣1，则p=2，∴抛物线的标准方程为：y2=4x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x=t，代入y2=4x得，A（t，2），B （t，﹣2），则•=t2﹣4t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k≠0），则l的方程为x=my+t，联立，整理得：y2﹣4ky﹣4t=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，x1x2=（my1+t）（my2+t）=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=t2．•=x1x2+y1y2=t2﹣4t，综上，•的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2=（x﹣t）2+（2﹣0）2=x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），由二次函数的性质可知：当对称轴x=t﹣2＜0，即0＜t＜2时，当x=0时，丨PT 丨取最小值，最小值为t，当t﹣2≥0时，即x=t﹣2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）=．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查二次函数的性质，考查计算能力，属于中档题．19．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（m＜n），同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”．（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”；（2）已知f（x）=2+﹣（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．【考点】34：函数的值域；3H：函数的最值及其几何意义．【专题】15：综合题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可；（2）由f（x）的定义域和值域都是[m，n]，问题等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可；【解答】解：（1）证明：g（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，x∈[0，1]时，g（x）∈[﹣1，0]，根据函数g（x）不是定义域[0，1]上的“保值函数”．（2））由f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，因此m，n是方程2+﹣=x的两个不相等的实数根，等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，即△=（2a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞或a＜﹣．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．20．（16分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=a，a n+1=k（a n+a n+2）对任意n∈N*都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（这里a，k均为实数）（1）若{a n}是等差数列，求S n；（2）若a=1，k=﹣，求S n；（3）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】15：综合题；33：函数思想；4C：分类法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知求得公差，再由等差数列前n项和求得答案；=k（a n+a n+2），可得a n+2+a n+1=﹣（a n+1+a n），a n+3+a n+2=﹣（2）把k=﹣代入a n+1+a n+1）=a n+1+a n，然后分n为奇数和偶数求得S n；（a n+2（3）设数列{a n}是等比数列，则它的公比q==a，得到为等差中项，a m为等差中项，然后分若a m+1为等差中项三类求解得答案．和a m+2【解答】解：（1）∵a1=1，a2=a，且a n+1=k（a n+a n+2），∴1+n（a﹣1）=k[1+（n﹣1）（a﹣1）+1+（n+1）（a﹣1）]，解得k=．=；（2）由a=1，k=﹣，得，+a n+1=﹣（a n+1+a n），a n+3+a n+2=﹣（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，∴a n+2当n是偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣1+a n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a n﹣1+a n）=（a1+a2）=n．当n是奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣1+a n=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a n﹣1+a n）=a1+（a2+a3）=a1+[﹣（a1+a2）]=1﹣（n﹣1）=2﹣n，n=1也适合上式，综上可得，S n=；（3）设数列{a n}是等比数列，则它的公比q==a，∴，为等差中项，则2a m+1=a m+a m+2，①若a m+1即2a m=a m﹣1+a m+1，解得：a=1，不合题意；②若a m为等差中项，则2a m=a m+1+a m+2，即2a m﹣1=a m+a m+1，化简得：a2+a﹣2=0，解得a=﹣2（舍1）；k==﹣；为等差中项，则2a m+2=a m+1+a m，③若a m+2即2a m+1=a m+a m﹣1，化简得：2a2﹣a﹣1=0，解得a=﹣；k==﹣．综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=﹣．【点评】本题考查数列递推式，考查满足条件的实数值的求法，考查数列的前n 项和公式的求法，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用，是中档题．21．（18分）设T⊊R，若存在常数M＞0，使得对任意t∈T，均有|t|≤M，则称T为有界集合，同时称M为集合T的上界．（1）设A1={y|y=，x∈R}，A2={x|sinx＞}，试判断A1、A2是否为有界集合，并说明理由；（2）已知f（x）=x2+u，记f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x））（n=2，3，…），若m∈R，u∈[，+∞），且B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，求u的值及m 的取值范围；（3）设a，b，c均为正数，将（a﹣b）2、（b﹣c）2、（c﹣a）2中的最小值记为d，是否存在正数λ∈（0，1），使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】23：新定义；32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用不等式和函数的单调性求出集合A1、A2表示的区间，从而得出结论；（2）判断f n（m）的单调性，利用不等式的传递性和不等式恒成立得出μ，对m 与的大小关系进行讨论，判断集合B的有界性；（3）设c＜b＜a，对a﹣b，b﹣c的大小关系进行讨论，利用不等式的性质得出d与a2+b2+c2的关系，从而得出集合C的上界．【解答】解：（1）y==1﹣＜1，又y=在R上是增函数，且x→﹣∞时，y→﹣1，∴||＜1，∴A1={y|y=，x∈R}是有界集合，上界为1；由sinx得2kπ+＜x＜2kπ+，即A2={x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}，∴对任意一个t∈A2，都有一个t1=t+2π∈A2，故A2不是有界集合．（2）f n（x）﹣f n﹣1（x）=f n﹣12（x）﹣f n﹣1（x）+μ=（f n﹣1（x）﹣）2+μ﹣≥0，∴f n（x）≥f n﹣1（x），又f1（x）=x2+u≥，∴f n（x）≥，∵B={f n（m）|n∈N*}为有界集合，∴存在常数M使得f n（m）≤M，又f n（m）=f n（m）﹣f n﹣1（m）+f n﹣1（m）﹣f n﹣2（m）+f n﹣2（m）+…+f2（m）﹣f1（m）+f1（m）=（f n﹣1（m）﹣）2+μ﹣+（f n﹣2（m）﹣）2+μ﹣+…+（f1（m）﹣）2+μ﹣+m2+μ=（f n﹣1（m）﹣）2+（f n﹣2（m）﹣）2+…+（f1（m）﹣）2+m2+n（μ﹣）+μ≥n（μ﹣）+μ，∴n（μ﹣）+μ≤M恒成立，又μ≥，∴μ=，∴f（x）=x2+．设m=，（i）若λ＞0，则f1（m）﹣m=m2+﹣m=（）2+﹣（）=λ2＞0，∴f1（m）＞m，∴f n（m）＞f n﹣1（m）＞f n﹣2（m）＞…＞f2（m）＞f1（m）＞m，令g（x）=f（x）﹣x=（x﹣）2，则g（x）在（，+∞）上单调递增，∴f（f n（m））﹣f n﹣1（m）＞f（m）﹣m=λ2，﹣1即f n（m）＞f n﹣1（m）+λ2＞f n﹣2（m）+2λ2＞…＞f1（m）+（n﹣1）λ2=m2++（n ﹣1）λ2．∵f n（m）≤M恒成立，∴λ2=0，矛盾．（ii）若λ=0，由（i）可知f n（m）=f n﹣1（m）=f n﹣2（m）=…＞=f2（m）=f1（m）=m=，显然B={f n（m）|n∈N*}={}为有界集合，符合题意；（iii）若λ＜0，同理可得f1（m）﹣m=m2+﹣m=（）2+﹣（）=λ2，∴f1（m）=m+λ2=+λ2，若f1（m）即+λ2，解得λ＜﹣1或λ＞0（舍），由（i）知m不可能大于，故λ＜﹣1不成立．若λ=﹣1，则m=﹣，f n（m）=f n﹣1（m）=f n﹣2（m）=…＞=f2（m）=f1（m）=m2+=，由（ii）可知符合题意；若﹣1＜λ＜0，则λ2+λ=（）2﹣∈（﹣，0），∴f1（m）=m+λ2=∈（，），∴存在λ1∈（﹣1，0）使得f1（m）=+λ1，存在λ2∈（﹣1，0）使得f2（m）=+λ2，以此类推，存在λn∈（﹣1，0），使得f n（m）=，此时，＜f1（m）＜f2（m）＜f3（m）＜…＜f n（m）＜，显然B═{f n（m）|n∈N*}为有界集合，符合题意．综上，λ∈[﹣1，0]，∴m的范围是[﹣，]．（3）假设c＜b＜a，（i）若b=，则d=（）2，此时，a2+b2+c2=a2+c2+（）2=（a﹣c）2+（）2+3ac=5d+3ac，∴=﹣×=﹣×=，而=∈（0，1），∴y==∈（0，）．∴λmin=．（ii）若a﹣b≥b﹣c，即a≥2b﹣c时，d=（b﹣c）2，此时5d﹣（a2+b2+c2）=5（b﹣c）2﹣（a2+b2+c2）≤5（b﹣c）2﹣（2b﹣c）2﹣b2﹣c2=﹣6bc+3c2＜0，∴＜，（iii）若a﹣b≤b﹣c，即0＜a＜2b﹣c＜2b时，d=（a﹣b）2，此时5d﹣（a2+b2+c2）=5（a﹣b）2﹣（a2+b2+c2）=4a2﹣10ab+4b2﹣c2=2（a﹣2b）（2a﹣b）﹣c2＜0，∴＜，综上，0＜y＜，∴存在λ=，使得λ为有界集合C={y|，a、b、c均为正数}的上界．【点评】本题考查了对新定义的理解与应用，函数最值计算与不等式的应用，分类讨论思想，属于难题．。

2017年北京市西城区高三二模数学（理）试题及答案

2017年北京市西城区高三二模数学（理）试题及答案

2017年北京市西城区⾼三⼆模数学（理）试题及答案西城区⾼三模拟测试⾼三数学（理科） 2017.5第Ⅰ卷（选择题共40分）⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．1．在复平⾯内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i + （D ）2i - 2．下列函数中，值域为[0,1]的是（A ）2y x =（B ）sin y x =（C ）211y x =+（D）y =3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆⼼的极坐标．．．是（A ）(1,)2π（B ）(1,0)（C ）1(,)22π（D ）1(,0)24．在平⾯直⾓坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -??--≤≥≥表⽰的平⾯区域的⾯积是（A ）1（B ）32（C ）2（D ）525．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离⼼率是3，则其渐近线的⽅程为（A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±= （D ）80x y ±=6．设a ，b 是平⾯上的两个单位向量，35=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最⼩值是（A ）34（B ）43（C ）45（D ）547．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞8．有三⽀股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民⾄少持有其中⼀⽀股票．在不持有A 股票的⼈中，持有B 股票的⼈数是持有C 股票的⼈数的2倍．在持有A 股票的⼈中，只持有A 股票的⼈数⽐除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的⼈数多1．在只持有⼀⽀股票的⼈中，有⼀半持有A 股票．则只持有B 股票的股民⼈数是（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4第Ⅱ卷（⾮选择题共110分）⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分． 9．执⾏如图所⽰的程序框图,输出的S 值为____．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等⽐数列，则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．11．在ABC △中，⾓A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =，1b =，则c = ____12．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ?=?>?≤ 则1()4f =____；⽅程1()2f x -=的解是____．13．⼤厦⼀层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3⼈在⼀层乘坐电梯上楼，其中2⼈恰好乘坐同⼀部电梯，则不同的乘坐⽅式有____种．（⽤数字作答）14．在空间直⾓坐标系O xyz -中，四⾯体A BCD -在,,xOy yOz zOx 坐标平⾯上的⼀组正投影图形如图所⽰（坐标轴⽤细三、解答题：本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤．15．（本⼩题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设(0,π)β∈，且π()2cos()4f ββ=-，求β的值． 16．（本⼩题满分14分）如图，在⼏何体ABCDEF 中，底⾯ABCD 为矩形，//EF CD ， AD FC ⊥．点M 在棱FC 上，平⾯ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平⾯ADMN ⊥平⾯CDEF ；（Ⅲ）若CD EA ⊥，EF ED =，2CD EF =，平⾯AD E 平⾯BCF l =，求⼆⾯⾓A l B --的⼤⼩．17．（本⼩题满分13分）某⼤学为调研学⽣在A ，B 两家餐厅⽤餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都⽤过餐的学⽣中随机抽取了100⼈，每⼈分别对这两家餐厅进⾏评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直⽅图，和B 餐厅分数的频数分布表：0的⼈数；（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都⽤过餐的学⽣中随机抽取1⼈进⾏调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”⽐对B 餐厅评价的“满意度指数”⾼的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择⼀家⽤餐，你会选择哪⼀家？说明理由． 18．（本⼩题满分14分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ．（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =．求直线AB 的斜率．19．（本⼩题满分13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-?，其中a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最⼩值的充分⽽不必要条件．20．（本⼩题满分13分）设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于2n A 的每⼀个含有(4)m m ≥个元素的⼦集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的⼀个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥；（Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最⼩值．西城区⾼三模拟测试⾼三数学（理科）参考答案及评分标准2017.5⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分. 1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A ⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分. 注：第10，12题第⼀空2分，第⼆空3分.9．7 10．2，2n n + 11．2 12．2-；1 13．36 14．43三、解答题：本⼤题共6⼩题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ． [ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2cos()44ββ+=-． [ 5分] 所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++， [ 7分] 整理得ππsin()[2cos()1]044ββ+?+-=， [ 8分] 所以πsin()04β+=，或π1cos()42β+=． [10分]因为 (0,π)β∈，所以ππ5π(,)444β+∈， [11分] 由πsin()04β+=，得ππ4β+=，3π4β=； [12分]由π1cos()42β+=，得ππ43β+=，π12β=．所以π12β=，或3π4β=． [13分]16．（本⼩题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 1分] 所以//AD 平⾯FBC ．[ 3分] ⼜因为平⾯ADMN 平⾯FBC MN =，所以 //AD MN ． [ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．[ 5分] 因为AD FC ⊥，[ 6分] 所以AD ⊥平⾯CDEF ．[ 7分] 所以平⾯ADMN ⊥平⾯CDEF ． [ 8分]（Ⅲ）因为 EA CD ⊥，AD CD ⊥，所以CD ⊥平⾯ADE ，所以CD DE ⊥．由（Ⅱ）得AD ⊥平⾯CDEF ，所以AD DE ⊥．所以DA ，DC ，DE 两两互相垂直．[ 9分]建⽴空间直⾓坐标系D xyz -． [10分]不妨设 1EF ED ==，则2CD =，设(0)A D a a =>．由题意得，(,0,0)A a ，(,2,0)B a ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,1)E ，(0,1,1)F ．所以 (,0,0)CB a ??→=，(0,1,1)CF ??→=-．设平⾯FBC 的法向量为 (,,)x y z =n ，则0,0,CB CF ??→??→=?=?n n即0,0.ax y z =??-+=?令1z =，则1y =．所以 (0,1,1)=n ．[12分] ⼜平⾯ADE 的法向量为 (0,2,0)DC ??→=，所以||cos ,|2||||DC DC DC ??→→→==|n n n A l B --的平⾯⾓是锐⾓，所以⼆⾯⾓A l B --的⼤⼩45 ． [14分] 17．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率分布直⽅图，得对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为 (0.0030.0050.012)100.2++?=， [ 2分] 所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的⼈数为 1000.220?=．[ 3分] （Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’⽐对B 餐厅评价‘满意度指数’⾼”为事件C ．记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为 1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B ．所以 1(A )(0.020.02)100.4P =+?=，2(A )0.4P =，[ 5分] 由⽤频率估计概率得：0235(B )0.1100P ++==，11540(B )0.55100P +==．[ 7分]因为事件 A i 与B j 相互独⽴，其中1,2i =，0,1j =．所以102021102021(C)(A B A B A B )(A )(B )(A )(B )(A )(B )0.40.10.40.10.40.550.3P P P P P P P P =++=++=?+?+?=．[10分] 所以该学⽣对A 餐厅评价的“满意度指数”⽐对B 餐厅评价的“满意度指数”⾼的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学⽣对A ，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望⾓度看：AB因为()00.210.420.4 1.2E X =?+?+?=；()00.110.5520.35 1.25E Y =?+?+?=，所以()()E X E Y <，会选择B 餐厅⽤餐． [13分]注：本题答案不唯⼀．只要考⽣⾔之合理即可． 18．（本⼩题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的⽅程为2(0)y ax a =≠．[ 1分] 由抛物线C 且经过点(1,2)P ，得4a =，[ 3分] 所以抛物线C 的⽅程为24y x =． [ 4分]（Ⅱ）因为||||PM PN =，所以PMN PNM ∠=∠，所以12∠=∠，所以直线PA 与PB 的倾斜⾓互补，所以0k k +=.[6分] 依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的⽅程为：2(1)(0)y k x k -=-≠，将其代⼊抛物线C 的⽅程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[8分] 设11(,)A x y ，则212441k k x k-+?=， 114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以 22(2)4(,2)k A k k--． [11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得 22(2)4(,2)k B k k+--．[12分]所以222244()1(2)(2)AB k k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-． [14分] 19．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由 21()()e x f x x ax a -=+-?，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+?-+-?21[(2)2]e x x a x a -=-+--?1()(2)e x x a x -=-+-?． [ 2分] 令 ()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有⼀个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x ' 有两个相异的零点：2x =，x a =-． [ 4分]（Ⅱ）①当2a =-时，()0f x '≤恒成⽴，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以，函数()f x ⽆极值． [ 5分] ②当2a >-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极⼩值为1()e a f a a +-=-?≤0． [ 7分] ⼜ 2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-?>恒成⽴．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-?为()f x 的最⼩值．[ 9分] 故0a ≥是函数()f x 存在最⼩值的充分条件．[10分] ③当5a =-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+?>，⼜ 1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最⼩值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最⼩值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最⼩值的充分⽽不必要条件． [13分] 20．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=． [ 1分] ①对于6A 的含有5个元素的⼦集{2,3,4,5,6}，因为234513+++>，所以 5不是集合6A 的“相关数”．[ 2分] ② 6A 的含有6个元素的⼦集只有{1,2,3,4,5,6}，因为 134513+++=，所以6是集合6A 的“相关数”． [ 3分] （Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的⼦集{1,,1,,2}B n n n n =-+ ．[4分]B 中任意4个元素之和⼀定不⼩于 (1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．所以2n +⼀定不是集合2n A 的“相关数”．[6分] 所以当2m n +≤时，m ⼀定不是集合2n A 的“相关数”．[7分] 因此若m 为集合2n A 的“相关数”，必有3m n +≥．即若m 为集合2n A 的“相关数”，必有 30m n --≥．[ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2n A 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2n A 的任意⼀个含有3n +个元素的⼦集P ，必有三组123,,i i i C C C 同属于集合P ． [10分] 再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2n A 的任意⼀个含有3n +个元素的⼦集P ，必有⼀组4j D 属于集合P ．[11分]这⼀组4j D 与上述三组123,,i i i C C C 中⾄少⼀组⽆相同元素，不妨设4j D 与1i C ⽆相同元素．此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分] 所以集合2n A 的“相关数”m 的最⼩值为3n +． [13分]。

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷含详解

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2 14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B 两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是[1，] ．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin （x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a ≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．（5分）在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则•+2的最小值为 ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值； 方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半， ∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=． ∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=． 由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ， 显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设PQ中点为（x，y），进而根据中点的定义可求出M点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ中点为M（x，y），则P（2x，2y+1）在抛物线y=2x2+1上，即2（2x）2=（2y+1）﹣1，∴y=4x2．故选：B．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】GS：二倍角的三角函数；H7：余弦函数的图象．【专题】15：综合题；35：转化思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）{a n+a n+1}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，可得a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；（2）证明{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；（3）求出d n+d n+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．【解答】解：（1）{a n+a n+1}为等比数列，∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n+1}的公比为2，∴a n+a n+1=2n，∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，∴b n+b n+1=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，∴c1+c2+…+c n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1，∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，由（1）可得，d n+d n+1=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

山东省潍坊市2017年中考数学二模试卷(含答案)

山东省潍坊市2017年中考数学二模试卷(含答案)

2017年山东省潍坊市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分.）1．下列运算正确的是（）A．a n•a2=a2n B．a3•a2=a6C．a n•（a2）n=a2n+2D．a2n﹣3÷a﹣3=a2n2．人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫．它具有自我对弈学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个人近千年的训练量）．此处“两千万”用科学记数法表示为（）A．0.2×107B．2×107C．0.2×108D．2×1083．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米4．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠35．若关于x的方程x2﹣+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（）A．40π B．24π C．20 πD．12π7．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°8．如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（）A．B．C．D．9．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形D．当x＞0时，y随x增大而增大10．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是（）A．B．C．D．211．如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切，向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为（）A．1﹣B．C．1﹣D．12．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y 关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）13．分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y= ．14．计算﹣|2﹣2cos30°|+（）﹣1﹣（1﹣π）0的结果是．15．如图，已知函数y=ax+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3＜0的解集是．16．计算： = ．17．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于．18．手机上常见的wifi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1．若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S20= ．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）20．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度；（4）在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．21．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．（1）试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式；（2）请解释图中线段AB的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离s（千米）与小明出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注）22．LED灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于LED 灯的使用，某校数学兴趣小组为了解LED灯泡与普通白炽灯泡的销售情况，进行了市场调查：某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：（1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？23．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连结DF．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AO=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式．25．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2017年山东省潍坊市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分.）1．下列运算正确的是（）A．a n•a2=a2n B．a3•a2=a6C．a n•（a2）n=a2n+2D．a2n﹣3÷a﹣3=a2n【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；6F：负整数指数幂．【分析】根据同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．【解答】解：a n•a2=a2+n，A选项错误；a3•a2=a5，B选项错误；a n•（a2）n=a3n，C选项错误；a2n﹣3÷a﹣3=a2n，D选项正确，故选：D．2．人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫．它具有自我对弈学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个人近千年的训练量）．此处“两千万”用科学记数法表示为（）A．0.2×107B．2×107C．0.2×108D．2×108【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将“两千万”用科学记数法表示为：2×107，故选：B3．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．故选：C．4．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3【考点】B2：分式方程的解．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C5．若关于x的方程x2﹣+cosα=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】AA：根的判别式；T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据根与系数的关系，将原式转化为关于cosα的方程，然后根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣+cosα=0有两个相等的实数根，∴△=0，即﹣4×1×cosα=0，∴cosα=，∴α=60°．故选C．6．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（）A．40π B．24π C．20 πD．12π【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为4，圆锥的高为3，再根据勾股定理计算出母线长l为5，然后根据圆锥的侧面积公式：S侧=πrl代入计算即可．【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径r为4，圆锥的高为3，所以圆锥的母线长l==5，所以这个圆锥的侧面积是π×4×5=20π．故选C．7．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．8．如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于F，则等于（）A．B．C．D．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF 的长，求出CF，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，又AB=，BC=，∴BD==3，∵BE=1.8，∴DE=3﹣1.8=1.2，∵AB∥CD，∴=，即=，解得，DF=，则CF=CD﹣DF=，∴==，故选A．9．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形D．当x＞0时，y随x增大而增大【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．【分析】判断各选项，点C的坐标可以令x=0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y=0，得到的两个x值即为与x轴的交点坐标A、B；且AB的长也有两点坐标求得，对函数的增减性可借助函数图象进行判断．【解答】解：A，令x=0，y=1，则C点的坐标为（0，1），正确；B，令y=0，x=±1，则A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，正确；C，由A、B、C三点坐标可以得出AC=BC，且AC2+BC2=AB2，则△ABC是等腰直角三角形，正确；D，当x＞0时，y随x增大而减小，错误．故选D．10．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是（）A．B．C． D．2【考点】M2：垂径定理；D5：坐标与图形性质；M5：圆周角定理．【分析】连接AD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AD是直径，根据等弧所对的圆周角相等，得∠D=∠B=30°，运用解直角三角形的知识即可求解．【解答】解：连接AD．∵∠AOD=90°，∴AD是圆的直径．在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，∴AD==．则圆的半径是．故选B．11．如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切，向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为（）A．1﹣B．C．1﹣D．【考点】X5：几何概率；MC：切线的性质．【分析】根据切线的性质得到AE⊥BC，根据投资研究得到AE=BE=AB，根据求概率的公式即可得到结论．【解答】解：如图，设切点为E，F，连接AE，∵以点A为圆心的扇形与BC，CD相切，∴AE⊥BC，∵∠B=45°，∴AE=BE=AB，∠BAC=135°，∴S菱形ABCD=BC•AE=AB2，S阴影=S菱形﹣S扇形=AB2﹣=πAB2，∴飞镖插在阴影区域的概率=1﹣，故选A．12．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y 关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．【解答】解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y=×1×=，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y=（2﹣x）×=x2﹣x+，③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分.）13．分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y= （x+y）（x﹣y﹣3）．【考点】56：因式分解﹣分组分解法．【分析】根据观察可知，此题有4项且前2项适合平方差公式，后2项可提公因式，分解后也有公因式（x+y），直接提取即可．【解答】解：x2﹣y2﹣3x﹣3y，=（x2﹣y2）﹣（3x+3y），=（x+y）（x﹣y）﹣3（x+y），=（x+y）（x﹣y﹣3）．14．计算﹣|2﹣2cos30°|+（）﹣1﹣（1﹣π）0的结果是2+1 ．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3﹣+2﹣1=2+1，故答案为：2+115．如图，已知函数y=ax+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3＜0的解集是﹣4＜x≤4 ．【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．【分析】先把P点坐标代入y=kx﹣3得k=﹣，则可确定函数y=﹣x﹣3与x轴的交点坐标，然后利用函数图象写出在x轴下方，且直线y=ax+b不在直线y=kx﹣3上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：如图，把P（4，﹣6）代入y=kx﹣3得4k﹣3=﹣6，解得k=﹣，则y=0时，y=﹣x﹣3=0，解得x=﹣4，所以不等式ax+b≤kx﹣3＜0的解集为﹣4＜x≤4．故答案为﹣4＜x≤4．16．计算： = ．【考点】6B：分式的加减法．【分析】原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果．【解答】解：原式===，故答案为：17．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于 5 ．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】由△BOF全等于△AOE，得到BF=AE=4，在直角△BEF中，从而求得EF的值．【解答】解：解：∵正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC，在△BOE和△COF中，，∴△BOE和COF全等（ASA），∴BF=AE=4，∵AB=BC，∴BE=CF=3，在Rt△BEF中，BF=4，BE=3，∴EF=5．故答案为5；18．手机上常见的wifi标志如图所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1．若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S20= 195π．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】先利用扇形的面积公式分别计算出S1=π；S2=π+π；S3=π+2π，则利用此规律得到S20=π+19π，然后把它们相加即可．【解答】解：S1=π•12=π；S 2=π•（32﹣22）=π+π； S 3=π•（52﹣42）=π+2π； …S 20=π+19π；∴S 1+S 2+S 3+…+S 20=5π+（1+2+3+…+19）π=195π． 故答案为195π．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数） 【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】若选择方法一，在Rt △BGC 中，根据CG=即可得出CG 的长，同理，在Rt △ACG 中，根据tan ∠ACG=可得出AG 的长，根据AB=AG+BG 即可得出结论．若选择方法二，在Rt △AFB 中由tan ∠AFB=可得出FB 的长，同理，在Rt △ABE 中，由tan ∠AEB=可求出EB 的长，由EF=EB ﹣FB 且EF=10，可知﹣=10，故可得出AB 的长．【解答】解：若选择方法一，解法如下：在Rt △BGC 中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，∵CG=≈=30，在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，∵tan∠ACG=，∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）．答：教学楼的高度约19米．若选择方法二，解法如下：在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°，∵tan∠AFB=，∴FB=≈，在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°，∵tan∠AEB=，∴EB=≈，∵EF=EB﹣FB且EF=10，∴﹣=10，解得AB=18.6≈19（米）．答：教学楼的高度约19米．20．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度；（4）在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；V9：频数（率）分布折线图；VB：扇形统计图．【分析】（1）用B类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）用360°乘以C类所占的百分比得到扇形C所对的圆心角的度数，再计算出C类人数，然后补全条形统计图；（3）用10000乘以D类的百分比可估计持反对态度的家长的总数；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2人来自不同班级的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）共调查的中学生家长数是：40÷20%=200（人）；（2）扇形C所对的圆心角的度数是：360°×（1﹣20%﹣15%﹣60%）=18°，C类的人数是：200×（1﹣20%﹣15%﹣60%）=10（人），补图如下：（3）根据题意得：10000×60%=6000（人），答：10000名中学生家长中有6000名家长持反对态度；（4）设初三（1）班两名家长为A1，A2，初三（2）班两名家长为B1，B2，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中2人来自不同班级共有8种，所以选出的2人来自不同班级的概率==．21．小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．（1）试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式；（2）请解释图中线段AB的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离s（千米）与小明出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注）【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）OA为正比例函数图象，可以用待定系数法求出；（2）AB段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动；（3）妈妈的速度正好是小明的2倍，所以妈妈走弧线路用（20﹣12）÷2=4分钟．【解答】解：（1）线段OA对应的函数关系式为：s=t（0≤t≤12）线段AB对应的函数关系式为：s=1（12＜t≤20）；（2）图中线段AB的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；（3）由图象可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花20﹣10=10分钟到达学校，可知小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，故D（16，1），小明花20﹣12=8分钟走圆弧形道路，则妈妈花4分钟走圆弧形道路，故B（20，1）．妈妈的图象经过（10，0）（16，1）（20，1）如图中折线段CD﹣DB就是所作图象．22．LED灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于LED 灯的使用，某校数学兴趣小组为了解LED灯泡与普通白炽灯泡的销售情况，进行了市场调查：某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：（1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义得到W=（60﹣45）a+（30﹣25）=10a+600，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，根据题意得，解得，答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡个，这批灯泡的总利润为W元，根据题意得W=（60﹣45）a+（30﹣25）=10a+600，∵10a+600≤[45a+25]×30%，解得a≤75，∵k=10＞0，∴W随a的增大而增大，∴a=75时，W最大，最大值为1350，此时购进普通白炽灯泡=45个．答：该商场购进LED灯泡75个，则购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1350元．23．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．【考点】KM：等边三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；R2：旋转的性质．【分析】（1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE；（2）△AMN是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M、N分别是BE、CD的中点”、等边△ABC的性质证得△ABM≌△ACN；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．【解答】解：（1）CD=BE．理由如下：∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴CD=BE；（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS）．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°∴△AMN是等边三角形．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连结DF．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AO=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式．【考点】ME：切线的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）连接OD，由于EF是BD的中垂线，DF=BF．从而可知∠FDB=∠B，又因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，从而可证明∠ODF=90°；（2）连接OF，由题意可知：AO=x，DF=y，OC=6﹣x，CF=8﹣y，然后在Rt△COF中与Rt△ODF中利用勾股定理分别求出OF，化简原式即可求出答案．【解答】（1）连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵EF是BD的中垂线，∴DF=BF．∴∠FDB=∠B，∵∠C=90°，∴∠OAD+∠B=90°．∴∠ODA+∠FDB=90°．∴∠ODF=90°，又∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线，（2）连接OF．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，sinA=，AB=10，∴AC=6，BC=8，∵AO=x，DF=y，∴OC=6﹣x，CF=8﹣y，在Rt△COF中，OF2=（6﹣x）2+（8﹣x）2在Rt△ODF中，OF2=x2+y2∴（6﹣x）2+（8﹣x）2=x2+y2，∴y=﹣x+（0＜x≤6）25．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标；令y=0，能确定点A的坐标．（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（PQ•OA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值．（3）△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为﹣1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；令y=0，0=﹣x2+x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4；所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得、∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．。

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1
22．解： （1）当 30≤x≤80 时，设一次函数解析式为 y kx b ．则
30k b 70, 80k b 20. k 1, 解得 b 100.
∴ y x 100 ． ………………………………………………………………………………………4 分 （2）根据题意，得 x 30 x 100 600 ． 整理得， x 2 130x 3600 0 ．
1 x 1x 4 0 ． 2
y
∴ x1 1 ，x 2 4 ． ∴点 A、B 的坐标分别为（1，0） 、 （4，0） ． ∴ 4k 2 0 ． k
C
D
1 ． 2 1 x 2 ．…………………………2 分 2
O
A F E
B
x
∴直线 BC 的解析式为 y
大连市 2017 年初中毕业升学模拟考试（二） 数学参考答案及评分标准
一、选择题 1．C； 2．D； 3．B； 4．A； 5．A； 6．D； 7．C； 8．B． 二、填空题 9． x 6x 6 ；10．x≥ 三、解答题 17．解：原式= 1 2 6 4 ………………………………………………………………………8 分 （ 3） ， = 2 6 ． ……………………………………………………………………………………………9 分 18．解：原式= m 2 2m m 2 2m 1 m = m 2 2m m 2 2m 1 m = m 1 ． 当m …………………………………………………………………………………………8 分 ………………………………………………………………9 分
1 4 8 ； 11．18； 12．6；13．17.1； 14．2； 15． （4，-2） ；16． ， ． 2 5 5


，
……………………………………………………………6 分
1 1 4 时，原式 1 ． 3 3 3
19．解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5． ………………………………4 分 ∴∠AEB=∠EBC． ∵∠ABE=∠EBC， ∴∠AEB=∠ABE．………………………………………7 分 ∴AE=AB=3． ∴DE=2．…………………………………………………9 分 20． （1）72，12；……………………………………………………………………………………………4 分 （2）200，59，22.5； …………………………………………………………………………………10 分 （3）解： 4000
x1 40, x2 90 ．………………………………………………………………………………………7 分
∵30≤x≤80，∴x=90 不符合题意． ∴x=40． 答：当每千克的销售价为 40 元时，获得的利润为 600 元． ………………………………………9 分 23．解： （1）结论：△ACD 是等边三角形． ……………………………………………………………1 分 证明：∵∠ACD＝∠ABD＝60° ，∠CAD＝∠CBD＝60° ， ∴∠ADC＝180° –∠CAD–∠ACD＝60° ． ∴∠ACD＝∠ADC＝∠CAD． ∴△ACD 是等边三角形． ……………………………………………………………………………3 分 （2）连接 OC，如图． 由（1）得，点 O 是△ACD 的内心． ∴∠ACO＝
∴m
（第 24 题图 2）
2 2 7 2 n n． 6 6
2 2 7 2 n n(0 n 7), 6 6 ∴m ．………………………………………………………………11 分 2 2 7 2 n n(n 0) 6 6
3
25．解： （1）3；……………………………………………………………………………………………1 分 （2）1<AD<5；…………………………………………………………………………………………2 分 （3）①结论：EF=CE． ………………………………………………………………………………3 分 证明：如图，延长 CD 到 M，使 DM=CD，连接 BM． ∵AD=DB，∠ADC=∠BDM， ∴ΔADC≌ΔBDM． ∴BM=AC，∠BMD=∠ACD． ∴BM∥AC． ∴△CEF∽△MBF． ……………………………5 分 ∴ EF CE ． BF BM ∴ EF CE 1 ．
y
（3）结论：四边形 CAED 是菱形． 证明：如图 2，取 OC 的中点 G，连接 DG. ∵CG=GO，CD=DB，
1 ∴DG= OB 2 ． 2
C G O A E D B x
∴m-n=2．
4 1 ∴ m m2 m 2 ． 3 3
（第 26 题图 2）
∴ m1 3，m2 （舍去） ． …………………………………………………………………………10 分 2 ∴DE= 5 ，CA= 12 2 2 5 ，CD= ∵CA∥DE，CA=DE， ∴四边形 CAED 是平行四边形． ∵CA= CD， ∴□CAED 是菱形． …………………………………………………………………………………12 分
2
五、解答题 24．解： （1）作 CM⊥OB，垂足为 M，如图 1． 则∠CMB=90° =∠AOM． ∴CM∥AO． ∵AC∥x 轴， ∴四边形 AOMC 是矩形． ∴CM =AO=3，AC =OM． ∵∠MCB=180° —90° —45° =45° =∠OBC， ∴MB=CM=3． ∴AC=4． （2）①当 0<n<7 时，连接 OD，如图 1． ∵AD=3=AO， ∴∠AOD=∠ADO=45° =∠DOB=∠OBC． ∵∠OEF=∠EFB+∠EBF， 即∠OED+∠DEF=∠EFB+∠EBF． ∴∠OED=∠EFB．………………………………………………………………………………………4分 ∴△DOE∽△EBF． ∴
4
∵DE∥AC，DF∥y 轴， ∴∠ACB=∠EDB，∠OCB=∠FDB． ∴∠OCA=∠FDE． ∵∠COA=∠DFE=90° ， ∴△COA∽△DFE． ∴ DF OC 2 ．
EF OA
∴DF=2EF．………………………………………………………………………………………………6 分 ∴
两边同乘 1.5 x，得 解得
2250-1500=15x．
x=50． ………………………………………………………………………………………6 分
检验：当 x=50 时，1.5x≠0． ∴原分式方程的解是 x=50． 答：采用新工艺前每小时加工 50 个零件． …………………………………………………………9 分
CE mn ． ……………………………………………………………………………………12 分 EF n(m 1)
26．解： （1） y
1 2 5 x x 2 ．…………………………………………………………………………1 分 2 2
（2）如图 1，过点 D、E 分别作 y 轴、x 轴的平行线，两平行线相交于点 F． 令 y=0，
200 24 72 2080． 200
A
E
D
BБайду номын сангаас
（第 19 题图）
C
答：估计该区七年级学生 1 分钟跳绳的次数不少于 130 个的人数为 2080． ……………………12 分 四、解答题 21. 解：设采用新工艺前每小时加工 x 个零件． 根据题意，得
1500 1500 10 ．………………………………………………………………3 分 1 50%x x
y A D C F O E M B x
（第 24 题图 1）
∴点 C 的坐标为（4，3） ．………………………………………………………………………………2 分
OE OD n ．即 BF BE m
32 32 ． 7n
∴m
2 2 7 2 n n ．………………………………………………………………………………7 分 6 6
②当 n<0 时，连接 OD，如图 2． 由（1）知，∠DOB=∠OBC． ∴∠DOE=∠EBF． ∵∠DEF=45° =∠OBC， ∴∠DEO+∠BEF=∠BFE+∠BEF． ∴∠DEO=∠BFE． ∴△DOE∽△EBF． ……………………………9 分
E O B x F y A D C
OE OD n 32 32 ∴ ．即 ． BF BE m 7n
O D
C
M
（第 23 题图）
作 EM⊥CD，垂足为 M．则 EM=CE·sin60° = 3， CM=CE·cos60° =1． 在 Rt△DEM 中， MD DE 2 EM 2 4 2
3
2
13 ．
∴CD=CM+MD= 1 13 ．…………………………………………………………………………10 分
BF AC m
M D
A
E F B C
（第 25 题图）
∴BF=mEF． ∴BE=（m+1）EF． …………………………………………………………………………………7 分
∵ BE AB2 AE 2
2
m EC

2
m 1EC2 m 1EC ．
∴（m+1）EC=（m+1）EF． ∴EF=CE．………………………………………………………………………………………………8 分 ②
设点 E 的横坐标为 m，EF=n．
5 1 1 1 则点 E、D 的坐标分别为 m, m 2 m 2 、 m n, m n 2 ． 2 2 2 2
（第 26 题图 1）
DF=
1 1 5 1 1 1 m n 2 m 2 m 2 m 2 2m n ． ………………………………………4 分 2 2 2 2 2 2
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