初等数学常用公式

初等数学常用公式：

（一）代数

乘法及因式分解公式

（1）(1)(x+a) (x+b) =x2 + (a+b)x +ab

(2)(a±b)2=a2 ±2ab+b2

(3) (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

(5)(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+ 3a2c+ 3ac2+ 6abc

(6) a2-b2=(a -b)(a+b)

(7)a3±b3= (a±b) (a2ab +b2).

(8) a n-b n= (a-b)(a n-1 +a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1) (n为正整数)

(9) a n-b n= (a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1) (n为偶数)

(10) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1) (n为奇数) 2。指数运算（设a,b,是正实数，m,n是任意实数）

1.指数定义

下面（1）--（3）式中，m、n均为正整数．

（1）

= (n个a的乘积）；

a n

(2)

(3)

(4)无理指数幂可用有理指数幂近似表示.

例如

2.指数运算法则

（1）

（2）

(3)

(4)

(5)

式中a.>0 ，b>0；x1，x2，x为任意实数．

3.对数定义

若a x=b (a>0 , a≠1) ，则x称为b的以a 为底的对数，记作

当a=10时，，称为常用对数.

当a=e 时，，称为自然对数.

4.对数的性质

（1）(2)

(3)(4)

(5)换底公式由此可推出：

（a）（在换底公式中取c=b）

(b) （在换底公式中取c=10）

5.对数运算法则

(1)

(2)

(3)（x 为任意实数）

1.基本不等式

在下面1）～5）各式中，设a >b, 则

1) a ±c > b ± c

2) ac > bc (c>0)；ac

3),

4) a n>b n ( n>0, a>0, b>0) ; a n0, b>0)

5) (n为正整数,a>0,b>0)

6）设且b, d同号，则

2. 有关绝对值的不等式

(1)绝对值的定义

实数a的绝对值

实数的绝对值是数轴上点到原点的距离．

(2) 有关绝对值的不等式

(a) 若a , b,…, k为任意复数（包含实数），则

(b）若a ,b为任意复数（包含实数），则

(c）若则

-b≤a≤b特别有

（d）若则a>b或a<-b

（e）

（f）若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则

(g）若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式

1) sin x

2) cos x<<1 (0

3)

()

4)(-∞

5)( x>0 )

6) ( 0

7)( 0

8) ( x ≠0 )

9) ( x <1, x ≠0 )

10)

(n 为自然数，x >0)

11)

( x ≠0 )

12)

( x >-1, x ≠0 )

13) ( x >-1, x ≠0 )

14)

( x > -1, x ≠0 ) 特别取

(n 为自然数 ), 有

15）ln x ≤ x-1 ( x >0 )

阶乘、排列、组合、二项与多项式

1.阶乘

注：表中n 为自然数

定义

说明 0！=1 规定

n 的阶乘 (-1)!!=0

规定

(21)!

(21)!!135(21)2!

n

n n n n ++=⋅⋅⋅⋅⋅+= 奇数的阶乘 0!!=0 规定

偶数的阶乘

2.排列

(a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，按一定的顺序排成一列，

称为排列．其排列种数为：

(b) 特别当k=n时，此排列称为全排列．其排列种数为：

3.组合

(a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，不管其顺序合并成一组，

称为组合．其组合种数为：

(b) 组合公式

4.二项与多项式

二项式公式

代数方程

1．一元n次代数方程

其中n为正整数；a0 , a1,…, a n是属于数域S（实数域或复数域）的常数；x为未知数.

f(x)称为一元n次多项式；方程f(x)=0称为一元n次代数方程；最高次项系数a0称为首项系数.

设c是一常数，使f(c)=0 , 则称c为多项式f(x) 或方程f(x)=0 的根．

代数基本定理每个复数域上n次代数方程

在复数域中至少有一个根．

代数基本定理的推论每个n次代数方程在复数域中有且只有n个根.

2．一元二次方程

方程

根的表达式

根与系数关系

判别式

有两个不等的实根

有两个相等的实根

有两个复根

有两个不等的实根

有两个相等的实根

有两个复根

二. 三角函数公式表

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:商的关系：平方关系：