10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据

-/2-0 j+p2的相角变化量：
2 0
-/2+0

2 0
arg D( j )

2
0 2

2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
n阶系统 D(s) s n a1s n1 a2s n2 an1s an 0 若有p个特征根在右半s平面，q个根在原点，则当 由0变化到时，其角增量为：
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im

-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )

2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。

Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
即：若系统开环不稳定，有p个根在s右半平面，q个 根在原点，其余(n-p-q)个根在s左半平面，则当由 0变化到 时，开环Nyquist曲线相对于 (-1，j0) 点的角变化量为(pπ＋qπ/2)时，系统闭环后稳定。 否则，闭环不稳定。
7.4 乃奎斯特稳定性判据
示例 例1：已知系统开环传递函数
2
当由0变化到时： arg D ( j ) 0
2 2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
共轭复根情形(0<<1) 设根位于左半s平面。 当由0变化到时， j+p1的相角变化范围：
Im
j+p1
-p1
-0 ~ /2 变化量：/2+0。 j+p2的相角变化范围：
0 Re

当K<-1时，开环乃氏图相对于 (-1，j0) 点的角 变化量为π，系统闭环稳定。 当0>K≥1时，角变化量为0，系统闭环不稳定。
7.4 乃奎斯特稳定性判据
开环含有积分环节时Nyquist判据的处理 此时需对开环幅相曲线作修正：从ω=0+处，逆时针 补画ν×90°、半径为无穷大的圆弧，将零点划到s 左半平面。 例3：系统开环传递函数为 j
1
j+p2
-p2
0
2 0
0
变化量：/2–0。 arg D( j ) 0 0 2
2 2
Re
0 ~ /2
2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
根位于右半s平面。 当由0变化到时， j+p1的相角变化量： Im
1 0
0 j+p1 -p1 j+p2 Re -p2
A(0) K , (0) 180
A() 0, () 90
7.4 乃奎斯特稳定性判据
K P( ) 1 T 2 2 KT Q ( ) 1 T 2 2
P() K / 22 Q()2 (K / 2)2
K
Im
=0
-1
=
7.4 乃奎斯特稳定性判据
Nyquist稳定判据的优点
图解法、几何判据，简单、直观、计算量小 （劳斯/赫尔维茨判据是代数判据）。 可以不必知道系统的微分方程和传递函数，而 只依靠解析法或实验法获得的开环频率特性便 可应用。 有助于建立相对稳定性的概念。
Nyquist判据的数学基础：复变函数论中的映射定 理，又称幅角定理、米哈伊洛夫定理。
D1 ( s) D2 ( s) N1 ( s) N 2 ( s) DB ( s) 1 G( s) H ( s) D1 ( s) D2 ( s) DK ( s)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
D1 ( s) D2 ( s) N1 ( s) N 2 ( s) DB ( s) 1 G( s) H ( s) D1 ( s) D2 ( s) DK ( s)
二阶系统
2 D(s) s2 2n s n s p1 s p2 0
实根情形( 1)
j+p2 Im Im j+p2
2
-p2 -p1
1
j+p1 0 Re
2
-p2
j + 1 p1 0 -p1 Re
当由0变化到时： arg D ( j ) 2
其中，DB(s)为闭环特征多项式。
DB ( j ) F ( j ) 1 G( j ) H ( j ) DK ( j )
由0变化到时，向量F(j)的相角变化量
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据
Im Im
= =0
0 Re 0
= =0
Re

F(j) F(j)

argF ( j) 0
argF ( j) 0
F(j) 的相角变化量等于0 时，意味着复平面内 F(j) 的轨迹不包围坐标原点。
7.4 乃奎斯特稳定性判据
对数频率稳定判据（ Bode 判据）根据开环对数频率特性 曲线判断闭环系统稳定性；

两种频率稳定判据没有本质区别。
频域稳定判据的特点：根据开环系统频率特性曲线
判定闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。
7.4 乃奎斯特稳定性判据
闭环传递函数为
X o ( s) G(s) X i ( s) 1 H ( s)G( s)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
开环不稳定时 设系统开环特征多项式有p个根在s右半平面，q个 根在原点，其余(n-p-q)个根在s左半平面，则根据 米哈伊洛夫定理推论，当由0变化到时：
arg DK ( j ) (n 2 p q)

若闭环稳定， arg DB ( j ) n 从而：
开环稳定时
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n

2

2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
G( s) H ( s) 20 ( s 1)(2s 1)(5s 1)
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。 解：开环极点均在s左半平面，故开环系统稳定。
G ( j ) H ( j ) 20 ( j 1)( j 2 1)( j5 1) 20
A( )
7.4 乃奎斯特稳定性判据
例2：已知系统开环传递函数
K G( s) H ( s) Ts 1
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。
解：开环系统有一个极点在s右半平面，故开环系统 不稳定。 K
G ( j ) H ( j )
A( )
K 1 T 2 2
1 jT
() 180 arctan T
(1 2 )(1 4 2 )(1 25 2 )
() arctg arctg2 arctg5
7.4 乃奎斯特稳定性判据
A(0) 20, (0) 0
A() 0, () 270
20 (8 10 2 ) 0 由： Q( ) 2 2 2 2 2 (1 17 ) (8 10 )
闭环系统 为了保证系统稳定，特征方程 1 H (s)G(s) 0 的全部根，都必须位于左半s平面。 虽然开环传递函数 H (s)G(s) 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环 传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统 是稳定的。
7.4 乃奎斯特稳定性判据
乃奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 H ( j )G( j ) 与 1 H ( j)G( j) 在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。 这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲 线，均可用来进行稳定性分析 。 特点： 它是根据开环系统的频率特性来判定闭环系统的稳 定性。
即分子为系统闭环特征多项式，分母为系统开环 特征多项式。
一般G(s) 和H(s) 的分母多项式的阶次均大于其分 子多项式的阶次，故闭环特征方程的阶次等于开环 特征方程的阶次，均为n阶。
7.4 乃奎斯特稳定性判据
令辅助函数：
DB ( s) F ( s) 1 G( s) H ( s) DK ( s)
比较F(j)和G(j)H(j) 在复平面上的轨迹可见， F(j)的轨迹是否包围坐标原点的问题转变为 G(j)H(j) 的轨迹是否包围(-1，j0)点的问题。
因此，若系统开环稳定，则当由0变化到时， 开环Nyquist曲线G(j)H(j)不包围复平面上 ( -1，j0 ) 点时，系统闭环稳定。否则，系统闭 环不稳定。
N 2 ( s) H ( s) D2 ( s)
H(s)
Xo s 闭环：
N1 ( s) N 2 ( s) N K ( s) 开环传递函数： G(s) H (s) D1 ( s) D2 ( s) DK (s)
N1 (s) D2 (s) N B ( s) G( s ) X i s 1 G(s) H (s) D1 (s) D2 (s) N1 (s) N 2 (s) DB (s)
2 解得： j 5
20(1 17 2 ) 由： P() (1 17 2 ) 2 2 (8 10 2 ) 2
解得Nyquist曲线与负实轴交点为：
P( j ) 1.587
7.4 乃奎斯特稳定性判据
Im
-1.587
-1
=
0
20
=0 Re
Fra Baidu bibliotek
由图可见，开环Nyquist曲线包围(-1，j0)点，故 闭环系统不稳定。
若n次多项式D(s)的所有根都位于复平面的左半平面， 则当以s= j代入D(s)并命由0变化到时，其角增 量为：
arg D ( j ) n

2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4.2 乃奎斯特稳定性判据
Xi(s) Xo ( s )
G(s)
N1 ( s) G( s) D1 ( s)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4.1 米哈伊洛夫定理 一阶系统 特征方程：D(s) = s + p ＝ 0 特征根：s = -p < 0，系统稳定。 D(s)可视为复平面上的向量。 在频域该向量为：D(j) = p + j
s+p
s
Im s 0 Re
-p - p
当变化时， D(j)的端点沿虚轴滑动，其相角相 应发生变化。
arg D( j ) (n p q) p (n 2 p q) 2 2 2
此即为米哈伊洛夫定理。
7.4 乃奎斯特稳定性判据
推论
D(s) s n a1s n1 a2s n2 an1s an 0

2
2
arg F ( j ) arg DB ( j ) arg DK ( j ) p q

2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
F(j)的相角变化量不等于0 时，意味着复平面内 F(j)的轨迹包围坐标原点，即G(j)H(j)的轨迹 包围(-1，j0)点。