条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)
概率论
3
由于系统是由这三对并联元件串联而成， 故其可靠性为
R
2
PC1 C2 C3 PC1PC2 PC3 r
2
2r
3
R 显然，
r由 .
3
2 r 3 2 r3 6 r 12 2 r3 .故 R
2
R.
1
而两系统都是由2 3 个可靠性相同的元件
1 n 1 1 1 0 n n n 1 n
类似可得
P A3 P A1 A2 P A3 A1 A2 P A1 A2 P A3 A1 A2 1 P A1 A2 n2
1 1 P A1 P A2 A1 ， n2 n
抽得既是甲车间的产品，又是二级品的概 率为
50 P AB 0.025. 2000
容易验证，以上各概率之间满足关系式：
P AB PB A . P A
一般情况下上式都成立，故可定义在事件 A
发生的前提下事件 B 发生的条件概率为
P AB PB A , P A
1
1e
10.002
0.95.
1500
1 e
1500ln 10.002
1500 0.002
从这个例子可见，虽然每个人带有感 冒病毒的可能性很小，但许多人聚集在一 起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很 大，这种现象称为小概率事件的效应。卫 生常识中，不让婴儿到人多的公共场所去
（3） P AC P APC （4） P ABC P APB PC 我们称 A, B, C 是相互独立的。
， 类似的，对于 n 个随机事件A1， A2， An
条件概率 全概公式
但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 P( A1 U A2 U L U An )
全概率公式: 1、全概率公式: 是两两互斥的事件， 设 A1 , A2 ,L , An 是两两互斥的事件，且
P ( Ai ) > 0, i = 1,2, L, n, 另有一事件 , 它总是 另有一事件B,
之一同时发生， 与 A1 , A2 ,L , An 之一同时发生，则
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
1500 P U Ai = 1 P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 (1 0.002 )
1500
= 1 e1500 ln (10.002 )
≈ 1 e1500( 0.002 ) = 1 e 3 ≈ 0.95
B AB A
掷出2 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 掷一颗均匀骰子 B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？ ={掷出偶数点 ={掷出偶数点} )=1/6， ( = 已知事件B发生 发生， 已知事件 发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B 所有可能结果构成的集合就是 ， B中共有3个元素，它们的出现是 中共有3个元素， 中共有 等可能的，其中只有1个在集A中 等可能的，其中只有1个在集 中， 于是P( 于是 (A|B)= 1/3. )= 容易看到： 容易看到： 1 1 6 P( AB) P(A B ) = = = 3 36 P(B)
7.1.2全概率公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册(1)
ഥ)
接收1(
解: 设A “发送的信号为0”
, B “接收到的信号为0”,
A “发送的信号为1”, B “接收到的信号为1”
.
由题意得, P( A) P(B) 0.5, P(B A) 0.9,
P( B A) 0.1, P( B A) 0.05, P( B A) 0.95.
7.1.2
全概率公式
复习引入
1.条件概率公式
P ( AB )
P ( B A)
P ( A)
2.概率的乘法公式
P( AB) P( A) P( B A)
3.条件概率与独立性的关系
当且仅当事件A与B相互独立时, 有P(B A) P(B).
问题探究
思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出
P( A3 B)
P( B)
P( B)
0.0525
7
探究新知
思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
P(Ai)是实验之前就已知的概率，它是第i台车床
加工的零件所占的比例，称为先验概率.
当已知抽到的零件是次品(B产生)，P(Ai|B)是这
件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为
a
的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为
. 那么第2次摸到红
ab
球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签具有公平性，所以第2
a
次摸到红球的概率也应该是 a b .
但是这个结果并不显然，因为第2次
摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
下面我们给出严格的推导.
2
3
3
问题探究
高等数学 13.4条件概率、乘法公式与事件的独立性
• 需要说明的是，（1-15）式实际上蕴涵着
•C
2 n
Cn3
C
n n
2n
1 n
个等式. 特别地，
• 当n 3 时，（1-15）式蕴涵着以下四个 等式：
Байду номын сангаас
• P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
，
• P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 )
，
•
P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
复n次得到的复合试验称为n重独立试验；
若E只有两个可能结果（如事件A发生或不 发生），则称其为贝努利试验（Bernoulli
Trial），由它得到的n重独立试验称为n重
贝努利试验.
• 贝努利试验以及相应的概率模型在实际 中有十分广泛的应用. 比如，掷一颗骰子的 试验就是贝努利试验，掷n次就是n重贝努 利试验. 还有，对任一事件A，若试验的目 的只是观察A发生与否，那么，独立地做n 次试验或观察就构成一个n重贝努利试验.
11)
• 这就是概率的乘法公式，它在计算复杂 事件的概率时十分有用.
• 乘法公P(式A1（A2 1-1A1m）1) 还 0可推广到多个事件
的情形，如
时，有
三 事件的独立性
• 一、两个事件的独立性
•
在前面的很多例子中P，(A | B) P(A) ，
这说明事件A与B是有关联的. 比如，P当(A | B) P(A)
生了”
• 定义1.2 设A和B为两个事件P，(B) 0 ，
那么，在“B已发生”的条件下，A发生的
条件概P(率A | B)
定义为
P( A | B) P( AB)
•
条件概率、独立性
P(A )P(B 1)P(A|B 1)P(B 2)P(A|B 2)
P(B)P(A|B)
3
3
0.60.10.30.30.10.20.17
P(B 1|A )P(B 1P )P ((A A )|B 1)0 0..1 0 7 61 67 P2 (|B A)P2 (P )B P(|B A (2A ) )0 0..1 0 7 91 97 15 P3 (|B A)P3 (P )B P(|B A (3A ) )0 0..1 0 7 21 27
P( A) P( A)
P( A)
0.8
5
0.25
1．3．2三个重要公式
1． 乘法公式
定理 1 若 P( A) 0，则有 P( AB) P( A)P(B | A) 推广：若 P(B) 0，则有 P( AB) P(B)P( A | B) 一般地，若 P( AB) 0 ， 则有 P( ABC) P( A)P(B | A)P(C | AB) ， 若 P( A1 An1 ) 0 ， 则有 P( A1 An ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( An | A1 An1 )
13
设 A “顾客拿到的电话机不合格” B , i 1,2,3 分别表示
i
“顾客拿到的电话机是甲乙丙生产的”
则 P(B1 ) 0.6, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.1
P( A | B1 ) 0.1， P(A | B2 ) 0.3 P(A | B3 ) 0.2
的k (1kn)及任意的 1i1i2 ikn,都 有等式 P ( A i 1 A i 2 A i k ) P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k ) 则称 A1,A2,,An相互独立。
1-3条件概率
(4)
P(A1 U A2
B)
P( A1
B) P(A2
B) P(A1A2
B). 4
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例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放 回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品”, 事 件B为“第二次取到的是一等品”. 试求条件概率 P(B∣A).
事件同时发生的概率. 乘法公式易推广到多个事件的情形, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则
例如:
(3)
6
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例2 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下打
破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为 9/10, 试求透镜落下三次而未
{第一次掷出6点}，
显然，事件 发生，并不影响事件 发生的概率，
这时我们称事件A 独立于B, 在数学上，
可表述为：
其中
(1)
同样，如果
其中
(2)
称事件B 独立于A 由乘法公式易见， (1)式和(2)式
均等价于
(3)
10
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故通常称事件A 与B 相互独立. 注意到 (3) 式当
时恒成立，故它不受 约. 从而可采用 独立性.
求得
24
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2. 将(1)式改写即得乘法公式 3. 事件的独立性
25
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p1 p2 2 p2 (1 p).
21
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采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛 3局(可能赛3局，也可能赛4局或5局)，且最后一 局必需是甲胜，而前面甲需胜二局. 例如,共赛4 局，则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”， “甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容. 由独立性 得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为
条件概率及独立性
1.3条件概率与独立性East China University of Science And TechnologyEast China University of Science And Technology1.3.1 条件概率, 乘法公式条件概率──考虑事件A 已发生的条件下,事件B 发生的概率。
1. 条件概率定义East China University of Science And Technology引例袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？设A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
记为.()A B PEast China University of Science And Technology 解列表()74=A B P ()(|)()P AB P B A P A =白球红球小计木球426塑球314小计73104/107/10=而47(),()1010P AB P A ==P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?East China University of Science And Technology定义给定一个随机试验, Ω是它的样本空间,对于任意两个事件A,B, 其中P (A )>0, 称为在已知事件A 发生的条件下, 事件B 的条件概率.()(|)()P AB P B A P AEast China University of Science And Technology概率P (B|A)与P (AB)的区别与联系联系：事件A ，B 都发生了.区别：（1）在P (B |A )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，A 先B 后；在P (AB ）中，事件A ，B 同时发生。
D1-3 条件概率及事件的独立性
P AB P A P B
A, B 是相互独立的
定理1: ① A, B 相互独立 P A B P A P B 0
P B A P B P A 0
② 若事件A与B独立， A与 B 、 与B 、A 与 B 也 则 A 相互独立. 证: P AB P A B P A P AB
P A P A P B P A 1 P B P A P B
P AB P A B 1 P A B
1 P A P B P AB 1 P A P B P A P B
两两独立
1 1 但 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P A2 P( A3 ) 4 8
即三个事件不相互独立
一般地， A1 , A2 ,, An是n个事件， 设 若以下等式成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj )
1 i j n,
1 i j k n, P ( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ) P( A1 A2 An ) P( AБайду номын сангаас )P( A2 ) P ( An )
500 0.03 0.001593 25000 ②由贝叶斯公式得： 500 0.03 P( A) P( E | A) 25000 P( A | E ) 0.001593 PE
全概率公式与贝叶斯公式说明： 令 Ai -“原因”， B-“结果”， 则
P Ai -第 i 种原因发生的概率.
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条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)
§3．条件概率、乘法公式、独立性
前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。
但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A 已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。
一．【例1】设箱中有100件同型产品。
其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，
30件(25件正品，5件次品)来自乙厂。
现从中任取一件产品。
(1)求取得甲厂产品的概率；
(2)求取得次品的概率；
(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。
分析：为了直观，我们将产品情况列成表
上面的问题，可用古典概率计算法求得。
解：
则（1）（2），
，，
（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。
这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间的一部分)。
由古典概率知：
为了给出条件概率的数学定义，我们对
{例1}的条件概率问题进行分析：
即有
二。
条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,
且
【例1】从带有自标号1，2，3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：
【例】
φ
解；（ⅰ）∵ABφ
=，
三．概率的乘法公式：
乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。
即
【例2】盒中有10件同型产品。
其中8件正品，2件次品，现从盒中无放回地连取2
件，求第一次、第二次都取得正品的
概率。
因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。
【例3】10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。
求甲
抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽
到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽
到难签的概率。
解：设事件A，B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，则
【例4】
【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记
从此例看出，抓阄时虽排队，但三人是等概的，否则这个办法就不会被人类采纳达数千年之久。
三．事件的独立性：
如果
则 表示事件A 发生并不影响事件B 发生的概率。
即 ()()()()()P B A P B P AB P A P B =⇔= 1．定义：设A ，B 是两个随机事件，如果
2．性质： 若 四对事件 A
与B ；A 与B ；A 与B ；A
与B 中有一对相互独立，
则其余三对也相互独立．即下面四个命题是等价的：
３．定义２：
应用独立性概念，可以简化概率的计算．
【例6】在不超过100个自然数里任取一数，则它能被2或能被5整除的概率为多少？
3
5
【例】袋中放有a个白球和b个黑球，随机取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的球c个，再取第二个，这样连续取3次，问取出的3个球中头两个是黑球，第3个是白球酌概率是多少?
解：
【例】
【例８】已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0．4％，且他们是否含有肝炎病毒是相
互独立的．今混合100个人的血清，试求混
合后的血清中含有肝炎病毒的概率．
现在我们知道对１００人的血清作检验．用新方法要检验l01次的可能性为0．33，而只需检验一次的可能性为１—o．33＝o．67．由此，可以知道，只做一次检验的可能性远大于t01次检验的可能性．以后我们将知道：用新方法对100个人平均需做34次检验，当然这比老方法要做too次检验确实减少了工作量．
【例】
【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击，已知甲击中的概率为o．6，乙击中的概率为o．5，求敌机
被击中的概率。
【例１１】（１）两门火炮同时向一敌机射击，
每门火炮的命中率为０．6，求敌
机被击中的概率．
（２）现若干门炮同时向向一敌机炮击，问欲以９９％的把握击中这敌机，至少需要几门炮？
（２）解：设至少n门炮同时向向一敌机炮击，
i A =
“第i 门炮击中这敌机” (1,2,,)
i n =，
A =
“敌机被击中”，
则
12n
A A A A =++
+，
（∵
12,,,n
A A A 不是两两互不相容，Ｐ（Ａ）
计算量太大，可以考虑A 的逆事件）
∵ 12
n
A A A A =， 且1
2
,,
,n
A A A 是相互独
立的，
∴ 12()()()
()10.60.4n n
n P A P A P A P A ==-=，
()1()10.40.99
n P A P A =-=-≥
因而
5.026
n ≥，
可见， 至少需要６门炮才能以９９％的把握击中这敌机。
【例】 若n 次独立试验中，A 至少出现一次的概率为 ,, 求一次试验中Ａ出现的概率。
四．习题：
Ｐ。
２９―――１，２，３，４。