相似矩阵与二次型习题课1

合集下载

考研线性代数第四讲相似矩阵及二次型

a为何值时，A可对角化？
有一个2重特征值，
⑴求a；⑵讨论A可否对角化？ .
第四讲相似矩阵及二次型
相似与对角化
3. 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的性质 ① 实对称矩阵的特征值均为实数，每个特征值l的重数=n-r(lE-A); ② 属于不同特征值的特征向量正交. 结论对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正交矩阵Q, 使得 Q –1AQ = = diag(l1, l2, …, ln), 其中l1, l2, …, ln为A的全部特征值, Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A 的对应于l1, l2, …, ln的标准正交特征向量.
相似与对角化
三、相似与对角化 1. 相似的定义与性质
设A与B 均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B 成立，则称A与B相似，P为把A变成B的相似变换矩阵.
第四讲相似矩阵及二次型
相似与对角化
性质若A与B相似，则 ①对于多项式f(x)， f(A)与f(B)相似. ②方阵A与B的特征值相同. ③|A|=|B|. ④tr(A)= tr(B). ⑤r(A)= r(B). ⑥当P 1AP =B时，是A的特征向量，则P -1 是B的特征向量. ⑦若P 1AP = ，则 =diag[l1, l2, …, ln]，其中l1, l2, …, ln为A的特征值.
第四讲相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
例10.设 =(1,-1,1)T是3阶矩阵A的特征向量，对应的特征值为1， A5 4 A3 E ，验证是B的特征向量. B 例11.设1, 2是A的特征向量，特征值l1≠l2,则1, A(1+ 2)线性无关的充要条件是什么.
第四讲相似矩阵及二次型

(8) 第三部分特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题

() ( )
⎝
1
⎠
( )
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
19
例48 已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 )
四化二次型为标准形
(06)
2 2 = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2
求二次曲面
x + 2x + Yx + 2 x1 x2 + 2 Xx1 x3 = 1
2 1 2 2 2 3
为椭球面的概率
22 December 2012
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
10
二反求参数问题
⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ 例37 设A = ⎜ 0 0 1 ⎟ 与B = ⎜ 0 y 0 ⎟相似, 则( ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 1 x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
6
例32 已知 A1 , A2 , A3 为3个非零的3阶矩阵，
A = Ai (i = 1, 2, 3), Ai A j = 0 (i ≠ j ),
2 i
证明0，1一定是 Ai (i = 1, 2, 3) 的特征值. 为3维单位列向量，且 α T β = 0, 例33 设α , β T T . A = αβ + βα , 则A的特征值为

相似矩阵和二次型

相似矩阵与二次型作业
一、填空题
1. 已知三阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1-，则=A ，1-A 的特征值为 .
2. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=100320201A ，则E A 22+的特征值为 . 3. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=163020104a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 00010001B 相似，则A 的全部特征值为 . 4. 若二次型22212312
31223(,,)2346f x x x x kx x x x x x =++++是正定二次型，则k 的取值为 .
二、选择题
1. 若A 为正交矩阵，下列命题正确的是（）. (A) 1=A (B) 1-=A (C) A 为对称矩阵 (D) 1-=A A T
2. n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）.
（A ）充分必要条件（B ）充分而非必要条件
（C ）必要而非充分条件（D ）既非充分也非必要条件
3. 若二次型232221321)1()1(),,(x x x x x x f +++-=λλλ 是正定二次型，则（）
（A ）1->λ （B ）0>λ （C ）1>λ （D ）1≥λ
三、计算题
求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=100243332A 的特征值与特征向量，并判断A 能否对角化？。

相似矩阵与二次型

1T 1 1 1 A T ,则3 应满足齐次线性方程组 Ax 2 1 2 1
0 ,即
x1 1 x1 x3 所以同解方程组为 x c 2 1 0 x 0 2 ,通解为 1 x 3 x x 3 3
1 ,取 3 0 即可 1
5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程 ) 设 1 , 2 ,, m 为一线性无关向量组（1）正交化取
1 1
3 , 1 3 , 2 2 , 1 1 2 2 2 1 3 3 1, 1 2 , 2 1, 1
b1 b2 bn
令
, a1b1 a2b2 anbn

的内积
称为向量与
向量的内积具有下列性质
, , k , k , , k , , , , 0 0
依次类推,一般的,有
j , 1 j , 2 j , j 1 j j 1 2 j 1 , 1 , 1 2 , 2 j 1 j 1
( j 1, 2,, m)
可以证明, 1 , 2 ,, m 两两正交,且与1 , 2 ,, m 等价（2）单位化令
ej
j j
( j 1, 2,, m)
则 e1, e2 ,, em 为单位正交向量组,且 1 , 2 ,, m 等价
例已知
解 2 , 3 应该满足 1 , x 0, 即其同解方程组为
k1e1 k2e2 kmem

第四章相似矩阵与二次型

0
0

Hale Waihona Puke 1 611,0,-1,0,2T
1
6
,0,
-1 6
,0,
2 6
T
0,1,2,4,1T 0, 1 , 2 , 4 , 1 22 22 22 22 22
T
5
4.1.2 正交向量与正交向量组定义4
与正交： , 0 或 T 0 记作
1 1 1 1 1 1 1 e 1 b3 1 0 . b2 b1 取 e1 1 ; 3 2 ; e2 b3 b2 b1 2 3 6 1 1 1 11 e1 , e 2 , e3 即为所求.
第四章
相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性 §2 方阵的特征值与特征向量 §3 相似矩阵 §4 对称矩阵的相似矩阵 §5 二次型及其标准形 §6 正定二次型
1
§1
向量的内积、长度及正交性
4.1.1 向量的内积与长度
y1 x1 y 定义1 设有 n 维向量 x x 2 , y 2 , x , y x y x y x y 1 1 2 2 n n x y 称为向量 x 与 y 的内积. n n
8
i
把a1 , a 2 ,, a r 这个基规范正交化. 把 a1 , a 2 ,, a r规范正交化的步骤: 如何求 V 的规范正交基？
b 分析利用a1 , a2 ,, ar 构造正交向量组1 , b2 ,, br , 只需设
b1 a1 , b2 a2 21b1 , b3 a3 31b1 32b2 ,

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

(1) 1 2 3 4;
(2) 4 1 3 2;
(3) 3 4 2 1;
(4) 2 4 1 3;
(5) 1 3 · · · (2n − 1) 2 4 · · · (2n);
(6) 1 3 · · · (2n − 1) (2n) (2nห้องสมุดไป่ตู้− 2) · · · 2.
解
(1) 逆序数为 0.
(2) 逆序数为 4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2.
(4)
x
y x+y
y x + y x = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx − y3 − (x + y)3 − x3
x+y x
y
= 3xy(x + y) − y3 − 3x2y − 3y2x − x3 − y3 − x3 = −2(x3 + y3).
2 . 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
70
第一章行列式
课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若您发现有好的解法, 请不吝告知.
1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
201 (1) 1 −4 −1 ;
−1 8 3
abc (2) b c a ;
1
2
第一章行列式
(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)
逆序数为
n(n−1) 2
:
3 2...........................................................................1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 .................................................................................. (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个

第五章相似矩阵及二次型线性代数含答案

第五章相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

大学-线性代数习题答案05

|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值有公共的特征向量
证明设 R(A)r R(B)t 则 rtn 若 a1 a2 anr 是齐次方程组 Ax0 的基础解系显然它们
17
设矩阵 A142
2 x 2
124
与
5
4
y
相似
求 x y
并
求一个正交阵 P 使 P1AP
解已知相似矩阵有相同的特征值显然5 4 y 是
的特征值故它们也是 A 的特征值因为4 是 A 的特征值
所以
5 2 4 | A 4E| 2 x 4 2 9(x 4) 0
4 2 5
解之得 x4 已知相似矩阵的行列式相同因为
2 5 1
1 a b
322 的一个特征向
量
(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值
解设是特征向量 p 所对应的特征值则
(AE)p0
即
2 5 1
1 a
b
2 3 2
111
000
解之得1 a3 b0
(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由
解由
2 1 2 | AE| 5 3 3 ( 1)3
由①②③解得
x1
1 3
1 2
x6
x2
1 2
x6
x3
2 3
1 4
x6
x4
1 3
1 2
x6
x5
2 3
1 4
x6
令 x60
得
x1

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

工程大学线性代数电子教案
10 2 0 0 1 10 1 1 1 10 1 10 A PP PP PP P P P 0 2 0 P 0 0 1
2 2 0 8. 求一个正交相似变换矩阵P，将 A 2 1 2 0 2 0
求 A, A10
由于A可对角化，故存在可逆矩阵 P [ p1 , p2 , p3 ] 使
工程大学线性代数电子教案
2 0 0 P 1 AP 0 2 0 0 0 1 0 1 1 又 P 1 1 1 1 1 0
工程大学线性代数电子教案
一、重点与难点 1. 线性无关向量组的正交规范化方法
2. 方阵的特征值与特征向量的证明问题
3. 判断方阵可否对角化 4. 求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵
工程大学线性代数电子教案
二、基础知识
（一）方阵的特征值与特征向量
1. 定义
a 2 b2 c1
3 2 1 0 0 a A 2. 已知可对角化，求a 0 0 0
解：由于A可对角化，则A有3 个线性无关的特征向量。A的特征值 1 3, 2 3 0
工程大学线性代数电子教案
* 2 A 3E ( 则
)
解答： 126
工程大学线性代数电子教案
1 k 1 例3：已知是的特征向量， A 1 2 1 1 A 1 2 1 1 1 2
解答： 1或-2 则
k( )
工程大学线性代数电子教案
（2）特征向量：i E A x 0 的非零解。 3. 性质
（1）设是 A 的特征值，则 k 是 Ak 的特征值 ;
f ( ) 是 f ( A) 的特征值.
（2）1 , 2 ,, n 是 Ann 的特征值，则
1 2 n a11 a22 ann ; 12 n A
工程大学线性代数电子教案
（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其 A 1 1 * A 的特征值为 A 的特征值为（4）A 与 AT 的特征多项式相同，特征值相同。
（5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。
（二）相似矩阵、相似变换
1. 定义
2.
P AP B
1
对角化。
工程大学线性代数电子教案
解：
E A 0
1 2, 2 1, 3 4;
将其对应的特征向量单位化、正交化后，得
1 1 P1 2 , 3 2
2 1 P2 1 , 3 2
(1)求a , b
1 P AP B (2)求可逆阵P，使
工程大学线性代数电子教案
解： (1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6. 所以
1 4 a 4 b A 4b

a 5 b 6
(2) 1 2 2 时， ( 2 E A) x 0,
解：
AP1 P1
c 1 a 1 1 即 0 b 0 2 2 2 4 c 1 a 2 2
工程大学线性代数电子教案
a 2 2c 2 2b 4 4 2c 2 2a 4
1 解： (1) AP P 即 2 a b 1

a 3 b0 1
工程大学线性代数电子教案
2
( 2) E A 5 1
故 1 2 3 1
1
2 3 ( 1) 2
工程大学线性代数电子教案
7. 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 2, 2 2, 3 1; 对应的特征向量分别为：
0 P1 1 , 1
解：
1 P2 1 , 1
1 P3 1 0
使
工程大学线性代数电子教案
1 2 1 2 a 3 的一个 4. 已知 P 1 是矩阵 A 5 1 1 b 2
特征向量。（1）求a, b及特征向量P所对应的特征值。（2）问A能否对角化？说明理由。
3 6时，
(6 E A) x 0
工程大学线性代数电子教案
基础解系为：
1 P3 2 3
故
1 1 1 P p1 , p2 , p3 1 0 2 0 1 3 2 0 0 P 1 AP 0 2 0 0 0 6
3
3
0
是A的特征值。
3 1 2 1 0 1 ( E A) x 0,( E A) 5 2 3 0 1 1 1 0 1 0 0 0
与 1 对应的A的线性无关的特征向量只有一个，故A不能对角化。
性质：若A与B相似，则有
（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。
工程大学线性代数电子教案
（2） trA trB; A B ; R( A) R( B) （3）若A可逆，则B可逆，且 A1与 B1也相似。（4） Ak 与 B k 相似，相似变换阵仍为P。
（5） f ( A) 与 f ( B ) 相似
AT A
（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量
工程大学线性代数电子教案
（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。
（3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤： 1. 求A的特征值 2. 求 i ( i 1,2,, n) 对应的特征向量 1 ,2 ,,n 3. 将 1 ,2 ,,n 正交规范化得到 p1 , p2 ,, pn 4.
2 1 P3 2 3 1
所以， P [ p1 , p2 , p3 ]
工程大学线性代数电子教案
填空题例1： A33 的特征值为1，-1，2， B A3 2 A2 则 B (
)
0
解答：
例2： A33 矩阵， A E A 2 E 2 A 3 E 0
（三）方阵的对角化 1. 定义
。
1 1 P AP n
2. n阶方阵 A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。
工程大学线性代数电子教案
推论：若n阶方阵 A有n个互不相同的特征值，则A 一定可以对角化。
将方阵A对角化的步骤： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n 2. 求 i ( i 1,2,, n) 对应的特征向量。（四）实对称阵
1 1 1 1 1 1 2E - A 2 2 2 0 0 0 3 3 3 0 0 0
工程大学线性代数电子教案
基础解系为：
1 1 P1 1 , P2 0 0 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6E - A 2 2 2 3 3 1 0 6 4 0 1 3 3 3 1 5 1 1 0 6 4 0 0 0

2 0 0 A P 0 2 0 P 1 0 0 1 0 1 1 P 1 1 1 1 1 1 0

2 0 0 2 3 3 所以 A P 0 2 0 P 1 4 5 3 0 0 1 4 4 2
Ax x, x 0
2.
求法
（1）特征多项式 a11 a12

a1n a2 n f A ( )
E A
a21 an1
a22
an 2
ann
特征方程 f A ( ) E A 0, 其解为A的特征值。
与 2 3 0 对应的特征向量中存在2个线性无关的。即 (0 E A) x 0 的基础解系中含有两个解。
R( A) 1

a0
1 1 1 2 0 0 2 B 0 2 0 A 4 2 3. 设A与B相似， 3 3 a 0 0 b
T P 构造矩阵P= p1 , p2 ,, pn ,P正交阵，使 AP
三、典型例题
工程大学线性代数电子教案
c a 1 0 有一个特征值 1 2, 1. 设 A 0 b 4 c 1 a 1 对应的特征向量为 P1 2 求 a, b, c. 2