数学竞赛辅导数学思维策略和方法谈一探索法
小学数学奥赛知识竞赛数学问题解题方法与思维训练
小学数学奥赛知识竞赛数学问题解题方法与思维训练在小学数学奥赛中，面对各种复杂的问题，正确的解题方法和灵活的思维训练是取得优异成绩的关键。
在本文中，我们将探讨几种常用的解题方法，并分享一些有效的思维训练技巧，帮助小学生顺利应对奥赛数学问题。
一、直观解题法直观解题法是指通过观察、分析图形或实物来解决问题。
这种解题方法应用广泛，它要求学生具备良好的观察能力和形象思维能力。
以解决几何问题为例，学生可以通过观察图形的形状、边长、角度等要素，推理出问题的答案。
此外，对于实际问题，学生可以通过观察实物，用直观的方式理解和解决问题。
二、逻辑推理法逻辑推理法要求学生根据问题的条件和规律进行推理，找出问题的解决方案。
这种解题方法需要学生具备良好的逻辑思维和分析能力。
在解决数列问题时，学生可以通过观察数列的规律，推导出下一个数的值。
在解决逻辑推理题时，学生需要根据问题的描述，通过分析各种可能的情况，找到最合理的答案。
三、抽象思维法抽象思维法是指将具体问题进行简化、归类，从而得到一般规律，进而解决问题的方法。
这种解题方法要求学生掌握数学的基本概念和原理，并能够将其运用到具体问题中。
例如，在解决面积和体积的问题时，学生可以将不同图形、实物进行抽象化，求解相应的面积和体积公式，然后应用到具体的数学问题中。
四、反证法反证法是指通过假设一个命题的否定结论，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
这种解题方法对于证明类问题非常有用。
学生可以通过假设问题的反命题，并用逻辑推理方法推导出矛盾的结论，从而得出问题的正确答案。
思维训练是培养学生解决复杂问题的关键。
以下是一些有效的思维训练技巧，供小学生参考：1. 多进行数学思维训练。
每天进行一定时间的数学思维训练，包括课堂上的练习，还有课余时间的自主训练。
通过不断地思考和解决数学问题，提高解题的能力和思维的灵活性。
2. 多进行数学竞赛训练。
参加各类数学竞赛活动，锻炼自己在压力下解题的能力。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
随着教育的普及，学生数学水平的提高，数学竞赛逐渐增多。
许多学生都有参加数学竞赛的渴望，但如何解决数学竞赛中的题目，变得非常重要。
在这里，我将分享一些我在数学竞赛解题思想和策略。
首先，要想解决数学竞赛中的题目，首先要了解题目的内容。
这一点非常重要，因为如果不清楚题目，就无法找到正确的解题思路。
在读题时要特别注意，看清题目中的关键点，以及把握好题目的类型，这样才能把握住思路。
其次，要想解决数学竞赛中的题目，也要有较强的基本功。
比如，数学竞赛中常用的数学知识，必须扎实掌握。
这一点非常重要，因为基本功薄弱的话，很容易就被题目难倒了。
再次，解决数学竞赛的题目，也要有运用技巧的能力。
这里要提醒大家，不同的题目应该有不同的技巧，要根据题目的不同特点进行技巧的选择。
最后，解决数学竞赛中的题目，也要有综合能力，即知识要和技巧有机结合起来，才能得出最后的答案。
在这里，要提醒大家，解题的过程中要谨慎，尽量避免漏洞，以免影响最后的结果。
总之，要想解决数学竞赛中的题目，除了要充分准备外，一定要有明确的解题思路，以及运用技巧的能力，还要有综合能力，最终才能得出正确的答案。
数学竞赛是一种非常有趣的活动，即使不能够获得奖项，通过参加竞赛也可以提高自己的知识和能力。
最后，我在这里祝愿大家取得
更好的成绩，获得更高的荣誉！。
初中数学竞赛中的思维方法pdf
初中数学竞赛中的思维方法数学竞赛作为一项考验学生数学思维和解题能力的活动，需要学生掌握多种思维方法。
在初中数学竞赛中，以下几种思维方法尤为重要：一、归纳思维归纳思维是指从一系列具体事实中概括出一般原理的思维方式。
在数学竞赛中，归纳思维常常用于探究数学规律和性质。
例如，通过观察一组数列，归纳出数列的通项公式；或者通过比较几个图形的性质，归纳出一般图形的性质。
二、演绎思维演绎思维是指从一般原理推导出特殊情况的思维方式。
在数学竞赛中，演绎思维常常用于证明题和推理题。
例如，利用已知定理和性质推导出一个新的定理或性质；或者通过逻辑推理，证明一个数学命题的正确性。
三、类比思维类比思维是指根据两个或多个事物的某些属性相似，推出其他属性也可能相似的思维方式。
在数学竞赛中，类比思维常常用于解决几何、代数和概率问题。
例如，通过比较相似三角形的性质，推出另一个相似三角形的性质；或者通过比较两个函数的图像，推断出它们的其他性质。
四、联想思维联想思维是指根据事物的特征或属性，联想到其他相关事物的思维方式。
在数学竞赛中，联想思维常常用于寻找解题思路。
例如，通过观察一个图形的形状，联想到与该图形相关的定理或公式；或者通过分析一个函数的性质，联想到与该函数相关的数学概念和方法。
五、逆向思维逆向思维是指从问题的反面或另一个角度来思考问题的思维方式。
在数学竞赛中，逆向思维常常用于解决一些常规方法难以解决的问题。
例如，通过反证法证明一个命题的错误；或者通过尝试反例来推翻一个错误的命题。
六、创新思维创新思维是指突破传统思维方式，提出新观念、新方法的思维方式。
在数学竞赛中，创新思维常常用于解决一些非常规问题。
例如，通过构造一个新函数或新模型来解决一个复杂的问题；或者通过观察和猜想，发现一个全新的数学规律或性质。
七、逻辑思维逻辑思维是指按照逻辑规则进行推理和论证的思维方式。
在数学竞赛中，逻辑思维是必不可少的思维方式。
通过逻辑推理，我们可以证明一个命题的正确性或推导出新的结论。
高中数学竞赛辅导的策略与心得分享
高中数学竞赛辅导的策略与心得分享高中数学竞赛是一项具有挑战性和高难度的活动，对于学生的数学思维、解题能力和创新意识都有着极高的要求。
作为一名参与过高中数学竞赛辅导的老师，我积累了一些宝贵的策略和心得，在此与大家分享。
一、了解竞赛特点，明确辅导目标高中数学竞赛与常规的数学教学存在较大差异。
竞赛题目往往更加灵活多变、综合性强，需要学生具备深厚的数学功底、敏锐的思维能力和创新的解题技巧。
因此，在辅导之初，我们必须深入了解竞赛的命题特点、考察范围和难度层次，为学生制定明确、合理的辅导目标。
比如，对于初次接触竞赛的学生，目标可以设定为熟悉竞赛题型和基本解题方法，培养竞赛思维；对于有一定基础的学生，则应着重提升其解题速度和准确率，突破难题关卡，冲击更高奖项。
二、制定个性化的辅导计划每个学生的数学基础、学习能力和兴趣爱好都不尽相同，因此制定个性化的辅导计划至关重要。
我们需要对学生进行全面的评估，包括他们的课堂表现、作业完成情况、以往的考试成绩以及对数学的兴趣和热情等方面。
对于基础薄弱的学生，要加强基础知识的巩固和拓展，逐步引导他们向竞赛难度过渡；而对于数学天赋较高的学生，则可以提供更具挑战性的学习任务，如参加数学研究小组、参与课题讨论等。
同时，要根据学生的学习进度和反馈，及时调整辅导计划，确保其具有针对性和有效性。
三、注重基础知识的巩固与拓展扎实的基础知识是解决竞赛难题的基石。
在辅导过程中，不能忽视对高中数学教材中基本概念、定理和公式的深入理解和熟练掌握。
例如，函数的性质、数列的通项公式、三角函数的变换等，这些都是竞赛中经常涉及的知识点。
在巩固基础知识的同时，还要进行适当的拓展和延伸，引入一些高等数学的初步概念和方法，如极限、导数、积分等，为学生解决复杂问题提供更多的工具和思路。
四、培养数学思维能力数学竞赛不仅仅是知识的较量，更是思维能力的比拼。
我们要注重培养学生的逻辑思维、抽象思维、逆向思维和创新思维等能力。
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39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
数学竞赛-数学思维策略与方法谈(一) 探索法
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
数学思维拓展数学竞赛解题技巧与实践
数学思维拓展数学竞赛解题技巧与实践数学竞赛作为一种特殊的数学学习形式，不仅考察学生对数学知识的掌握程度，更重要的是考察学生的数学思维能力和解题技巧。
本文将介绍一些拓展数学思维和提高数学竞赛解题技巧的方法和实践经验。
一、培养逻辑思维能力逻辑思维是数学思维的基础，只有通过培养逻辑思维能力，学生才能更好地解决数学竞赛中的问题。
在日常的学习和生活中，可以通过进行逻辑推理游戏、解决逻辑难题等方式来提高逻辑思维能力。
同时，在解题过程中，要注重分析问题，梳理思路，建立起清晰的逻辑关系，这样才能更好地应用数学知识解决问题。
二、拓展数学思维方式数学思维需要灵活和多样，所以在解题过程中，需要培养学生运用不同的思维方式来解决问题。
常见的数学思维方式包括归纳思维、演绎思维、类比思维等。
通过培养学生不同的思维方式，不仅可以提高他们的解题效率，还可以增加他们对数学问题的理解和掌握程度。
三、掌握解题技巧数学竞赛中，掌握一些解题技巧是必不可少的。
首先，学生需要熟练掌握基本的计算技巧，如快速计算、快速估算等。
其次，学生需要掌握一些常用的解题方法，如分类讨论法、巧用等式等。
此外，学生还需要培养良好的数学直觉，通过观察数学题目的特点，灵活运用解题方法。
在解题过程中，学生还要注意审题，理清思路，不要陷入一些无用的细节中。
四、实践与总结数学思维和解题技巧的提高需要不断的实践和总结。
在平时的学习中，要多做一些习题和例题，通过实践来巩固和运用所学的知识和技巧。
同时，要及时总结解题经验，将解题中遇到的问题和方法进行分类整理，形成自己的解题思路和方法。
通过实践和总结，不断提高解题的能力和水平。
总之，数学思维的拓展和解题技巧的提高需要通过培养逻辑思维、拓展思维方式、掌握解题技巧和进行实践与总结来完成。
只有通过不断的学习和实践，才能在数学竞赛中取得优异的成绩。
希望广大学生能够充分利用这些方法和实践经验，提高数学解题能力，取得更好的成绩。
如何培养数学竞赛的解题思维
如何培养数学竞赛的解题思维数学竞赛一直是学生们展现自己数学实力的平台，也是激发数学兴趣和培养解题思维的重要途径。
如何培养数学竞赛的解题思维成为了许多家长和老师关心的问题。
在这篇文章中，我将分享一些培养数学竞赛解题思维的方法和技巧。
首先，培养数学竞赛的解题思维需要从小就开始。
在孩子还很小的时候，就可以通过一些简单的数学游戏和趣味数学问题来培养他们的数学思维。
例如，可以给孩子看一些数学童话故事，让他们通过故事中的问题来思考和解决。
这样不仅可以增加孩子对数学的兴趣，还可以培养他们的逻辑思维能力。
其次，在孩子进入学校后，可以通过参加数学兴趣班或数学竞赛班来提升他们的解题思维能力。
这些班级通常会有丰富的解题经验和技巧，能够帮助孩子更好地应对数学竞赛中的各种难题。
同时，孩子在这些班级中还可以结识到一些和自己有相同兴趣爱好的同学，互相切磋、共同进步。
另外，家长和老师在培养孩子的解题思维时也起着至关重要的作用。
家长可以给予孩子正确的引导和支持，帮助他们建立正确的数学学习态度和方法。
而老师可以通过布置一些开放性的数学问题来激发学生的求知欲和思考能力，引导他们探索问题的解决方法。
此外，阅读数学竞赛的解题经验和技巧也是提升解题思维的有效途径。
通过阅读一些数学竞赛经典题目的解题方法和思路，可以帮助孩子更好地理解数学问题的本质，掌握解题的技巧和方法。
同时，还可以通过反复练习和思考，逐渐提高解题的速度和准确度。
总的来说，培养数学竞赛的解题思维需要多方面的努力和支持。
从小培养孩子的数学兴趣和思维能力，参加数学竞赛班和兴趣班，家长和老师的正确引导和支持，以及阅读和练习都是提升解题思维的重要途径。
希望每一位热爱数学的孩子都能通过自己的努力和坚持，在数学竞赛中取得好成绩，成为数学的优秀学子。
初中数学竞赛解题思想与策略
初中数学竞赛解题思想与策略
随着科学技术的进步，初中数学竞赛已成为学校教育课程结构的重要组成部分，也是学生们展示数学能力的有效途径。
数学竞赛的解题思路和策略对学生的数学学习及比赛有着十分重要的作用。
首先，在比赛中，学生应该学会正确思考问题。
问题解答时，学生应该从整体上把握问题，正确理解题意，明确问题的解决思路，并正确处理细节性的问题。
其次，要熟悉基本的数学知识。
比如，数学竞赛中出现的数学分析、代数、几何、三角函数等，都有基础的数学知识。
只要掌握了基础的数学知识，就可以更好地处理问题。
再者，要学会把握空间思维。
数学竞赛中，有很多问题是需要空间思维来解决的，比如描述问题中几何图形的特征，在此情况下，我们需要分析几何问题中空间状态的变化，把握图形的变化，推出该图形的特征。
此外，还要学会总结问题解答的方法。
假如有一些特殊的问题，再比赛中可能很容易看到，但要高效、正确地解答出来，可能会需要一定的总结处理能力。
要学会总结问题中可能出现的情况，以及解决这些情况的有效策略，这对提高解题能力也是十分有用的。
最后，要学会灵活运用数学工具。
不同的数学竞赛中，都会给出相应的数学工具，比如计算器、不等式、几何半径等，学生要熟练掌握这些数学工具，实现灵活运用。
总之，数学竞赛解题思想与策略是初中数学教学与比赛中至关重要的，学生们要学会正确思考问题，熟悉基本数学知识，把握空间思
维，学会总结问题解答的方法以及灵活运用数学工具，以期在比赛中取得更好的成绩。
小学奥数竞赛数学思维与解题技巧
小学奥数竞赛数学思维与解题技巧在小学奥数竞赛中，数学思维与解题技巧是参赛选手取得好成绩的关键。
本文将讨论数学思维的培养和解题技巧的应用，以帮助小学生在奥数竞赛中取得更好的成绩。
一、数学思维的培养数学思维是培养学生解决问题的能力，拓展思维的重要途径。
以下是一些培养数学思维的方法：1. 提倡数学思维训练：让学生经常遇到并解决一些数学难题，培养他们的观察力、分析能力和推理能力。
比如，可以每天给学生出一道有趣而复杂的数学问题，鼓励他们动脑思考并给出解答。
2. 引导学生发散思维：在解决数学问题时，引导学生不拘泥于传统的解题思路，鼓励他们多角度思考问题，寻找不同的解法。
这种发散思维能够培养学生的创新意识和灵活性。
3. 培养学生的逻辑思维：逻辑思维是解决数学问题的重要组成部分。
通过进行一些逻辑思维训练，如逻辑推理题、逻辑谜题等，可以提高学生的逻辑思维能力，帮助他们更好地应对奥数竞赛中的问题。
二、解题技巧的应用除了培养数学思维外，运用合适的解题技巧也是在小学奥数竞赛中获得好成绩的关键。
以下是一些解题技巧的应用方法：1. 分析问题：在解决数学问题时，首先要仔细阅读题目，理解问题的关键点。
然后，分析问题的解题思路，确定解题的步骤。
通过合理的分析问题，可以节省解题时间并减少解题错误的可能性。
2. 列式解题：对于一些复杂的问题，可以通过列式的方法解答。
列式解题可以帮助学生更好地理清问题的逻辑关系，减少解题时的混乱和错误。
3. 模型建立：对于一些实际问题，可以建立数学模型来解决。
模型建立可以帮助学生将实际问题转化为数学问题，从而更好地处理和解决。
4. 省思对错：在解答完毕后，应当仔细检查答案。
反思解题思路，看是否还有其他更好的解法，或者有没有可能出现计算错误。
通过反思对错，可以进一步提高解题的准确性和效率。
三、实践与复习为了更好地应用数学思维和解题技巧，学生还需要进行实践和复习。
以下是一些建议：1. 练习奥数试题：做更多的奥数试题是提高解题能力的有效方法。
数学竞赛辅导数学思维策略和方法谈一探索法市公开课金奖市赛课一等奖课件
从今天开始,我们将陆陆续续地通过一些 数学问题来体会处理问题中利用数学思维策 略和办法.
摸索法
2
第2页
试确定
p
2 a2
1
2 b2
1
3 c2
1
的最大值.
提示: abc a c b 可联想到三角变换 试试看!
10
3
20
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数学思维的策略和方法(一)探索法 5.探索也可以尝试 “跟着感觉走”
n
第12页
3.1000 个学生坐成一圈，依次编号为 1，2，3，…，1000。现在 进行 1，2 报数：1 号学生报 1 后立即离开，2 号学生报 2 并留下， 3 号学生报 1 后立即离开，4 号学生报 2 并留下……学生们依次交 替报 1 或 2，凡报 1 的学生立即离开，报 2 的学生留下，如此进行 下去，直到最后还剩下一个人.问：这个学生的编号是几号？
“点燃煤气再把壶放到煤气灶上。”但是，这一回答却未能 1
使提问者感到
继续
摸索法
第1页
满意。由于，提问者认为更为恰当回答是：“只有物理学 家才会这样做，而数学家会倒去壶中水，并声称他已经后 一问题转化成先前已经得到处理问题了。”
“把水倒掉！ ”——这是一个多么简练而夸张回答， 然而它又恰恰表达了数学家眼光和策略。
23
1000
则 m n __2__998.5
5
第5页
数学思维的策略和方法(一)探索法 2.探索常从问题的结论或条件变形着手
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如果有（2n＋d）（1≤d＜2n）人，那么当有 d 人退出圈 子后还剩下 2n 人.因为下一个该退出去的是（2d＋1）号，所 以此时的第（2d＋1）号相当于 2n 人时的第 1 号，而 2d 号相 当于 2n 人时的第 2n 号，所以最后剩下的是第 2d 号.
后一枚硬币谁获胜.问：先放的人有没有必定取胜的策略？
分析:如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么 先放的人能够取胜. 然后设想桌面变大，注意到长
方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在 桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的 对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放 最后一枚硬币.
9
尝试
试用这种思想解决下面的问题:
22
则 y 1 sin 4
8
∴值域为 ( 1 , 1) 88
16
3.在 6×6 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色. 然后任意划掉 3 行和 3 列，使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的.那么，总共至少要涂红多少小方格？
分析与解：先考虑每行每列都有一格涂红，比较方便的涂法是在一条对角线 上涂 6 格红色的，如图 1。任意划掉 3 行 3 列，可以设想划行划列的原则是： 每次划掉红格的个数越多越好。对于图 1，划掉 3 行去掉 3 个红格，还有 3 个红格恰在 3 列中，再划掉 3 列就不存在红格了。
1.现在，请你用一条直线将一个矩形分成面积相等的 两部分.当然，这样的直线我们能画出很多条，你能 说出所有这些直线的特征吗？
2.当 n 是正整数时，你能说出 n2 n 的整数部分是 多少吗？
3.1000 个学生坐成一圈，依次编号为 1，2，3，…，1000。 现在进行 1，2 报数：1 号学生报 1 后立即离开，2 号学 生报 2 并留下，3 号学生报 1 后立即离开，4 号学生报 2 并留下……学生们依次交替报 1 或 2，凡报 1 的学生 立即离开，报 2 的学生留下，如此进行下去，直到最后 还剩下一个人.问：这个学生的编号是几号？
2. uuur
Ouuur是
u△ uur AuBuurC
所在平 uuur uuur
面
上
的
一
点
,
且
A OA OB OB OC OC OA ,则O 是 △ABC 的( )
(A)垂心 (B)重心 (C)内心 (D)外心
7
数学思维的策略和方法(一)探索法 3.探索常从考虑简单变形着手
华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的 “退”，退到最原始而又不失去重要性的地方， 是学好数学的一个诀窍。这段话给我们以深刻的 启示：当我们遇到一道难题束手无策时，不妨采 用“退”的方法先退到一种简单的情况进行考虑， 然后通过判断、推理，进而使问题得到解决。
试确定
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1
3 c2
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的最大值.
提示: abc a c b 可联想到三角变换 试试看!
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数学思维的策略和方法(一)探索法 5.探索也可以尝试 “跟着感觉走”
具体地说来，从简单情况考虑可以分为从复 杂退到简单,从一般退到特殊，从抽象退到具体， 从整体退到部分,从陌生退到熟悉等.
8
先看一个游戏
尝试 思考练习
做一个游戏: 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大
小的硬币.条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在
先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止.谁放入了最
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1000
则 m n __2__998.5
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数学思维的策略和方法(一)探索法 2.探索常从问题的结论或条件变形着手
思 考 1. 设 x 为 不 超 过 x 的 正 整 数 , 则
1020000 10100 3
的个位数字为___3____.
思考 2.已知 x 、y 、z 为互不相等的实数,且
数学思维策略和方法谈
数学问题的形式千变万化,结构错综复杂,寻找正确有效 的解题途径,意味着寻找一条摆脱困境,绕过障碍的途径.
数学思维优秀者之所以能有效的解题,无论是其推理论 证方法之美妙,还是其计算方法之灵巧,都在于有意识或无意 识地利用了各种转化.
匈牙利著名的数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》 中,通过一个十分生动而有趣的笑话,充分体现了转化——这 一数学家们的思维特点:
2.求函数
y
x x3 2( x4 2 x2
1)
的值域.
3.在 6×6 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色. 然后任意划掉 3 行和 3 列，使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的.那么，总共至少要涂红多少小方格？
14
1.线段 AB 上有 2007 个点（包括 A，B 两点）,将点 A
染成红色,点 B 染成蓝色,其余各点染成红色或蓝色.这
146 x2 y xy2 880 ,则 x2 y2 ___.
4
练习
练习:
1.已知 x (0, ) ,则 M 3sin2 x 3cos2 x 的整数部分是( B )
2
(A)2
(B)3
(C)4
(D)6
2.(2003 年北京市竞赛题)已知函数 f ( x) 2 x , 1 x
记 f (1) f (2) L f (1000) m , f (1) f (1) L f ( 1 ) n
年全国联赛题)如图设点 uuur r
O
在 △ABC
内部,且
有 OA 2OB 3OC 0 ,则 △ABC 的面积与 △AOC 的面积
的比为(C )
A
(A)2 (B) 3 (C) 3 (D) 5
D
2
3
E
O
B
C
思考 2.(2003 年北京市竞赛题)
已知 x 、y 是正整数,且满足 xy x y 71,
所以，必然有一些行有一些列要涂 2 个红格，为了尽可能地少涂红格， 那么每涂一格红色的，一定要使多出一行同时也多出一列有两格红色的。
先考虑有 3 行中有 2 格涂红，如图 2。显然，同时也必然有 3 个列中也 有 2 格涂红。这时，我们可以先划掉有 2 格红色的 3 行，还剩下 3 行，每行 上只有一格涂红，每列上也只有一格涂红，那么在划掉带红格的 3 列就没有 红格了。
时，图中共有 2006 条互不重叠的线段.问：两个端点颜
色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？
分析：从最简单的情况考虑：如果中间的 2005 个点全部染
成红色，这时异色线段只有 1 条，是一个奇数。然后我们
对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到
颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化.由于颜色的
为了使得至少余下一个红格，只要再涂一格。此红格要使图中再增加一
行和一列有两个红格的，如图 3。结论是：至少需要涂红 10 个方格。
17
思考练习
数学思维的策略和方法(一)探索法
4.探索须充分利用已有信息
思维优秀的解题者喜欢将信息重新编排
(如各种各样的解释,由此及彼的联想),已知
条件是信息;在中间过程得到的结果或引理
也是信息;要证的结论,要求解的目标等更是
重要的信息.如果题做不出,最好再看看这些
东西,或许会有新的发现.
思考 1:已知、、 为锐角, sin2 sin2 sin2
求证: 3
2
4
18
练习1、2
练习3
练习 1:已知、 (0, ) ,且 sin cos( ) sin
由 1000=29＋488 知，最后剩下的学生的编号是 488×2=976（号）.
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思考练习
思考练习: 1.线段 AB 上有 2007 个点（包括 A，B 两点）,将点 A 染成红色,点 B 染成蓝色,其余各点染成红色或蓝色.这 时，图中共有 2006 条互不重叠的线段.问：两个端点颜 色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？
“点燃煤气再把壶放到煤气灶上。”但是，这一回答却未能 1
使提问者感到
继续
探索法
满意。因为，提问者认为更为恰当的回答是：“只有物理 学家才会这样做，而数学家会倒去壶中的水，并声称他已 经后一问题转化成先前的已经得到解决的问题了。”
“把水倒掉！”——这是一种多么简洁而夸张的回答， 然而它又恰恰体现了数学家的眼光和策略。
有人一群人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤
气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”
对此某人回答：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤
气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：
“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多
的水，那么你又应该怎么做？”这时，“灵活”的人可能说：
x 1 y 1 z 1 ,则 x2 y2z2 _1___ .
y zx
练习
6
练习:
1.函数 f 定义在有序正整数对的集合上,且满足
下列性质:
⑴ f (x, y) x ;⑵ f (x, y) f ( y, x) ;
⑶ ( x y) f ( x, y) yf ( x, x y)
则 f (2, 2006) =__2_0_0.6
综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变
总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数.
15
2.求函数
y
x x3 2( x4 2 x2
1)
的值域.
通过三角换元达到简单化的目的.
原函数变形为:
y
1 4
2x 1 x2
1 1
x2 x2
,