高考数学一轮复习 第6讲 幂函数与二次函数课件 理 苏教版
(－∞，＋∞) －∞，4ac4－a b2
在 x∈－∞，－2ba上单调递减 在 x∈－2ba，＋∞上单调递增
在 x∈－∞，－2ba上单调递增 在 x∈－2ba，＋∞上单调递减
当 b＝0 时为偶函数，b≠0 时为非奇非偶函数
x∈(－∞，0] 时，单调递减
单调 递增
(0,0)，(1,1)
非奇非偶
单调 递增
x∈(0，＋∞) 时，单调递减
x∈(－∞，0) 时，单调递减
4．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
图象
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
定义域 值域
单调性
奇偶性 顶点 对称性
(－∞，＋∞) 4ac4－a b2，＋∞
【方法锦囊】 二次函数、二次 方程与二次不等 式统称“三个二 次”，它们常结 合在一起，而二 次函数又是“三 个二次”的核心， 通过二次函数的 图象贯穿为一 体．因此，有关 二次函数的问题， 数形结合，密切 联系图象是探求 解题思路的有效 方法．用函数思 想研究方程、不 等式(尤其是恒 成立)问题是高 考命题的热点．
等式 f(x)<c 的解集为(m，m＋6)，则实数 c 的值为________．
单击题号显示结果 1
2
3
答案显示
B
B
D
单击图标显示详解
45
B9
考向一 求二次函数的解析式
【例 1】►若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1. (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式 f(x)>2x＋m 恒成立， 求实数 m 的取值范围． 解 (1)由 f(0)＝1 得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又 f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x，
±12四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 n 值依次为(
)．
A．－2，－12，12，2 B．2，12，－12，－2 C．－12，－2,2，12 D．2，12，－2，－12
－x，x≤0
2．(2011·浙江)设函数 f(x)＝x2，x>0， 若 f(α)＝4，则实数 α 等于(
)．
A．－4 或－2 B．－4 或 2 C．－2 或 4 D．－2 或 2
3．设 abc>0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( )．
4．(2012·湖北)已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为
( )．
A.25π
B.43
C.32 D.π2
5．(2012·江苏)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不
第6讲
【2014幂年高函考会数这与样考二】次函数
1．求二次函数的解析式、值域与最值． 2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间 的联系去解决问题． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 活页限时训练
幂函数的概念 幂函数的图象与性质 五种幂函数的比较 二次函数的图象和性质
单击标题可完成对应小部 分的学习，每小部分独立 成块，可全讲，也可选讲
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考点自测
考向一求二次函数的解析式【例1】 【训练1】
考向二 二与次性函质数的图象
【例2】 【训练2】
考向三幂函数的图象和性质【例3】 【训练3】
如何解决二次函数与其它函数有公共点 的问题
A级
1、选择题
2、填空题
3、解答题
－2ba，4ac4－a b2 图象关于直线 x＝－2ba成轴对称图形
助学微博
两种方法 函数y＝f(x)对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函 数y＝f(x)的图象关于x＝x1 2 x2 对称． (2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立
的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
两个条件
a 0 ,
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 b2 4ac 0.
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 三种形式
a 0 , b2 4ac 0.
二次函数表达式
(3)当 >0时，幂函数的图象都过点 (0,0) 与 (1,1) ，且在(0，＋∞)
上是单调 递增 ；
(4)当 <0时，幂函数的图象都不过点 (0,0) 在(0，＋∞)上是单
调 递减 ．
考点梳理
3.五种幂函数的比较 (1)幂函数的图象比较
(2) 幂函数的性质比较
[0，＋∞)
单调 递增
x∈[0，＋∞) 时，单调递增
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))；
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数与x轴的两个 交点的横坐标)．
考点自测
1.(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限的图象．已知 n 取±2，
B级
1、选择题
2、填空题
3、解答题
考点梳理
1．幂函数的概念
一般地，函数 y＝x 叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数．
2．幂函数的图象与性质
由幂函数y＝x、y＝x
1 2
、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳
出幂函数的如下性质：
(1)幂函数在 (0，＋∞) 上都有定义：
(2)幂函数的图象都过点 (1,1) ；
∴2aa＋＝b2＝，0， ∴ab＝＝1－1.
因此，f(x)＝x2－x＋1.
[审题视点]
对于(1)，由f(0) ＝1可得c，利解析式．对于 (2)，可利用函数 思想求得．
考向一 求二次函数的解析式
(2)f(x)>2x＋m 等价于 x2－x＋1>2x＋m， 即 x2－3x＋1－m>0， 要使此不等式在[－1,1]上恒成立， 只需使函数 g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上的最小 值大于 0 即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1， 由－m－1>0 得，m<－1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)．
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数24幂函数与二次函数课件0
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用顶点式)
因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12.
又根据题意函数有最大值8，
所以 f(x)＝ax－122＋8. 因为 f(2)＝－1，所以 a2－212＋8＝－1，解得 a＝－4， 所以 f(x)＝－4x－212＋8＝－4x2＋4x＋7.
(2)二次函数f (x)满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x) ＝－__4_x_2_＋__4_x_＋__7_.
解析 方法一 (利用一般式)
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得a－b＋c＝－1，
4ac4－a b2＝8，
a＝－4， 解得b＝4，
f(x)＝x(a－5)2－2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
6. 设 二 次 函 数 f (x) ＝ x2 － x ＋ a(a>0) ， 若 f (m)<0 ， 则 f (m － 1)____>____0.( 填 “>”“<”或“＝”)
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
y＝x 2
y＝x－1
图象
定义域 R
R
R
_{_x_|x_≥__0_}_ _{x_|_x_≠__0_}_
值域 R
_{_y|_y_≥__0_}_
R
_{_y_|y_≥__0_}_ _{_y_|y_≠__0_}_
奇偶性 奇函数 性
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第6讲 函数及其表示
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．➢考点1 函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C.2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21x g x =+D ．()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数.故选：D [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（ ） A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点， 若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点， 故选：B.2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x -1和y =211x x -+B ．y =x 0和y =1C ．f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D ．f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ，函数y =x -1定义域是R ，函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，A 不是；对于B ，0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞，函数y =1定义域是R ，B 不是；对于C ，()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同，C 不是；对于D ，f (x和g (x (0,)+∞，并且对应法则相同，D 是.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y =与0y x =B ．y x =与2y =C ．22log y x =与22log y x =D ．1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A ：1y =定义域为R ，0y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y x =定义域为R ，2y =的定义域为{}|0x x ≥，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：22log y x =的定义域为{}|0x x >，22log y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确； 对于D ：由101xx +>-可得()()110x x +-<，解得：11x -<<，所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<，所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.➢考点2 函数的定义域[典例]1．（2022·北京·模拟预测）函数()()=-的定义域是_______．lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】 由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2-2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[0,8]，则函数()g x =义域是（ ）A ．(1,32)B ．(1,2)C ．(1,32]D ．(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8]， 所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(12,0)-B ．(12,0]-C ．1(,)3+∞D ．1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ，∴只需分母不为0即可，即230ax ax +-≠恒成立， （1）当0a =时，30恒成立，满足题意，（2）当0a ≠时，24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得120a -<<， 综上可得120a -<≤. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =13x -的定义域为（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义，则 所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞). 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是（ ）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D ．,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意，得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，∴[,0]2x π∈-.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈，得[]10,2x -∈， 所以[]3log 0,2x ∈，所以[]1,9x ∈． 故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985]，则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（ ）A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知，21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得21198520182021x， 所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时，()f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩， 解得：12m -<≤， 综上：1,2m ，故选：C .6．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解：由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞7．（2022·全国·高三专题练习）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________． 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案为：[)0,4.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则a的范围是________． 【答案】[1,5) 【解析】当1a =时，()1f x =，即定义域为R ；当1a ≠，要使()f x 的定义域为R ，则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立，∴()()210{1410a a a ->∆=---<，解得15a <<， 综上，有15a ≤<， 故答案为：[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．【答案】(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x【解析】(1)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. 所以⎩⎨⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f (x )的解析式． （1）f (x )是一次函数，且满足f (f (x ))=4x －3；（2）已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ，求f (x )的函数解析式．（3）已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)． 【解】（1）因为f (x )是一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++，又因为f (f (x ))=4x －3，所以243k x kb b x ++=-，故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩，所以()21f x x =-或()23f x x =-+；（2）将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y=()()21y y -+-+，所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+D ．()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+ ，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 所以()()2211xf x x x =≠-+，故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3，则f （x ）＝（ ） A ．x 2+4x B ．x 2+4C ．x 2+4x ﹣6D ．x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-，所以()24f x x x =+.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且2()2()f x f x x x +-=-，则()f x =（ ）A ．223x x +B ．223x x +C ．2223x x+D ．23x x +【答案】D【解析】令x 为x -，则2()2()f x f x x x -+=+， 与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得，2()3x f x x =+．故选：D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =- C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+，由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选：AD.5．（2022·山东济南·二模）已知函数2()23f x x x =--+，则(1)f x +=______． 【答案】24x x -- 【解析】解：因为2()23f x x x =--+，所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-，(1)f x +=24x x --.故答案为：24x x --.6．（2022·全国·高三专题练习）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦， 因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以()2149k x b k x ++=+恒成立， 所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =+或()29f x x =--， 故答案为：23x +或29x --.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数)25f x =+，则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+，()2t ≥所以()()212f x x x =+≥，故答案为：()()212f x x x =+≥.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f (2020x)＝3x ，则f (x )＝_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】 因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得4040()f x x x=-. 故答案为：4040()f x x x=-. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=，则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=，所以()()323f x f x x --=-，同除以2得()()31322f x f x x --=-，两式相加可得()33322f x x =，即()3f x x =.故答案为：3x .10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，求()f x ；（2）已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x .【解】（1）∵f （x ）为二次函数，∴f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝c ＝2，∵f （x +1）﹣f （x ）＝x ﹣1，∴2ax +a +b ＝x ﹣1，∴a 12=，b 32=-， ∴f （x ）12=x 232-x +2． （2）∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①，∴f （1x ）+2f （x ）1x=，② ①-②×2得：﹣3f （x ）＝x 2x-， ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1．（2022·广东梅州·二模）设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()22log 6f f -+=（ ） A ．2B ．6C ．8D ．10 【答案】B 【解析】 解：因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====，所以()()22log 66f f -+=. 故选：B.2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（ ）A ．10B ．9C ．7D ．6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选：C.3．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知[]1,1∈-a ，函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ，则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时，()()0sin 21π=-=f a ，得14a k =--，故34a =；当10a -≤<时，()201f a ==，故1a =-.故答案为：34a =或1a =-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()12f f -=，则=a ___________，()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知，()()()()121log 212a f f f a a ---==+=，则2221a a -=+，即4220a a --=，解得22a =，故a =②当0x 时，())2214f x x=+，解得602x；当0x <时，()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =（ ） A ．2B ．9C ．65D ．513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选：A2．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()2log 12f =（ ）A ．13B ．6-C ．16D ．3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈，则()22log 122log 33,4=+∈，所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭，故选：A.3．（2022·安徽安庆·二模）已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =，则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ） A．1-．1-．1．1【答案】A【解析】∵()1102a f ==，∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：-25．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增， ()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立； ③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-； ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-， ()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则=a __________，1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】 若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =， 解得：0a =（舍去）或14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为：14； 67．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数，则()()1f f =___________；方程()1f x =的解集为___________． 【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====，()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=， ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=， {}0,e .x ∴∈故答案为：1；{}0,e .8．（2022·浙江·高三专题练习）已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______；若()1f x <，则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=， ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===，当1x <时，()31f x x =-<，得11x -<<，当1≥x 时，()2log 1f x x =<，得12x ≤<， 故x 的取值范围是()1,2-故答案为：3；()1,2-.9．（2022·浙江浙江·二模）设a ∈R ，函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则(9)f =________；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==， 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a -≤，所以3a ≥- 故答案为：2；[)3,∞-+。
高考数学大一轮复习 第五节 二次函数与幂函数课件 理 苏教版
(2)当 a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为 x∈[－6,6]， 且 f(x)＝xx22＋－22xx＋＋33，，xx∈∈[0－，66，]，0]. ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．
第二十四页，共34页。
第三十二页，共34页。
4．若二次函数 f(x)＝ax2－4x＋c 的值域为[0，＋∞)，则 a，c 满
足的条件是________．
a>0， 解析：由已知得4ac4－a 16＝0， 答案：a>0，ac＝4
⇒aa>c－0，4＝0.
第三十三页，共34页。
5．已知函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m 为何值时，f(x)是幂 函数，且在(0，＋∞)上是增函数？ 解：∵函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3 是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，－5m－3＝－13，函数 y＝x－13 在(0，＋∞) 上是减函数； 当 m＝－1 时，－5m－3＝2，函数 y＝x2 在(0，＋∞)上是 增函数．∴m＝－1.
4a＋2b＋c＝－5， 解得a＝13，b＝－23，c＝－5，故f(x)＝13x2－23x－5.
第二十一页，共34页。
研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴 与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论.归纳起来常见的命题角度有： 1轴定区间定求最值； 2轴动区间定求最值； 3轴定区间动求最值.
求 g(a)． 解：∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线 x＝1， ∵x＝1 不一定在区间[－2，a]内， ∴应进行讨论．
高考数学一轮总复习 2.4 幂函数与二次函数课件 理 苏教版
②当0＜a2＜1，即0＜a＜2时， ymax＝fa2＝－4a，令－4a＝－5，∴a＝54∈(0,2)． ③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0,1]上递减， 此时f(x)max＝f(0)＝－4a－a2. 令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0， ∴a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝54或a＝－5.
第十九页，共32页。
•(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－ 3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立 ，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的 最小值大于0即可．
•∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
•∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得， m<－1.
• (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m的取值范围．
• 审题路线 f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x
第十八页，共32页。
解 (1)由 f(0)＝1，得 c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又 f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x，∴2aa＋＝b2＝，0， ∴ab＝ ＝1－，1. 因此，f(x)＝x2－x＋1.
和 a＞2 三种情形讨论．
(2 分)
第二十六页，共32页。
(1)当 a＜－2 时，由图(1)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(－
1)＝－1－a；
(5 分)
(2)当－2≤a≤2 时，由图(2)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为
fa2＝a42；
高考数学一轮总复习 第二章 第6节 二次函数与幂函数课件
[解析] 由 A，B，C，D 四个选项知，图像与 x 轴均有交 点，记两个交点的横坐标分别为 x1，x2，若只有一个交点，则 x1＝x2，由于 a＝c，所以 x1x2＝ac＝1，比较四个选项，可知选项 D 的 x1<－1，x2<－1，所以 D 不满足．故选 D.
[答案] D
4．若幂函数 y＝(m2－3m＋3) 则实数 m 的值为________．
与x轴交点的横坐标．
(3)图像与性质
a＞0
a＜0
图像
定义域 值域
对称轴
R
R
y∈[4ac4－a b2，＋∞) y∈(－∞，4ac4－a b2]
x＝－2ba
顶点坐标 奇偶性
－2ba，4ac4－a b2 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
单调性
x∈(－∞，－2ba)时是减函数； x∈(－∞，－2ba)时是增函数； x∈(－2ba，＋∞)时是增函数 x∈(－2ba，＋∞)时是减函数
[答案] B
2．函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像关于直线 x＝1 对称的充要
条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
[解析] 函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像的对称轴为 x＝－m2 ，
且只有一条对称轴，所以－m2 ＝1，即 m＝－2.
[答案] A
3．(2015·昆明模拟)设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)， 若 a＝c，则函数 f(x)的图像不可能是( )
⑤错误，由 ax2＋bx＋c＞0 恒成立不一定有ab>2－0，4ac<0，
因为 a 可以为 0.
[答案] B
考向一 二次函数的图像与性质 例 1 (2015·无锡模拟)已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－ 4,6]． (1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调 函数； (3)当 a＝－1 时，求 f(|x|)的单调区间．
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第4节 幂函数与二次函数
一
章
[课程标准要求]
2
3
1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它
们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.
2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,
2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.
法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
2
即 y= x -x-4.
(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+
.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
总结归纳
及时总结归纳学习过程中 的重点和难点，形成自己 的学习笔记和心得体会， 便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食， 保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己 能够通过努力取得好成绩。遇到 困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件 幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的 理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力 和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方 面的学习目标，例如掌握基本概念 、理解图像特征、熟练运用性质等 。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的 自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。
2021版高考数学苏教版一轮教师用书：2.5 幂函数与二次函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
1
1
2
D [设幂函数 f(x)＝xα，则 f(3)＝3α＝ 3，解得 α＝2，则 f(x)＝x ＝ x，是非
奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]
2．当 x∈(0，＋∞)时，幂函数 y＝(m2＋m－1)x－5m－3 为减函数，则实数 m 的
值为( )
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
( ) ( ) 2
12
12
3
3
3
D [因为 y＝x 在第一象限内是增函数，所以 a＝ 2 ＞b＝ 5 ，因为 y＝
( )1
2 x 是减函数，
( ) ( ) 1 2
11
3
3
所以 a＝ 2 ＜c＝ 2 ，所以 b＜a＜c.]
1
1
2
2
4．若(a＋1) ＜(3－2a) ，则实数 a 的取值范围是________．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
2
y＝x
y＝x－1
图象
定义
R 域
R
R
{x|x≥0} {x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶 性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
性质
单调 性
在(－∞，
在 R 上单 调递增
0]上单调递减； 在 R 上 单调递
在(0，＋∞) 增
上单调递增
在
在
(－∞，0)
[0，＋∞) 和