湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题 含答案详解
9．AD10．AC11．AD12．BD
11． ， ， A，D都成立
又 当 ， 时， ，此时B不成立．
又 ， C不成立．
12． ，当 ， ， 递增；当 ， ， 递减；易知BD成立．
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
① ② ，i为虚数单位③ 的面积为
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ，________．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求 的值．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）已知公差不等于零的等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， ， 成等比数列．
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足 ，则复数z在复平面上所对应点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列函数中，在 上是减函数且是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
A．函数 在 上为增函数B． 是函数 的极小值点
C．函数 必有2个零点D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知 展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含 项的系数是________．
14．设数列 的前n项和为 ，且 ，则 ________．
15．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，直线l过点 交双曲线右支于P，Q两点，若 ， ，则双曲线C的离心率为________．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数ห้องสมุดไป่ตู้ 的前n项和 ．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中， 是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面 平面ABCD， ，E为PD上一点，满足 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
20．（本小题满分12分）某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8．现有两种方案可以选择：
22．（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）若 ，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明： ．
参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5BBCAA6-8CCC
8．当 ， 时； ；当 时， 时， ；当 ， 时，无意义；当 ， 时， ，故方程 表示的曲线如图所示， 为双曲线 的一条渐近线，平行线 与 间的距离为
（Ⅱ）该基地是否应该外聘工人？请说明理由
21．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点 到直线 的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，当 取得最小值时，求直线AB的方程．
7．已知P是边长为3的正方形ABCD内（包含边界）的一点，则 的最大值是（ ）
A．6B．3C．9D．8
8．若实数x，y满足 ，则点 到直线 的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．定义：若函数 的图像经过变换 后所得图像对应的函数的值域与 的值域相同，则称变换 是 的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换 ，其中 属于 的“同值变换”的是（ ）
A． ， 将函数 的图像关于y轴对称
B． ， 将函数 的图像关于x轴对称
C． ， 将函数 的图像关于 直线对称
D． ， 将函数 的图像关于点 对称
16．四棱锥 各顶点都在球心为O的球面上，且 平面ABCD，底面ABCD为矩形， ， ，则球O的体积是________；设E、F分别是PB、BC中点，则平面AEF被球O所截得的截面面积为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
科目：数学
（试题卷）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目．
2．学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
5．“ ”是“ ， ”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．《易经》是中国传统文化中的精髓．图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“——”表示一根阳线，“——”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 是函数 图象的一条对称轴D． 在 上的最大值为
11．已知 ， ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在R上可导且 ，其导函数 满足 ，对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
4．本试题卷共5页．如缺页，考生须声明，否则后果自负．
姓名__________________
准考证号______________
郴州市2021届高三第一次教学质量监测试卷
数学
（命题人：安仁一中李金辉汝城一中宋孝军宜章一中夏群华
审题人：郴州市二中曾小丽桂阳一中李民忠郴州市教科院汪昌华）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元．
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘．当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元．额外聘请工人的成本为a万元．
问：（Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期第一次大联考数学(理)试题
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（）
【点睛】
参考答案
1．B
【分析】
先求出 ,再求出 ,然后利用公式 进行计算可得.
【详解】
，∴ ，∴子集个数为4．
故选B.
【点睛】
本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.
2．C
【分析】
先由复数的除法得 ，再求其共轭复数即可得解.
【详解】
由 ，可得 .
在复平面内对应的点为 位于第三象限.
故选C.
【点睛】
【详解】
因为 ，解得 .
所Байду номын сангаас .
所以 的面积为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题.
8．D
【分析】
利用三角恒等变换、函数 的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：函数 ，
故将函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，函数 的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，
湖南省郴州市2021届高三上学期第一次质检 化学试题 Word版含答案
绝密★启用前郴州市2021届高三第一次教学质量监测试卷化学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共9页。
如缺页，考生须声明，否则后果自负。
相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 S32 Cl35.5 Br80 Cu64 Ag108 Ba137第一卷(选择题共46分)一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个选项符合题意。
1.下列关于古代化学的应用和记载的说明不合理．．．的是A.《本草纲目》中记载“(火药)乃焰消(KNO3)、硫磺、杉木炭所合，以烽燧铳机”，指的是黑火药爆炸，其主要反应的方程式为：S＋2KNO3＋3C＝K2S＋N2↑＋3CO2↑B.《梦溪笔谈》“熬胆矾铁釜，久之亦化为铜”是发生了氧化还原反应C.“自古书契多编以竹简，其用缣帛者(丝织品)谓之为纸”，文中“纸”的主要成分是纤维素D.“司南之杓(勺)，投之于地，其杓指南”，司南中“杓”的主要成分为Fe3O42.化学与生产、生活密切相关。
下列说法错误的是A.氯碱工业是电解熔融的NaCl，在阳极能得到Cl2B.电渗析法淡化海水利用了离子交换膜技术.C.硅橡胶既能耐高温又能耐低温，广泛应用于航天航空工业D.新型冠状病毒具有极强的传染性，可用84消毒液、过氧乙酸等进行环境消毒，是利用了其强氧化性3.用N A表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A.0.2 mol Fel2与足量氯气反应时转移电子数为0.4N AB.1 mol CaH2和1 mol CaO，晶体中所含离子数目均为3N AC.60 g HCHO与CH3COOH混合物中含C原子数为2N AD.0.5 mol雄黄(As4S4结构如右图)含有N A个S－S键4.从中草药中提取的一种有机物A(结构简式如下图)可用于治疗多种疾病。
2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单选题1．已知集合{}{23},0,1,2A xx B =-<<=∣，则A B =（ ） A ．{}1,0,1,2- B ．2,0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义即可求. 【详解】A B ={}0,1,2 故选：C.2．已知关于x 的一元二次不等式2320x x -+<的解集为{}x m x n <<∣，则m n +的值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.【详解】依题意可得，,m n 分别是关于x 的一元二次方程2320x x -+=的两根，根据韦达定理可得：3m n +=.故选：A.3．下列函数是偶函数的是（ ） A ．lg y x = B ．2x y = C ．3y x = D ．cos y x =【答案】D【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.【详解】函数lg y x =为非奇非偶函数；函数2x y =为非奇非偶函数； 函数3y x =为奇函数，函数cos y x =为偶函数. 故选：D.4．已知0.4231log 3,2,log 2a b c -===则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>【答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值0，1进得判断即可． 【详解】因为22log 3log 21a =>=，0.400221b -<=<=，331log log 102c =<=，所以a b c >>. 故选：A ．5．若,R a b ∈，则“a b <”是“ln ln a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出不等式ln ln a b <的等价条件，结合充分条件必要条件的定义即可. 【详解】由ln ln a b <得0a b <<， 因为若0a b <<，则a b <，反之不成立， 故“a b <”是“0a b <<”的必要不充分条件， 即“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件. 故选：B6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A ．B ．12C ．D ．14【答案】A【分析】根据三角函数的定义得1sin ,cos 2y x r r αα====sin22sin cos ααα=解决即可.【详解】由题得，角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若角α的终边过点12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1r OP ===,所以1sin ,cos 2y x r r αα====所以1sin22sin cos 22ααα⎛==⋅⋅= ⎝⎭故选：A7．2021年10月16日0时23分，长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v 满足公式：ln 1⎛⎫=+ ⎪⎝⎭M v w m ，其中M为火箭推进剂质量，m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当3M m =时， 5.544=v 千米/秒．在保持w 不变的情况下，若25m =吨，假设要使v 超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M 至少约为（结果精确到1，参考数据：2e 7.389≈，ln 20.693≈）（ ） A ．135吨 B ．160吨 C ．185吨 D ．210吨【答案】B【分析】根据所给条件先求出w ，再由8v =千米/秒列方程求解即可. 【详解】因为当3M m =时， 5.544=v ， 所以 5.544 5.544ln 42ln 2w ==， 由 5.544ln(1)82ln 1ln 225M v w m M +⎛⎫=+=⎪⎝=⎭， 得ln 1225M ⎛⎫+≈ ⎪⎝⎭，所以21e 7.38925M+≈≈， 解得159.725160M =≈（吨）， 即M 至少约为160吨. 故选：B8．已知函数()()221,,R f x x g x x x =-+=-∈，用()M x 表示()(),f x g x 中的较小者，记为()()(){}min ,M x f x g x =，则()M x 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】先把()M x 写成分段函数的形式，再求最大值即可 【详解】令221x x -+>-，即2210x x --<,解得1<<12x -, 所以[)21,,12()121,,1,2x x M x x x ∞∞⎧⎛⎫-∈- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪-+∈--⋃+ ⎥⎪⎝⎦⎩，当1,12x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由y x =-在定义域内单调递减可得11()22M x M ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，当[)1,1,2x -⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦时，由二次函数的性质可得max 11()()22M x M =-=,综上，函数()M x 的最大值为12，故选：D二、多选题9 ） A ．cos150 B ．cos12cos42sin12sin42+ C ．2sin15cos15 D ．22cos 15sin 15-【答案】BD【分析】根据诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式计算各选项即可得答案． 【详解】2c 3os150cos(180co 300)s3=-=-=-，故A 错误；()()cos12cos42sin12sin42cos 12cos cos304230︒︒︒︒+====--，故B 正确； 12sin15cos15sin 302︒︒︒==，故C 错误；22cos 15sin 1cos305︒-==D 正确． 故选：BD.10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∀∈≤”B ．若正数,a b 满足1a b +=，则14ab ≤C ．函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是πD ．半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长等于π3【答案】BCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ；利用基本不等式可判断B ；利用三角函数的周期公式可判断C ；利用扇形的弧长公式可判断D.【详解】命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是“2R,0x x ∃∈<”，故A 错误； 2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故B 正确； 函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==，故C 正确；半径为1，圆心角为π3的扇形的弧长为ππ133⨯=，故D 正确.故选：BCD.11．已知函数()()2222,22x x x xf xg x ---+==，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于x 轴对称 B ．函数()f x 在区间()1,1-上单调递增 C ．()()()22f x f x g x = D ．()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦- 【答案】BC【分析】由函数的定义可判断A ；由函数2x y =与2x y -=-都是R 上的增函数可判断B ；计算等式的两边进行验证可判断C 、D.【详解】由函数的定义可知，函数()g x 的图象不关于x 轴对称，故A 错误； 因为函数2xy =与12()2xx y -=-=-都是R 上的增函数，则()222x xf x --=是R 上的增函数，所以函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，故B 正确；22222222(2)22()()222x x x x x xf x f xg x -----+==⋅⋅=，故C 正确；()222222x xg x -+=，()()22222222122x x x x g x f x --⎛-⎫⎛⎫+-=-=⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，故D 错误． 故选：BC.12．已知正实数,,x y z 满足236x y z ==，则（ ） A ．111x y z+=B ．236x y z >>C ．24xy z <D ．4x y z +>【答案】AD【分析】令236x y z t ===，得出x y z ，，．选项A ，根据换底公式计算即可判断；选项B ，结合作差法和换底公式即可判断；选项C 、D ，利用换底公式进行化简，再结合基本不等式即可判断． 【详解】令236x y z t ===，则1t >，可得：2log x t =，3log y t =，6log z t =． 对于A ，231111lg 2lg 3lg 61log 6log log lg lg lg t x y t t t t t z+=+=+===，故A 正确； 对于B ，因为1t >，故lg 0t >，232lg 3lg 2log 3log lg 2lg323t t t x t y -=-=-()23lg lg3lg 2lg 2lg3t -=⋅9lg lg80lg 2lg3t =>⋅，即23x y >；()3623lg lg3lg lg 62lg33lg 6lg 3363log 6log 0lg3lg 6lg3lg 6lg3lg 6t t t t y z t t ⋅--=-=-==<⋅⋅，即36y z <，故B 错误． 对于C ，()223lg lg lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t xy t t =⋅=⋅=⋅，()()()2222624lg lg 44log 4lg 6lg 6t t z t ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，lg 0t >， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立）， 所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()()()222lg 4lg lg 2lg 3lg 6t t >⋅，即24xy z >，故C 错误； 对于D ，23lg lg lg 6lg log log lg 2lg3lg 2lg3t t t x y t t ⋅+=+=+=⋅，64lg 44log lg 6t z t ==，lg 0t >， 因为()22lg 6lg 2lg30lg 2lg324+⎛⎫<⋅<=⎪⎝⎭，（因为lg 2lg3≠所以等号不成立）， 所以()214lg 2lg3lg 6>⋅，则()2lg 6lg 4lg 6lg 4lg lg 2lg3lg 6lg 6t t t⋅⋅>=⋅，即4x y z +>，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题13．若幂函数()y f x =的图象经过点(2，则()4f 的值等于_________. 【答案】2【解析】设出幂函数()f x x α=，将点(2代入解析式，求出解析式即可求解. 【详解】设()f x x α=，函数图像经过(2，2α=，解得12α=， 所以12()f x x =， 所以()12442f ==. 故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 14．1323log 3log 28⋅+=__________.【答案】3【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.【详解】解：1323lg 3lg 2log 3log 2823lg 2lg 3⋅+=⋅+=. 故答案为：3.15．若函数()f x 满足：（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <；（2）()()()1212f x x f x f x +=，则()f x =__________.（写出满足这些条件的一个函数即可）【答案】2x （答案不唯一）【分析】由条件（1）可判断函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），即可得解. 【详解】由条件（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，条件（2）符合指数幂的运算性质：1212x x x x a a a +=⋅，（0a >且1a ≠），故可选一个单调递增的指数函数：()2xf x =．故答案为：2x （答案不唯一）．16．已知R t ∈，函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是__________.【答案】(]()4,14,∞-⋃+【分析】根据分段函数，得函数图象，求得()40f x -=是所有可能的根，结合图象可的方程()40f x -=恰有2个实数解时t 的取值范围.【详解】解：函数()2,3,x x tf x x x x t ≥⎧=⎨+<⎩，函数图象如下图所示：方程()40f x -=，若40x -=，即34x =；若2340x x +-=，得14x =-，21x =；结合图象可知：当4t ≤-时，方程()40f x -=仅有一个实数解4x =；当41t -<≤时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，4x =； 当14t <≤时，方程()40f x -=恰有三个实数解4x =-，1x =，4x =； 当4t >时，方程()40f x -=恰有两个实数解4x =-，1x =；综上，若方程()40f x -=恰有2个实数解，则t 的取值范围是(]()4,14,∞-⋃+. 故答案为：(]()4,14,∞-⋃+.四、解答题17．已知集合{}21,{26}A xa x a B x x =<<+=<<∣∣. (1)当2a =时，求A B ⋂； (2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){25}xx <<∣(2)⎡⎣【分析】（1）由交集的定义求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解．【详解】（1）当2a =时，{25}A x x =<<∣ 因为{26}B xx =<<∣ 所以{25}A B xx ⋂=<<∣. （2）22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，21a a ∴<+恒成立，A ∴≠∅，A B ⊆22,?16a a ≥⎧∴⎨+≤⎩，解得：2a ≤≤故实数a 的取值范围为⎡⎣.18．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()()4g x f x =-，求()g x 的零点. 【答案】(1)()1,1- (2)零点为1517.【分析】（1）根据函数有意义，建立不等式组，求解即可； （2）令()0g x =，得()4f x =，解方程即可．【详解】（1）由题意得1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<.所以()f x 的定义域为()1,1-.（2）令()()()40,4g x f x f x =-=∴= 211log 41611x x x x ++∴=⇒=--，解得()151,117x =∈-， 故()g x 的零点为1517. 19．（1）已知sin 2cos 0αα+=，求22cos sin sin cos αααα-的值；（2）在①sin 2cos 0αα+=，②sin cos αα+=解答.已知α为第四象限的角，__________.4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）16（2）【分析】（1）由题意得tan 2α=-，所求式子弦化切代入计算即可；（2）选择①：由同角的三角函数关系式求得sin ,cos αα，然后利用两角差的正弦计算即可；选择②：利用22(sin cos )2(sin cos )αααα-=-+结合角的范围求得sin cos αα-，然后利用两角差的正弦计算即可.【详解】（1）由sin 2cos 0αα+=，得tan 2α=-， 222cos 11.sin sin cos tan tan 6αααααα∴==-- （2）选择①：sin 2cos 0αα+=，即tan 2α=-，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，又22sin cos 1,sin αααα+=∴==sin cos αα∴-=)sin cos 4πααα⎛⎫--= ⎪⎝⎭选择②：sin cos αα+=22sin cos 1αα+=， 229(sin cos )2(sin cos )5αααα∴-=-+=，α为第四象限的角，sin 0,cos 0αα∴<>，sin cos αα∴-=)sin cos 422πααα⎛⎫--=-⎪⎝⎭20．为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务，推动“一极六区”建设走深走实，郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略，加大科技创新力度，以科技创新催生高质量发展．某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中，计划该技术全年需投入固定成本600万元，每生产x 百件该产品，需另投入成本()p x 万元，且210,060()6400712000,60x x x p x x x x ⎧-<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品销售单价为0.7万元/件，且每年生产的产品当年能全部销完．(1)求全年的利润()f x 万元关于年产量x 百件的函数关系式；(2)试求该企业全年产量为多少百件时，所获利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．【分析】（1）根据题意分为060x <<，60x ≥两种情况，求得函数解析式； （2）结合二次函数的性质和基本不等式，分段讨论得出最大值．【详解】（1）（1）当060x <<时，()()22706001080600f x x x x x x =---=-+-当60x ≥时，()64006400706007120001400f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则280600,060()64001400(),60x x x f x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）（2）若060x <<，()()2208060000041f x x x x =-++-=--，则当40x =时，()max ()401000f x f ==（万元） 若()6400640060,14001400214001601240x f x x x x x ⎛⎫≥=-+≤-⋅=-= ⎪⎝⎭（万元）， 当且仅当80x =时“＝”成立．则当80x =时，max ()1240f x =（万元）1000万元1240<万元，故当年产量为8000件时，所获利润最大，最大利润为1240万元．21．已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的[]12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数m 的最大值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)1724π【分析】（1）根据图像得出周期，即可根据三角函数周期计算得出ω，将点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入新解析式，得5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出ϕ，将点()0,1代入新解析式，即可得出A ，即可得出答案；（2）设()()()h x f x g x =-，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出()h x 在区间[],m m π-上单调递减，由三角函数的单调区间解出()h x 的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案.【详解】（1）由图像可知，周期11521212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 22Tπω∴==， 因为点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图像上， 所以5sin 2012A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又02πϕ<<， 554663πππϕ∴<+<， 则56πϕπ+=，即6πϕ=， 因为点()0,1在函数图像上，所以sin 16A π=，即2A =，故函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由题意可得()2sin 22cos 2466g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 设()()()2sin 22cos 266h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,6412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ []12,,x x m m π∈-，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x -<-恒成立，即()()12h x h x <恒成立，()h x ∴在区间[],m m π-上单调递减， 令32222122k x k πππππ+≤-≤+，解得719,2424k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因为m m π-<，所以2m π>，则2m ππ-<， 故7241924m m πππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得17224m ππ<≤， 所以m 最大值为1724π. 22．已知函数()()22R 21x x t t f x t ⋅-+=∈+为奇函数.(1)利用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)若正数,a b 满足()()2120f a f b ++-=，求2212a b +++的最小值； (3)解不等式()22220f x x -+->. 【答案】(1)证明见解析； (2)165；(3)((),2,-∞+∞. 【分析】（1）利用函数的奇偶性得出1t =，然后利用函数单调性的定义证明即可；（2）由已知条件求得21a b +=，即()2125a b +++=，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可； （3）令()()g x f x x =+，易知()g x 是奇函数，且在R 上单调递增，又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->，从而220x ->，求解即可． 【详解】（1）函数()f x 的定义域是R ，由题意得()00f =，解得：1t =，则()2121x f x =-+， ()()22222112021212121x x x x x f x f x -⋅-+=-+-=--=++++，f x 为奇函数，故1t =，任取12,R x x ∈，且12x x <， 则()()12211222221121212121x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()12122121111122222221212121x x x x x x x x +++++---==++++， 因为12,R x x ∈，且12x x <，所以121211220,210,210x x x x ++<-+>+>， 所以()()()()122111122202121x x x x f x f x ++-=<++-，故()()12f x f x <， 所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）因为()()()2120,f a f b f x ++-=为奇函数，所以()()()2122f a f b f b +=--=-，又函数()f x 在R 上单调递增，所以正实数,a b 满足21221a b a b +=-⇒+=，所以()2125a b +++=，所以()2412421212512a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()228118512b a a b ⎡⎤++=++⎢⎥++⎣⎦116855⎡⎢≥+=⎢⎣， 当且仅当()()24112b a a b ++=++，即11,42a b 时取等号， 所以2412a b +++的最小值为165. （3）令()()2121x x g x f x x -=+=++， 因为()y f x =和y x =都是奇函数，且在R 上单调递增，所以()g x 是奇函数，且在R 上单调递增.又()00g =，不等式()()()22222020f x x g x g -+->⇔->.从而220x ->，解得x x <故不等式的解集为((),2,-∞+∞.。
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)
郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。
2020届湖南省郴州市高三第一次教学质量监测(12月) 数学(文)Word版含答案
科目：数学(文科)(试题卷)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的 封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作 答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共5页。
如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓 名 准考证号 绝密★启用前郴州市2020届高三第一次教学质量监测试卷文科数学(命题人:郴州市2020届高三文科数学专家组成员一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={21<1|x x ≤-}，B={1x <0|≤x }，则=B A A. )21,0( C. )0,1[- D. )1,21[ B. ]1,1[-2.若复数11--=iaZ 为纯虚数，则实数=aA.-2B.-1C.1D.23. 若角α的终边过点A(3，-4)，则=-)sin(α A. 54-B. 53-C. 53D.54 4.函数x x x f cos )(+=的大致图象是5.在等差数列{n a }中，142,a a 是方程0682=++x x 的根，则8133a a a 的值为 A. 104+- B. 6 C. 6- D. 6-或66. 定义域为R 的函数)(x f 是偶函数，且对任意0<)()(),,0(,212121x x x f x f x x --+∞∈.设)1(),(),2(-===f c f b f a π，则A.b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD.a<c<b7.已知向量=(1,3)，),4(m =，且⊥-)(，则向量与夹角为 A.3π C. 2π D. 4π B. 6π 8.下列结论中正确的个数是①在ABC ∆中，若sin24=sin2B ，则ABC ∆是等腰三角形； ②在ABC ∆中，若 sinA>sinB ，则A>B③两个向量,共线的充要条件是存在实数λ，使λ= ④等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数. A. 0B. 1C. 2D. 39. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为 A.21 B. 31 C. 32 D.6110.已知双曲线)0>>(1:2222b a by a x C =+的左、右焦点分别为21,F F ,以21F F为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为 A.2 B. 22+ C.2 D.22+11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
郴州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题
郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷数 学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2560A x x x =+-<，120232023xB x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．（3-，1-） B ．（2-，1）C ．（1-，1）D ．（1-，6）2．已知复数z 满足13i1i z+=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轮复数，则z z ⋅=（ ） A ．5 B 5C ．10 D ．103．△ABC 中，D 为BC 中点，设向量AB a =，AC b =，32AE BC =，则DE =（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．2a b -D ．2a b -+4．某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ） A ．0.46 B ．0.046 C ．0.68 D ．0.068 5．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321238S a a =+，8722S S =+，则2a =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．设函数()sin 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0ω>），已知()f x 在区间[]0,π上有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ）A ．直线76x πω=是函数()f x 的图象的一条对称轴 B ．ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()f x 的图象向右平移3πω个单位后所得图象的函数是奇函数 D ．()f x 在区间()0,π上有且仅有2个极值点7．F 1、F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（0a b >>）的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=12：5：13，则双曲线的离心率为（ ） A 5B ．2 C 6D 10 8．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面．已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为α（02πα<<），则当该水渠的修建成本最低时α的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．如图1，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线PA 与DC 所成的角的余弦值为14C ．直线PB 与平面PAD 所成的角为45° D ．BD ⊥平面PAC10．已知无穷等差数列{}n a 的首项为1，它的前n 项和为n S ，且89S S <，910S S >，则（ ）A ．数列{}n a 是单调递减数列B ．116S S =C ．数列{}n a 的公差的取值范围是11,89⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．当16n ≤时，0n S >11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，M （4，0y ）在抛物线上，延长MF 交抛物线于点N ，抛物线准线与y 轴交于点Q ，则下列叙述正确的是（ ） A ．6MF =B ．点N 的坐标为（1-，14） C ．94QM QN ⋅=D ．在x 轴上存在点R ，使得∠MRF 为钝角 12．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()'g x 为()g x 的导函数，且()()'100f x g x +-=，()()'4100f x g x ---=，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的有（ ） A ．()()130f f += B ．()40f =C ．()()13f f -=-D ．()20220f =三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若()3sin cos 0θπθ--=，则2sin 2cos θθ-=________．14．已知12nx x ⎫⎪⎭（n *∈N ）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________． 15．如图2，已知△ABC 的外接圆为圆O ，AB 为直径，PA 垂直圆O 所在的平面，且PA =AB =1，过点A 作平面PB α⊥，分别交PB 、PC 于点M 、N ，则三棱锥P −AMN 的外接球的体积为________．16．已知函数()x f x e =，()1ln33x g x =+，对任意m ∈R ，存在()0,n ∈+∞，使()()f m g n =，则n m -的最小值为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，131n n S S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31log n n b a +=，若数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：34n T <．18．（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos sin 2sin A C Ba c C+=． （1）求a ；（2）若AD ⊥BC 于D ，且AD 3A 的最大值．19．（本小题满分12分） 在图3（1）五边形ABCDE 中，ED =EA ，AB△CD ，CD =2AB ，∠CDE =150°，将△ADE 沿AD 折起到△SAD 的位置，得到如下图3（2）所示的四棱锥S −ABCD ，F 为线段SC 的中点，且BF ⊥平面SCD ．（1）求证：CD ⊥平面SAD ；（2）若CD =2SD ，求直线BF 与平面SBD 所成角的正弦值．20．2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕。
2024年湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量监测高效提分物理试题
2024年湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量监测高效提分物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题利用图示装置研究双缝干涉现象并测量光的波长，下列说法中正确的是（）A．测量过程中误将6个条纹间距数成5个，波长测量值偏大B．将屏向右移动，其它不动，则干涉条纹间距变小C．将双缝换为间距更大的双缝后，干涉条纹间距变宽D．用激光替代普通光源直接照射到双缝上，观察不到干涉条纹第(2)题如图所示，水面上相距为a的A、B两点有两个频率相同且同时向相同方向起振的波源，两波源发出的波在水面发生干涉。
观察发现C点与D点是两个相邻的振动加强点，已知DC垂直于AB，∠DAB=60°，∠CAB=30°，则该波的波长为（ ）A．B．C．D．第(3)题如图甲、乙所示的交流电分别加在两定值电阻R1、R2两端，已知R1=2R2，若两图中的横纵坐标均为已知量，图甲为正弦线。
则下列说法正确的是（ ）A．前半个周期两交流电压的有效值之比为1∶2B．两交流电的交流电压分别为、C ．时间内两定值电阻上产生的热量之比为1∶8D．0~T时间内两定值电阻上产生的热量之比为1∶10第(4)题近年来，举世瞩目的三星堆神秘遗址考古工作揭开许多谜团，改写了中国乃至世界文明史。
关于各界对文物年代的质疑，考古工作者运用碳14定年技术，确定为距今4000年左右。
碳14是宇宙射线撞击空气中的氮14时产生的。
碳14具有放射性，发生衰变，其半衰期约为5730年。
以下说法正确的是（ ）A．文物中剩下的碳14不到原来的一半，说明文物年代不到碳14的一个半衰期B．地下文物接收不到宇宙射线，碳14衰变将无法进行C．虽然地下遗址温度较低，但并不影响碳14的半衰期D．碳14发生衰变后，将放出一个氦核第(5)题英国知名科学杂志《自然》发表文章，称中国的嫦娥五号任务对科学界产生重大影响。
湖南省郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷语文及答案(1106最新版)
湖南省郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：文艺是铸造灵魂的工程，承担着以文化人、以文育人的职责。
文学艺术是审美意识形态，是为满足人们的审美需要而创作的。
真正的艺术精品都是真善美的高度融合、内容与形式的和谐统一。
一切艺术创作都是以艺术的形式反应生活的本质。
习近平总书记指出：“追求真善美是文艺的永恒价值。
艺术的最高境界就是让人动心，让人们的灵魂经受洗礼，让人们发现自然的美、生活的美、心灵的美。
”“我们要通过文艺作品传递真善美，传递向上向善的价值观，引导人们增强道德判断力和道德荣誉感，向往和追求讲道德、尊道德、守道德的生活。
”总书记的讲话，对文艺与真善美的必然联系，对文艺传递真善美的重要作用做了全面阐述，深刻揭示了文艺的特性和文艺的核心本质与功能。
艺术美作为人的创造，细加分析，我们就会看到它实际上是由作品的情、意、象所蕴涵和传达的真、善、美而显示自身的价值。
文学艺术形象总寄托和表现一定的思想和情感。
列夫·托尔斯泰在《艺术论》中认为艺术的本质在于通过形象“把自己的情感体验传达给别人”。
我国古代典籍《尚书·尧典》所说的“诗言志”，“志”在古代也包含思想与情感的意思。
艺术中表现的思想情感，一般地说，主流都是向善的，是有益于使人类变得更善良、更美好、更崇高、更进步的思想情感。
真与善，只有通过美的艺术形象的表现才能格外感人，格外使人动心，使人受到春雨润物般的熏陶和感染。
这是文艺胜于、区别于哲学或伦理著作的所在。
正是情真、意善、象美的统一，形成文学艺术形象的特点及其审美心理机制，使读者和观众产生美的愉悦感。
对于文学艺术在道德伦理方面的熏陶和教育作用，前人也有过许多的论述。
我国古代的《毛诗序》论到诗歌的作用时就说∶“先王以是经夫妇，成孝敬，厚人伦，美教化，移风俗。
”很多外国作家也都认识到这一点，古希腊时期的喜剧家阿里斯托芬在其剧本《蛙》中，就借埃斯库罗斯之口提出∶“教训孩子的是老师，教训成人的是诗人。
高三数学第一次月考试题(2020-2021学年度)附答案
1-11-1y ox（2020—2021）学年度（上）数学第一次月考试题数学试题 （理科班）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1、设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则A B =（ ） {}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A B C D ----2、下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（-∞，0），当1x <2x 时，都有1()f x <2()f x ”的函数是（ ）A ．()1f x x =-+B ．2()1f x x =-C ．()2x f x =D ．()()ln f x x =- 3、已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是（ ） A.(1,3) B. (1,5) C.(1,3) D.(1,5) 4、命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,x x e x ∃∈≤R5、已知函数2,0()21,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()1f x ≥，则x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．[1,)+∞C ．(,0][1,)-∞+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞6、已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2B ．22C ．4D ．57、 设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 8、若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x +=)(的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．1-11-1yox1-11-1yox1-11-1yox1-11-1yox二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9、化简：=+++8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 210、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=__________;11、0.70.52log 0.6,log 0.5,0.8a b c -===按由大到小的顺序排列： ． 12、如果关于x 的不等式a x x ≥-+-32的解集为R, 则a 的取值范围是 .13、如图5, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点A,且cm AC 22=,过C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D,CM=MN=ND 。
【原创】(新高考)2020-2021学年上学期高三第一次月考备考金卷 数学(A卷)-学生版
（新高考）2020-2021学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{20}A x x x =-->，2{430}B x x x =-+<，则A B =（ ）A ．{1x x <-或1}x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{12}x x <<2．设复数i z x y =+（其中x ，y 为实数），若x ，y 满足22(2)4x y +-=，则2i z -=（ ） A ．42i -B ．22i -C ．2D ．43．可知155a -=，41log 5b =，141log 5c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（510.6182-≈称为黄金分割比例），已知一位美女身高160cm ，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长度约103.8cm ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ）（结果保留一位小数）A ．8.1cmB ．8.0cmC ．7.9cmD ．7.8cm5．函数cos 2()||xf x x =的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．6．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5445等，在所有小于200的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为（ ） A ．25B ．13C ．29D ．4157．已知非零向量a ，b 满足||3||=a b 且(3)()+⊥-a b a b ，则a 与b 夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π2D ．08．已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，714S =，68a =，则（ ） A ．310n a n =- B ．24n a n =-C ．2319n S n n =-D ．231344n S n n =-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线21:(23)320l m x y --+=和直线2:350l mx y --=平行，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．23D ．3210．已知4，n ，9成递增等比数列，则在(4)nx x-的展开式中，下列说法正确的是（ ） 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．二项式系数之和为64B ．各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项是第4项D ．展开式中第5项为常数项11．若椭圆221169x y +=上的一点P 到椭圆焦点的距离之积为a ，当a 取得最大值时，点P 的坐标可能为（ ） A ．(4,0)-B ．(4,0)C ．(0,3)D ．(0,3)-12．已知函数2222()4()()x x f x x x m m e e--+=-+-+有唯一零点，则m 的值可能为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线2()1x f x xe x =+-在0x =处的切线方程为 ． 14．已知π1sin()48α+=，则πcos()4α-= ，3πsin()4α+= ． 15．兵乓球单打比赛在甲、乙两名运动员进行，比赛采取五局三胜制（即先胜3局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，且各局比赛结果相互独立，那么甲以3:2获胜的概率为 ．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若数列{}n a 满足1231111231n n a a a na n ++++=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①2nn n a a b =，②11n n n b a a +=，③(1)nn n b a =-⋅． （从这三个条件中任选一个填入第（2）问的横线中，并回答问题）18．（12分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知()(sin sin )c a A C -+ (sin )b B A =-．（1）求角C 的大小； （2）求222cos cos 5A B +=且b a >，求sin 2A ．19．（12分）如图，在直三棱柱AED BFC -中，底面AED 是直角三角形，且EA AD ⊥，3AB AE AD ===，其中M ，N 分别是AF ，BC 上的点且13FM CN FA CB ==． （1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求二面角A CF B --的正弦值．20．（12分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有12个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有4个次品，则对剩下的7个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.9，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为3元． （1）设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为2元，现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．21．（12分）过点(1,0)E 的直线l 与抛物线22y x =交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点． （1）若直线l 的斜率为3，求||||AF BF +的值； （2）若12AE EB =，求||AB ．22．（12分）已知函数222()(12)ln f x x a x a x =+--，当1a <<（1）()f x 有唯一极值点； （2）()f x 有2个零点．（新高考）2020-2021学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由题意可知，{1A x x =<-或2}x >，{13}B x x =<<， 则{23}AB x x =<<，故选B ．2．【答案】C【解析】∵i z x y =+，∴2i (2)i z x y -=+-，∴2i 2z -===，故选C ． 3．【答案】C 【解析】∵1050551-<<=，41log 05b =<，14441log log 5log 415c ==>=， ∴c a b >>，故选C ． 4．【答案】B【解析】设该美女穿的高跟鞋为cm x ，则103.810.6181602x =+≈，解得8.0x ≈，故选B ． 5．【答案】C【解析】∵易知函数cos 2()||xf x x =为偶函数，排除A ，B 选项； ∵πcosπ2()0π44f ==，当π(0,)4x ∈时，cos20x >，即()0f x >，排除D ． 6．【答案】B【解析】列出所有小于200的三位回文数如下：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个，从中任取两个数共有210C 45=种情况， 其中两个回文数的三位数字之和均大于5有26C 15=种情况，故所求概率为151453P ==，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵(3)()+⊥-a b a b ，则(3)()0+⋅-=a b a b ，得22||23||0+⋅-=a a b b ，223||||2-⋅=b a a b ，设a 与b 夹角为θ，则223||||cos 02||||θ-==⋅b a a b ，即夹角为π2． 8．【答案】A【解析】由题意得117211458a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故231722310n n S n na n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】AD【解析】∵直线21:(23)320l m x y --+=和直线2:350l mx y --=平行，直线1l 的斜率为21233m k -=，直线2l 的斜率为23m k =，则12k k =，即22333m m-=，解得1m =-或32． 10．【答案】ACD【解析】由4，n ，9成递增等比数列可得6n =， 故6(4x -的二项式系数之和为64，A 正确；令1x =，66(4264x==，则6(4x -的各项系数之和为64，B 错误； 6(4x 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C 正确；6(4x的展开式中展开式中第5项4246C(4)(151616x=⨯⨯为常数项，D正确，故答案选ACD．11．【答案】CD【解析】记椭圆221169x y+=的两个焦点分别为1F，2F，故12||||8PF PF+=，可得21212||||||||()162PF PFPF PF+≤=，当且仅当12||||4PF PF==时取等号，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，a取得最大值，此时点P的坐标为点(0,3)或(0,3)-．12．【答案】BC【解析】∵22222222()4()()(2)4()()x x x xf x x x m m e e x m m e e--+--+=-+-+=--+-+，令2t x=-，则22()4()()t tg t t m m e e-=-+-+，定义域为R，22()()4()()()t tg t t m m e e g t--=--+-+=，故函数()g t为偶函数，所以函数()f x的图象关于2x=对称，要使得函数()f x有唯一零点，则(2)0f=，即2482()0m m-+-=，解得1m=-或2，故答案选BC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】10x y--=【解析】()2x xf x e x e x'=+⋅+，(0)1f=-，根据导数的几何意义可知曲线在点(0,1)-处的切线斜率为(0)1k f'==，∴切线方程为1y x+=，即10x y--=．14．【答案】18，【解析】∵π1sin()48α+=，则ππππ1cos()cos[()]sin()42448ααα-=-+=+=，3ππππsin()sin()cos()4244ααα+=++=+，根据22ππsin()cos()144αα+++=，得πcos()48α+=±．15．【答案】316【解析】因为利用比赛规则，那么甲以3:2获胜表示甲在前4局中胜2局，最后一局甲赢，则利用独立重复实验的概率公式可知22241113C()()22216P=⨯⨯⨯=．16．【答案】2【解析】由题意得FA b=，3FB b=，OA a=，由题得tan tanbBOF AOFa∠=∠=，∴24tan tan21()b bb a aBOA BOFbaa+∠==∠=-，整理得222a b=，即2222()a c a=-，∴2232a c=，232e=，即2e=．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）1na n=+；（2）见解析．【解析】（1）1231111231nna a a na n++++=+，当2n≥时，1231111123(1)nna a a n a n-++++=-，两式相减得1111(1)nn nna n n n n-=-=++，∴1na n=+，当1n=时，12a=满足，1na n=+，∴数列{}na的通项公式为1na n=+．（2）选条件① ∵1122n n n a n a n b ++==，∴234123412222n n n T ++=++++，∴34521234122222n n n T ++=++++， 两式相减得123412211(1)121111118212222222212n n n n n n n T -+++-++=++++-=+-- 1223113342242n n n n n +++++=--=-， ∴13322n n n T ++=-． 选条件②： ∵11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++， ∴1111111111233445122224n n T n n n n =-+-+-++-=-=++++． 选条件③：∵(1)nn n b a =-，∴当n 为奇数时，132345(1)11222n n n T n n -=-+-+--+=⨯--=--； 当n 为偶数时，234(1)122n n nT n =-+-+++=⨯=，∴3222n n n T n n ⎧--⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数．18．【答案】（1）π4C =；（2）614+． 【解析】（1）由正弦定理得()()(2)c a a c b b a -+=-，故2222c a ab b -=-+，即2222a b c ab +-=，∴2222cos 2a b c C ab +-==， ∵(0,π)C ∈，∴π4C =． （2）∵π4C =，∴3π222B A =-， ∴221cos 21cos 2cos cos 22A BA B +++=+112π2(cos 2cos 2)11(cos 2sin 2)1sin(2)22245A B A A A =++=+-=--=， ∴π32sin(2)45A -=， ∵b a >，∴B A >，即3π4A A ->，得3π8A <， 又∵ABC △为锐角三角形，∴π3ππ442A <-<，∴ππ42A <<．∴π3π48A <<， 则πππ2442A <-<，∴π7cos(2)45A -=， ∴ππππππsin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 444444A A A A =-+=-⋅+-⋅ 3227261452210+=⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）证明：如下图，分别在FC ，EF 上取点P ，Q ，13CP FQ CF FE ==， 连接NP ，PQ 及MQ ，∵13FM CN FA CB ==，∴13MF FQ MQ AE FA FE ==⇒∥及13MQ AE =，13CN CP NP BF CB CF ==⇒∥且13NP BF =，∴MQ NP ∥，MQ NP =，∴四边形MNPQ 为平行四边形，∴MN QP ∥， 又∵MN ⊄平面CDEF ，QP ⊂平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF ．（2）如下图所示，以A 为坐标原点，AE 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，AB 方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(3,0,3)F ，(0,3,3)C ，(0,0,3)B ，∴(3,0,3)AF =，(0,3,3)AC =，由题易知平面BCF 的法向量为1(0,0,1)=n ， 设平面ACF 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2203303300AF x z y z AC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩n n ，取1x =，则2(1,1,1)=-n ，∵1212123cos ,3⋅===-⋅n n n n n n ，则二面角A CF B --的正弦值为63．20．【答案】（1）分布列见解析；（2）人工检验，详见解析． 【解析】（1）X 的可能取值为15，36，55(15)0.90.10.590490.000010.5905P X ==+=+=，(36)10.59050.4095P X ==-=，则X 的分布列为（2）由（1）知，()150.5905360.409523.5995E X =⨯+⨯=，∴1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为()100023.599523599.5E X =⨯=元．∵1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为212100024000⨯⨯=元， 且2400023599.5>，∴应该选择人工检验． 21．【答案】（1）299；（2）352．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，（1）由题意可知直线l 的方程为33y x =-，由2233y x y x ⎧=⎨=-⎩，消去y ，得292090x x -+=，12209x x +=，∴122029||||199AF BF x x p +=++=+=． （2）由12AE EB =，可知212y y =-①， 设直线l 的方程为y kx k =-，由22y x y kx k⎧=⎨=-⎩，消去x ，得2220ky y k --=，2480Δk =+>恒成立， 122y y k+=②，122y y =-③， 由①②③解得1212y y =⎧⎨=-⎩或1212y y =-⎧⎨=⎩，∴122||||1y y k +==，得2114k =，∴135||1184AB =++= 22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222222(12)()2(12)a x a x a f x x a x x +--'=+--==2(21)()x x a x+-，当2(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单减；当2(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单增，∴()f x 有唯一极值点．（2）由（1）知()f x 在2(0,)a 单减，在2(,)a +∞单增，∴()f x 在2x a =时取得极小值为2222()(1ln )f a a a a =--， ∵1a e <<21a e <<，2ln 0a >，∴2()0f a <，又∵222221112112()(1)0a f a a e e e e e e-=++=++->， 根据零点存在性定理，函数()f x 在2(0,)a 上有且只有一个零点． ∵ln x x >，222()(12)ln f x x a x a x =+--222(12)x a x a x >+--222(13)(13)x a x x x a =+-=+-，∵1a <<22231210a a a --=->，2231a a ->，∴231x a >-时，()0f x >，根据零点存在性定理，函数()f x 在2(,)a +∞上有且只有一个零点， ∴()f x 有2个零点．。