一元一次方程经典讲义之等积变形
5.3_一元一次方程的应用(2)_等积变形--
解
设容器内放入金属圆柱后水的高度为x厘米。
（1）如果容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱，
根据题意，得 π·(32-22)·x=π·32×15
解这个方程，得x=27 因为27>18,这表明此时容器内的水已淹没了金属圆 柱，不符合题意，应舍去。
（2）如果容器内的水升高后淹没放入的金属 圆柱， 根据题意，得 π ·32 ·x= π ·32×15+ π ·22×18 解这个方程，得 x=23 23-15=8 所以，容器内的水升高8厘米。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变3、用一块橡皮泥先来自成一个立方体，再把它改 变成球。
解：形状改变，体积不变
一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘 米，容器内盛有15厘米高的水。现将一个底 面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放 入容器内，问容器的水将升高多少米？ 分析：本题涉及圆柱的体积v=πr2h，这里r是圆柱底 面半径，h为圆柱的高。一个金属圆柱竖直放入容器 内，会出现两种可能： （1）容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱； （2） 容器内的水升高后 淹没放入的金属圆柱 。 因此列方程求解时要分两种情况。
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
xcm
x
20cm
30-2x
20-2x
20-2x 30-2x
相等关系： 铁盒的底面周长=60cm
30cm
一元一次方程的等积变形问题课件
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为 30米，宽为20米.
.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
.
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
.
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积 =小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是 _____?_r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2_?_x） （______0._3_2_×)0.5 ?
解：设水面将升高 x米, 根据题意得 方程为： _____0_._5_2_?_x_=__0_.3_2_×__0_.5 ? 解这个方程： _____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_. _0_.1_8m 。
.
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短 Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得： x=15
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根 15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
一元一次方程---等积变形
0.5米
0.5m 1. 5m
0.3m
0. 5m
巩固
延伸
用
方
程
解
决
问 题
一只乌鸦口渴需要喝水，来到一个底面积 为5平方厘米圆柱体玻璃瓶且水面只有20 厘米，要喝水需要30厘米高的水面，玻璃 杯旁有堆石头，每块10克，每1立方厘米 重5克，问需要多少石头乌鸦才能喝到水？
课堂小结： 通过学习你这节课收获了什么？
2
C 2(a b)
S ah
你会填下表中各图形的体积公式吗？ 名称
正方体
图形
a
用字母表示公式
体积（V）
V a
c b
3
长方体
a
V abc
V r 2 h
1 2 V r h 3
圆柱体
r
h
圆锥体
h
r
学习目标： 1、掌握等积变形问题中常见的数量关系，并能 列出方程解决问题。 2、通过解决问题进一步认识分析数量关系，列 方程解决问题的一般过程。
6、答：写出答案，注意规范完整.
提升
方 解 问 题 小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个 菜地（即利用墙面作为一边），使长比宽 大2米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的 长和宽各是多少呢？
用
程
决
墙面
x
X+2 铁线
提升
方 解 问 题 小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个 菜地（即利用墙面作为一边），使长比宽 大2米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的 长和宽各是多少呢？
等积变形问题的一般等量关系： 体积（周长）相等（不变）。
归
纳
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、分析：分析题意，分析题中数量及其关系； 2、设：设出未知数，用含未知数的一次式表示有 关的量. 3、列：根据等量关系列出方程.
5.3 一元一次方程的应用(2) 等积变形--
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，源自把它改 变成球。解：形状改变，体积不变
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周 铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形 边框（如图中阴影部分），已知铺这个边 框恰好用了192块边长为0.75米的正方形 花岗石（接缝忽略不计）,问纪念碑建筑 底面的边长是多少米?
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6
答：纪念碑建筑底面的边长为6米. 方案二
本题还有哪些解法？
1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的 关系，尤其相等关系是建立方程的关键。 2、对于等积变形(面积）问题，它的基本数量关系是相关的 面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的 方法来计算阴影部分的面积，面积不变。
3
x
3
阴影部分的面积= 192块边长为0.75正方形花岗岩的面积 阴影部分的面积= 4个长为(x+3)米、宽为3米的长方形 解： 设纪念碑建筑底面的边长为米，根据题意，得
4 3 x 3 0.75 0.75 192
解这个方程，得x=6 答：纪念碑建筑底面的边长为6米.
2x 5 x 2 x3
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人， 在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处 植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两 处各多少人？ 分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量 及其关系能用表格去表示吗？
例2、学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人， 在乙处植树的有 17 人，现调 20 人去支援，使在甲处 植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两 处各多少人？ 分析 : 设应调往甲处 x 人，题目中涉及的有关数量 及其关系能用表格去表示吗？ 原有人数 甲 处 23 乙 17 处
5.3一元一次方程的应用 第1课时 等积变形问题 课件 北师大版(2024)数学七年级上册
新知小结 2. 常见图形的周长、面积及体积计算公式.
（1）长方体的体积＝ 长×宽×高 ；
（2）圆柱的体积＝ 底面积×高 ；
（3）长方形的周长＝ 2×（长＋宽） ；
（4）长方形的面积＝ 长×宽 .
3. 列一元一次方程1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。
因此，易拉罐的高度变为__1_4_._5_2__cm.
新知小结
1. 常见的几种情形列方程. （1）物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程； （2）周长一定，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了， 抓住周长不变列方程； （3）图形的拼接、割补、平移、旋转等类型的应用题，抓住图 形变化前后的面积、周长不变列方程. 注：应学会“变中找不变”和“不变中找变”的数学思想方法.
解：（1）易拉罐的直径，易拉罐的高，易拉罐的容积； 易拉罐的容积＝π×(易拉罐的直径÷2)2×易拉罐的高.
合作探究
（2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问 题中的信息吗？
有关量 底面半径/cm
高/cm 容积/cm3
旧包装
3.3 12 130.68π
新包装
3 x 9πx
分层设计 数学 BS 七年级 上
随针堂对检练测习
设小明的爸爸设计的养鸡场的宽为 y m， 则长为（y ＋2）m. 由题意，得 y＋y＋（y＋2）＝35， 解得 y＝11，则 y＋2＝13. 所以小明爸爸设计的养鸡场长为13m，小于墙长，宽为11m， 面积为13×11＝143（m2）. 所以小明爸爸的设计合理，这时养鸡场的面积为143m2.
随堂检测 1.小明打算用长35m的竹篱笆围成一个长方形养鸡场，该长方形的
长比宽多5m，其中较长的一面靠墙（不需要篱笆），墙长14m，小明的
华东师大版七年级数学下册第6章一元一次方程6.3.2等积变形问题教学课件(17张ppt))
解得x=5 经检验，符合题意。 因此，水箱的高度变成了5 m.
进行维修改造，为减少楼顶原有储水 箱的占地面积，需要将它的底面直径 由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变 的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
总结
本题用抓不变量法寻找等量关系．在解等积变形 问题的方程时，遇到π不要急于化为近似值3.14，若 方程的两边均含有π，可约去．
mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是( B )
A．1 200 mm
B.180 mm
C．120π mm
π D．120 mm
分析：设圆柱体的高为xmm,根据题意得： π×502x＝150×150×20
x
15001500 20 50 50π
180
x＝
π
3. 用直径为4 cm的圆柱形钢铸造3个直径为2 cm，
高为16 cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱
图形变化问题选做题：
学校建花坛余下24米长的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，建一 个一面砖墙、三面围栏的长方形小花圃(长边靠墙）。 （1）请你设计一下，使长比宽多3米，算一算这时的面积。 （2）请你再设法改变长与宽，扩大花圃的面积，并和其他同学比一比，看谁设 计的花圃面积最大。
解:(1)设这个长方形小花圃的宽为x米，则长为（x+3）米，
形钢？ 导引：此题中存在的等量关系为铸造前圆柱形钢的体积
＝铸造后3个圆柱形零件的体积之和．
解：设需要截取x cm长的圆柱形钢．由题意得：
解得x＝12π.g
4 2
2
gx＝3π×
2 2
2
×16，
经检验，符合题意
答：需要截取12 cm长的圆柱形钢．
4.3一元一次方程应用2(等积变形)
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
（2）使得这个长方形的长比宽多0.8m，此时长方形 的长、宽各为多少米？这个长方形与（1）中的长方 形相比，面积有什么变化？
（2）设此时长方形的宽为 x m，则它的长为( x +0.8)m， 根据题意，得 2（x+x+0.8）=10 解这个方程，得 x=2.1 0.8+2.1=2.9 此时长方形的长是2.9m，宽是2.1 m.它的面积2.9×2.1=6.09m2， （1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76m2，这时长方形的面积比 （1）中长方形的面积大6.09－5.76=0.33 m2.
探索一下：将（2）题中宽比长少4厘米分别改为少3厘米、少2厘米、 少1厘米、少0厘米，再算算长方形的面积有什么变化？
将内直径为20cm的圆柱形水桶中的水全部 倒入一个长、宽、高分别为30cm，20cm， 80cm的长方体铁盒中，正好倒满， 求圆柱形水桶的高（π取3.14）
在这个问题中有什么等量关系？ 请列出方程： 。
１.用一根60厘米长的铁丝围成一个长方形 2 （1）如果宽是长的 3 ，求这个长方形的长和宽 .
2 2
解这个方程，得
因此，圆柱的高变成了36 Cm。
x 36
【 例1 】用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）使得这个长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的 长、宽各为多少米？ 【分析】由题意知，长方形的周长始终是不变的，即 长方形的周长=10m 在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系。 解：（1）设此时长方形的宽为xm，则它的长为 （x+1.4）m，根据题意，得 2（x+x+1.4）=10 解这个方程，得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时，长方形的长是3.2m，宽是1.8 m.
32一元一次方程应用之等积变形
锻压前
锻压后
底面半径 高
体积
5厘米 36厘米
π× 52×36
10厘米
x厘米
π × 102 • x
根据等量关系，列出方程： π × 52×36 = π × 102 • x
解得： x =9
因此，高变成了 9 厘米
练
习 2.已知一圆柱形容器底面半
径为0.5m,高为1.5m,里面盛有1m深的水，
将底面半径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁
块沉入水中，问容器内水面将升高多少?
0.5m
1.5m
1m
0.3m 0.5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系：
水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积
圆柱形体积公式是_π_r__2h___,
水升高后的体积 小铁块的体积
（_0__._5_2_π_x___） （__0_._3_2_×__0__.5__π____)
2、同步练习
常见图形的体积公式
名称 正方体
图形
a
用字母表示公式 体积（V）
V = a3
长方体 圆柱体 圆锥体
c
a
b
h r
h r
V = abc
V = πr 2h
V = 1 πr 2h 3
要想求出某个同学的体积是多少？ 你怎么测量呢？
形状改变， 体积不变。
R h
你还能举出相类似的事例吗？
（古代：曹冲称象）
请指出下列过程中，哪些量发 生了变化，哪些量保持不变？分 Nhomakorabea析
思考2：如何用字母（未知 数x）表示圆钢的体积？
圆钢的体积=π ( 200)2x 立方毫米
2
x
90
二、用含未知数x的一次式 300 表示有关的量；
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第四讲等积变形数字问题
【基本数量关系】
原料体积=成品体积
数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
【典型例题】
1.用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要
截取多长的圆钢？
2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底
面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
3.一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正
方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π不需化成
3.14）
4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，十位与个位上的数字和是这个两位数的
1/6，这两个数是多少？
5.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把
百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
【课堂精练】
1.要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？
2.某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面
也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？
3.将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30
厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？
4.一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方
形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米？
5.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜
块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？
6.有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使
长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
7.用一根20厘米的铁丝围成一个长方形（1）使得长方形的长比宽大2.6厘米，此时，长
方形的长、宽各是多少厘米？（2）使得长方形的长与宽相等，此时正方形的边长是多少厘米？
8.小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱
体体积的2.5倍，则大圆柱的高是多少厘米？
9.用一个底面半径为5厘米的圆柱形储油器，油液中浸有钢珠，若从中捞出546π克钢珠，
问液面下降了多少厘米？（1立方厘米钢珠7.8克）
⨯mm内高为10.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252
.）81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数π≈314 11.在一个底面直径为5厘米，高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底
面直径6厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
12.长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×
130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？
13.一个两位数字之和为11，如果原数加45，得的数恰是原两位数字交换后的两位数，求
原来这个两位数。
14.有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，若把这个两位数的十位与个位对调，
所得的两位数比原数小18，求原来的两位数。
15.一个两位数，十位数字比个位数字少3，两个数字之和等于这两位数的1/4；求这个两
位数。
16.一个三位数，三个数位上的数字和是15，百位上的数比十位上的数多5，个位上的数字
是十位上的数字的3倍，求这个三位数。
17.已知三个连续奇数的和比它们相间的两个偶数的和多15，求这三个连续奇数。
18.一个三位数，三个数位上的数字和为13，百位上的数字比十位上的数少3，个位上的数
字是十位上的数字的2倍，求这三位数。
19.三个连续偶数的和比其中最小的一个大14，求这三个连续偶数的积。
20.三个连续整数之和是81，这三个整数分别是？
【课后作业】
1.要锻造一个直径为70毫米，高为45毫米的圆柱形零件毛胚，要截取直径为50毫米的
圆钢多少毫米？
2.用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。
（1）使长方形的宽是长的2/3，求这个长方形
的长和宽。
（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积。
3.用72厘米的铁丝做一个长方形，要使长是宽的2倍多6厘米，则这个长方形的长和宽
各是多少？
4.一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面
半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米）
5.用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直径12厘米的铅球，问应截取多长的铅
柱？
6.有一个高为1.1米的正方体水池刚好能装满28桶水，已知水桶是一个圆柱体，且底面
周长为1米，求水桶的高。
（精确到0.01米）
7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的2倍大3，把这两位数的位置对调后组成
的两位数比原数小45，求原来这个两位数。
8.一个三位数，基个位上的数字相加之和为9，百位上的数字比十位上
的数字大1，个位上的数字比十位上的数字小1，求这个三位数。
9.三个连续自然数，它们的和为108，求这三个数。
10.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，求这个角的度数。
11.一个两位数的个位与十位数字的和为15，如果把十位数字与个位数字对调，则所得新数
比原数小27，则原来的两位数是多少？
12.一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数的和是这个两位数的1/5，
求这个两位数。
13.已知三个连续奇数的和比它们相间的两个偶数的和多15，求这三个连续奇数。
14.一个四位数，千位数字是1，若把1移到个位上去，则所得的新四位数字是原来的5倍
少14，求这个四位数。
15.一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字
对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数。