统计学第5章 方差分析
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统计学：5方差分析
统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第 5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
(整理)统计学教案习题05方差分析
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
第5章方差分析
5.1.4 方差分析中的基本假定
（基本前提：独立、同分布、同方差）
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据（试验结果）相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 （同分布） 二、r个正态总体的方差是相同。 即：σ12=σ22…….=σr2=σ2 （同方差） 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。（独立）
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
（续前）
方差分析的优点之二：增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起， 故而增加了分析结论的稳定性。 例如：30个样本，每一个样本中包括10个观 察单位（n=10)。如果采用t检验法，则在两 两检验中，一次只能研究2个样本和20个观察 单位，而在方差分析中，则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以，方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2
j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1
r
nj
x j x
2
j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和（SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响，反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异，故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下：
5章 方差分析
检验或F检验，两个以上样本均数的比较只能用F检验。 2、回归方程的线性假设检验；
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
统计学5 多因素试验资料的方差分析课件
• 适用情况： • 当实验涉及的因素或效应在三个或三个以上，而
且因素间可能存在交互作用时。
正交设计与析因设计的区别：
• 析因设计：是各因素各水平全面组合的设计。 • 正交设计：是各因素各水平部分组合的设计。
正交设计能成倍减少试验次数，但是以牺牲 部分因素间的交互作用为代价。
正交设计表
• 每张正交表的表头都有一个表头符号，一般写法 为 LN(mk) 。
对于交互作用AB H0：因素A与因素B无交互效应 H1：因素A与因素B存在交互效应
（2）选择检验方法，计算检验统计量
析因设计方差分析计算表
（3）确定P值，做出推断结论
F < Fα（ν 1，ν 2）
P > 0.05
不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能 认为多个总体均数不等或不全相等。
F ≥ Fα（ν 1，ν 2）
20
Corrected Total
17.339
19
a. R Squared = .991 (Adjusted R Squared = .990)
Sig. .000 .000 .000 .332 .236
正交设计资料的方差分析
• 正交设计 • 正交设计表 • 分析步骤
正交设计
• 正交设计是利用一套规格化的正交表，将各个试 验因素、各水平之间的组合进行均匀搭配，合理 安排，是一种高效的、多因素试验设计方法。
• N 代表实验次数； • m 代表各因素水平； • k代表最高容许安排的试验因素及其效应数。
• 例如，L8(27)， L16(215)
正交设计表
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
且因素间可能存在交互作用时。
正交设计与析因设计的区别：
• 析因设计：是各因素各水平全面组合的设计。 • 正交设计：是各因素各水平部分组合的设计。
正交设计能成倍减少试验次数，但是以牺牲 部分因素间的交互作用为代价。
正交设计表
• 每张正交表的表头都有一个表头符号，一般写法 为 LN(mk) 。
对于交互作用AB H0：因素A与因素B无交互效应 H1：因素A与因素B存在交互效应
（2）选择检验方法，计算检验统计量
析因设计方差分析计算表
（3）确定P值，做出推断结论
F < Fα（ν 1，ν 2）
P > 0.05
不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能 认为多个总体均数不等或不全相等。
F ≥ Fα（ν 1，ν 2）
20
Corrected Total
17.339
19
a. R Squared = .991 (Adjusted R Squared = .990)
Sig. .000 .000 .000 .332 .236
正交设计资料的方差分析
• 正交设计 • 正交设计表 • 分析步骤
正交设计
• 正交设计是利用一套规格化的正交表，将各个试 验因素、各水平之间的组合进行均匀搭配，合理 安排，是一种高效的、多因素试验设计方法。
• N 代表实验次数； • m 代表各因素水平； • k代表最高容许安排的试验因素及其效应数。
• 例如，L8(27)， L16(215)
正交设计表
L8(27)正交表
列
号
试验号 1 2 3 4 5 6 7
1
1111111
SPSS统计分析第五章方差分析
二、方差分析中的术语
因素与处理（Factor and Treament） 水平（Level） 单元（Cell） 因素的主效应和因素间的交互效应 均值比较 协方差分析
1．因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时 间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也可以通称为因素。如研究不同肥料对不同种系 农作物产量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作相同理解。在要求进行方差分析的数据文件 中均作为分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是气温、降雨量等平常看作是连续变 量的，在方差分析中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数值用分组定义水平的方法 事先变为具有有限个取值的离散变量
4．因素的主效应和因素间的交互效应
有A、B两种药物治疗缺铁性贫血，患者12例，分为4组。实验方案是：第一组用一 般疗法；第二组在一般疗法基础上加用A药；第三组在一般疗法基础上加用B药，第 四组在一般疗法基础上A、B两药同时使用。一个月后观察红细胞增加数。要求分析 两种药物的疗效（数据下表）。
实验数据
Coefficients：为多项式指定各组均值的系数。 因素变量分为几组，输入几个系数，多出的无意 义。如果多项式中只包括第一组与第四组的均值 的系数，必须把第二个、第三个系数输入为0值。 如果只包括第一组与第二组的均值，则只需要输 入前两个系数，第三、四个系数可以不输入 。 多项式的系数需要由读者自己根据研究的需要输 入。
各组平均值
第一组 0.8 0.9 0.7 0.8
红细胞增加数（百万/m3）
第二组
统计学实验—SPSS和R软件应用与实例-第5章方差分析-SPSS
2. 统计软件SPSS16.0或更高版本。
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-4
三、实验内容
1. 单因素方差分析 2. 多因素方差分析
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-5
第5章 方差分析
5.1 单因素方差分析 5.2 双因素方差分析
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
Levene Statistic
df1
df2
.292
2
27
Sig. .749
表5.4 咖啡因用量实验的方差分析表输出结果
Between Groups Within Groups Total
2019/10/14
ANOVA
Sum of Squares
df Mean Square
61.400
2
30.700
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-11
【统计理论】
三种“ 平方和”之间的关系 平方和分解：
S S TS S A S S E
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-12
【统计理论】
由于上述几种平方和的数值受到样本量和水平 数的影响，一种更为科学的方法是将各部分平方和 除以相应自由度，其比值称为均方和，简称均方 (mean square，MS)，即
具体的说就是要比较第 i组和第 j 组平均数，即
检验
H 0 : { i j 0 ,i 1 ,,r ,j 1 ,,r ,i j }
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-16
【统计理论】
注意到 i j 0与 j i 0是等价的。因此
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-4
三、实验内容
1. 单因素方差分析 2. 多因素方差分析
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-5
第5章 方差分析
5.1 单因素方差分析 5.2 双因素方差分析
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
Levene Statistic
df1
df2
.292
2
27
Sig. .749
表5.4 咖啡因用量实验的方差分析表输出结果
Between Groups Within Groups Total
2019/10/14
ANOVA
Sum of Squares
df Mean Square
61.400
2
30.700
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-11
【统计理论】
三种“ 平方和”之间的关系 平方和分解：
S S TS S A S S E
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-12
【统计理论】
由于上述几种平方和的数值受到样本量和水平 数的影响，一种更为科学的方法是将各部分平方和 除以相应自由度，其比值称为均方和，简称均方 (mean square，MS)，即
具体的说就是要比较第 i组和第 j 组平均数，即
检验
H 0 : { i j 0 ,i 1 ,,r ,j 1 ,,r ,i j }
2019/10/14
《统计学实验》第5章方差分析
5-16
【统计理论】
注意到 i j 0与 j i 0是等价的。因此
湖南大学-应用统计学 第五章 方差分析
各yij间总的差异大小可用总偏差平方和 rm
ST
( yij y )2
i1 j 1
表示，其自由度为fT=n1；
仅由随机误差引起的数据间的差异可以用
rm组内偏差平方和来自Se ( yij
2
yi. )
表示，
i1 j 1
也称为误差偏差平方和，其自由度为 fe=nr ；
如今要对因子平方和 SA 与误差平方和 Se 之间进
行比较，用其均方和 MSA= SA /fA ， MSe= Se /fe 进
行比较更为合理，故可用 F MSA SA / fA 作为
检验H0的统计量。
MSe Se / fe
25 June 2019
湖南大学
第五章 方差分析
第22页
定理2 在单因子方差分析模型 (3) 及前述符号 下，有
25 June 2019
湖南大学
第五章 方差分析
第2页
例1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提 出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料， A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉 为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特
选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每 组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。 试验结果如下表所示：
25 June 2019
湖南大学
第五章 方差分析
第25页
常用的各偏差平方和的计算公式如下：
ST
r i 1
m j 1
yi2j
T2 n
SA
1 m
r i 1
Ti 2
T2 n
Se ST SA
（10）
一般可将计算过程列表进行。
25 June 2019
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(I) 采伐类型 (J) 采伐类型 均值差 (I-J) 标准 误 p-值 95% 置信区间 下限 上限
变差源 组间 组内 总计
4、结论。 F值=11.43>3.32，p-值=0.0002<0.05，因此检 验的结论是采伐对林木数量有显著影响。
中央财经大学统计学院 31
5.2.4 方差分析中的多重比较
在方差分析中，当零假设被拒绝时我们可以确定 至少有两个总体的均值有显著差异。但要进一步 检验哪些均值之间有显著差异还需要采用多重比 较的方法进行分析。这在方差分析中称为事后检 验(Post Hoc test)。 多重比较是对各个总体均值进行的两两比较。方 法很多，如Fisher最小显著差异（Least Significant Difference，LSD）方法、Tukey的诚 实显著差异（HSD）方法或Bonferroni的方法等。 这里我们只介绍最小显著差异方法。
中央财经大学统计学院
12
（1）正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*
中央财经大学统计学院
13
（2）等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2 Levene检验 *
第5章 方差分析
Analysis of Variance (ANOVA)
5.1 方差分析简介 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
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学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
中央财经大学统计学院 21
5.2.3 ：方差分析的步骤
1.检验数据是否符合方差分析的假设条件。 2.提出零假设和备择假0 : 1 2 r
备择假设：至少有两个均值不相等，即
H1 : 1, 2 ,, r不全相等
中央财经大学统计学院
22
5.2.3 ：方差分析的步骤
3.根据样本计算F统计量的值。
方差分析表
离差平方和 SS 变差来源 SSA 组 间 组 内 总变异 SSE SST
自由度 df r-1 n-r n-1
均方 MS MSA MSE
F值 MSA/MSE
中央财经大学统计学院
23
5.2.3 ：方差分析的步骤
4.确定决策规则并根据实际值与临界值的 比较，或者p-值与α 的比较得出检验结论。 在零假设成立时组间方差与组内方差的比 值服从服从自由度为(r-1, n-r) 的 F 分布
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2
F检验的临界值和拒绝域 拒绝域
p-值
α
2.5 3 3.5 实际值 4 4.5 临界值
24
5
5.5
6
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起薪的例子（1）
在起薪的例子中，设显著性水平= 0.05， 试分析专业对起薪的影响已否显著 。
1、根据前面的分析，数据符合方差分 析的假设条件。 2、提出零假设和备择假设： H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4， H1：μ1、μ2、μ3、μ4不全相等。
中央财经大学统计学院 25
起薪的例子（2）
3、计算F统计量的实际值和p值。下面是SPSS计 算的方差分析表。由于 p 值 0.002 0.05， 因此拒绝零假设。
中央财经大学统计学院
29
例2 热带雨林 （4）
2、提出零假设和备择假设 零假设：雨林采伐对林木数量没有显著影 响（各组均值相等）； 备择假设：雨林采伐对是有显著影响（各 组均值不全相等）。
中央财经大学统计学院
30
例2 热带雨林 （5）
3、方差分析表
SS 625.16 820.72 1445.88 df 2 30 32 MS 312.58 27.36 F 11.43 Pvalue 0.0002 F crit 3.32
只受随机 因素的影响
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20
5.2.2 ：方差分析的基本思想
组间方差
SSA MSA r 1
F=
SSE 组内方差 MSE nr
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间 方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1 如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组 内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在显著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
i 1 j 1 r m
因素A导致的变差
随机因素导致的变差
SST＝SSA＋SSE
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5.2.2 ：组间方差和组内方差
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了 消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要 将其平均，这就是均方。 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，n为全部观察值的个数 SSA的自由度为r-1，其中r为因素水平的个数 SSE 的自由度为n-r
例2 热带雨林 （2）
从未采 伐过 27 22 29 21 19 33 16 20 24 27 28 19 1年前采 8年前采 伐过 伐过 12 18 12 4 15 22 9 15 20 18 18 19 17 22 14 12 14 12 2 17 19
中央财经大学统计学院 28
1、正态性检验：直方图
X ij i ij i ij
中央财经大学统计学院 17
5.2.2 ：总变差（离差平方和）的分解
总变差
SST ( xi x )2
i 1 n
组间离差平方和
SSA m( xi x )
i 1 r 2
组内离差平方和
SSE ( xij xi )2
中央财经大学统计学院 8
5.1.1 方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变 量，例如失业持续时间。 自变量：作为原因的、把观测结果分成几 个组以进行比较的变量例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素 (factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取 值称为因素的水平。
固定效应模型：因素的所有水平都是由实 验者审慎安排而不是随机选择的。
随机效应模型：因素的水平是从多个可能 的水平中随机选择的。 固定效应和随机效应模型在假设的设置和 参数估计上有所差异，本章研究的都是固 定效应模型。
中央财经大学统计学院 11
5.1.2：方差分析中的基本假设
（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。
用t检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值，要解决上述问题 需要进行6次t检验……
在整体检验中犯第一类错误的概率显著增 加： 如果在每次t检验中犯第一类错误的概率 等于5%，则在整体检验中等于1-(10.05)6=0.2649
中央财经大学统计学院 7
方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA） 的主要目的是通过对方差的比较来检验多 个均值之间差异的显著性。 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时 与t检验等价。 20世纪20年代由英国统计学家费希尔（R. A. Fisher）最早提出的，开始应用于生物 和农业田间试验，以后在许多学科中得到 了广泛应用。
中央财经大学统计学院 32
用LSD法进行多重比较的步骤
1、提出假设
H0: i = j H1: i j
t
xi x j 1 1 MSE ( ) ni n j
2、计算检验的统计量
3a、 如果
3b、计算
t t / 2
或
t t / 2
则拒绝H0。
xi x j 的置信区间： ( xi x j ) t / 2
例2 热带雨林 （3）
同方差性检验：最大值与最小值之比等于 33.19 / 4.81=1.34，明显小于4，因此可以认 为是等方差的。 组 从未采伐过 1年前采伐过 8年前采伐过 计数 12 12 9 求和 285 169 142 平均 23.75 14.08 15.78 方差 25.66 24.81 33.19
平方和 组间
组内
df
均方 3 1642638.889
F 7.078
p值 0.002
4927916.667
4641666.667
20
232083.333
总数
9569583.333
23
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例2 热带雨林 （1）
各水平下的样本容量不同时单因素方差分析的 方法也完全适用，只是公式的形式稍有不同， 在使用软件进行分析时几乎看不出这种差别。
样本1
2 x1, s1
样本2
2 x2 , s2
样本3
2 x3 , s3
样本4
2 x4 , s4
1 2 3 4 ??
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各个总体的均值相等吗？
f(X)
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
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X
研究方法：两样本的t检验？
变差源 组间 组内 总计
4、结论。 F值=11.43>3.32，p-值=0.0002<0.05，因此检 验的结论是采伐对林木数量有显著影响。
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5.2.4 方差分析中的多重比较
在方差分析中，当零假设被拒绝时我们可以确定 至少有两个总体的均值有显著差异。但要进一步 检验哪些均值之间有显著差异还需要采用多重比 较的方法进行分析。这在方差分析中称为事后检 验(Post Hoc test)。 多重比较是对各个总体均值进行的两两比较。方 法很多，如Fisher最小显著差异（Least Significant Difference，LSD）方法、Tukey的诚 实显著差异（HSD）方法或Bonferroni的方法等。 这里我们只介绍最小显著差异方法。
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12
（1）正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*
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（2）等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2 Levene检验 *
第5章 方差分析
Analysis of Variance (ANOVA)
5.1 方差分析简介 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
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学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
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5.2.3 ：方差分析的步骤
1.检验数据是否符合方差分析的假设条件。 2.提出零假设和备择假0 : 1 2 r
备择假设：至少有两个均值不相等，即
H1 : 1, 2 ,, r不全相等
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22
5.2.3 ：方差分析的步骤
3.根据样本计算F统计量的值。
方差分析表
离差平方和 SS 变差来源 SSA 组 间 组 内 总变异 SSE SST
自由度 df r-1 n-r n-1
均方 MS MSA MSE
F值 MSA/MSE
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23
5.2.3 ：方差分析的步骤
4.确定决策规则并根据实际值与临界值的 比较，或者p-值与α 的比较得出检验结论。 在零假设成立时组间方差与组内方差的比 值服从服从自由度为(r-1, n-r) 的 F 分布
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2
F检验的临界值和拒绝域 拒绝域
p-值
α
2.5 3 3.5 实际值 4 4.5 临界值
24
5
5.5
6
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起薪的例子（1）
在起薪的例子中，设显著性水平= 0.05， 试分析专业对起薪的影响已否显著 。
1、根据前面的分析，数据符合方差分 析的假设条件。 2、提出零假设和备择假设： H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4， H1：μ1、μ2、μ3、μ4不全相等。
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起薪的例子（2）
3、计算F统计量的实际值和p值。下面是SPSS计 算的方差分析表。由于 p 值 0.002 0.05， 因此拒绝零假设。
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29
例2 热带雨林 （4）
2、提出零假设和备择假设 零假设：雨林采伐对林木数量没有显著影 响（各组均值相等）； 备择假设：雨林采伐对是有显著影响（各 组均值不全相等）。
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30
例2 热带雨林 （5）
3、方差分析表
SS 625.16 820.72 1445.88 df 2 30 32 MS 312.58 27.36 F 11.43 Pvalue 0.0002 F crit 3.32
只受随机 因素的影响
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5.2.2 ：方差分析的基本思想
组间方差
SSA MSA r 1
F=
SSE 组内方差 MSE nr
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间 方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1 如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组 内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在显著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
i 1 j 1 r m
因素A导致的变差
随机因素导致的变差
SST＝SSA＋SSE
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5.2.2 ：组间方差和组内方差
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了 消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要 将其平均，这就是均方。 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，n为全部观察值的个数 SSA的自由度为r-1，其中r为因素水平的个数 SSE 的自由度为n-r
例2 热带雨林 （2）
从未采 伐过 27 22 29 21 19 33 16 20 24 27 28 19 1年前采 8年前采 伐过 伐过 12 18 12 4 15 22 9 15 20 18 18 19 17 22 14 12 14 12 2 17 19
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1、正态性检验：直方图
X ij i ij i ij
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5.2.2 ：总变差（离差平方和）的分解
总变差
SST ( xi x )2
i 1 n
组间离差平方和
SSA m( xi x )
i 1 r 2
组内离差平方和
SSE ( xij xi )2
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5.1.1 方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变 量，例如失业持续时间。 自变量：作为原因的、把观测结果分成几 个组以进行比较的变量例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素 (factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取 值称为因素的水平。
固定效应模型：因素的所有水平都是由实 验者审慎安排而不是随机选择的。
随机效应模型：因素的水平是从多个可能 的水平中随机选择的。 固定效应和随机效应模型在假设的设置和 参数估计上有所差异，本章研究的都是固 定效应模型。
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5.1.2：方差分析中的基本假设
（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。
用t检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值，要解决上述问题 需要进行6次t检验……
在整体检验中犯第一类错误的概率显著增 加： 如果在每次t检验中犯第一类错误的概率 等于5%，则在整体检验中等于1-(10.05)6=0.2649
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方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA） 的主要目的是通过对方差的比较来检验多 个均值之间差异的显著性。 可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时 与t检验等价。 20世纪20年代由英国统计学家费希尔（R. A. Fisher）最早提出的，开始应用于生物 和农业田间试验，以后在许多学科中得到 了广泛应用。
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用LSD法进行多重比较的步骤
1、提出假设
H0: i = j H1: i j
t
xi x j 1 1 MSE ( ) ni n j
2、计算检验的统计量
3a、 如果
3b、计算
t t / 2
或
t t / 2
则拒绝H0。
xi x j 的置信区间： ( xi x j ) t / 2
例2 热带雨林 （3）
同方差性检验：最大值与最小值之比等于 33.19 / 4.81=1.34，明显小于4，因此可以认 为是等方差的。 组 从未采伐过 1年前采伐过 8年前采伐过 计数 12 12 9 求和 285 169 142 平均 23.75 14.08 15.78 方差 25.66 24.81 33.19
平方和 组间
组内
df
均方 3 1642638.889
F 7.078
p值 0.002
4927916.667
4641666.667
20
232083.333
总数
9569583.333
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例2 热带雨林 （1）
各水平下的样本容量不同时单因素方差分析的 方法也完全适用，只是公式的形式稍有不同， 在使用软件进行分析时几乎看不出这种差别。
样本1
2 x1, s1
样本2
2 x2 , s2
样本3
2 x3 , s3
样本4
2 x4 , s4
1 2 3 4 ??
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各个总体的均值相等吗？
f(X)
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
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X
研究方法：两样本的t检验？