对称性和布拉维格子的分类
bravais晶格的概念
bravais晶格的概念晶体是由重复排列的原子、离子或分子构成的，而Bravais晶格则是描述晶体中原子、离子或分子排列方式的基本数学概念。
Bravais晶格的研究对于理解晶体结构和性质具有重要意义。
1. 汉斯·布拉维斯（Friedrich Ernst Bravais）Bravais晶格的概念最早由法国物理学家汉斯·布拉维斯在19世纪提出。
布拉维斯通过对晶体的实验观察和理论分析，总结出了晶格可以分为14种不同的类型。
这14种晶格类型被称为Bravais晶格，是晶体结构研究中的基础。
2. Bravais晶格的特点Bravais晶格具有以下几个特点：（1）平移对称性：Bravais晶格可由无穷多个离散的平移矢量生成，这些平移矢量连接晶格中的等价点。
（2）最小平移矢量：Bravais晶格中存在一组最小平移矢量，可以通过这组平移矢量将整个晶格堆积至无限大。
（3）空间点群对称性：每个Bravais晶格都具有一定的空间点群对称性，即存在一组操作使得晶格保持不变。
（4）空间格点和晶体基元：晶格中的格点和晶体基元构成了晶体结构的基础单元。
3. Bravais晶格的分类Bravais晶格根据平移矢量的性质可分为三类：简单晶格、面心立方晶格和体心立方晶格。
（1）简单晶格：平移矢量只连接晶格中的等价点，最小平移矢量等于一个晶格常数。
（2）面心立方晶格：平移矢量连接晶格中的等价点，并且最小平移矢量等于晶格常数的一半。
（3）体心立方晶格：平移矢量连接晶格中的等价点，并且最小平移矢量等于晶格常数的一倍。
4. Bravais晶格的应用Bravais晶格的概念在材料科学和凝聚态物理学中应用广泛。
通过研究不同Bravais晶格类型的结构和性质，可以深入理解晶体的电子结构、热学性质、机械性能等特性。
此外，Bravais晶格的分析也对晶体缺陷、晶格畸变和相变等问题提供了理论基础。
5. Bravais晶格的进一步发展随着科技的发展和对精确晶体结构分析的需求，Bravais晶格的概念也在不断发展。
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
二维布拉维格子类型 -回复
二维布拉维格子类型-回复什么是二维布拉维格子类型？二维布拉维格子类型是指由两种不同原子在二维晶格中周期性排列而成的结构。
这种晶格结构在材料科学和固态物理中具有重要的应用价值和研究意义。
本文将详细介绍二维布拉维格子类型的定义、特点以及应用领域。
一、二维布拉维格子类型的定义二维布拉维格子类型是指在平面上由两种不同原子周期性排列而成的晶格结构。
其中一种原子称为A原子，另一种原子称为B原子。
这两种原子按照一定的规则排列，形成了一个重复的二维晶格结构。
二、二维布拉维格子类型的特点1. 原胞：二维布拉维格子类型的晶格结构是由原胞构成的。
原胞是指最小重复单元，通常是一个矩形或菱形。
A原子和B原子在原胞中按照一定规则排列，从而形成整个晶格结构。
2. 对称性：二维布拉维格子类型的晶格结构具有一定的对称性。
根据A原子和B原子的排列方式不同，晶格结构可以具有不同的对称性。
常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和镜像对称性等。
3. 布拉维区：二维布拉维格子类型的晶格结构还具有布拉维区的特点。
布拉维区是指在动量空间中，晶格结构所占据的区域。
二维布拉维格子类型的晶格结构可以通过布拉维区的形状和尺寸来描述。
4. 能带结构：二维布拉维格子类型的晶格结构对电子的能量具有禁带和能带结构的影响。
A原子和B原子的排列方式会影响电子在晶格结构中的能量分布，从而导致能带的形成。
三、二维布拉维格子类型的应用领域1. 材料科学：二维布拉维格子类型的晶格结构在材料科学中具有重要的应用价值。
通过控制A原子和B原子的排列方式，可以调控材料的结构和性能，从而实现对材料性能的调控和优化。
2. 纳米器件：二维布拉维格子类型的晶格结构在纳米器件制备中也有广泛的应用。
通过改变A原子和B原子的排列方式，可以制备出具有特殊功能的纳米器件，如传感器、光伏器件等。
3. 量子计算：二维布拉维格子类型的晶格结构在量子计算领域也具有潜在的应用价值。
研究人员可以通过调控A原子和B原子的排列方式，设计出适用于量子计算的布拉维格子类型结构，从而实现更高效的量子计算。
第八讲—14种布拉菲格子
6/mmm
(L66L27PC)
m3m
(3L44L36L29PC)
6/mmm (L66L27PC)
E, 2C6, 2C3, C2, 3C2’, 3C2”, σh, 3σv, 3σd, i, 2S3, 2S6
m3m (3L44L36L29PC)
E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σd
推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号
五种循环群 Cn (5 种) Cnh = Cn × {E, σh} (5 种) Cnv = Cn × {E, σv} (4 种, C1v = C1h) Dn = Cn × {E, C2[100] } (4 种) Dnh = Cnh × {E, d} (4 种)
i, 8S6, 6S4,
点对称操作
1 (E)
2 (C2)
(C21, C22)
3 (C3)
(C31, C32, C33)
4 (C4)
(C41, C42, C43, C44 )
6 (C6)
(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )
n = 1n (iCn), Sn = σCn !!!
四个三次轴
六方 立方
特点
全对称点群
a≠ b≠ c, ≠≠
1
a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90o
2/m mmm
a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = = 菱形 a = b≠c, = = 90o, = 120o
y x
y
23
y
m3
x
固体物理第二章第二节 对称性和布拉维格子的分类
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB A a B 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则 该操作将使B 格点转到 B位臵,则由于转动对称 操作不改变格子,在 B 处必定原来就有一个格点。 因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
A B H E
D
D
C G
F
C
正四面体既无四 度轴也无对称心
参考方俊鑫书 P37-39
A
G
B F E H
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 独立的对称操作有8种, 即1，2，3，4，6，i， m， 4 。 或C1，C2，C3， C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
3
4
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
nm
n2 n2
nm
二维布拉维格子类型 -回复
二维布拉维格子类型-回复什么是二维布拉维格子类型？二维布拉维格子类型是指由一组正交的基矢量构成的平面，用于描述晶体的结构和性质。
布拉维格子类型的概念是基于晶体对称性的，通过将晶体复制并沿着平移矢量平移，可以填充整个平面。
这种描述方法十分有用，因为它可以简化对晶体结构的理解，并有助于预测材料的电子、磁性和光学性质。
布拉维格子类型根据平面的对称性和基矢量的选择而分类。
其中，最简单的布拉维格子类型是长方形和正交形，它们的基矢量分别是a和b。
在这两种类型中，晶格点位于基矢向量的顶点。
此外，还存在六边形、菱形和斜方形布拉维格子类型，它们的基矢量分别为a和b，但晶格点的排列方式略有不同。
接下来，我们将详细介绍每种布拉维格子类型的特点和应用：1. 长方形布拉维格子类型：长方形布拉维格子类型是最常见的一种类型。
其基矢量a和b分别垂直于平面，并且长度相等。
晶格点沿着基矢量的顶点排列，形成一个二维晶格。
这种布拉维格子类型通常用于描述金属和绝缘体的结构。
2. 正交形布拉维格子类型：正交形布拉维格子类型与长方形布拉维格子类型相似，但其基矢量a和b的长度可以不相等。
这种布拉维格子类型通常用于描述具有高度各向异性的材料，如液晶和某些晶胞轴向非晶态材料。
3. 六边形布拉维格子类型：六边形布拉维格子类型的基矢量a和b呈60度夹角。
晶格点位于基矢向量的顶点，形成一个六边形晶格。
该类型的布拉维格子用于描述石墨烯等材料，因其特殊的几何形状，六边形布拉维格子具有特殊的电子性质。
4. 菱形布拉维格子类型：菱形布拉维格子类型与六边形布拉维格子类型非常相似，其基矢向量a和b也呈60度夹角，但是晶格点位于基矢向量的中点。
这种布拉维格子类型通常用于描述铜铎氧化物等材料的结构和性质。
5. 斜方形布拉维格子类型：斜方形布拉维格子类型的基矢量a和b具有不同的长度和夹角。
这种布拉维格子类型通常用于描述薄膜材料和晶体异质结构的性质。
布拉维格子类型的研究对理解和设计晶体材料具有重要意义。
§1.4晶格的对称性
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a=b≠c
6.六角晶系：α = β = 900 γ = 1200 6.六角晶系： 六角晶系
a=b=c
7.立方晶系： 7.立方晶系： 立方晶系 α = β = γ = 900
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第一章 晶体结构 1.三斜晶系： 1.三斜晶系： 三斜晶系
a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠γ
2.单斜晶系： 2.单斜晶系： 单斜晶系
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第一章 晶体结构 1.4.2 二维晶格的 大晶系和5种布拉伐格子 二维晶格的4大晶系和 种布拉伐格子 大晶系和
二维晶格有4个晶系，分别是斜方晶系、长方晶系、 二维晶格有 个晶系，分别是斜方晶系、长方晶系、 个晶系 正方晶系和六角晶系； 正方晶系和六角晶系；
共有5 种布拉伐格子：简单斜方、简单长方、中心长 共有 种布拉伐格子：简单斜方、简单长方、 简单正方、简单六角． 方、简单正方、简单六角． 为单胞基矢， 为基矢间夹角， 为单胞基矢， ϕ 为基矢间夹角，二维 晶格的4大晶系和 种布拉伐格子如下： 大晶系和5种布拉伐格子如下 晶格的 大晶系和 种布拉伐格子如下：
NaCl结构 结构
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第一章 晶体结构
基元是一个CsCl分子 分子 基元是一个 布拉伐格子是简单立方
CsCl结构 结构 基元是2 基元是2个C原子 （顶角一个、 ¼ 原子 顶角一个、 体对角线一个） 体对角线一个） 布拉伐格子是面心立方
金刚石结构
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第一章 晶体结构 作业： 作业： 列出三维和二维所有晶系中的各种布拉伐点阵的名称， 列出三维和二维所有晶系中的各种布拉伐点阵的名称， 并说明其特点。 并说明其特点。
固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类
P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了 便于大家看懂，下面给出符号的说明
Cn C1, C2 , C3, C4 , C6
900 1200
900
7个晶系(crystal system)相应的点群 S1, C2h , D2h , D4h , D3d , D6h , Oh
即：Ai G,i 1, 2,3 ,G {Ai}
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
Ai Aj Ak ,i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E
E G, EAi Ai E Ai
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对 称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素
比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z sin
z
y
sin
z
cos
a11 a12 a13 1 0
0
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群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。 群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。 一、群的知识简介 1. 群的定义 ts)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
Ai Aj Ak , i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E E G, EAi Ai E Ai 3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1 Ai E
4). 满足组合定则
( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak )
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB a B A 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该 操作将使B格点转到B’ 位臵,则由于转动对称操作 不改变格子,在 B’ 处必定原来就有一个格点。
在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 1850年布拉维由此证明只有14种 三维布拉维点阵
2.
为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二 维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且 垂直平面；在三维晶格中，旋转轴一定要通过 某一个格点而且平行于某一个晶向。 由于晶体周期性的限制，转角只能是:
2 , n 1, 2,3, 4, 6 n
即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2， 3，4和6重轴 称为晶体的对称性定律
此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型 的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符 号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin) 制订的，称为国际符号 我们这一节主要介绍这些人得到的结果
二、点群和七个晶系
1. 点群
保持空间某一点固定不动的对称操作，称为 点对称操作。在点对称操作基础上构成的对称 操作群称为点群
对称性和布拉维格子的分类
本节主要内容:
一、群的知识简介 二、点群和七个晶系
三、空间群和14种布拉维格子
四、点群对称性和晶体的物理性质
对称性和布拉维格子的分类 布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的： 所谓对称性是指在一定的几何操作下，物 体保持不变的特性。 对称性在物理学中是一个非常重要的概念， 它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。 因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系 统要素就越少，因而描述起来就越简单。 我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的 对称性(symmetry of lattice).
构成群的元素要满足以下条件： 设 A1 , A2 , A3 等表示群G中所包含的元素 或操作
Ai G, i 1, 2,3, G {Ai } 即：
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
x x a11 y y a21 z z a 31
a12 a22 a32
a13 x a23 y ; z a33
正交矩阵 参考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16
点对称操作的类型和对称元素： 对于晶体而言，对称操作就是对晶体进行 几何变换而能复原的操作。晶体中的基本的点 对称操作有三种： 正当转动操作,即绕固定轴的转动 (rotation about an axis) ； 镜面反映 (Reflection across a plane); 中心反演(inversion through a point) ; 相应的对称元素有:对称轴;对称面;对称中心 一个旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个 角度 或- 以后，点阵保持不变。
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位臵都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素 从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进 行几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于 一个正交线性变换。一个变换就是一种操作。